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《三角形的综合》精选期中压轴题——浙教版数学八年级上册复习
一、单选题
1． 如图， 点E在△DBC边DB上， 点A在△DBC内部， ∠DAE=∠BAC=90°， AD=AE，AB=AC，给出下列结论，其中一定正确的所有序号是(　　)
①BD=CE； ②BE=DE； ③BD⊥CE； ④∠ECB+∠ABD=45°
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①③
2．如图，是的角平分线，，，，P，Q分别是和上的任意一点，连接，，，，给出下列结论：
①；
②；
③的最小值是；
④若平分，则的面积为9．
其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
3．如图，点在边上，点在内部，，，，给出下列结论，①；②；③；④其中一定正确的所有序号是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①③
4．如图，在△ABC中，AB =AC，∠BAC =120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP =OC有下列结论：①∠APO +∠DCO =30°；②∠APO =∠DCO；③△OPC是等边三角形； ④AB =AO+AP.其中正确的是(　　)
A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④
5．如图，在△ABC中， AB=AC， CM 平分∠ACB，与AB 交于点M ， AD⊥BC于点D， ME⊥BC于点E， MF⊥MC 与BC交于点F， 给出下列结论： ①∠AMC=3∠ACM； ②若CF=7， 则 其中下列判断正确的是（　　）
A．①错， B．对B. ①，②都对
C．①对，②错 D．①，②都错
6． 如图， 等腰三角形ABC， AB=AC， ∠BAC=120°， AD⊥BC于点D， 点P是BA 延长线上一点， 点O 是线段 AD上一点， OP=OC， 以下结论： ①∠APO+∠DCO=30°； ②△OPC是等边三角形； ；④；⑤，其中正确个数是(　　)
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
7．如图，在纸片中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E是边AC的中点，连结DE，连结BE交AD于点F，此时∠CAD=∠CBE，下列结论中：①BE平分∠ABC；AD2+CD2=4DE2；③∠CDE=∠ABE+∠BAD；④若记△ABF 的面积为S△ABF，△BDE的面积为S△BDE，则 S△ABF=S△BDE，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题
9．如图，在四边形中，，，，点在边上，连接．若，且平分，则的长为　 　．
10．如图，在△OAB和△BCD中，OA=OB=3，CB=CD=1，∠AOB =∠BCD =90°.连结AD，取AD的中点E，连结OE.将△BCD绕点B按顺时针方向旋转，当点O，C，B在同一直线上时，OE的长为　 　.
11．如图，在中，，为延长线上一动点，以为直角边在的右侧作等腰直角，连结，交直线于点，若，则的长为　 　．
12．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N. CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点，则下列结中，①∠AMD=45°；②MC+EM=NE；③EM：MC：NE=1：2：3；④S△ACD=2S△DNE·正确的序号是　 　.
13．如图，在中，，，，点是边上的一点，且，点是边上一个动点，连接．现以为一边在右侧作等边，连接．
（1）当点与点重合时，　 　．
（2）在点运动过程中，线段的最小值为　 　．
14．如图，在中，的垂直平分线相交于点，连接，，．
（1）若，，则的度数为　 　．
（2）若，则的度数为　 　．
三、综合题
15．如图，在中，，，把沿着直线翻折得到，过点作交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，是以为腰的等腰三角形，求此时的长；
（3）若，且，求的值．
16．
（1） 如图1， 点 P 是∠AOB的内部任意一点， 垂足分别是M、N， D是OP 的中点.
①若MD=5， 则 DN= ▲
②求证： ∠MDN=2∠MON.
（2） 如图2， 若P是∠AOB的外部任意一点，1 垂足分别是M、N，D是OP的中点.问∠MDN与∠MON 有何数量关系，并说明理由.
17．
（1）如图1，若和均为等腰直角三角形，．点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接．
①求证：．
②求的度数以及线段，，之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，在四边形中，，，，求的长．
18． 已知：如图1， △ABC≌ △ABD， ∠ACB=∠ADB=90°，∠ABC=∠ABD=30°，AB=4， E为平面内直线CD右侧一点.
（1）求△ACD的面积.
（2）当E在AB上且△ECD与△ACD面积相等时，求证：点E为AB的中点.
（3）如图2，当△CDE的面积为时，则BE-CE的最大值=　 　.
19． 如图1， 在△ABC中， ∠BAC=90°， AB=AC， D是AB边上不与A， B重合的一个定点. AO⊥BC于点O， 交CD于点E， FD⊥CD且CD=FD， FD， CA的延长线相交于点M.
（1）求证： ∠BAO=∠DFC；
（2）求∠ABF 的度数；
（3）如图2， 若N是AF 的中点， 求证： ND=NO.
20．（1）如图1，点是的内部任意一点，．垂足分别是是的中点．
①若，则__________．
②求证：．
（2）如图2，若是的外部任意一点，，垂足分别是、是的中点．问与有何数量关系，并说明理由．
21．（1）【数学思考】在数学活动课上．老师让同学们就三角形的中线进行进一步的探究：如图1，是的中线，，求中线的取值范围．小聪同学延长至点，使，连接．最后求得了的取值范围，请你帮他写出求解过程．
（2）【深入探究】如图2，中，点，在边上，，过点作，交的角平分线于点，求的长．
（3）【拓展延伸】如图3，在中，，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，求的长．
22．如图1， P是等边 内一点，连结AP，BP.将线段BP绕点 B顺时针旋转( 得到线段BP'，连结CP'.
（1） 求证：
（2） 如图2， 连结(CP，PP'.
①当 且 为等腰三角形时，求出 的度数.
②当PB=2，AB=6，且 '时，请直接写出点A 到点 P'的距离.
23．
（1）【图形感知】
如图1， 等腰Rt△AOB中， ∠AOB=90°， l是过O点在∠AOB 内部的一条射线， 过A作AC⊥l于点C， 过B作BD⊥l于点D， 若AC=2， CD=3， 求BD 的长.
（2）【问题探究】
如图2，在等腰Rt△ABD中，∠BAD=90°，C是BD下方一点，连结BC、AC、CD，若 AC=10， △ACD 的面积为40， 求△ABC的面积.
（3）【拓展启思】
如图3， 在△ABC中，. D是边AB上的点， E、F是边AC上的点， DF∥BC， ∠EDF=30°.若CE=2AD， G是AB 上一动点， 连接FG、CG，求FG+CG的最小值.
24．在等腰直角．
（1）如图1，D，E是等腰直角斜边上两动点，且，将绕点A逆时针旋转得到，连接．
①求证：；
②当时，求的长．
（2）如图2，是等腰直角斜边所在直线上的一动点，连接，以为直角顶点作等腰直角，当时，则　 　．
25．和是两个等腰直角三角形（）的三角板．
（1）【问题初探】当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，在同一直线上，连接，请证明：；
（2）【类比探究】当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】如图（3），在四边形中，，连接，，点A到直线的距离为5，请求出的面积．
26．如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，可以证明，我们将这个模型称为“一线三直角”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题：
（1）如图2，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A坐标为，C的坐标为，则点B的坐标为_______；
（2）如图3，在平面直角坐标系中，等腰，与y轴交点D，点C的坐标为，A点的坐标为，求点B的坐标．
（3）如图4，等腰，，当点C在x轴正半轴上运动，点在y轴正半轴上运动，点在第四象限时，作轴于点D，请直接写出a，m，n之间的关系．
27． 请阅读下面的材料.
（1）问题： 如图1，若∠A =60°，∠ACB =90°，CD平分∠ACB，探究图中线段BC，AC，AD之间的数量关系.
小明同学的思路是：如图2，在BC上截取CE =CA，连接DE，先证 可得AD=DE，再证BE=DE，可得出结论，他的结论是　 　(直接写出结论，不需要证明).
（2）变式：如图3，在四边形ABCD中，点E是BC的中点，若AE平分 请你探究图中线段AB，AD，CD之间的数量关系并证明.
（3） 拓展： 如图4，在△ABC中，和 的平分线交于点P，点M，N分别为AB，AC上的点，且点P为MN中点，若BM=8，CN=1.5，MN=7，求BC的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠DAE+∠EAB=∠BAC+∠EAB，
∴∠DAB=∠EAC，
∵AD=AE，AB=AC，
∴△DAB △EAC(SAS)
∴BD=CE，故正确；
∴∠ABD=∠ECA，
∵∠BAC=90°，AB=AC
∴∠ABC=∠ACB=45°
∴∠ABD+∠ECB=∠ECA+∠ECB=∠ACB=45°，故④正确；
∵∠EBC+∠ECB=∠ABD+∠ECB+∠ABC=45°+45°=90°，
∴∠CEB=90°
∴CE⊥BD，故③正确；
无法判断BE=DE，故②错误；
∴正确的是①③④，
故答案为：C .
【分析】利用“SAS”证明△DAB △EAC，然后根据性质即可判断①结论；利用全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质，即可判断④结论；利用全等三角形的性质进行等角替换，即可判断③结论；无法判断②结论.
2．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形三边关系；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：①∵，是的角平分线，
∴，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
在 APQ中，，
∴，
∴原结论正确；
②∵，
∴，，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴原结论正确；
③由①可得，，
∴当最小时，最小，
过点A作于点M，如图所示：
当点P在与交点上时，，且最小值为，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的最小值是，
∴原结论错误；
④过点P作于点N，如图所示：
∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴原结论正确；
综上可得，正确的有①②④．
故答案为：B.
【分析】
①根据等腰三角形的性质“等腰三角形的三线合一”可得垂直平分，由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得，再根据三角形三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边”即可求解；
②根据角平分线的定义，平行线的性质、等腰三角形的性质，证明，，得出，，即可得出结论；
③过点A作于点M，当点P在与交点上时，，此时最小，且最小值为，根据等积法求出即可；
④过点P作于点N，得出，求出，即可求出结果．
3．【答案】C
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，故①正确；
∵△DAB≌△EAC，
∴，
∵，，
∴，
∴，故④正确；
∵，
∴，
∴，故③正确；
无法判断，故②错误；
∴正确的是①③④，
故答案为：C．
【分析】根据角的构成及等式性质推出∠DAB=∠EAC，从而利用“SAS”判断出△DAB≌△EAC，由全等三角形的对应边相等得BD=CE，据此可判断①；由全等三角形的对应角相等得∠ABD=∠ECA，由等腰直角三角形的性质得∠ABC=∠ACB=45°，由角的构成、等量代换可推出∠ABD+∠BCE=45°，据此可判断④；进而根据三角形的内角和定理推出∠CEB=90°，据此可判断③；根据已知条件无法判断②结论.
