资源简介

广东省深圳市龙岗区外国语学校2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题
一、单选题（每题3分，共24分）
1．若两个相似三角形的面积比为，则这两个相似三角形的周长比（　　）
A． B． C． D．无法确定
2．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球.若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为(　　)
A．16 B．20 C．24 D．28
3．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（　　）
A．1 B．－1 C．4 D．－4
4．如图，点E是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点F，则为（　　）
A． B． C． D．无法确定
5．如下表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（　　）
x … 0 1 2 …
… 6 2 0 0 2 …
A．， B．，
C．， D．，
6．如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形．原三角形不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（　　）
A．40 B．80 C．160 D．
8．如图在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且，为了使四边形是正方形．可以添加一个条件（　　）
A． B． C． D．E为的中点
二、填空题（每题3分，共15分）
9．若，则　 　．
10．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．
可以估计“钉尖向上”的概率是　 　．（结果精确到0.01）．
11．如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边，延长AB到E，使AE = AC，以AE为一边作菱形AEFC，若菱形的面积为，则正方形边长为　 　．
12．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金比，则称该矩形为黄金矩形．如图，已知矩形是黄金矩形，且，，点E是上一点，点G是上一点，将沿直线折叠，使点A落在边上的点F处，再将沿直线折叠，使点D落在上的点H处，则的长为　 　．
13．如图，在平行四边形中，过B作且交于E，以为对称轴将对称至，，已知，，则　 　．
三、解答题（14题6分，15题7分，16题9分，17题8分，18题9分，19题10分，20题12分）
14．解方程：
（1）
（2）
15．为了缅怀科学家，九年级某班要召开一次“科学强国”主题活动，李老师做了编号为，，，的四张卡片（如下图，除编号和内容外，其余均相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）小智随机抽取张卡片，抽到卡片编号为的概率为____________．
（2）小智从张卡片中随机抽取张不放回，小慧再从余下的张卡片中随机抽取张，然后根据抽取的卡片讲述相关科学家事迹，请用画树状图或列表的方法，求小智、小慧两人中恰好有一人讲述钱学森事迹的概率．
16．在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形．
（1）在图中标出位似中心P的位置；
（2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为；
（3）分别写出A，B的对应点，的坐标：________，________．
（4）已知的面积为2.5，则四边形的面积为________．
17．为了更好推广广东本地美食——绿豆饼，让我们一起制定销售方案吧：
主题：绿豆饼销售方案制定问题
广东本地美食绿豆饼历史悠久，为了能吸引不同口味需求的人流进店消费，某店推出“榴莲绿豆饼”，“抹茶绿豆饼”两个新品．
素材1 榴莲绿豆饼：每份21元 抹茶绿豆饼：每份19元
素材2 经统计，该店7月份“榴莲绿豆饼”销售量为500份，9月份销售量为720份；而“抹茶绿豆饼”9月份销售量为660份．
素材3 为了尽快减少库存，决定10月份对“抹茶绿豆饼”作降价促销，已知每份“抹茶绿豆饼”的成本为10元．经试验，发现该款抹茶绿豆饼每降价1元，月销售量就会增加110份．
问题解决
任务1 求该甜品店“榴莲绿豆饼”7月份到9月份销售量的月平均增长率是多少？
任务2 为了使该店10月份“抹茶绿豆饼”的总利润达到6160元，求该抹茶绿豆饼应该降价多少元？
18．如图，菱形的对角线、相交于点O．
（1）尺规作图：过点D作，且，并使得点E在点D的左侧，连接，；（不用说明作图过程，保留作图痕迹）
（2）在（1）的作图要求下，完成下边两问：
①求证：四边形为矩形；
②若菱形的边长为4，，求的长．
19．请认真阅读材料
材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程，的两根，有如下的关系：，；
材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m、n看作是此方程的两个不相等的实数根；
材料3：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根；
材料4：如果实数m、n满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，将m、n看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有m、n两个实数根．
请根据上述材料解决下面问题：
（1）已知实数m、n且，满足、，求的值．
（2）已知实数p、q满足、，且，求的值．
（3）已知实数a、b、c满足、，求c的最大值．
20．（1）模型感知：
①如图1，在菱形中，，在和上分别取点F和点E，使且，此时________，和的数量关系是________．
②如图2，在菱形中，，在和上分别取点F和点E，使，
证明：．
（2）深入探究：
如图3，在菱形中，，在上取点F，连接，在和上分别取点M和点E，使，延长与交于点N，当时，求的值．
（3）拓展延伸
在平行四边形中，在直线上取一点F，连接，已知，，在上取点M，使得，直线与直线交于点E，且，此时的值为________（直接写出结果）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应周长；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为，且面积比等于相似比的平方，
∴相似比，
∴周长比．
故选：B．
【分析】根据相似三角形的性质结合题意即可求解。
2．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据题意知=20%，
解得a=20，
经检验：a=20是原分式方程的解，
故答案为：B．
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此结合概率公式建立方程，求解即可.
