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《勾股定理》精选期中压轴题——浙教版数学八年级上册复习
一、单选题
1． 赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，连接与相交于点M，延长交于点N，若M是的中点，，则的长（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】如图所示，连接HM.
四边形EFGH是正方形
四边形ABCD是正方形
、且
解得：
故正确答案为：C
【分析】由正方形的性质知DH垂直AE、CG垂直DH，由于点M平分DE，则连接HM，可得HM是直角三角形DHE的斜边DE上的中线，则HM＝DM，再由线段垂直平分线的性质定理得DG＝HG，再由全等三角形的性质结合正方形的性质可得AH＝DG＝HG＝HE，则DH垂直平分AE，同理可得DE＝AD，再由等腰三角形三线合一知DH平分，则由正方形的对边平行结合对顶角相等可得等于等于，再由全等三角形的对应角相等可得，等量代换可得，由等角对等边可得EN＝BN，再由正方形的性质可得DE＝AD＝AB＝DC＝CB＝8，则DN＝8+EN、CN＝8-EN，再在直角三角形DCN中应用勾股定理即可求得EN＝2.
2．中国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理.如图，已知正方形ABCD和正方形 BEFG，A，B，E三点在一条直线上.现将其裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形CHIE.若正方形 ABCD 和正方形BEFG的面积之和为260，阴影部分的面积为148， 则AE的长为(　　)
A．22 B．20 C．18 D．16
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图：
设BC=b，EF=a，
∵四边形BEFG、四边形CHIE和ABCD都是正方形，
在 和 中，
∵将正方形ABCD和正方形BEFG裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形CHIE，
-ab=148，
484，
即a+b=22，
故答案为：A .
【分析】设BC=b，EF=a，根据正方形的性质及ASA得 进而可得 ab，将正方形ABCD和正方形BEFG裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形CHIE得 ，再利用面积的数量关系即可求解.
3．如图，中，，，．分别以，，为边在的同侧作正方形，，，四块阴影部分的面积分别为，，，，则等于（　　）
A．48 B．72 C．90 D．96
【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴
∴
∴，
∵，，
∴，
故答案为：B．
【分析】先根据勾股定理得到，从而结合图形得到，然后根据正方形性质得到，，求出，进而证出，于是得出，则，得出，最后利用三角形面积公式即可得出答案．
4．如图，Rt中，，分别以的三边为直角边作三个等腰直角三角形：，若图中阴影部分的面积是，则的大小可以用，表示为（　　）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，
∵都是等腰直角三角形，
∴，
设，
∵，即，
∴，
∴，
解得．
故答案为：B．
【分析】由题意易得，设，然后根据勾股定理得，则，进而根据三角形面积公式得，结合图形，利用割补法可得，整理可得结论.
5．如图是一个卡通头像，其脸部是正方形ABCD，帽子右侧是以AD为斜边的Rt△AFD，帽子左侧是△ABE. 若AE=AF=5， AE⊥AF， S△ABE+S△ADF=40，则正方形ABCD 的边长为(　　)
A．9.5 B．9 C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：
如图，四边形ABCD是正方形，过点B作BG⊥EA，交EA的延长线于点G，得到直角∠BGE=90°。
根据正方形性质：∠BAD=90°，AB=AD。
由AE⊥AF可得：∠FAG=∠BAD=90°。
通过角度关系推导：
∵ ∠BAG+∠DAG=∠BAD，
∠DAG+∠DAF=∠FAG，
∴ ∠BAG=∠DAF，
可证△ABG≌△ADF（AAS），
根据全等性质：BG=DF，S△ABG=S△ADF。
由已知S△ABE+S△ADF=40，建立方程：
代入AE=AF=5得DF=8，
最后用勾股定理求AD=
故答案为：。
【分析】
通过构造辅助线BG⊥EA，证明三角形全等，利用面积关系建立方程求得DF=8，最后运用勾股定理求出正方形边长AD=。
6． 如图放置的，都是以为直角顶点的三角形，点都在直线上，，点在轴上，，则点的坐标是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；探索规律-点的坐标规律；直角三角形的两锐角互余；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】如图，过点A1作x轴的垂线段A1C，设A1的坐标为.