4．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：
①如图，连接OB，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD=
∴OB=OC，∠ABC=90°-∠BAD=30°
∵OP=OC，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；
故①正确；
②由①知：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∵点O是线段AD上一点，
∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，
故②不正确；
③∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，
∴∠APC+∠DCP=150°，
∵∠APO+∠DCO=30°，
∴∠OPC+∠OCP=120°，
∴∠POC=180°-（∠OPC+∠OCP）=60°，
∵OP=OC，
∴△OPC是等边三角形；
故③正确；
④如图，在AC上截取AE=PA，连接PE，
∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，
∴∠APO=∠CPE，
∵OP=CP，
可证△OPA≌△CPE，
∴AO=CE，
∴AB=AC=AE+CE=AO+AP；
故④正确；
本题正确的结论有：①③④.
故答案为：A .
【分析】 ①利用等边对等角，即可证得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此即可求解；
②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断；
③证明∠POC=60°且OP=OC，即可证得△OPC是等边三角形；
④首先证明△OPA≌△CPE，则AO=CE，AB=AC=AE+CE=AO+AP．
5．【答案】B
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵ CM 平分∠ACB，
∴∠ACD=2∠ACM=2∠BCM，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACD=2∠ACM，
∴∠AMC=∠B+∠BCM=3∠ACM，故①正确；
取CF的中点N，则FC =2MN，过点M作MG∥BC交AD与G，交AC与H，过点H作HP⊥BC交BC与P.
∵ ME⊥BC， AD⊥BC， AB=AC，
∴ME∥GD， BD=DC，
∵MG∥DE，
∴四边形MEDG是平行四边形，
∵ ∠MED=90°，
∴四边形MEDG是矩形，同理四边形GDPH是矩形，
∴ME=HP，
∴△BME≌△CHP，
∴ BE=CP，
∴ DE=DP，
∴ MH=EP=2DE
∵ MN=CN，
∴ ∠NMC=∠NCM=∠MCH，
∴ MN∥CH， ∴ MH∥CN，
∴四边形MNCH是平行四边形，
∵ MN=CN，
∴四边形MNCH是菱形，
∴ MN=MH
∴ MN=2DE，
∴ FC=4DE，
又∵ CF=7，
∴故②正确
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的定义和等边对等角得到∠B=∠ACD=2∠ACM，然后根据三角形的外角得到 ∠AMC=3∠ACM判断①；取CF的中点N，则FC =2MN，过点M作MG∥BC交AD与G，交AC与H，过点H作HP⊥BC交BC与P，得到四边形MEDG，GDPH是矩形，然后证明△BME≌△CHP，即可得到BE=CP，进而证明MNCH是菱形，即可得到DE长判断②解答即可.
6．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图， ①连接OB，
∵AB=AC， BD=CD，
∴AD是BC垂直平分线，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO =∠ABO， ∠DBO =∠DCO，
∵∠ABO+∠DBO=30°，
∴∠APO+∠DCO=30°.故①正确；
②∵△OBP中， ∠BOP =180°-∠OPB-∠OBP，
△BOC中， ∠BOC =180°-∠OBC-∠OCB，
∴∠POC =360°-∠BOP-∠BOC=∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB，
∵∠OPB =∠OBP， ∠OBC =∠OCB，
∴∠POC =2∠ABD = 60°，
∵PO=OC，
∴△OPC是等边三角形，故②正确；
③在AB上找到Q点使得AQ = OA， 则△AOQ为等边三角形，
则∠BQO=∠PAO=120°，在△BQO和△PAO中，
∴△BQO≌△PAO(AAS)，
∴PA=BQ，
∵AB=BQ+AQ，
∴AC = AO+AP， 故③正确；
④作CH⊥BP，
∵∠HCB=60°， ∠PCO=60°，
∴∠PCH=∠OCD，
∵△OPC是等边三角形，
∴OC=CP，
在△CDO和△CHP中，
∴△CDO≌△CHP(AAS)，
，
∴CH=CD，
∵CD=BD，
∴BD=CH，
在Rt△ABD和Rt△ACH中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACH(HL)，
∵四边形OAPC面积=
，
∴四边形OAPC面积.故④正确.
⑤∵AB=AC， ∠BAC =120°，
∴∠B=30°，
∴AB=2AD=2(AO+OD)=2AO+2OD，
∴当AO=2OD时结论才成立，
∴AB不一定等于3AO， 故⑤错误.
故选： B.
【分析】①连接OB，根据垂直平分线性质即可求得OB=OC=OP， 即可解题；②根据周角等于360°和三角形内角和为180°即可求得∠POC = 2∠ABD=60°， 即可解题；③AB上找到Q点使得AQ =OA， 易证△BQO ≌△PAO， 可得PA= BQ， 即可解题；④作CH⊥BP， 可证△CDO≌△CHP和Rt△ABD≌ Rt△ACH，根据全等三角形面积相等即可解题；⑤根据∠BAC=120°， 可得∠B=30°， 进而可得AB=2AD=2(AO+OD)=2AO+2OD， 故当AO=2OD时结论成立.
7．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接，过点作于E，于F，如图所示，
则，
由折叠可知，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵平分，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
即．
故答案为：D.
【分析】先根据折叠的性质得到是等边三角形，进而得到，利用全等三角形的判定HL证出，得到，再利用三角形内角和定理求出即可.
8．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵ AD⊥BC ，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵ ∠CAD=∠CBE，
又∠AFE=∠BFD，
∴∠AEB=∠ADB=90°，
即BE⊥AC，
∵ 点E是边AC的中点，
∴AB=BC，
∴ BE平分∠ABC，即①正确；
∵∠ADC=90°， 点E是边AC的中点，
∴DE=， AD2+CD2=AC2，
∴ AD2+CD2=4DE2，即②正确；
由①②知，∠ABE=∠CBE，∠DAE=∠ADE，
又 ∠CAD=∠CBE，
∴∠ABE=∠ADE，
又∵∠AFB=∠DFE，
∴∠BAD=∠BED，
∴∠CDE=∠CBE+∠BED=∠ABE+∠BAD，即③正确；
∵ S△ABF=， S△BDE =，
∵BF>BD，AE=CE，
∴ S△ABF>S△BDE，即④错误；
故答案为：A.
【分析】根据 AD⊥BC 、三角形内角和定理、勾股定理知BE⊥AC，从而知①②正确；结合题意，根据三角形内角和定理及外角性质知③正确；根据“直角三角形中斜边大于直角边”及三角形面积公式知④不正确.
9．【答案】7
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点B作于点M，作，交的延长线于点N，
∴，
∵平分，
∴，，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
即，
在中，
，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在四边形中，
∵，
∴°，
∴，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
故答案为：7．
【分析】如图，过点B作于点M，，交的延长线于点N，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得BM=BN，由角平分线的定义得∠3=∠4，设，则，∠2=2，根据等边对等角得，在中，由三角形的内角和定理求得，继而得到；在中，由直角三角形两锐角互余推出，由含30°角直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，；由四边形的内角和定理推出∠MBN=60°，由等式性质推出∠5=∠6，从而由“ASA”证△BEM≌△BCN，由全等三角形的对应边相等得BE=BC=7，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形推出△BCE是等边三角形，进而根据等边三角形的三边相等即可得出CE的长．
10．【答案】或
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；等腰直角三角形；线段垂直平分线的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：
①当点C在OB的延长线时，连接BE，设OE交AB于点F，如图1所示：
在△OAB中，OA=OB=3，∠AOB=90°，
∴∠OBA=45°，
由勾股定理得：AB=，
在△BCD中，CB=CD=1，∠BCD=90°，
∴∠CBD=45°，
由勾股定理得：BD=，
∵点O，C，B在同一直线上时，
∴∠ABD=180°-（∠OBA+∠CBD）=90°，
∴△ABD是直角三角形，
∵点E是AD的中点，
∴BE是Rt△ABD的斜边AD上的中线，
∴BE=AE=DE=，
∴点E在线段AB的垂直平分线上，
又∵OA=OB=3，
∴点O在线段AB的垂直平分线上，
∴OE是线段AB的垂直平分线，
∴OE⊥AB，
∴∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠ABD=90°，
∴EF∥BD，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF=，
又∴OE⊥AB，
∴OF=AF=BF=，
∴OE=EF+OF=；
②当点C在线段OB上时，过点O作OH⊥AB于点H，如图2所示：
∵CB=CD=1，∠BCD=90°，
∴△CBD是等腰直角三角形，
∴点D在线段AB上，
同①可得，AB=，BD=，
由三线合一得AH=，
∵AD=AB-DB=，
∵E为AD中点，
∴AE=，
∴EH=AH-AE=，
∵△OAB为Rt△，H为AB中点，
∴OH=AH=HB=12AB=322，
由勾股定理，得；
综上，OE=或
故答案为： 或.
【分析】先利用勾股定理可求得AB=，BD=，由分类讨论得到图1和图2两种不同情况，在图1中，先证明OE垂直平分AB，利用直角三角形斜边上中线的性质可求OF，由三角形中位线性质可求FE，从而得到OE的长；在图2中，根据EH=AH-AE，求得EH的长，再由直角三角形斜边上中线的性质求得OH长，从而利用勾股定理得到OE长.
11．【答案】或
【知识点】三角形的面积；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）在线段上．
过作交的延长线于点，如图：
由作图可知，，
，
又为直角边在的右侧作等腰直角，
，
，
，
，
，
又，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
．
（2）在的延长线上．
过作于，如图所示：
同（1）得：，，
，，，
，
，
，
即，
，
，
，
，
．
故答案为：或．
【分析】分两种情况：（1）在线段上； 过作交的延长线于点，首先用“ASA”判断出△ACP≌△QNA，由全等三角形的对应边相等得QN=AC=BC=2，AN=PC；再用“ASA”证△QNM≌△BCM，由全等三角形的对应边相等得CM=MN，由等底三角形面积之间的关系就是对应高的关系得出BP=3AM，据此结合线段的和差建立方程求出AM，进而求出BP、最后根据CP=BP-BC可得答案；（2）在的延长线上．过作于，解法同（1），综上，可得答案.
12．【答案】①②③
【知识点】三角形的面积；等腰直角三角形；旋转全等模型
【解析】【解答】解：如图所示，过点D分别作BM和AC的垂线段DF、DG.
、
，故 ① 正确；
，故 ② 正确；
，故 ③ 正确；
四边形DFMG是正方形
、
，故 ④ 错误.
故答案为：①②③ .
【分析】如图所示，过点D分别作BM和AC的垂线段DF、DG.
先证明△DBC是等腰直角三角形，再利用旋转全等模型证明，则可得DN=DM，即，再利用两角互余可得 ① 正确；过点D作MN的垂线段DF，由等腰三角形三线合一可得DF是斜边MN上的中线，则DF=NF=MF，再结合BE平分CD可证明，则EM=EF、CM=DF，再等量代换即可得 ② 正确；由 ② 的结论可得NE是EM的3倍，CM是EM的2倍，即 ③ 正确；过点D作AC的垂线段DG，则可得四边形DFMG是正方形，再利用旋转全等模型可证，则AG=EF，再由正方形的性质结合等量代换得AC=5EF、NE=3EF，DG=DF，再利用三角形的面积公式可得，故 ④ 错误.