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】根据题意得△＝（-2）2 4 a＝0，
解得：a＝1．
故答案：A．
【分析】根据二次方程有两个相等的实数根，则判别式，解方程即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
故选：B．
【分析】
先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到对边平行的关系，进而推出两个三角形相似，最后根据相似三角形的性质求解题目问题.
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；估算一元二次方程的近似解
【解析】【解答】解：由表格可得，当或时，，
∴关于的方程的实数根是，．
故选：B．
【分析】
观察表格信息可以得到，当，或是时，满足等式，根据根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是一元二次方程的根，即可得到对应结果.
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A. 如图，
∵，
∴，故A选项不合题意；
B. 如图，
∵，
∴，故B选项不合题意；
C.如图，
∵
∴，
∵，
∴，故C选项不合题意；
D. 如图，
∵，
∴，
但不一定等于，
∴无法判定与相似，故D选项符合题意．
故选：D
【分析】
依据相似三角形的判定定理，对每个选项逐一分析判断，就可以得到结果.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；平行四边形的面积；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴菱形的面积．
故选：B．
【分析】
根据菱形的性质可得，由此可以推出；之后利用直角三角形斜边中线的性质计算得到的长度，最后代入菱形的面积公式计算得出最终结果即可.
8．【答案】C
【知识点】菱形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：∵的垂直平分线交于点D，交于点E，
∴，，，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
故A不符合题意；
当添加时，则四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
故B不符合题意；
当时，
∵，
∴，
∴，
∴菱形是正方形，
故C符合题意；
当E为的中点时，得到
无法判定菱形是正方形，
故D不符合题意；
故选：C．
【分析】
利用垂直平分线的性质证明四边形BECF为菱形，再根据正方形的判定定理（有一个角是直角的菱形是正方形）分析各个选项即可.
9．【答案】
【知识点】比例的性质；利用等式的性质将等式变形；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
故答案为：
【分析】首先根据等式的性质可得出，通过计算即可得出。
10．【答案】
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意知，估计“钉尖向上”的概率是，
故答案为：．
【分析】
利用频率估计概率的相关知识：当试验的次数足够多时，频率会逐渐稳定在一个常数附近，这个稳定的常数就可以用来估计事件发生的概率，据此结合题目信息求解即可.
11．【答案】3
【知识点】勾股定理；菱形的性质；正方形的性质；平行四边形的面积；二次根式的除法
【解析】【解答】
解：设正方形的边长为x，
AC＝AE＝x，
CB＝x是菱形的高，
x x＝9，
x＝3．
故答案为：3．
【分析】设正方形的边长为x，根据正方形的性质及勾股定理可得出AC＝AE＝x，进而根据菱形的面积，可得出x x＝9，解方程即可得出x＝3．即正方形的边长为3．
12．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；黄金分割
【解析】【解答】解：∵矩形是黄金矩形，且，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵沿直线折叠得到，点A落在边上的点F处，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∵沿直线折叠，点D落在上的点H处，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
先根据黄金分割的定义求出的长度，再结合矩形的性质与折叠的性质，判定四边形为正方形，因此可得；之后根据折叠的性质得到，最后根据线段关系就可以求出对应线段的长度，完成求解.
13．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；轴对称的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵与关于对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
即，
解得：（只取正值），
即，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据轴对称的性质和平行线的性质，可以推出；接下来设，由此可得，之后分别在中，借助勾股定理列出方程求解出x的值，进一步计算即可得到最终结果.
14．【答案】（1）解：，
，
，
解得；

（2）解：，，
解得．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1）本题形式适合用直接开平方法求解方程；
（2）本题可整理后通过因式分解法求出方程的解.