，即B1、A1、C三点共线
轴
同理：，
当时，，即
故正确答案为：D
【分析】过点A1作x轴的垂线段A1C，由直线上点的坐标特征可设点，则由直线上两点间的距离可得OA1＝2x，则由直角三角形中30度角的性质可得，再由直角三角形两锐角互余可得，再由互为余角可得，再利用直角三角形中30度角的性质结合勾股定理可得，进而可得点，再由已知可利用HL判定，则可得，即B1、A1、C三点共线，则可得点，同理可依次得，，，再把代入计算即可.
7．如图1，以直角三角形的各边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置在大正方形内，记四边形ABCD面积为S1，四边形CDEG的面积为S2，四边形GFKH的面积为S3，四边形CGHP的面积为S4，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（　　）
A．S1 B．S2 C．S3 D．S4
【答案】B
【知识点】勾股定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设大正方形面积为c，中正方形面积为b，小正方形面积为a，则：
S1+S阴=0.5（c-a）
S1+S2=0.5b
因为图一通过勾股定理可知，a+b=c，
所以S1+S阴=S1+S2=0.5b，S阴=S2
故答案为：B.
【分析】初中图形面积转化问题涉及到一系列知识点，其中包括几何学和代数学的内容：
复合图形的面积： 问题可能涉及到由多个基本图形组成的复合图形，学生需要学会将复合图形分解成基本图形，并计算各个部分的面积，最后合并得到整体的面积；
相似图形的面积关系： 如果两个图形相似，那么它们的面积之比等于它们的边长之比的平方。这个概念在解决一些图形面积转化问题时可能会用到；
面积的增加和减少： 问题可能涉及到在图形上增加或减少一些部分，学生需要理解这种变化对整体面积的影响；
图形的相对位置： 学生需要理解图形的相对位置，如重叠、相离、内含等，这对于正确计算图形的面积至关重要.
8．勾股定理是几何学中的“明珠”.如图1，以直角三角形 ABC的各边为边分别向外作等边三角形，再把较小的两个等边三角形按图2的方式放置，四个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，S4，若已知△GHI的面积，则能求下列哪个代数式的值(　　).
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：如图，
由勾股定理可知，两个小等边三角形的面积之和等于大等边三角形面积之和，
即
四边形EGIJ =
∵△GHI的面积是已知的，
∴代数式 的值能求出，
故答案为：A .
【分析】由题易知两个小等边三角形的面积之和等于大等边三角形面积之和，进而利用等面积可得 即可得解.
9．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正三角形，再把较小的两张正三角形纸片按图2的方式放置在最大的正三角形内，，，四边形的面积分别记为，，，若已知，，，则两个较小正三角形纸片的重叠部分（）的面积为（　　）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图1，
过点M作于点N，设直角三角形的三边长为，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
同理可得：另外两个等边三角形的面积为，
由勾股定理可得：，
∴，
∴；
故选C．
【分析】
如图，分别设三角形的三边为a、b、c，则由等腰三角形三角形三线合一可得三个等边三角形在面积分别为，再由割补法可得阴影部分面积等于重叠部分面积．
10．某同学类比勾股定理的证明过程，利用三个含有的全等三角形纸片（如图①）拼成一个正三角形（如图②），即．连接，，，若长是2，的面积是，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图②，过点作于点，过点作，交延长线于点，
∵，，
∴，，，，，
∴，
∴在中，，
∵是等边三角形，
∴，
∴
，
∴在中，，
∴，
∴，
同理可得：，
在和中，
，
∴，
∴，，
同理可证：，
∴，，
∴，
又∵，，
∴是等边三角形，
如图②，过点作于点，
则，
∴，
∴，
∵的面积是，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】过点作于点，过点作，交延长线于点，即可得到和，然后利用含30度角的直角三角形的性质得到，即可得到，然后推理得到，即可得到，，过点作于点，求出的面积是，即可得到解题即可．
二、填空题
11．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若 ， ，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是　 　．
【答案】76
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设将 延长到点 ，连接 ，
根据题意，得 ， ．
，即
这个风车的外围周长是 ．
故答案为：76．
【分析】通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长．
12．如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点，若正方形的面积为，，则与的面积差是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：正方形的面积为，
，
设，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
∵四边形EFGH是正方形，
，
，
∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，
，
，
，
，，
，
，
则的值是；
故与的面积差为；
故答案为：.