13．【答案】；6
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）如图所示：当点E与点B重合时，过点F作于点Q，
∵为等边三角形，，，
∴，，
∴在Rt△DFQ中，由勾股定理可得，，
∵，
∴，
∴在Rt△CFQ中，由勾股定理可得，；
故答案为：；
（2）如图所示：以为边在上方作等边三角形，连接，过点M作于点P，于点N，
∵和为等边三角形，
∴∠MDC=∠FDE=60°，CD=DM，DE=DF，
∴∠MDC+∠MDF=∠FDE+∠MDF，
即∠FDC=∠MDE，
在△CDF和△MDE中，
∴△CDF≌△MDE（SAS），
∴，
∴当最小时，最小，
由垂线段最短可知，最小，
∴当点E与点N重合时，最小，即最小，
∵，，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴MN=BP，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴MN=6，
∴的最小值为6，
故答案为：6．
【分析】（1）当点E与点B重合时，过点F作于点Q，根据等边三角形的性质得出，，再根据勾股定理求出，，即可得出答案；
（2）以为边在上方作等边三角形，连接，过点M作于点P，于点N，进而证明可得，即可知当最小时，最小，再根据垂线段最短，得出最小，即当点E与点N重合时，最小，此时最小，进而即可得出答案．
14．【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；邻补角；多边形的内角和公式；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】
解：（1） 的垂直平分线相交于点
即：
（2）
【分析】
（1）由线段的垂直平分线的性质可得HA＝HB＝HC、由等边对等角得，再由三角形的内角和可得，再代值计算即可；
（2）先由（1）可得，即与互余，则可得，再由线段垂直平分线的概念可得，再由四边形的内角和可得，再由邻补角的概念可得，即有.
15．【答案】（1）解：根据折叠的性质可知，∠ABP=∠ABC，
∵AE∥BC，
∴∠EAB=∠ABC，
∴∠ABP=∠EAB，
∴AD=BD.
（2）解：由（1）可知，AD=BD，
∵AD=10，
∴BD=10，
∵△BDE是以BD为腰的等腰三角形，
∴分两种情况讨论：
①当BD=ED时，则AE=AD+DE=2AD=10，
②当BD=BE时，
过点B作BF⊥AE于点F，如图所示：
则∠BDF=90°，
根据折叠的性质可知，∠P=∠C=90°，AP=AC=8，
∴∠P=∠BDF=90°，
在△BDF和△ADP中，
，
∴△BDF≌△ADP（AAS），
∴BF=AP，
在Rt△BDF中，DF==6，
根据等腰三角形三线合一可知，DE=2DF=12，
∴AE=AD+DE=22，
综上所述，AE的长为或.
（3）解：过点作于点，如图所示：
则∠BFD=90°，
∵∠C=90°，
∴∠BFD=∠C，
∵AE∥BC，
∴∠EAB=∠ABC，
在△ABF和△BAC中，
，
∴△ABF≌△BAC（AAS）
∴BF=AC，BC=AF，
∴BF=AP，BC=PB，
，
，
，
设，，
，
，
∴==90°，
，
，
∴BD=DE，
∵AD=BD，
∴AD=DE=6x，
∴AE=AD+DE=12x，BC=PB=PD+DB=11x，
．
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】根据折叠的性质可知∠ABP=∠ABC，由AE∥BC可得∠EAB=∠ABC，进而可得∠ABP=∠EAB，再根据等角对等边即可得出结论；
由可知，由是以为腰的等腰三角形，分和两种情况讨论即可打出答案；
过点作于点，易证（AAS），可得BF=AC，BC=AF，从而可得BF=AP，BC=PB，根据求得，设，，易得，进而得出，，即可得出答案．
（1）解：由折叠可知，
，
，
，
；
（2）解：，
，
是以为腰的等腰三角形，
当时，，
当时，
如下图所示，过点作于点，
，
由折叠可知，
又，
在和中，
，
，
在中，，
由等腰三角形的三线合一定理可知，
；
综上所述，的长为或；
（3）解：如下图所示，过点作于点，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
设，，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
．
16．【答案】（1）解：①5
②∵PM⊥OA，
∴∠OMP=90°
在Rt△OMP中，D是OP的中点
∴，
∴∠DMO=∠DOM
∴∠MDP=2∠MOP，
同理可知，∠NDP=2∠NOP
∴∠MDN=∠MDP+∠NDP=2∠MON
（2）解：∠MDN=2∠MON，
理由如下：
∵PM⊥OA，
∴∠OMP=90°
在Rt△OMP中，D是OP的中点
∴，
∴∠DMO=∠DOM
∴∠MDP=2∠MOP
同理可知，∠NDP=2∠NOP
∴∠MDN=∠NDP-∠MDP=2∠MON
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：(1)①∵D是OP的中点，
∴
故答案为：5.
【分析】(1)①根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解；
②根据等腰三角形的性质得到∠DMO=∠DOM，同理得到∠NDP=2∠NOP，结合图形计算，证明结论；
(2)仿照(1)的证明方法解答即可.
17．【答案】（1）解： ①∵，
，即，
∵，，
，
②设交于，如图：
∵，
，，
∵，，即；
∵为等腰直角中边上的高，
，
∵，
（2）作，且，连接，，如图，
∵，，
，
，即，
∵，，
，
，
∵，，
在中，∵，，
∵，
，
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；手拉手全等模型
【解析】【分析】(1)①利用△ACB和△DCE均为等腰直角三角形的条件推导△ACD与△BCE全等，
②利用①的结论，结合等腰三角形的性质与直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出结论即可；
(2)作AE⊥AD，且AE=AD=4，连接DE，CE推出△DAB≌△EAC，在Rt△EAD中根据勾股定理求出BD的长.
18．【答案】（1）解：因为∠ACB=∠ADB=90°，∠ABC=∠ABD=30°，AB=4
所以AD=AC=2
记AB与CD交点为F
由等腰三角形三线合一， 得AF⊥CD，DF=CF
所以
所以
（2）证明：因为△CDE的面积等于△ACD的面积
所以
所以AE=2AF=2
又因为AB=4
所以
所以E为AB的中点
（3）2
【知识点】两点之间线段最短；含30°角的直角三角形；勾股定理；线段的中点；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：（3）∵S△ACD=CD·AF=，
∴S△ACD=S△CDE，
∴点E到直线CD的距离等于AF=1，
过点E作直线l∥CD交AB于点M，连接AE，如图所示：
则AB⊥l，FM=AF=1，
由（2）可知，点M是AB的中点，
即直线l垂直平分AB，
∴AE=BE，
由“两点之间线段最短”可知：AC+CE≥AE，即AE-CE≤AC，
∴当点E在直线l与AC延长线的交点处时，AE-CE取得最大值，最大值为AC=2，
即BE-CE≤AC，得最大值为2.
【分析】（1）根据直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半可得AC=AD=2，再由等腰三角形三线合一求得AF⊥CD，DF=CF，然后利用勾股定理求得AF=1，DF=，进而即可得出答案；
（2）通过两个三角形面积相等可得高相等，然后根据线段之间的数量关系即可得出结论；
（3）由题意可知点E到直线CD的距离等于1，过点E作直线l∥CD交AB于点M，连接AE，可得直线l垂直平分AB，进而得出AE=BE，在个努两点之间线段最短，求得AE-CE的最值，即可得出BE-CE的最大值.
19．【答案】（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，AO⊥BC，
∴AO=BO=CO，∠BOA=45°，
∴∠OBA=∠OAB=∠OAC=∠ACB=45°，
又∵CD=FD，FD⊥DF，
∴∠MDC=∠FDC=90°，∠DFC=∠DCF=45°，
∴∠BAO=∠DFC；
（2）解：如图，在BC上取点G，连接DG，使得DG=DB，
∵DG=DB，
∴∠DBG=∠DGB=45°，
∴∠BDG=90°=∠FDC，∠DGC=135°，
∴∠BDF=∠CDG，
又∵DF=DC，
∴△FBD≌△CGD，
∴∠ABF=∠CGD=135°；
（3）证明： 延长ON交BF于点T， 连接DT， DO，如图：
∵∠FBI=∠BOA=90°，
∴BF∥AO，
∴∠FTN =∠AON.
∵N是AF的中点，
∴AN = NF，
∵∠TNF =∠ONA，
∴△TNF≌△ONA(AAS)，
∴NT = NO， FT = AO，
∵∠BAC=90°， AB=AC， AO⊥BC，
∴AO=CO，
∴ FT=CO，
由 (2) 知 △FBD≌△CGD，
∴∠TFD=∠DCO，
即
【知识点】三角形全等的判定；等腰直角三角形；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】(1)依据题意，由DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的， 得∠FDC=90°， FD=CD， ∠DFC=45°， 又AB= AC， AO⊥BC， 可得∠DFC=45°，进而得到结论即可；
(2)在BC上取点G，连接DG，使得DG=DB，证明△FBD≌△CGD，根据对应角对应相等解答即可；
(3)依据题意， 延长ON交BF于点T， 连接DT， DO， 由∠FBI=∠BOA=90°， 知BF∥AO，∠FTN =∠AON，而N是AF的中点， 有AN = NF，可得△TNF≌△ONA(AAS)，从而NT = NO， FT = AO， 可证FT =CO，然后证明△DFT≌△DCO(SAS)，即可得到DT = DO， ∠FDT =∠CDO， 进而得到结论即可.