（1）解：，
，
，
解得；
（2），
，
解得．
15．【答案】（1）
（2）解：画树状图如图，
共有种等可能的结果数，其中小智、小慧两人中恰好有一人讲述钱学森事迹的有种结果，
∴小智、小慧两人中恰好有一人讲述钱学森事迹的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）小智随机抽取张卡片，抽到卡片编号为的概率为，
故填：；
【分析】（）直接利用概率公式进行计算，即可得出答案；
（）根据题意先画树状图列出所有等可能结果数的，找出小智、小慧两人中恰好有一人讲述钱学森事迹的结果数，再根据概率公式进行计算，即可得出答案.
（1）解：小智随机抽取张卡片，抽到卡片编号为的概率为，
故答案为：；
（2）解：画树状图如图，
共有种等可能的结果数，其中小智、小慧两人中恰好有一人讲述钱学森事迹的有种结果，
∴小智、小慧两人中恰好有一人讲述钱学森事迹的概率为．
16．【答案】（1）解：如图：P即为所画；
（2）解：如图：即为所画；
（3），
（4）7.5
【知识点】作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】
（3）解：已知，以原点为位似中心，位似比为，且在第三象限，
的坐标为，的坐标为，
故答案为：，；
（4）解：与的位似比为2：1，
它们的面积比为，
，
，
四边形的面积为．
故答案为：．
【分析】
（1）位似图形所有对应点的连线会相交于位似中心，据此可以确定点P的位置；
（2）结合给出的位似比，以及位似中心位于第三象限的要求，画出对应的位似图形；
（3）依据位似变换的坐标变化规律，计算得到、的坐标；
（4）根据位似图形的面积比等于相似比的平方，计算得到四边形的面积.
（1）解：如图：P即为所画；
（2）解：如图：即为所画；
（3）解：已知，以原点为位似中心，位似比为，且在第三象限，
的坐标为，的坐标为，
故答案为：，；
（4）解：与的位似比为2：1，
它们的面积比为，
，
，
四边形的面积为．
故答案为：．
17．【答案】任务1：解：设月平均增长率为，根据7月份销售量和9月份销售量的关系，列出一元二次方程求解．
设该店“榴莲绿豆饼”7月份到9月份销售量的月平均增长率为，
由题意得，
解得；
即该甜品店“榴莲绿豆饼”7月份到9月份销售量的月平均增长率是20%。
任务2：解：设“抹茶绿豆饼”应该降价元，则每份的利润为元，月销售量为份，
，
解得或，
为了尽快减少库存，，
答：为了使该店10月份“抹茶绿豆饼”的总利润达到6160元，求该抹茶绿豆饼应该降价2元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1，设月平均增长率为，则8月份销售量为500（1+x），月份销售量为500（1+x）2，此时列出一元二次方程，求解x即可；
任务2，结合条件得出每份的利润为元，而月销售量为份，根据“利润=每份的利润×月销售量”，列式得出方程，求出m的两个值之后，因为“尽快减少库存”，因此多降价才可以达到，故m=2.
18．【答案】（1）解：作图如下：
（2）①证明：由作法知：，∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
即，
∴四边形是矩形；
②解：∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，四边形是矩形，
∴，，
由勾股定理得：，
∴，
在中，由勾股定理得：．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的判定；作图-平行线；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】
（1）作图步骤为：分别以点D、点C为圆心，分别以的长度为半径画弧，两段弧相交于点E，此时就可以得到，同时满足；
（2）①结合菱形的性质，再根据我们的作图过程，就可以完成证明；②根据题目条件可以推出是等边三角形，由此可以得到，同时计算得到，进而就能求出对角线的长度，最后在中，运用勾股定理就可以计算出要求的线段长.
