资源简介

《轴对称》精选期中压轴题——浙教版数学八年级上册复习
一、单选题
1．如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、、、，此时周长取最小值．
，，；
，
，
在中，，，
；
在和中，
，
≌，
，
同理，
．
故选：B．
【分析】利用轴对称转化线段，确定周长最小时的点，再分析角度的关系，推导出的度数即可.
2．如图，点内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-两线一点（两动一定）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点 连接 ， 交OA于M， 交OB于N，
则
根据轴对称的性质，可得， 则 的周长的最小值
∴等腰 中，
故选： B.
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点 连 交OA于M， 交OB于N， 的周长= ，然后得到等腰 中， 即可根据解答即可.
3． 如图，在中，，分别以点为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于作直线，为的中点，为直线上任意一点. 若，面积为，则长度的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
连接MA、DA，如图，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵
∴
∴BM+MD长度的最小值为5．
故选：D．
【分析】由作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．
二、填空题
4．如图， 在四边形ABCD中， ∠BAD=132°、∠B=∠D=90°， 在BC、CD上分别取一点M、N， 使△AMN的周长最小， 则∠AMN+∠ANM=　 　°.
【答案】100
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，延长AB到A'使得BA'=AB，延长AD到A"使得DA"=AD，连接A'A"与BC、CD分别交于点M、N，
∵A、A'关于BC对称，A、A"关于CD对称，
∴AM=A'M，AN=A"N，
此时△AMN的周长最小值等于AA"的长，
∵BA=BA'，NA=NA"
∴∠A'=∠MAB，∠A"=∠NAD
∵∠AMN=∠A'+∠MAB=2 ∠A'， ∠ANM= ∠A''+ ∠NAD=2 ∠A".
∴∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A'')
∵∠BAD=130°
∴∠A'+∠A"=180°-∠BAD=50°
∴∠AMN+∠ANM=2×50°=100°
故答案为：100.
【分析】延长AB到A'使得BA'=AB，延长AD到A"使得DA"=AD，连接A'A"与BC、CD分别交于点MN，此时△AMN周长最小，推出∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A”)即可解决.
5．如图，在四边形ABCD中，，在、上分别取一点M、N，使的周长最小，则　 　．
【答案】96
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：作出A关于 和的对称点，连接，交于M，交于N，则即为的周长最小值．
∵，
∴，
∵由轴对称的性质可得：
且
∴ ，
故答案为：．
【分析】要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使△AMN的三边在同一直线上，作出A关于BC 和CD的对称点A'、A''，连接A'A''，交BC于M，交CD于N，则A'A''即为△AMN的周长最小值；利用轴对称的性质可得A、B、A'与A、D、A''分别在同一直线上，用三角形的内角和定理得，用轴对称的性质及三角形外角性质得出，即可得出答案．
6． 如图，在长方形 ABCD 中，点 E 是边 BC 上一点，将 沿 DE 折叠，使得点 C 落在 AB 上，连结 DC'、EC'，点 F 是 DC' 的中点，连结 CF，，且 ，则 CD 的长为　 　.
【答案】4
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图所示，连接CC`、再过点C作C`F的垂线段CG.
四边形ABCD是长方形
由折叠知，
、
、、
设，则
则在中，
解得，，即
故答案为：4 .
【分析】由折叠知，DC＝DC`、EC＝EC`，则连接CC`，由长方形的性质结合同角的余角相等可得，再由等边对等角结合外角的性质可得，再由已知结合角的和差关系可得；由于长方形的对边平行，则由平行线的性质结合等量代换可得，又公共角，由内角和定理结合等边对等角可知，即有CF＝C`F，再过点C作FC`的垂线段CG，由等腰三角形三线合一知CG平分FC`，CG平分，则可证明，再由全等的性质可得FG＝C`B、CG＝CB，又F是DC`中点，则DC＝DC`＝4BC`，DG＝3BC`，再在直角三角形DCG中应用勾股定理求出BC`的长即可.