【分析】根据勾股定理及正方形ABC的面积为28建立方程得出2x2-14x=-21；由正方形对边平行得AH∥CF，由二直线平行，内错角相等得∠EAP=∠GCM，由全等三角形的对应边相等得AE=CG，从而由“ASA”可证△AEP≌△CGM，则，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，由S正方形EFGH=S正方形ABCD-4S△AEB，结合整体代入可得结论．
13．如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连接AC，交BE于点P，若正方形ABCD的面积为28，AE+BE=7，则△CFP与△AEP的面积差是　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形全等的判定-ASA；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的面积为28，
∴，
在Rt△ABE中，由勾股定理得，
∵AE+BE=7，
∴，
∴AE·BE.
∴.
如图，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH//FG，EF//GH，∠FEH=∠FGH=90°，EH=FG=EF=GH，
∴∠PAE=∠QCG，∠AEP=∠CGQ=90°，
∵AH=CG，
∴AE=AH-EH，CG=CF-FG，
∴AE=CG，
∴△AEP△CGQ，
∴，EP=GQ，
∴，
∵EF=GH，PF=EF-EP，HQ=GH-GQ，
∴PF=HQ，
∴.
∴△CFP与△AEP的面积差是.
故填：.
【分析】观察图形，根据题意可证明△AEP△CGQ，则△CFP与△AEP的面积差等于的面积，也是正方形EFGH面积的一半；已知正方形ABCD的面积和AE+BE=7，根据勾股定理和完全平方和变形公式，求得AE·BE的值，从而求出正方形EFGH的面积.
14．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为直径，向外作四个半圆，记四个半圆面积分别为，，和，若，，，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：设，
则，解得；
，解得；
；
．
∵，
∴，
即，
由，得，化简得；
将，，代入；
即，解得，则；
∴；
故答案为．
【分析】本题考查勾股定理和半圆面积公式，由半圆面积公式表示出各边的平方，再利用“直角三角形中两直角边平方和=斜边平方，结合S4与S3关系求解.
15．【文化欣赏】如图1，“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形．
【尝试探究】如图2，以正方形的边为斜边向外作，以直角边，为边向外分别作正方形，正方形，连结，过点E作直线于点P，交于点Q，若，，则的长是　 　．
【答案】19.8
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；矩形的判定与性质；勾股树模型
【解析】【解答】解：如图，设与交于点，延长交于点K，
则，，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为矩形，
，
在中，，，
，
，
，，
，
在中，，
即，
，
，，，
，
，
，
．
故填：．
【分析】令与交于点，延长交于点K，先证出四边形为矩形，根据矩形的性质得出，利用勾股定理求出的长度，再求出的长度，利用三角形的等面积法求出的长度，通过证出，得出，从而求得的长度，利用即可求出PQ的长.
三、综合题
16． 如图1，和都是等腰直角三角形，，D为外一点，，A，C，E三点不共线，连结AD，AE，BD，BE，AE与BD交于点F
（1） 求证：；
（2） 当时，求的度数；
（3） 如图2，当时，，，求四边形ABED的面积.
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵△CDE是等腰直角三角形，
∴，
∵
∴
∴△ADE是直角三角形，，
∴
（3）解：过点D作C于点G，AE与BC相交于点H A
由题意可得，)..
∵，
∴
∴
∴， E D
∴，
在Rt△CDG中，根据勾股定理可得，
∴
在Rt△BDG中，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】
（1）由旋转全等模型可证，即；
（2）先由（1）知，再由等腰三角形的性质结合勾股定理可得，则由勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，且，由于，再由角的和差关系可得等于；
（3）先由全等的性质结合三角形的外角性质可得，则四边形ABED的面积等于，此时再过点D作BC的垂线段交BC延长线于点G，则可判定是等腰直角三角形，再由勾股定理可得DG=CG=1，再由勾股定理可得即可.