20．【答案】（1）①
解：②，
，
在中，是的中点，
，
，
，
同理可知，，
；
（2）解：．
理由如下：如图，，
，
在中，是的中点，
，
，
，
同理可知，，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）①∵，
∴∠PMO=∠PNO=90°，即△POM与△PNO都是直角三角形，
又∵点D是OP的中点，，
，
故答案为：；
【分析】（1）①根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得到；
②根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出DM=OD，由等边对等角得到，由三角形外角性质得到，同理得到，从而根据角的构成及等量代换可得结论；
（2）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出DM=OD，由等边对等角得到，由三角形外角性质得到，同理得到，从而根据角的构成及等量代换可得结论．
21．【答案】（1）解：是的中线，
．
在和中，
，
，
．
，
．
在中，
，
即，
，
；
（2）解：延长至点，使，连接，
在和中，
，
，
．
，
．
平分，
，
，
是等腰三角形，
，
．
，
；
（3）解：，平分，
．
，
，∠AFG=∠CAD=45°，
AG=AF，
延长至点，使，连接，
点为边的中点，
．
在和中，
，
，
，，
，
是等腰三角形，
，
．
设，则，
，
，
，
，
解得（负值舍去），
的长为2．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）利用“SAS”证△ACD≌△EBD，由全等三角形的对应边相等得AC=BE=1，在△ABE中，根据三角形三边关系得出AE的取值范围，进而即可得出AD的取值范围；
（2）延长至点，使，连接， 利用“SAS”证△FED≌△GCD，由全等三角形的对应边相等、对应角相等可得，EF=CG=3；根据角平分线的定义得到，根据二直线平行，同位角相等得到，由等量代换得，由等角对等边得CG=CA=3；
（3）由角平分线定义，平行线性质及对顶角相等得由等角对等边得AG=AF；延长GE至点H，使GE=HE，连接CH， 用“SAS”证△GBE≌△HCE，由全等三角形的对应边相等、对应角相等可得∠H=∠G=45°，BG=CH；则推出∠H=∠CFH=45°，由等角对等边得FC=HC=BG=6，设AG=AF=x，用含x的式子白实处AB、AC，然后根据△ABC的面积为16，由面积公式建立方程求出x的值即可得出答案.
22．【答案】（1）证明：由旋转得：PB=P'B，∠PBP'=60°
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∴∠ABC=∠PBP'，
∴∠ABP=∠CBP'，
在△APB和中，
∴△APB≌△CP'B(SAS)
（2）解：①∵PB=P'B，∠PBP'=60°，是等边三角形，
∴∠BPC=∠BP'P=60°，
由(1)知：
∴∠CP'B=∠APB=130°，
∴∠CP'P=130°-60°=70°，
为等腰三角形，
或PC=P'C或PP'=CP'，当PC=PP'时，
∴∠CPP'=180°-70°-70°=40°，
∴∠CPB=40°+60°=100°；
当PC=P'C时，
∴∠CPB=60°+70°=130°；
当PP'=CP'时，
∴∠CPB=55°+60°=115°；
综上，当为等腰三角形时，∠CPB的度数为100°或130°或115°；
②+1
【知识点】三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（2）②如图3，过点B作BD⊥PP'于D，则∠ADB=∠
由(1)知：
∴A，P，P'三点共线，
中，
中勾股定理得：，
，
，
故答案为：+1.
【分析】(1)根据SAS可证明两三角形全等；
(2)①先根据全等三角形的性质得，从而可得最后根据为等腰三角形分三种情况讨论即可解答；
②如图3，过点B作BD⊥PP'于D，则∠ADB=∠先证明A，P，P'三点共线，再根据30°的直角三角形的性质可得.DP'=1，利用勾股定理计算BD和AD的长即可解答.
23．【答案】（1）解：由题可知∠AOB=∠ACO=∠BDO=90°，
∴∠AOC=∠DBO=90°-∠BOD，
在等腰Rt△AOB中，OA=OB，
∴△AOC≌△OBD(AAS)，
∴AC=OD=2，OC=BD，
∵CD=3，
∴AC=OD+CD=5，
∴BD=5
（2）解：如图，过D作DF⊥AC于点E，过B作BF⊥AC于点F，
则
∵AC=10，∴DE=8，
由题可知∠AFB=∠BAD=∠AED=90°，
∴∠BAF=∠ADE=90°-∠DAE，
∵AB=AD，
∴AF=DE=8，
∴CF=AC-AF=2，
∵∠ACB=60°，
∴∠CBF=30°，
∴BC=2CF=4，
（3）解：∵AB=AC，∠B=75°，
∴∠A=30°，
∵DF∥BC，
∴∠DFE=∠ACB=75°，AD=AF，
∴∠EDF=30°，
∴∠DEF=∠DFE=75°，
如图，过D作于点D，则EI=FI，
设DI=a，则AD=2a，则
设CF=2b，
即
作C关于AB的对称点R，连接CR交AB于点R，则CG=RG，
在中，
当且仅当F、
G、R三点共线时取等，
即FG+GC的最小值为FR的长，
过F作
即FG+GC的最小值为
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-AAS；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】(1)证即可得解；
(2)参考(1)中思路，构造全等三角形，再利用直角三角形的性质即可得解；
(3)由题易得过D作AF于点D，则.EI=FI，设DI=a，则AD=2a，则再设CF=2b，可推出(，进而可得作C关于AB的对称点R，连接CR交AB于点R，易得(CQ=(1进而可得AQ、BQ，在.中，利用勾股定理求出进而可得再利用轴对称最短路径求解即可.
24．【答案】（1）①证明：如图1中，
∵，
∴△BAE≌△CAF，
∴∠BAE=∠CAF，
∵∠BAC=90°，∠EAD=45°，
∴∠CAD+∠BAE=∠CAD+∠CAF=45°，
∴∠DAE=∠DAF，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（SAS）．
②解：如图1中，设DE=x，则CD=7-x.
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵∠ABE=∠ACF=45°，
∴∠DCF=90°，
∵△AED≌△AFD（SAS），
∴DE=DF=x，
在Rt△DCF中，∵DF2=CD2+CF2，CF=BE=3，
∴x2=（7-x）2+32，
∴x=，
∴DE=．
（2）或
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】
（2）解：连接BE.
中、
如图，当点D在线段BC上时，
如图，当点D在线段BC外时，
综上所述，DE等于或.
【分析】
（1） ① 由于，则可由旋转全等模型证明，则有，再由可得，再由可证明；
② 由可得DF＝DE，再由可得、CF＝BE＝3，则可证，再设DE=x，则DF=x、DC＝7-x，再在中应用勾股定理即可；
（2）连接BE，则由旋转全等模型可证，则，，由于点D在直线BC上，则应分类讨论，即当D在线段BC上时或点D在线段CB外时，再利用全等三角形的性质分别求出BE的值，再利用勾股定理计算即可.
25．【答案】（1）∵△ABC和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，
∴，，，
∴，
∴；
（2），，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
延长与交于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过作交延长线于，过作交于，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵A到直线的距离为5，
∴AN=5，
∵，
∴CM=2AN=10，
∵，，
∴CD=BC=
∴
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线；旋转全等模型
【解析】【分析】
（1）由于两个等腰直角三角形ABC和DBE有公共顶点B，则可利用旋转全等模型证明结论成立；
（2）延长EC交DA的延长线于点O，同（1）先证明，再利用全等三角形的对应角相等结合三角形的内角和定理可得；
（3）过作交延长线于，则为等腰直角三角形，再由旋转全等模型可证明，则、，所以是直角三角形；再过点A作CM的垂线段AN，则也是等腰直角三角形，所以CM=2AN=10；此时再结合已知可依次求得CD=BC=，再利用三角形的面积公式求解即可.
26．【答案】（1）解：过点B作交直线于点D，如图，
∴∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠BCD=90°，
∵∠AOC=90°，
∴∠BDC=∠AOC，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACO=90°，
∴∠ACO=∠DBC，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点A坐标为，C的坐标为，
∴，
∴，
∴点B的坐标为，
故答案为：；
（2）解：过点B作轴交y轴于点E，如图，
∵∠AOC=∠ACB=90°，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∵，
∴，
∵点C的坐标为，A点的坐标为，
∴，
∴
∴，
∴点B的坐标；
（3）解：过点B作轴交x轴于点E，如图，
则，
∵点在y轴正半轴上运动，点在第四象限，
∴，，
同理可证，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）过点B作交直线于点D，利用“一线三垂直”全等三角形模型可证明，从而得，结合点A、C的坐标得，根据即可求得点B坐标；
（2）过点B作轴交y轴于点E，同理利用“一线三垂直”全等三角形模型可证明，结合点A、C的坐标得根据即可求得点B坐标；
（3）过点B作轴交x轴于点E，则，根据点坐标得，，同理可证，，则，结合即可求得关系式．
（1）解：过点B作交直线于点D，如图，
∵，，，
∴，
∴，
∵点A坐标为，C的坐标为，
∴，
∴，
则点B的坐标为，
故答案为：；
（2）解：过点B作交于点E，如图，
∵点C的坐标为，A点的坐标为，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
则，
那么，点B的坐标；
（3）解：过点B作交于点E，如图，
则，
∵点在y轴正半轴上运动，点在第四象限，
∴，，
同理可证，，
∴，
∵，
∴，
则．
27．【答案】（1）BC =AC+AD
（2）解：AD =AB+CD， 理由如下：
在AD上截取AF =AB， 连接EF， 如图，
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE =∠FAE
∵AE = AE
∴△BAE≌△FAE(SAS)
∴∠AEF =∠AEB， BE =EF
∵E是BC的中点
∴CE = BE = EF
∵∠AED=90°
∴∠AEF+∠DEF =90°，∠AEB +∠DEC =90°
∴∠DEF =∠DEC
∵DE = DE
∴△DEF≌△DEC(SAS)
∴DF = DC
∴AD=AF+DF
∴AD =AB+CD
（3）解：在BC上截取CG=CN， BH =BM， 连接PG， PH， 如图，
∵CP平分∠ACB， BP平分∠ABC
∵∠A +∠ABC+∠ACB = 180°
∴∠CPN +∠BPM =60°
易证： △CPN≌△CPG， △BPM≌△BPH
∴∠CPN=∠CPG，∠BPM=∠BPH， PN =PG， PM=PH， CN =CG =1.5，BM =BH =8
∴∠CPG +∠BPH = 60°
∴∠GPH =∠BPC-(∠CPG+∠BPH)=60°
∴△GPH为等边三角形
∵P为MN中点
∴PG=PH = GH =3.5
∴BC=BH+GH+CG=BM+GH+CN=8+3.5+1.5=13
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；截长补短构造全等模型
【解析】【解答】
解：（1）在CB上截取CE=AC，连接DE，如图，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ACD，
又∵CD=CD，
∴△ECD≌△ACD（SAS），
∴EC=AC，DE=AD，∠CED=∠A=60°，
∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
又∵∠CED=∠EDB+∠B，
∴∠EDB=60°-30°=30°，
∴∠EDB=∠B，
∴BE=DE，
∴BE=AD，
∵BC=EC+BE，
∴BC=AC+AD；
【分析】 （1）证△ECD≌△ACD（SAS），得EC=AC，DE=AD，∠CED=∠A=60°，再证BE=DE，则BE=AD，即可得出结论；
（2）在AD上截取AF=AB，连接EF，证明△BAE≌△FAE（SAS），得∠AEF=∠AEB，BE=EF，再证明△DEF≌△DEC（SAS），得DF=DC，进而得出结论；
（3）在BC上截取CG=CN，BH=BM，连接PG，PH，证明∠CPN+∠BPM=60°，结合（1）知：△CPN≌△CPG，△BPM≌△BPH，得∠CPN=∠CPG，∠BPM=∠BPH，PN=PG，PM=PH，然后证明△GPH为等边三角形，得GH=PG=PH=3.5，进而得出结论．
1 / 1《三角形的综合》精选期中压轴题——浙教版数学八年级上册复习
一、单选题
1． 如图， 点E在△DBC边DB上， 点A在△DBC内部， ∠DAE=∠BAC=90°， AD=AE，AB=AC，给出下列结论，其中一定正确的所有序号是(　　)
①BD=CE； ②BE=DE； ③BD⊥CE； ④∠ECB+∠ABD=45°
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①③
【答案】C
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠DAE+∠EAB=∠BAC+∠EAB，
∴∠DAB=∠EAC，
∵AD=AE，AB=AC，
∴△DAB △EAC(SAS)
∴BD=CE，故正确；
∴∠ABD=∠ECA，
∵∠BAC=90°，AB=AC
∴∠ABC=∠ACB=45°
∴∠ABD+∠ECB=∠ECA+∠ECB=∠ACB=45°，故④正确；
∵∠EBC+∠ECB=∠ABD+∠ECB+∠ABC=45°+45°=90°，
∴∠CEB=90°
∴CE⊥BD，故③正确；
无法判断BE=DE，故②错误；
∴正确的是①③④，
故答案为：C .