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90o， AC=12， BC=9， D为AB的中点，E在BC上，BE=1.5，将△BDE沿DE翻折，得到△MDE，F在AC上，将△ADF沿DF翻折，得到△NDF，若FN∥EM，则AF=　 　．
【答案】4.5
【知识点】三角形外角的概念及性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，连接MN，CD，
∵∠ACB=90°，AC=12，BC=9
∴，∠A+∠B=90°
∵D为AB的中点
∴
∵BE=1.5.
∴CE=BC-BE=7.5
∴CD=BD=AD=CE=7.5.
由折叠性质可知，∠B=∠DME，∠A=∠DNF，∠BDE=∠MDE，∠ADF=∠NDF
∴∠DNF+∠DME=90°
∵FN//EM
∴∠EMN+∠FNM=180°
∴∠DMN+∠DNM=90°
∴∠DMN=90°
设∠BDE=∠MDE=m，∠ADF=∠NDF=n，则∠B=90°-x，
∵CD=BD=AD=CE=7.5
∴∠CDE=∠CEM=x+m，
∴∠CDM=∠CDE-∠MDE=x
∴∠CDM=90°-∠CDM=90°-x
∴∠CDF=90°-x+n，
∵∠CFD=∠A+∠ADF=90°-x+n
∴∠CFD=∠CDF
∴CF=CD=7.5.
∴AF=AC-CF=12-7.5=4.5
故答案为：4.5.
【分析】连接MN，CD，由勾股定理得，又D为AB的中点，所以，从而可得CD=BD=AD=CE=7.5，由折叠性质可知，∠B=∠DME，∠A=∠DNF，∠BDE=∠MDE，∠ADF=∠NDF，通过FN//EM，则有∠EMN+∠FNM=180°，所以∠DMN=90°，设∠BDE=∠MDE=m，∠ADF=∠NDF=n，则∠B=90°-x，通过三角形外角性质和角度和差得出∠CDF=90°-x+n，∠CFD=∠A+∠ADF=90°-x+n，得∠CFD=∠CDF，所以∠CFD=∠CDF，故有CF=CD=7.5，然后通过线段和差即可求解.
8．如图，已知在中，，点D，E分别在边，上，连接．将沿翻折，将沿翻折，翻折后，点B，C分别落在点处，且边与在同一直线上，连接，当是以为腰的等腰三角形时，则　 　．
【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠性质得，，，
当时，设，
得，
，
，
在中，，
∴，
，
；
当时，
，
是的中点，
，
，
设，则，
，
，
，
，
当或时，是以为腰的等腰三角形．
故答案为：或．
【分析】本题需要根据等腰三角形的性质分情况讨论，即和两种情况，然后利用折叠的性质以及勾股定理来求解BD的长度.
三、解答题
9．已知： 在△ABC中， AB=5， P是AB 延长线上一点， 作△PA'C与△PAC关于直线 PC 对称.
（1） 如图1， AD 是∠BAC的平分线， 且AD⊥CB 交于点 D.
①求证： BD=CD；
②若AD=4， 当PA'⊥射线AD时， 求线段BP的长；
（2） 如图2， 连结BA'， AA'分别交 PC于点E， F.当 的面积为3时，求△PEA'和△EFA'的面积.
【答案】（1）解：①证明： 因为AD 是∠BAC的平分线
所以∠BAD=∠CAD
因为AD⊥CD
所以∠ADB=∠ADC=90°
因为AD=AD
所以△ADB≌△ADC
所以BD=CD.
②解： 因为AD⊥CD
所以.
因为AB=5， AD=4
所以CD=BD=3
所以 BC=6
因为 PA'⊥射线AD
AD⊥CD
所以 BC∥PA'
所以∠BCP=∠CPA'
因为△PA' C 与△PAC关于直线 PC对称
所以∠APC=∠CPA'
所以∠APC=∠BCP
所以BC=BP=6.