17．若一个三角形存在两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形，现在，我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点.例如：图1，在△ABC中， ，则△ABC为勾股高三角形，其中 C为勾股顶点，CD 是AB边上的高
（1）●特例感知：等腰直角三角形 　 　勾股高三角形(请填写“是”或者“不是”)；
（2）●深入探究：如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且(CA>CB，CD是AB边上的高.试探究线段AD与CB 的数量关系，并给予证明；
（3）●推广应用： 如图3， 等腰△ABC为勾股高三角形， 其中AB=AC>BC， CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E.若( 试求线段DE的长度.
【答案】（1）是
（2）解：AD=BC，
证明如下：
∵△ABC为勾股高三角形，CD是AB边上的高，CA>CB
∴AC2-BC2=CD2，
∵AC2-AD2=CD2
∴AC2-AD2=AC2-BC2，
即AD2=BC2，
∴AD=BC
（3）解：如图，过点A作AG⊥DE于点G，
∵△ABC为勾股高三角形，CD是AB边上的高，AB=AC>BC，
∴AC2-BC2=CD2
由(2)得：AD=BC
∵DE//BC，
∴∠1=∠B，
∵∠AGD=∠CDB=90°
∴△AGD≌△CDB(AAS)
∴DG=BD，
∵DE//BC.
∴∠AED=∠ACB，∠ADE=∠ABC
∵AB=AC
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠AED=∠ADE
∴AD=AE，
∴AB-AD= AC-AE，
∴CE=BD，
∴DG=BD=CE
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：(1)如图，ABC是等腰直角三角形，AC=BC，
∵AB2-AC2=BC2=AC2，且CA是CB边上的高，
∴等腰直角三角形是勾股高三角形
故答案为：是.
【分析】(1)根据勾股高三角形的定义，即可求解；
(2)根据勾股定理，以及勾股高三角形的定义，可得AC2-AD2=AC2-BC2，即可求解；
(3)过点A作AG⊥DE于点G，根据勾股高三角形的定义，可得AC2-BC2=CD2，再证明△AGD≌△CDB，可得DG=BD，然后根据等腰三角形的判定和性质可得AD=AE，从而得到DG=BD=CE，即可求解.
1 / 1《勾股定理》精选期中压轴题——浙教版数学八年级上册复习
一、单选题
1． 赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，连接与相交于点M，延长交于点N，若M是的中点，，则的长（　　）
A． B． C．2 D．
2．中国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理.如图，已知正方形ABCD和正方形 BEFG，A，B，E三点在一条直线上.现将其裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形CHIE.若正方形 ABCD 和正方形BEFG的面积之和为260，阴影部分的面积为148， 则AE的长为(　　)
A．22 B．20 C．18 D．16
3．如图，中，，，．分别以，，为边在的同侧作正方形，，，四块阴影部分的面积分别为，，，，则等于（　　）
A．48 B．72 C．90 D．96
4．如图，Rt中，，分别以的三边为直角边作三个等腰直角三角形：，若图中阴影部分的面积是，则的大小可以用，表示为（　　）
A． B． C． D．2
5．如图是一个卡通头像，其脸部是正方形ABCD，帽子右侧是以AD为斜边的Rt△AFD，帽子左侧是△ABE. 若AE=AF=5， AE⊥AF， S△ABE+S△ADF=40，则正方形ABCD 的边长为(　　)
A．9.5 B．9 C． D．
6． 如图放置的，都是以为直角顶点的三角形，点都在直线上，，点在轴上，，则点的坐标是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图1，以直角三角形的各边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置在大正方形内，记四边形ABCD面积为S1，四边形CDEG的面积为S2，四边形GFKH的面积为S3，四边形CGHP的面积为S4，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（　　）
A．S1 B．S2 C．S3 D．S4
8．勾股定理是几何学中的“明珠”.如图1，以直角三角形 ABC的各边为边分别向外作等边三角形，再把较小的两个等边三角形按图2的方式放置，四个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，S4，若已知△GHI的面积，则能求下列哪个代数式的值(　　).
A． B． C． D．
9．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正三角形，再把较小的两张正三角形纸片按图2的方式放置在最大的正三角形内，，，四边形的面积分别记为，，，若已知，，，则两个较小正三角形纸片的重叠部分（）的面积为（　　）
A．6 B．8 C．9 D．10
10．某同学类比勾股定理的证明过程，利用三个含有的全等三角形纸片（如图①）拼成一个正三角形（如图②），即．连接，，，若长是2，的面积是，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若 ， ，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是　 　．
12．如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点，若正方形的面积为，，则与的面积差是　 　．
13．如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连接AC，交BE于点P，若正方形ABCD的面积为28，AE+BE=7，则△CFP与△AEP的面积差是　 　.