【分析】利用“SAS”证明△DAB △EAC，然后根据性质即可判断①结论；利用全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质，即可判断④结论；利用全等三角形的性质进行等角替换，即可判断③结论；无法判断②结论.
2．如图，是的角平分线，，，，P，Q分别是和上的任意一点，连接，，，，给出下列结论：
①；
②；
③的最小值是；
④若平分，则的面积为9．
其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形三边关系；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：①∵，是的角平分线，
∴，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
在 APQ中，，
∴，
∴原结论正确；
②∵，
∴，，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴原结论正确；
③由①可得，，
∴当最小时，最小，
过点A作于点M，如图所示：
当点P在与交点上时，，且最小值为，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的最小值是，
∴原结论错误；
④过点P作于点N，如图所示：
∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴原结论正确；
综上可得，正确的有①②④．
故答案为：B.
【分析】
①根据等腰三角形的性质“等腰三角形的三线合一”可得垂直平分，由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得，再根据三角形三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边”即可求解；
②根据角平分线的定义，平行线的性质、等腰三角形的性质，证明，，得出，，即可得出结论；
③过点A作于点M，当点P在与交点上时，，此时最小，且最小值为，根据等积法求出即可；
④过点P作于点N，得出，求出，即可求出结果．
3．如图，点在边上，点在内部，，，，给出下列结论，①；②；③；④其中一定正确的所有序号是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①③
【答案】C
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，故①正确；
∵△DAB≌△EAC，
∴，
∵，，
∴，
∴，故④正确；
∵，
∴，
∴，故③正确；
无法判断，故②错误；
∴正确的是①③④，
故答案为：C．
【分析】根据角的构成及等式性质推出∠DAB=∠EAC，从而利用“SAS”判断出△DAB≌△EAC，由全等三角形的对应边相等得BD=CE，据此可判断①；由全等三角形的对应角相等得∠ABD=∠ECA，由等腰直角三角形的性质得∠ABC=∠ACB=45°，由角的构成、等量代换可推出∠ABD+∠BCE=45°，据此可判断④；进而根据三角形的内角和定理推出∠CEB=90°，据此可判断③；根据已知条件无法判断②结论.
4．如图，在△ABC中，AB =AC，∠BAC =120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP =OC有下列结论：①∠APO +∠DCO =30°；②∠APO =∠DCO；③△OPC是等边三角形； ④AB =AO+AP.其中正确的是(　　)
A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：
①如图，连接OB，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD=
∴OB=OC，∠ABC=90°-∠BAD=30°
∵OP=OC，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；
故①正确；
②由①知：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∵点O是线段AD上一点，
∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，
故②不正确；
③∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，
∴∠APC+∠DCP=150°，
∵∠APO+∠DCO=30°，
∴∠OPC+∠OCP=120°，
∴∠POC=180°-（∠OPC+∠OCP）=60°，
∵OP=OC，
∴△OPC是等边三角形；
故③正确；
④如图，在AC上截取AE=PA，连接PE，
∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，
∴∠APO=∠CPE，
∵OP=CP，
可证△OPA≌△CPE，
∴AO=CE，
∴AB=AC=AE+CE=AO+AP；
故④正确；
本题正确的结论有：①③④.
故答案为：A .
【分析】 ①利用等边对等角，即可证得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此即可求解；
②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断；
③证明∠POC=60°且OP=OC，即可证得△OPC是等边三角形；
④首先证明△OPA≌△CPE，则AO=CE，AB=AC=AE+CE=AO+AP．
5．如图，在△ABC中， AB=AC， CM 平分∠ACB，与AB 交于点M ， AD⊥BC于点D， ME⊥BC于点E， MF⊥MC 与BC交于点F， 给出下列结论： ①∠AMC=3∠ACM； ②若CF=7， 则 其中下列判断正确的是（　　）
A．①错， B．对B. ①，②都对
C．①对，②错 D．①，②都错
【答案】B
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵ CM 平分∠ACB，
∴∠ACD=2∠ACM=2∠BCM，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACD=2∠ACM，
∴∠AMC=∠B+∠BCM=3∠ACM，故①正确；
取CF的中点N，则FC =2MN，过点M作MG∥BC交AD与G，交AC与H，过点H作HP⊥BC交BC与P.
∵ ME⊥BC， AD⊥BC， AB=AC，
∴ME∥GD， BD=DC，
∵MG∥DE，
∴四边形MEDG是平行四边形，
∵ ∠MED=90°，
∴四边形MEDG是矩形，同理四边形GDPH是矩形，
∴ME=HP，
∴△BME≌△CHP，
∴ BE=CP，
∴ DE=DP，
∴ MH=EP=2DE
∵ MN=CN，
∴ ∠NMC=∠NCM=∠MCH，
∴ MN∥CH， ∴ MH∥CN，
∴四边形MNCH是平行四边形，
∵ MN=CN，
∴四边形MNCH是菱形，
∴ MN=MH
∴ MN=2DE，
∴ FC=4DE，
又∵ CF=7，
∴故②正确
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的定义和等边对等角得到∠B=∠ACD=2∠ACM，然后根据三角形的外角得到 ∠AMC=3∠ACM判断①；取CF的中点N，则FC =2MN，过点M作MG∥BC交AD与G，交AC与H，过点H作HP⊥BC交BC与P，得到四边形MEDG，GDPH是矩形，然后证明△BME≌△CHP，即可得到BE=CP，进而证明MNCH是菱形，即可得到DE长判断②解答即可.
6． 如图， 等腰三角形ABC， AB=AC， ∠BAC=120°， AD⊥BC于点D， 点P是BA 延长线上一点， 点O 是线段 AD上一点， OP=OC， 以下结论： ①∠APO+∠DCO=30°； ②△OPC是等边三角形； ；④；⑤，其中正确个数是(　　)
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图， ①连接OB，
∵AB=AC， BD=CD，
∴AD是BC垂直平分线，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO =∠ABO， ∠DBO =∠DCO，
∵∠ABO+∠DBO=30°，
∴∠APO+∠DCO=30°.故①正确；
②∵△OBP中， ∠BOP =180°-∠OPB-∠OBP，
△BOC中， ∠BOC =180°-∠OBC-∠OCB，
∴∠POC =360°-∠BOP-∠BOC=∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB，
∵∠OPB =∠OBP， ∠OBC =∠OCB，
∴∠POC =2∠ABD = 60°，
∵PO=OC，
∴△OPC是等边三角形，故②正确；
③在AB上找到Q点使得AQ = OA， 则△AOQ为等边三角形，
则∠BQO=∠PAO=120°，在△BQO和△PAO中，
∴△BQO≌△PAO(AAS)，
∴PA=BQ，
∵AB=BQ+AQ，
∴AC = AO+AP， 故③正确；
④作CH⊥BP，
∵∠HCB=60°， ∠PCO=60°，
∴∠PCH=∠OCD，
∵△OPC是等边三角形，
∴OC=CP，
在△CDO和△CHP中，
∴△CDO≌△CHP(AAS)，
，
∴CH=CD，
∵CD=BD，
∴BD=CH，
在Rt△ABD和Rt△ACH中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACH(HL)，
∵四边形OAPC面积=
，
∴四边形OAPC面积.故④正确.
⑤∵AB=AC， ∠BAC =120°，
∴∠B=30°，
∴AB=2AD=2(AO+OD)=2AO+2OD，
∴当AO=2OD时结论才成立，
∴AB不一定等于3AO， 故⑤错误.
故选： B.
【分析】①连接OB，根据垂直平分线性质即可求得OB=OC=OP， 即可解题；②根据周角等于360°和三角形内角和为180°即可求得∠POC = 2∠ABD=60°， 即可解题；③AB上找到Q点使得AQ =OA， 易证△BQO ≌△PAO， 可得PA= BQ， 即可解题；④作CH⊥BP， 可证△CDO≌△CHP和Rt△ABD≌ Rt△ACH，根据全等三角形面积相等即可解题；⑤根据∠BAC=120°， 可得∠B=30°， 进而可得AB=2AD=2(AO+OD)=2AO+2OD， 故当AO=2OD时结论成立.
7．如图，在纸片中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接，过点作于E，于F，如图所示，
则，
由折叠可知，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵平分，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
即．
故答案为：D.
【分析】先根据折叠的性质得到是等边三角形，进而得到，利用全等三角形的判定HL证出，得到，再利用三角形内角和定理求出即可.
8．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E是边AC的中点，连结DE，连结BE交AD于点F，此时∠CAD=∠CBE，下列结论中：①BE平分∠ABC；AD2+CD2=4DE2；③∠CDE=∠ABE+∠BAD；④若记△ABF 的面积为S△ABF，△BDE的面积为S△BDE，则 S△ABF=S△BDE，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵ AD⊥BC ，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵ ∠CAD=∠CBE，
又∠AFE=∠BFD，
∴∠AEB=∠ADB=90°，
即BE⊥AC，
∵ 点E是边AC的中点，
∴AB=BC，
∴ BE平分∠ABC，即①正确；
∵∠ADC=90°， 点E是边AC的中点，
∴DE=， AD2+CD2=AC2，
∴ AD2+CD2=4DE2，即②正确；
由①②知，∠ABE=∠CBE，∠DAE=∠ADE，
又 ∠CAD=∠CBE，
∴∠ABE=∠ADE，
又∵∠AFB=∠DFE，
∴∠BAD=∠BED，
∴∠CDE=∠CBE+∠BED=∠ABE+∠BAD，即③正确；
∵ S△ABF=， S△BDE =，
∵BF>BD，AE=CE，
∴ S△ABF>S△BDE，即④错误；
故答案为：A.