（2）解：因为
所以AP=8，BP=3
因为△PA'C与 关于直线PC 对称
所以
所以
所以
所以
因为
所以
因为△PA'C与△PAC关于直线PC 对称
所以AF=A'F
所以
所以
【知识点】三角形的面积；勾股定理；轴对称的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】 (1) ①先利用角平分线和垂直的条件，根据三角形的全等判定-ASA，证明三角形全等；再根据全等性质，即查得出结论；
②先利用勾股定理，求BD的长度；再利用平行和对称，推导角相等；最后根据等角对等边，即可得出BP的长度.
(2)先确定线段PA'=AP的长度；再利用面积比求△PA'E的面积；最后即可求△EFA'的面积.
10．（1）如图1，把一块三角板（，）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点，，分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中；你发现线段与有什么数量关系？试说明你的结论
（2）【变式探究】如图2，在中，点、、分别在边，，上，若，那么与有何关系，并加以说理；
（3）【拓展应用】如图3，在中，，，点，分别是边，上的动点，且，以为腰向右做等腰，使得，，若，点是的中点，连接，，，请求出的最小值．
【答案】解：（1）.理由如下：
，
．
，
．
在与中，
，
，
；
（2）．
理由如下：
，，
．
，
；
（3） 在上截取，连接，作点关于的对称点，
连接，，如下图，
，，
．
，
，
，，．
，
．
，
，
，
，
，
．
，
，
点在射线上运动．
点与的关于对称，
，
，
当、、三点共线时，的值最小，最小值为．
，，
，
，
由对称性可知，，
．
点是的中点，，
，
，
在中，，
的最小值为．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-AAS；三角形-动点问题；同侧一线三等角全等模型（锐角）；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）利用判定三角形全等的求得，再利用全等三角形的性质求解；
（2）利用等量代换来进行求解；
（3）在上截取，连接，作点关于的对称点，连接，利用全等三角形的判定和性质来求解．
1 / 1《轴对称》精选期中压轴题——浙教版数学八年级上册复习
一、单选题
1．如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，点内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为(　　)
A． B． C． D．
3． 如图，在中，，分别以点为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于作直线，为的中点，为直线上任意一点. 若，面积为，则长度的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
4．如图， 在四边形ABCD中， ∠BAD=132°、∠B=∠D=90°， 在BC、CD上分别取一点M、N， 使△AMN的周长最小， 则∠AMN+∠ANM=　 　°.
5．如图，在四边形ABCD中，，在、上分别取一点M、N，使的周长最小，则　 　．
6． 如图，在长方形 ABCD 中，点 E 是边 BC 上一点，将 沿 DE 折叠，使得点 C 落在 AB 上，连结 DC'、EC'，点 F 是 DC' 的中点，连结 CF，，且 ，则 CD 的长为　 　.
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90o， AC=12， BC=9， D为AB的中点，E在BC上，BE=1.5，将△BDE沿DE翻折，得到△MDE，F在AC上，将△ADF沿DF翻折，得到△NDF，若FN∥EM，则AF=　 　．
8．如图，已知在中，，点D，E分别在边，上，连接．将沿翻折，将沿翻折，翻折后，点B，C分别落在点处，且边与在同一直线上，连接，当是以为腰的等腰三角形时，则　 　．
三、解答题
9．已知： 在△ABC中， AB=5， P是AB 延长线上一点， 作△PA'C与△PAC关于直线 PC 对称.
（1） 如图1， AD 是∠BAC的平分线， 且AD⊥CB 交于点 D.
①求证： BD=CD；
②若AD=4， 当PA'⊥射线AD时， 求线段BP的长；
（2） 如图2， 连结BA'， AA'分别交 PC于点E， F.当 的面积为3时，求△PEA'和△EFA'的面积.