14．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为直径，向外作四个半圆，记四个半圆面积分别为，，和，若，，，则的值是　 　．
15．【文化欣赏】如图1，“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形．
【尝试探究】如图2，以正方形的边为斜边向外作，以直角边，为边向外分别作正方形，正方形，连结，过点E作直线于点P，交于点Q，若，，则的长是　 　．
三、综合题
16． 如图1，和都是等腰直角三角形，，D为外一点，，A，C，E三点不共线，连结AD，AE，BD，BE，AE与BD交于点F
（1） 求证：；
（2） 当时，求的度数；
（3） 如图2，当时，，，求四边形ABED的面积.
17．若一个三角形存在两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形，现在，我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点.例如：图1，在△ABC中， ，则△ABC为勾股高三角形，其中 C为勾股顶点，CD 是AB边上的高
（1）●特例感知：等腰直角三角形 　 　勾股高三角形(请填写“是”或者“不是”)；
（2）●深入探究：如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且(CA>CB，CD是AB边上的高.试探究线段AD与CB 的数量关系，并给予证明；
（3）●推广应用： 如图3， 等腰△ABC为勾股高三角形， 其中AB=AC>BC， CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E.若( 试求线段DE的长度.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】如图所示，连接HM.
四边形EFGH是正方形
四边形ABCD是正方形
、且
解得：
故正确答案为：C
【分析】由正方形的性质知DH垂直AE、CG垂直DH，由于点M平分DE，则连接HM，可得HM是直角三角形DHE的斜边DE上的中线，则HM＝DM，再由线段垂直平分线的性质定理得DG＝HG，再由全等三角形的性质结合正方形的性质可得AH＝DG＝HG＝HE，则DH垂直平分AE，同理可得DE＝AD，再由等腰三角形三线合一知DH平分，则由正方形的对边平行结合对顶角相等可得等于等于，再由全等三角形的对应角相等可得，等量代换可得，由等角对等边可得EN＝BN，再由正方形的性质可得DE＝AD＝AB＝DC＝CB＝8，则DN＝8+EN、CN＝8-EN，再在直角三角形DCN中应用勾股定理即可求得EN＝2.
2．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图：
设BC=b，EF=a，
∵四边形BEFG、四边形CHIE和ABCD都是正方形，
在 和 中，
∵将正方形ABCD和正方形BEFG裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形CHIE，
-ab=148，
484，
即a+b=22，
故答案为：A .
【分析】设BC=b，EF=a，根据正方形的性质及ASA得 进而可得 ab，将正方形ABCD和正方形BEFG裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形CHIE得 ，再利用面积的数量关系即可求解.
3．【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴
∴
∴，
∵，，
∴，
故答案为：B．
【分析】先根据勾股定理得到，从而结合图形得到，然后根据正方形性质得到，，求出，进而证出，于是得出，则，得出，最后利用三角形面积公式即可得出答案．
4．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，
∵都是等腰直角三角形，
∴，
设，
∵，即，
∴，
∴，
解得．
故答案为：B．
【分析】由题意易得，设，然后根据勾股定理得，则，进而根据三角形面积公式得，结合图形，利用割补法可得，整理可得结论.
5．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：
如图，四边形ABCD是正方形，过点B作BG⊥EA，交EA的延长线于点G，得到直角∠BGE=90°。
根据正方形性质：∠BAD=90°，AB=AD。
由AE⊥AF可得：∠FAG=∠BAD=90°。
通过角度关系推导：
∵ ∠BAG+∠DAG=∠BAD，
∠DAG+∠DAF=∠FAG，
∴ ∠BAG=∠DAF，
可证△ABG≌△ADF（AAS），
根据全等性质：BG=DF，S△ABG=S△ADF。
由已知S△ABE+S△ADF=40，建立方程：
代入AE=AF=5得DF=8，
最后用勾股定理求AD=
故答案为：。
【分析】
通过构造辅助线BG⊥EA，证明三角形全等，利用面积关系建立方程求得DF=8，最后运用勾股定理求出正方形边长AD=。
6．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；探索规律-点的坐标规律；直角三角形的两锐角互余；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】如图，过点A1作x轴的垂线段A1C，设A1的坐标为.