【分析】根据 AD⊥BC 、三角形内角和定理、勾股定理知BE⊥AC，从而知①②正确；结合题意，根据三角形内角和定理及外角性质知③正确；根据“直角三角形中斜边大于直角边”及三角形面积公式知④不正确.
二、填空题
9．如图，在四边形中，，，，点在边上，连接．若，且平分，则的长为　 　．
【答案】7
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点B作于点M，作，交的延长线于点N，
∴，
∵平分，
∴，，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
即，
在中，
，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在四边形中，
∵，
∴°，
∴，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
故答案为：7．
【分析】如图，过点B作于点M，，交的延长线于点N，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得BM=BN，由角平分线的定义得∠3=∠4，设，则，∠2=2，根据等边对等角得，在中，由三角形的内角和定理求得，继而得到；在中，由直角三角形两锐角互余推出，由含30°角直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，；由四边形的内角和定理推出∠MBN=60°，由等式性质推出∠5=∠6，从而由“ASA”证△BEM≌△BCN，由全等三角形的对应边相等得BE=BC=7，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形推出△BCE是等边三角形，进而根据等边三角形的三边相等即可得出CE的长．
10．如图，在△OAB和△BCD中，OA=OB=3，CB=CD=1，∠AOB =∠BCD =90°.连结AD，取AD的中点E，连结OE.将△BCD绕点B按顺时针方向旋转，当点O，C，B在同一直线上时，OE的长为　 　.
【答案】或
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；等腰直角三角形；线段垂直平分线的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：
①当点C在OB的延长线时，连接BE，设OE交AB于点F，如图1所示：
在△OAB中，OA=OB=3，∠AOB=90°，
∴∠OBA=45°，
由勾股定理得：AB=，
在△BCD中，CB=CD=1，∠BCD=90°，
∴∠CBD=45°，
由勾股定理得：BD=，
∵点O，C，B在同一直线上时，
∴∠ABD=180°-（∠OBA+∠CBD）=90°，
∴△ABD是直角三角形，
∵点E是AD的中点，
∴BE是Rt△ABD的斜边AD上的中线，
∴BE=AE=DE=，
∴点E在线段AB的垂直平分线上，
又∵OA=OB=3，
∴点O在线段AB的垂直平分线上，
∴OE是线段AB的垂直平分线，
∴OE⊥AB，
∴∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠ABD=90°，
∴EF∥BD，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF=，
又∴OE⊥AB，
∴OF=AF=BF=，
∴OE=EF+OF=；
②当点C在线段OB上时，过点O作OH⊥AB于点H，如图2所示：
∵CB=CD=1，∠BCD=90°，
∴△CBD是等腰直角三角形，
∴点D在线段AB上，
同①可得，AB=，BD=，
由三线合一得AH=，
∵AD=AB-DB=，
∵E为AD中点，
∴AE=，
∴EH=AH-AE=，
∵△OAB为Rt△，H为AB中点，
∴OH=AH=HB=12AB=322，
由勾股定理，得；
综上，OE=或
故答案为： 或.
【分析】先利用勾股定理可求得AB=，BD=，由分类讨论得到图1和图2两种不同情况，在图1中，先证明OE垂直平分AB，利用直角三角形斜边上中线的性质可求OF，由三角形中位线性质可求FE，从而得到OE的长；在图2中，根据EH=AH-AE，求得EH的长，再由直角三角形斜边上中线的性质求得OH长，从而利用勾股定理得到OE长.
11．如图，在中，，为延长线上一动点，以为直角边在的右侧作等腰直角，连结，交直线于点，若，则的长为　 　．
【答案】或
【知识点】三角形的面积；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）在线段上．
过作交的延长线于点，如图：
由作图可知，，
，
又为直角边在的右侧作等腰直角，
，
，
，
，
，
又，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
．
（2）在的延长线上．
过作于，如图所示：
同（1）得：，，
，，，
，
，
，
即，
，
，
，
，
．
故答案为：或．
【分析】分两种情况：（1）在线段上； 过作交的延长线于点，首先用“ASA”判断出△ACP≌△QNA，由全等三角形的对应边相等得QN=AC=BC=2，AN=PC；再用“ASA”证△QNM≌△BCM，由全等三角形的对应边相等得CM=MN，由等底三角形面积之间的关系就是对应高的关系得出BP=3AM，据此结合线段的和差建立方程求出AM，进而求出BP、最后根据CP=BP-BC可得答案；（2）在的延长线上．过作于，解法同（1），综上，可得答案.
12．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N. CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点，则下列结中，①∠AMD=45°；②MC+EM=NE；③EM：MC：NE=1：2：3；④S△ACD=2S△DNE·正确的序号是　 　.
【答案】①②③
【知识点】三角形的面积；等腰直角三角形；旋转全等模型
【解析】【解答】解：如图所示，过点D分别作BM和AC的垂线段DF、DG.
、
，故 ① 正确；
，故 ② 正确；
，故 ③ 正确；
四边形DFMG是正方形
、
，故 ④ 错误.
故答案为：①②③ .
【分析】如图所示，过点D分别作BM和AC的垂线段DF、DG.
先证明△DBC是等腰直角三角形，再利用旋转全等模型证明，则可得DN=DM，即，再利用两角互余可得 ① 正确；过点D作MN的垂线段DF，由等腰三角形三线合一可得DF是斜边MN上的中线，则DF=NF=MF，再结合BE平分CD可证明，则EM=EF、CM=DF，再等量代换即可得 ② 正确；由 ② 的结论可得NE是EM的3倍，CM是EM的2倍，即 ③ 正确；过点D作AC的垂线段DG，则可得四边形DFMG是正方形，再利用旋转全等模型可证，则AG=EF，再由正方形的性质结合等量代换得AC=5EF、NE=3EF，DG=DF，再利用三角形的面积公式可得，故 ④ 错误.
13．如图，在中，，，，点是边上的一点，且，点是边上一个动点，连接．现以为一边在右侧作等边，连接．
（1）当点与点重合时，　 　．
（2）在点运动过程中，线段的最小值为　 　．
【答案】；6
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）如图所示：当点E与点B重合时，过点F作于点Q，
∵为等边三角形，，，
∴，，
∴在Rt△DFQ中，由勾股定理可得，，
∵，
∴，
∴在Rt△CFQ中，由勾股定理可得，；
故答案为：；
（2）如图所示：以为边在上方作等边三角形，连接，过点M作于点P，于点N，
∵和为等边三角形，
∴∠MDC=∠FDE=60°，CD=DM，DE=DF，
∴∠MDC+∠MDF=∠FDE+∠MDF，
即∠FDC=∠MDE，
在△CDF和△MDE中，
∴△CDF≌△MDE（SAS），
∴，
∴当最小时，最小，
由垂线段最短可知，最小，
∴当点E与点N重合时，最小，即最小，
∵，，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴MN=BP，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴MN=6，
∴的最小值为6，
故答案为：6．
【分析】（1）当点E与点B重合时，过点F作于点Q，根据等边三角形的性质得出，，再根据勾股定理求出，，即可得出答案；
（2）以为边在上方作等边三角形，连接，过点M作于点P，于点N，进而证明可得，即可知当最小时，最小，再根据垂线段最短，得出最小，即当点E与点N重合时，最小，此时最小，进而即可得出答案．
14．如图，在中，的垂直平分线相交于点，连接，，．
（1）若，，则的度数为　 　．
（2）若，则的度数为　 　．
【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；邻补角；多边形的内角和公式；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】
解：（1） 的垂直平分线相交于点
即：
（2）
【分析】
（1）由线段的垂直平分线的性质可得HA＝HB＝HC、由等边对等角得，再由三角形的内角和可得，再代值计算即可；
（2）先由（1）可得，即与互余，则可得，再由线段垂直平分线的概念可得，再由四边形的内角和可得，再由邻补角的概念可得，即有.
三、综合题
15．如图，在中，，，把沿着直线翻折得到，过点作交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，是以为腰的等腰三角形，求此时的长；
（3）若，且，求的值．
【答案】（1）解：根据折叠的性质可知，∠ABP=∠ABC，
∵AE∥BC，
∴∠EAB=∠ABC，
∴∠ABP=∠EAB，
∴AD=BD.
（2）解：由（1）可知，AD=BD，
∵AD=10，
∴BD=10，
∵△BDE是以BD为腰的等腰三角形，
∴分两种情况讨论：
①当BD=ED时，则AE=AD+DE=2AD=10，
②当BD=BE时，
过点B作BF⊥AE于点F，如图所示：
则∠BDF=90°，
根据折叠的性质可知，∠P=∠C=90°，AP=AC=8，
∴∠P=∠BDF=90°，
在△BDF和△ADP中，
，
∴△BDF≌△ADP（AAS），
∴BF=AP，
在Rt△BDF中，DF==6，
根据等腰三角形三线合一可知，DE=2DF=12，
∴AE=AD+DE=22，
综上所述，AE的长为或.
（3）解：过点作于点，如图所示：
则∠BFD=90°，
∵∠C=90°，
∴∠BFD=∠C，
∵AE∥BC，
∴∠EAB=∠ABC，
在△ABF和△BAC中，
，
∴△ABF≌△BAC（AAS）
∴BF=AC，BC=AF，
∴BF=AP，BC=PB，
，
，
，
设，，
，
，
∴==90°，
，
，
∴BD=DE，
∵AD=BD，
∴AD=DE=6x，
∴AE=AD+DE=12x，BC=PB=PD+DB=11x，
．
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】根据折叠的性质可知∠ABP=∠ABC，由AE∥BC可得∠EAB=∠ABC，进而可得∠ABP=∠EAB，再根据等角对等边即可得出结论；
由可知，由是以为腰的等腰三角形，分和两种情况讨论即可打出答案；
过点作于点，易证（AAS），可得BF=AC，BC=AF，从而可得BF=AP，BC=PB，根据求得，设，，易得，进而得出，，即可得出答案．
（1）解：由折叠可知，
，
，
，
；
（2）解：，
，
是以为腰的等腰三角形，
当时，，
当时，
如下图所示，过点作于点，
，
由折叠可知，
又，
在和中，
，
，
在中，，
由等腰三角形的三线合一定理可知，
；
综上所述，的长为或；
（3）解：如下图所示，过点作于点，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
设，，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
．
16．
（1） 如图1， 点 P 是∠AOB的内部任意一点， 垂足分别是M、N， D是OP 的中点.
①若MD=5， 则 DN= ▲
②求证： ∠MDN=2∠MON.
（2） 如图2， 若P是∠AOB的外部任意一点，1 垂足分别是M、N，D是OP的中点.问∠MDN与∠MON 有何数量关系，并说明理由.