10．（1）如图1，把一块三角板（，）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点，，分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中；你发现线段与有什么数量关系？试说明你的结论
（2）【变式探究】如图2，在中，点、、分别在边，，上，若，那么与有何关系，并加以说理；
（3）【拓展应用】如图3，在中，，，点，分别是边，上的动点，且，以为腰向右做等腰，使得，，若，点是的中点，连接，，，请求出的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、、、，此时周长取最小值．
，，；
，
，
在中，，，
；
在和中，
，
≌，
，
同理，
．
故选：B．
【分析】利用轴对称转化线段，确定周长最小时的点，再分析角度的关系，推导出的度数即可.
2．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-两线一点（两动一定）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点 连接 ， 交OA于M， 交OB于N，
则
根据轴对称的性质，可得， 则 的周长的最小值
∴等腰 中，
故选： B.
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点 连 交OA于M， 交OB于N， 的周长= ，然后得到等腰 中， 即可根据解答即可.
3．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
连接MA、DA，如图，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵
∴
∴BM+MD长度的最小值为5．
故选：D．
【分析】由作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．
4．【答案】100
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，延长AB到A'使得BA'=AB，延长AD到A"使得DA"=AD，连接A'A"与BC、CD分别交于点M、N，
∵A、A'关于BC对称，A、A"关于CD对称，
∴AM=A'M，AN=A"N，
此时△AMN的周长最小值等于AA"的长，
∵BA=BA'，NA=NA"
∴∠A'=∠MAB，∠A"=∠NAD
∵∠AMN=∠A'+∠MAB=2 ∠A'， ∠ANM= ∠A''+ ∠NAD=2 ∠A".
∴∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A'')
∵∠BAD=130°
∴∠A'+∠A"=180°-∠BAD=50°
∴∠AMN+∠ANM=2×50°=100°
故答案为：100.
【分析】延长AB到A'使得BA'=AB，延长AD到A"使得DA"=AD，连接A'A"与BC、CD分别交于点MN，此时△AMN周长最小，推出∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A”)即可解决.
5．【答案】96
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：作出A关于 和的对称点，连接，交于M，交于N，则即为的周长最小值．
∵，
∴，
∵由轴对称的性质可得：
且
∴ ，
故答案为：．
【分析】要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使△AMN的三边在同一直线上，作出A关于BC 和CD的对称点A'、A''，连接A'A''，交BC于M，交CD于N，则A'A''即为△AMN的周长最小值；利用轴对称的性质可得A、B、A'与A、D、A''分别在同一直线上，用三角形的内角和定理得，用轴对称的性质及三角形外角性质得出，即可得出答案．
6．【答案】4
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图所示，连接CC`、再过点C作C`F的垂线段CG.
四边形ABCD是长方形
由折叠知，
、
、、
设，则
则在中，
解得，，即
故答案为：4 .
【分析】由折叠知，DC＝DC`、EC＝EC`，则连接CC`，由长方形的性质结合同角的余角相等可得，再由等边对等角结合外角的性质可得，再由已知结合角的和差关系可得；由于长方形的对边平行，则由平行线的性质结合等量代换可得，又公共角，由内角和定理结合等边对等角可知，即有CF＝C`F，再过点C作FC`的垂线段CG，由等腰三角形三线合一知CG平分FC`，CG平分，则可证明，再由全等的性质可得FG＝C`B、CG＝CB，又F是DC`中点，则DC＝DC`＝4BC`，DG＝3BC`，再在直角三角形DCG中应用勾股定理求出BC`的长即可.
7．【答案】4.5
【知识点】三角形外角的概念及性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，连接MN，CD，
∵∠ACB=90°，AC=12，BC=9
∴，∠A+∠B=90°
∵D为AB的中点
∴
∵BE=1.5.
∴CE=BC-BE=7.5
∴CD=BD=AD=CE=7.5.