，即B1、A1、C三点共线
轴
同理：，
当时，，即
故正确答案为：D
【分析】过点A1作x轴的垂线段A1C，由直线上点的坐标特征可设点，则由直线上两点间的距离可得OA1＝2x，则由直角三角形中30度角的性质可得，再由直角三角形两锐角互余可得，再由互为余角可得，再利用直角三角形中30度角的性质结合勾股定理可得，进而可得点，再由已知可利用HL判定，则可得，即B1、A1、C三点共线，则可得点，同理可依次得，，，再把代入计算即可.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设大正方形面积为c，中正方形面积为b，小正方形面积为a，则：
S1+S阴=0.5（c-a）
S1+S2=0.5b
因为图一通过勾股定理可知，a+b=c，
所以S1+S阴=S1+S2=0.5b，S阴=S2
故答案为：B.
【分析】初中图形面积转化问题涉及到一系列知识点，其中包括几何学和代数学的内容：
复合图形的面积： 问题可能涉及到由多个基本图形组成的复合图形，学生需要学会将复合图形分解成基本图形，并计算各个部分的面积，最后合并得到整体的面积；
相似图形的面积关系： 如果两个图形相似，那么它们的面积之比等于它们的边长之比的平方。这个概念在解决一些图形面积转化问题时可能会用到；
面积的增加和减少： 问题可能涉及到在图形上增加或减少一些部分，学生需要理解这种变化对整体面积的影响；
图形的相对位置： 学生需要理解图形的相对位置，如重叠、相离、内含等，这对于正确计算图形的面积至关重要.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：如图，
由勾股定理可知，两个小等边三角形的面积之和等于大等边三角形面积之和，
即
四边形EGIJ =
∵△GHI的面积是已知的，
∴代数式 的值能求出，
故答案为：A .
【分析】由题易知两个小等边三角形的面积之和等于大等边三角形面积之和，进而利用等面积可得 即可得解.
9．【答案】C
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图1，
过点M作于点N，设直角三角形的三边长为，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
同理可得：另外两个等边三角形的面积为，
由勾股定理可得：，
∴，
∴；
故选C．
【分析】
如图，分别设三角形的三边为a、b、c，则由等腰三角形三角形三线合一可得三个等边三角形在面积分别为，再由割补法可得阴影部分面积等于重叠部分面积．
10．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图②，过点作于点，过点作，交延长线于点，
∵，，
∴，，，，，
∴，
∴在中，，
∵是等边三角形，
∴，
∴
，
∴在中，，
∴，
∴，
同理可得：，
在和中，
，
∴，
∴，，
同理可证：，
∴，，
∴，
又∵，，
∴是等边三角形，
如图②，过点作于点，
则，
∴，
∴，
∵的面积是，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】过点作于点，过点作，交延长线于点，即可得到和，然后利用含30度角的直角三角形的性质得到，即可得到，然后推理得到，即可得到，，过点作于点，求出的面积是，即可得到解题即可．
11．【答案】76
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设将 延长到点 ，连接 ，
根据题意，得 ， ．
，即
这个风车的外围周长是 ．
故答案为：76．
【分析】通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长．
12．【答案】
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：正方形的面积为，
，
设，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
∵四边形EFGH是正方形，
，
，
∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，
，
，
，
，，
，
，
则的值是；
故与的面积差为；
故答案为：.
【分析】根据勾股定理及正方形ABC的面积为28建立方程得出2x2-14x=-21；由正方形对边平行得AH∥CF，由二直线平行，内错角相等得∠EAP=∠GCM，由全等三角形的对应边相等得AE=CG，从而由“ASA”可证△AEP≌△CGM，则，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，由S正方形EFGH=S正方形ABCD-4S△AEB，结合整体代入可得结论．
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形全等的判定-ASA；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的面积为28，
∴，
在Rt△ABE中，由勾股定理得，
∵AE+BE=7，
∴，
∴AE·BE.