【答案】（1）解：①5
②∵PM⊥OA，
∴∠OMP=90°
在Rt△OMP中，D是OP的中点
∴，
∴∠DMO=∠DOM
∴∠MDP=2∠MOP，
同理可知，∠NDP=2∠NOP
∴∠MDN=∠MDP+∠NDP=2∠MON
（2）解：∠MDN=2∠MON，
理由如下：
∵PM⊥OA，
∴∠OMP=90°
在Rt△OMP中，D是OP的中点
∴，
∴∠DMO=∠DOM
∴∠MDP=2∠MOP
同理可知，∠NDP=2∠NOP
∴∠MDN=∠NDP-∠MDP=2∠MON
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：(1)①∵D是OP的中点，
∴
故答案为：5.
【分析】(1)①根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解；
②根据等腰三角形的性质得到∠DMO=∠DOM，同理得到∠NDP=2∠NOP，结合图形计算，证明结论；
(2)仿照(1)的证明方法解答即可.
17．
（1）如图1，若和均为等腰直角三角形，．点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接．
①求证：．
②求的度数以及线段，，之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，在四边形中，，，，求的长．
【答案】（1）解： ①∵，
，即，
∵，，
，
②设交于，如图：
∵，
，，
∵，，即；
∵为等腰直角中边上的高，
，
∵，
（2）作，且，连接，，如图，
∵，，
，
，即，
∵，，
，
，
∵，，
在中，∵，，
∵，
，
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；手拉手全等模型
【解析】【分析】(1)①利用△ACB和△DCE均为等腰直角三角形的条件推导△ACD与△BCE全等，
②利用①的结论，结合等腰三角形的性质与直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出结论即可；
(2)作AE⊥AD，且AE=AD=4，连接DE，CE推出△DAB≌△EAC，在Rt△EAD中根据勾股定理求出BD的长.
18． 已知：如图1， △ABC≌ △ABD， ∠ACB=∠ADB=90°，∠ABC=∠ABD=30°，AB=4， E为平面内直线CD右侧一点.
（1）求△ACD的面积.
（2）当E在AB上且△ECD与△ACD面积相等时，求证：点E为AB的中点.
（3）如图2，当△CDE的面积为时，则BE-CE的最大值=　 　.
【答案】（1）解：因为∠ACB=∠ADB=90°，∠ABC=∠ABD=30°，AB=4
所以AD=AC=2
记AB与CD交点为F
由等腰三角形三线合一， 得AF⊥CD，DF=CF
所以
所以
（2）证明：因为△CDE的面积等于△ACD的面积
所以
所以AE=2AF=2
又因为AB=4
所以
所以E为AB的中点
（3）2
【知识点】两点之间线段最短；含30°角的直角三角形；勾股定理；线段的中点；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：（3）∵S△ACD=CD·AF=，
∴S△ACD=S△CDE，
∴点E到直线CD的距离等于AF=1，
过点E作直线l∥CD交AB于点M，连接AE，如图所示：
则AB⊥l，FM=AF=1，
由（2）可知，点M是AB的中点，
即直线l垂直平分AB，
∴AE=BE，
由“两点之间线段最短”可知：AC+CE≥AE，即AE-CE≤AC，
∴当点E在直线l与AC延长线的交点处时，AE-CE取得最大值，最大值为AC=2，
即BE-CE≤AC，得最大值为2.
【分析】（1）根据直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半可得AC=AD=2，再由等腰三角形三线合一求得AF⊥CD，DF=CF，然后利用勾股定理求得AF=1，DF=，进而即可得出答案；
（2）通过两个三角形面积相等可得高相等，然后根据线段之间的数量关系即可得出结论；
（3）由题意可知点E到直线CD的距离等于1，过点E作直线l∥CD交AB于点M，连接AE，可得直线l垂直平分AB，进而得出AE=BE，在个努两点之间线段最短，求得AE-CE的最值，即可得出BE-CE的最大值.
19． 如图1， 在△ABC中， ∠BAC=90°， AB=AC， D是AB边上不与A， B重合的一个定点. AO⊥BC于点O， 交CD于点E， FD⊥CD且CD=FD， FD， CA的延长线相交于点M.
（1）求证： ∠BAO=∠DFC；
（2）求∠ABF 的度数；
（3）如图2， 若N是AF 的中点， 求证： ND=NO.
【答案】（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，AO⊥BC，
∴AO=BO=CO，∠BOA=45°，
∴∠OBA=∠OAB=∠OAC=∠ACB=45°，
又∵CD=FD，FD⊥DF，
∴∠MDC=∠FDC=90°，∠DFC=∠DCF=45°，
∴∠BAO=∠DFC；
（2）解：如图，在BC上取点G，连接DG，使得DG=DB，
∵DG=DB，
∴∠DBG=∠DGB=45°，
∴∠BDG=90°=∠FDC，∠DGC=135°，
∴∠BDF=∠CDG，
又∵DF=DC，
∴△FBD≌△CGD，
∴∠ABF=∠CGD=135°；
（3）证明： 延长ON交BF于点T， 连接DT， DO，如图：
∵∠FBI=∠BOA=90°，
∴BF∥AO，
∴∠FTN =∠AON.
∵N是AF的中点，
∴AN = NF，
∵∠TNF =∠ONA，
∴△TNF≌△ONA(AAS)，
∴NT = NO， FT = AO，
∵∠BAC=90°， AB=AC， AO⊥BC，
∴AO=CO，
∴ FT=CO，
由 (2) 知 △FBD≌△CGD，
∴∠TFD=∠DCO，
即
【知识点】三角形全等的判定；等腰直角三角形；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】(1)依据题意，由DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的， 得∠FDC=90°， FD=CD， ∠DFC=45°， 又AB= AC， AO⊥BC， 可得∠DFC=45°，进而得到结论即可；
(2)在BC上取点G，连接DG，使得DG=DB，证明△FBD≌△CGD，根据对应角对应相等解答即可；
(3)依据题意， 延长ON交BF于点T， 连接DT， DO， 由∠FBI=∠BOA=90°， 知BF∥AO，∠FTN =∠AON，而N是AF的中点， 有AN = NF，可得△TNF≌△ONA(AAS)，从而NT = NO， FT = AO， 可证FT =CO，然后证明△DFT≌△DCO(SAS)，即可得到DT = DO， ∠FDT =∠CDO， 进而得到结论即可.
20．（1）如图1，点是的内部任意一点，．垂足分别是是的中点．
①若，则__________．
②求证：．
（2）如图2，若是的外部任意一点，，垂足分别是、是的中点．问与有何数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①
解：②，
，
在中，是的中点，
，
，
，
同理可知，，
；
（2）解：．
理由如下：如图，，
，
在中，是的中点，
，
，
，
同理可知，，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）①∵，
∴∠PMO=∠PNO=90°，即△POM与△PNO都是直角三角形，
又∵点D是OP的中点，，
，
故答案为：；
【分析】（1）①根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得到；
②根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出DM=OD，由等边对等角得到，由三角形外角性质得到，同理得到，从而根据角的构成及等量代换可得结论；
（2）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出DM=OD，由等边对等角得到，由三角形外角性质得到，同理得到，从而根据角的构成及等量代换可得结论．
21．（1）【数学思考】在数学活动课上．老师让同学们就三角形的中线进行进一步的探究：如图1，是的中线，，求中线的取值范围．小聪同学延长至点，使，连接．最后求得了的取值范围，请你帮他写出求解过程．
（2）【深入探究】如图2，中，点，在边上，，过点作，交的角平分线于点，求的长．
（3）【拓展延伸】如图3，在中，，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，求的长．
【答案】（1）解：是的中线，
．
在和中，
，
，
．
，
．
在中，
，
即，
，
；
（2）解：延长至点，使，连接，
在和中，
，
，
．
，
．
平分，
，
，
是等腰三角形，
，
．
，
；
（3）解：，平分，
．
，
，∠AFG=∠CAD=45°，
AG=AF，
延长至点，使，连接，
点为边的中点，
．
在和中，
，
，
，，
，
是等腰三角形，
，
．
设，则，
，
，
，
，
解得（负值舍去），
的长为2．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）利用“SAS”证△ACD≌△EBD，由全等三角形的对应边相等得AC=BE=1，在△ABE中，根据三角形三边关系得出AE的取值范围，进而即可得出AD的取值范围；
（2）延长至点，使，连接， 利用“SAS”证△FED≌△GCD，由全等三角形的对应边相等、对应角相等可得，EF=CG=3；根据角平分线的定义得到，根据二直线平行，同位角相等得到，由等量代换得，由等角对等边得CG=CA=3；
（3）由角平分线定义，平行线性质及对顶角相等得由等角对等边得AG=AF；延长GE至点H，使GE=HE，连接CH， 用“SAS”证△GBE≌△HCE，由全等三角形的对应边相等、对应角相等可得∠H=∠G=45°，BG=CH；则推出∠H=∠CFH=45°，由等角对等边得FC=HC=BG=6，设AG=AF=x，用含x的式子白实处AB、AC，然后根据△ABC的面积为16，由面积公式建立方程求出x的值即可得出答案.
22．如图1， P是等边 内一点，连结AP，BP.将线段BP绕点 B顺时针旋转( 得到线段BP'，连结CP'.
（1） 求证：
（2） 如图2， 连结(CP，PP'.
①当 且 为等腰三角形时，求出 的度数.
②当PB=2，AB=6，且 '时，请直接写出点A 到点 P'的距离.
【答案】（1）证明：由旋转得：PB=P'B，∠PBP'=60°
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∴∠ABC=∠PBP'，
∴∠ABP=∠CBP'，
在△APB和中，
∴△APB≌△CP'B(SAS)
（2）解：①∵PB=P'B，∠PBP'=60°，是等边三角形，
∴∠BPC=∠BP'P=60°，
由(1)知：
∴∠CP'B=∠APB=130°，
∴∠CP'P=130°-60°=70°，
为等腰三角形，
或PC=P'C或PP'=CP'，当PC=PP'时，
∴∠CPP'=180°-70°-70°=40°，
∴∠CPB=40°+60°=100°；
当PC=P'C时，
∴∠CPB=60°+70°=130°；
当PP'=CP'时，
∴∠CPB=55°+60°=115°；
综上，当为等腰三角形时，∠CPB的度数为100°或130°或115°；
②+1
【知识点】三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（2）②如图3，过点B作BD⊥PP'于D，则∠ADB=∠
由(1)知：
∴A，P，P'三点共线，
中，
中勾股定理得：，
，
，
故答案为：+1.
【分析】(1)根据SAS可证明两三角形全等；
(2)①先根据全等三角形的性质得，从而可得最后根据为等腰三角形分三种情况讨论即可解答；
②如图3，过点B作BD⊥PP'于D，则∠ADB=∠先证明A，P，P'三点共线，再根据30°的直角三角形的性质可得.DP'=1，利用勾股定理计算BD和AD的长即可解答.