由折叠性质可知，∠B=∠DME，∠A=∠DNF，∠BDE=∠MDE，∠ADF=∠NDF
∴∠DNF+∠DME=90°
∵FN//EM
∴∠EMN+∠FNM=180°
∴∠DMN+∠DNM=90°
∴∠DMN=90°
设∠BDE=∠MDE=m，∠ADF=∠NDF=n，则∠B=90°-x，
∵CD=BD=AD=CE=7.5
∴∠CDE=∠CEM=x+m，
∴∠CDM=∠CDE-∠MDE=x
∴∠CDM=90°-∠CDM=90°-x
∴∠CDF=90°-x+n，
∵∠CFD=∠A+∠ADF=90°-x+n
∴∠CFD=∠CDF
∴CF=CD=7.5.
∴AF=AC-CF=12-7.5=4.5
故答案为：4.5.
【分析】连接MN，CD，由勾股定理得，又D为AB的中点，所以，从而可得CD=BD=AD=CE=7.5，由折叠性质可知，∠B=∠DME，∠A=∠DNF，∠BDE=∠MDE，∠ADF=∠NDF，通过FN//EM，则有∠EMN+∠FNM=180°，所以∠DMN=90°，设∠BDE=∠MDE=m，∠ADF=∠NDF=n，则∠B=90°-x，通过三角形外角性质和角度和差得出∠CDF=90°-x+n，∠CFD=∠A+∠ADF=90°-x+n，得∠CFD=∠CDF，所以∠CFD=∠CDF，故有CF=CD=7.5，然后通过线段和差即可求解.
8．【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠性质得，，，
当时，设，
得，
，
，
在中，，
∴，
，
；
当时，
，
是的中点，
，
，
设，则，
，
，
，
，
当或时，是以为腰的等腰三角形．
故答案为：或．
【分析】本题需要根据等腰三角形的性质分情况讨论，即和两种情况，然后利用折叠的性质以及勾股定理来求解BD的长度.
9．【答案】（1）解：①证明： 因为AD 是∠BAC的平分线
所以∠BAD=∠CAD
因为AD⊥CD
所以∠ADB=∠ADC=90°
因为AD=AD
所以△ADB≌△ADC
所以BD=CD.
②解： 因为AD⊥CD
所以.
因为AB=5， AD=4
所以CD=BD=3
所以 BC=6
因为 PA'⊥射线AD
AD⊥CD
所以 BC∥PA'
所以∠BCP=∠CPA'
因为△PA' C 与△PAC关于直线 PC对称
所以∠APC=∠CPA'
所以∠APC=∠BCP
所以BC=BP=6.
（2）解：因为
所以AP=8，BP=3
因为△PA'C与 关于直线PC 对称
所以
所以
所以
所以
因为
所以
因为△PA'C与△PAC关于直线PC 对称
所以AF=A'F
所以
所以
【知识点】三角形的面积；勾股定理；轴对称的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】 (1) ①先利用角平分线和垂直的条件，根据三角形的全等判定-ASA，证明三角形全等；再根据全等性质，即查得出结论；
②先利用勾股定理，求BD的长度；再利用平行和对称，推导角相等；最后根据等角对等边，即可得出BP的长度.
(2)先确定线段PA'=AP的长度；再利用面积比求△PA'E的面积；最后即可求△EFA'的面积.
10．【答案】解：（1）.理由如下：
，
．
，
．
在与中，
，
，
；
（2）．
理由如下：
，，
．
，
；
（3） 在上截取，连接，作点关于的对称点，
连接，，如下图，
，，
．
，
，
，，．
，
．
，
，
，
，
，
．
，
，
点在射线上运动．
点与的关于对称，
，
，
当、、三点共线时，的值最小，最小值为．
，，
，
，
由对称性可知，，
．
点是的中点，，
，
，
在中，，
的最小值为．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-AAS；三角形-动点问题；同侧一线三等角全等模型（锐角）；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）利用判定三角形全等的求得，再利用全等三角形的性质求解；
（2）利用等量代换来进行求解；
（3）在上截取，连接，作点关于的对称点，连接，利用全等三角形的判定和性质来求解．
1 / 1

展开更多......

收起↑