∴.
如图，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH//FG，EF//GH，∠FEH=∠FGH=90°，EH=FG=EF=GH，
∴∠PAE=∠QCG，∠AEP=∠CGQ=90°，
∵AH=CG，
∴AE=AH-EH，CG=CF-FG，
∴AE=CG，
∴△AEP△CGQ，
∴，EP=GQ，
∴，
∵EF=GH，PF=EF-EP，HQ=GH-GQ，
∴PF=HQ，
∴.
∴△CFP与△AEP的面积差是.
故填：.
【分析】观察图形，根据题意可证明△AEP△CGQ，则△CFP与△AEP的面积差等于的面积，也是正方形EFGH面积的一半；已知正方形ABCD的面积和AE+BE=7，根据勾股定理和完全平方和变形公式，求得AE·BE的值，从而求出正方形EFGH的面积.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：设，
则，解得；
，解得；
；
．
∵，
∴，
即，
由，得，化简得；
将，，代入；
即，解得，则；
∴；
故答案为．
【分析】本题考查勾股定理和半圆面积公式，由半圆面积公式表示出各边的平方，再利用“直角三角形中两直角边平方和=斜边平方，结合S4与S3关系求解.
15．【答案】19.8
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；矩形的判定与性质；勾股树模型
【解析】【解答】解：如图，设与交于点，延长交于点K，
则，，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为矩形，
，
在中，，，
，
，
，，
，
在中，，
即，
，
，，，
，
，
，
．
故填：．
【分析】令与交于点，延长交于点K，先证出四边形为矩形，根据矩形的性质得出，利用勾股定理求出的长度，再求出的长度，利用三角形的等面积法求出的长度，通过证出，得出，从而求得的长度，利用即可求出PQ的长.
16．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵△CDE是等腰直角三角形，
∴，
∵
∴
∴△ADE是直角三角形，，
∴
（3）解：过点D作C于点G，AE与BC相交于点H A
由题意可得，)..
∵，
∴
∴
∴， E D
∴，
在Rt△CDG中，根据勾股定理可得，
∴
在Rt△BDG中，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】
（1）由旋转全等模型可证，即；
（2）先由（1）知，再由等腰三角形的性质结合勾股定理可得，则由勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，且，由于，再由角的和差关系可得等于；
（3）先由全等的性质结合三角形的外角性质可得，则四边形ABED的面积等于，此时再过点D作BC的垂线段交BC延长线于点G，则可判定是等腰直角三角形，再由勾股定理可得DG=CG=1，再由勾股定理可得即可.
17．【答案】（1）是
（2）解：AD=BC，
证明如下：
∵△ABC为勾股高三角形，CD是AB边上的高，CA>CB
∴AC2-BC2=CD2，
∵AC2-AD2=CD2
∴AC2-AD2=AC2-BC2，
即AD2=BC2，
∴AD=BC
（3）解：如图，过点A作AG⊥DE于点G，
∵△ABC为勾股高三角形，CD是AB边上的高，AB=AC>BC，
∴AC2-BC2=CD2
由(2)得：AD=BC
∵DE//BC，
∴∠1=∠B，
∵∠AGD=∠CDB=90°
∴△AGD≌△CDB(AAS)
∴DG=BD，
∵DE//BC.
∴∠AED=∠ACB，∠ADE=∠ABC
∵AB=AC
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠AED=∠ADE
∴AD=AE，
∴AB-AD= AC-AE，
∴CE=BD，
∴DG=BD=CE
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：(1)如图，ABC是等腰直角三角形，AC=BC，
∵AB2-AC2=BC2=AC2，且CA是CB边上的高，
∴等腰直角三角形是勾股高三角形
故答案为：是.
【分析】(1)根据勾股高三角形的定义，即可求解；
(2)根据勾股定理，以及勾股高三角形的定义，可得AC2-AD2=AC2-BC2，即可求解；
(3)过点A作AG⊥DE于点G，根据勾股高三角形的定义，可得AC2-BC2=CD2，再证明△AGD≌△CDB，可得DG=BD，然后根据等腰三角形的判定和性质可得AD=AE，从而得到DG=BD=CE，即可求解.
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