23．
（1）【图形感知】
如图1， 等腰Rt△AOB中， ∠AOB=90°， l是过O点在∠AOB 内部的一条射线， 过A作AC⊥l于点C， 过B作BD⊥l于点D， 若AC=2， CD=3， 求BD 的长.
（2）【问题探究】
如图2，在等腰Rt△ABD中，∠BAD=90°，C是BD下方一点，连结BC、AC、CD，若 AC=10， △ACD 的面积为40， 求△ABC的面积.
（3）【拓展启思】
如图3， 在△ABC中，. D是边AB上的点， E、F是边AC上的点， DF∥BC， ∠EDF=30°.若CE=2AD， G是AB 上一动点， 连接FG、CG，求FG+CG的最小值.
【答案】（1）解：由题可知∠AOB=∠ACO=∠BDO=90°，
∴∠AOC=∠DBO=90°-∠BOD，
在等腰Rt△AOB中，OA=OB，
∴△AOC≌△OBD(AAS)，
∴AC=OD=2，OC=BD，
∵CD=3，
∴AC=OD+CD=5，
∴BD=5
（2）解：如图，过D作DF⊥AC于点E，过B作BF⊥AC于点F，
则
∵AC=10，∴DE=8，
由题可知∠AFB=∠BAD=∠AED=90°，
∴∠BAF=∠ADE=90°-∠DAE，
∵AB=AD，
∴AF=DE=8，
∴CF=AC-AF=2，
∵∠ACB=60°，
∴∠CBF=30°，
∴BC=2CF=4，
（3）解：∵AB=AC，∠B=75°，
∴∠A=30°，
∵DF∥BC，
∴∠DFE=∠ACB=75°，AD=AF，
∴∠EDF=30°，
∴∠DEF=∠DFE=75°，
如图，过D作于点D，则EI=FI，
设DI=a，则AD=2a，则
设CF=2b，
即
作C关于AB的对称点R，连接CR交AB于点R，则CG=RG，
在中，
当且仅当F、
G、R三点共线时取等，
即FG+GC的最小值为FR的长，
过F作
即FG+GC的最小值为
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-AAS；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】(1)证即可得解；
(2)参考(1)中思路，构造全等三角形，再利用直角三角形的性质即可得解；
(3)由题易得过D作AF于点D，则.EI=FI，设DI=a，则AD=2a，则再设CF=2b，可推出(，进而可得作C关于AB的对称点R，连接CR交AB于点R，易得(CQ=(1进而可得AQ、BQ，在.中，利用勾股定理求出进而可得再利用轴对称最短路径求解即可.
24．在等腰直角．
（1）如图1，D，E是等腰直角斜边上两动点，且，将绕点A逆时针旋转得到，连接．
①求证：；
②当时，求的长．
（2）如图2，是等腰直角斜边所在直线上的一动点，连接，以为直角顶点作等腰直角，当时，则　 　．
【答案】（1）①证明：如图1中，
∵，
∴△BAE≌△CAF，
∴∠BAE=∠CAF，
∵∠BAC=90°，∠EAD=45°，
∴∠CAD+∠BAE=∠CAD+∠CAF=45°，
∴∠DAE=∠DAF，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（SAS）．
②解：如图1中，设DE=x，则CD=7-x.
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵∠ABE=∠ACF=45°，
∴∠DCF=90°，
∵△AED≌△AFD（SAS），
∴DE=DF=x，
在Rt△DCF中，∵DF2=CD2+CF2，CF=BE=3，
∴x2=（7-x）2+32，
∴x=，
∴DE=．
（2）或
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】
（2）解：连接BE.
中、
如图，当点D在线段BC上时，
如图，当点D在线段BC外时，
综上所述，DE等于或.
【分析】
（1） ① 由于，则可由旋转全等模型证明，则有，再由可得，再由可证明；
② 由可得DF＝DE，再由可得、CF＝BE＝3，则可证，再设DE=x，则DF=x、DC＝7-x，再在中应用勾股定理即可；
（2）连接BE，则由旋转全等模型可证，则，，由于点D在直线BC上，则应分类讨论，即当D在线段BC上时或点D在线段CB外时，再利用全等三角形的性质分别求出BE的值，再利用勾股定理计算即可.
25．和是两个等腰直角三角形（）的三角板．
（1）【问题初探】当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，在同一直线上，连接，请证明：；
（2）【类比探究】当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】如图（3），在四边形中，，连接，，点A到直线的距离为5，请求出的面积．
【答案】（1）∵△ABC和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，
∴，，，
∴，
∴；
（2），，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
延长与交于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过作交延长线于，过作交于，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵A到直线的距离为5，
∴AN=5，
∵，
∴CM=2AN=10，
∵，，
∴CD=BC=
∴
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线；旋转全等模型
【解析】【分析】
（1）由于两个等腰直角三角形ABC和DBE有公共顶点B，则可利用旋转全等模型证明结论成立；
（2）延长EC交DA的延长线于点O，同（1）先证明，再利用全等三角形的对应角相等结合三角形的内角和定理可得；
（3）过作交延长线于，则为等腰直角三角形，再由旋转全等模型可证明，则、，所以是直角三角形；再过点A作CM的垂线段AN，则也是等腰直角三角形，所以CM=2AN=10；此时再结合已知可依次求得CD=BC=，再利用三角形的面积公式求解即可.
26．如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，可以证明，我们将这个模型称为“一线三直角”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题：
（1）如图2，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A坐标为，C的坐标为，则点B的坐标为_______；
（2）如图3，在平面直角坐标系中，等腰，与y轴交点D，点C的坐标为，A点的坐标为，求点B的坐标．
（3）如图4，等腰，，当点C在x轴正半轴上运动，点在y轴正半轴上运动，点在第四象限时，作轴于点D，请直接写出a，m，n之间的关系．
【答案】（1）解：过点B作交直线于点D，如图，
∴∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠BCD=90°，
∵∠AOC=90°，
∴∠BDC=∠AOC，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACO=90°，
∴∠ACO=∠DBC，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点A坐标为，C的坐标为，
∴，
∴，
∴点B的坐标为，
故答案为：；
（2）解：过点B作轴交y轴于点E，如图，
∵∠AOC=∠ACB=90°，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∵，
∴，
∵点C的坐标为，A点的坐标为，
∴，
∴
∴，
∴点B的坐标；
（3）解：过点B作轴交x轴于点E，如图，
则，
∵点在y轴正半轴上运动，点在第四象限，
∴，，
同理可证，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）过点B作交直线于点D，利用“一线三垂直”全等三角形模型可证明，从而得，结合点A、C的坐标得，根据即可求得点B坐标；
（2）过点B作轴交y轴于点E，同理利用“一线三垂直”全等三角形模型可证明，结合点A、C的坐标得根据即可求得点B坐标；
（3）过点B作轴交x轴于点E，则，根据点坐标得，，同理可证，，则，结合即可求得关系式．
（1）解：过点B作交直线于点D，如图，
∵，，，
∴，
∴，
∵点A坐标为，C的坐标为，
∴，
∴，
则点B的坐标为，
故答案为：；
（2）解：过点B作交于点E，如图，
∵点C的坐标为，A点的坐标为，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
则，
那么，点B的坐标；
（3）解：过点B作交于点E，如图，
则，
∵点在y轴正半轴上运动，点在第四象限，
∴，，
同理可证，，
∴，
∵，
∴，
则．
27． 请阅读下面的材料.
（1）问题： 如图1，若∠A =60°，∠ACB =90°，CD平分∠ACB，探究图中线段BC，AC，AD之间的数量关系.
小明同学的思路是：如图2，在BC上截取CE =CA，连接DE，先证 可得AD=DE，再证BE=DE，可得出结论，他的结论是　 　(直接写出结论，不需要证明).
（2）变式：如图3，在四边形ABCD中，点E是BC的中点，若AE平分 请你探究图中线段AB，AD，CD之间的数量关系并证明.
（3） 拓展： 如图4，在△ABC中，和 的平分线交于点P，点M，N分别为AB，AC上的点，且点P为MN中点，若BM=8，CN=1.5，MN=7，求BC的值.
【答案】（1）BC =AC+AD
（2）解：AD =AB+CD， 理由如下：
在AD上截取AF =AB， 连接EF， 如图，
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE =∠FAE
∵AE = AE
∴△BAE≌△FAE(SAS)
∴∠AEF =∠AEB， BE =EF
∵E是BC的中点
∴CE = BE = EF
∵∠AED=90°
∴∠AEF+∠DEF =90°，∠AEB +∠DEC =90°
∴∠DEF =∠DEC
∵DE = DE
∴△DEF≌△DEC(SAS)
∴DF = DC
∴AD=AF+DF
∴AD =AB+CD
（3）解：在BC上截取CG=CN， BH =BM， 连接PG， PH， 如图，
∵CP平分∠ACB， BP平分∠ABC
∵∠A +∠ABC+∠ACB = 180°
∴∠CPN +∠BPM =60°
易证： △CPN≌△CPG， △BPM≌△BPH
∴∠CPN=∠CPG，∠BPM=∠BPH， PN =PG， PM=PH， CN =CG =1.5，BM =BH =8
∴∠CPG +∠BPH = 60°
∴∠GPH =∠BPC-(∠CPG+∠BPH)=60°
∴△GPH为等边三角形
∵P为MN中点
∴PG=PH = GH =3.5
∴BC=BH+GH+CG=BM+GH+CN=8+3.5+1.5=13
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；截长补短构造全等模型
【解析】【解答】
解：（1）在CB上截取CE=AC，连接DE，如图，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ACD，
又∵CD=CD，
∴△ECD≌△ACD（SAS），
∴EC=AC，DE=AD，∠CED=∠A=60°，
∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
又∵∠CED=∠EDB+∠B，
∴∠EDB=60°-30°=30°，
∴∠EDB=∠B，
∴BE=DE，
∴BE=AD，
∵BC=EC+BE，
∴BC=AC+AD；
【分析】 （1）证△ECD≌△ACD（SAS），得EC=AC，DE=AD，∠CED=∠A=60°，再证BE=DE，则BE=AD，即可得出结论；
（2）在AD上截取AF=AB，连接EF，证明△BAE≌△FAE（SAS），得∠AEF=∠AEB，BE=EF，再证明△DEF≌△DEC（SAS），得DF=DC，进而得出结论；
（3）在BC上截取CG=CN，BH=BM，连接PG，PH，证明∠CPN+∠BPM=60°，结合（1）知：△CPN≌△CPG，△BPM≌△BPH，得∠CPN=∠CPG，∠BPM=∠BPH，PN=PG，PM=PH，然后证明△GPH为等边三角形，得GH=PG=PH=3.5，进而得出结论．
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