（1）解：作图如下：
（2）①证明：由作法知：，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
即，
∴四边形是矩形；
②解：∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，四边形是矩形，
∴，，
由勾股定理得：，
∴，
在中，由勾股定理得：．
19．【答案】（1）解：，且，
∴是方程的两个不相等的实数根，
，
（2）解：，
∴是方程的根，
，且，
，
∴是方程的根，
又 ∵，即，
∴和是方程的两个不相等的实数根，
，
．
（3）解：，
，
，
又，
，
∴是方程的实数根，
即方程有实数根，
∴判别式，
，
即，
，
，
，
，
，
又，
∴的最大值为2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据题目给出的条件，可知和是一元二次方程的两个不相等的根，先通过韦达定理得到两根和与两根积的值，再对所求的进行代数恒等变形，代入计算即可得到结果。
（2）先对第二个方程整理变形，得到以为未知数的一元二次方程，将这个方程和p满足的原方程对比，可发现结构完全一致，因此和是一元二次方程的两个根，再利用韦达定理得到两根和与两根积，代入所求的代数式计算即可。
（3）先根据条件得到a+b和ab关于c的表达式，由于a和b都是实数，说明以a、b为根的一元二次方程存在实根，因此判别式大于等于0，据此建立关于的不等式，解不等式后就能得到的最大值.
（1）解：，且，
∴是方程的两个不相等的实数根，
，
．
（2）解：，
∴是方程的根，
，且，
，
∴是方程的根，
又 ∵，即，
∴和是方程的两个不相等的实数根，
，
．
（3）解：，
，
，
又，
，
∴是方程的实数根，
即方程有实数根，
∴判别式，
，
即，
，
，
，
，
，
又，
∴的最大值为2．
20．【答案】（1）①，相等；②证明：如图，连接，过点A作于点M，于点N，
由①可知，，，
∵，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）过点作交于点，延长交于点，如图所示：
，
由（1）可知，当时，，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
；
（3）
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】（1）①解：∵在菱形中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
故答案为：；相等．
（3）延长交于点，如图所示：
，，
，
，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，，
，即，
，
，
，
，则．
故的值为．
【分析】
（1）①由菱形的性质可知，菱形的对角线会平分一组内角，因此可以推出。再结合题目给出的已知条件、，可以推导得出，最后利用角角边（AAS）全等判定定理，即可证明，从而得到对应结论；
②连接，过点A分别作，垂足为点M，作，垂足为点N。结合①中已经得到的结论，可以推出，且；再通过角的和差关系，推导得到，最后利用角角边（AAS）全等判定定理证明，即可得到对应结论；
（2）过点作，让它交于点，之后延长，与相交于点，由此可以得到。结合第(1)问得到的结论，能够推出，再借助菱形本身的性质，可以证明，同时还能证明四边形是平行四边形，进而得到，最后通过比例变换，就可以推导出最终结果；
（3）延长AM和BC，两条延长线交于点，先证明，由此求出线段的长度，接下来分别证明和，最后利用相似三角形对应边成比例的性质，就可以计算得到最终答案.
1 / 1广东省深圳市龙岗区外国语学校2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题
一、单选题（每题3分，共24分）
1．若两个相似三角形的面积比为，则这两个相似三角形的周长比（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应周长；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为，且面积比等于相似比的平方，
∴相似比，
∴周长比．
故选：B．
【分析】根据相似三角形的性质结合题意即可求解。
2．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球.若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为(　　)
A．16 B．20 C．24 D．28
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据题意知=20%，
解得a=20，
经检验：a=20是原分式方程的解，
故答案为：B．
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此结合概率公式建立方程，求解即可.
3．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（　　）
A．1 B．－1 C．4 D．－4
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】根据题意得△＝（-2）2 4 a＝0，
解得：a＝1．
故答案：A．
【分析】根据二次方程有两个相等的实数根，则判别式，解方程即可求出答案.
4．如图，点E是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点F，则为（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
故选：B．
【分析】
先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到对边平行的关系，进而推出两个三角形相似，最后根据相似三角形的性质求解题目问题.
5．如下表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（　　）
x … 0 1 2 …
… 6 2 0 0 2 …
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；估算一元二次方程的近似解
【解析】【解答】解：由表格可得，当或时，，
∴关于的方程的实数根是，．
故选：B．
【分析】
观察表格信息可以得到，当，或是时，满足等式，根据根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是一元二次方程的根，即可得到对应结果.
6．如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形．原三角形不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A. 如图，
∵，
∴，故A选项不合题意；
B. 如图，
∵，
∴，故B选项不合题意；
C.如图，
∵
∴，
∵，
∴，故C选项不合题意；
D. 如图，
∵，
∴，
但不一定等于，
∴无法判定与相似，故D选项符合题意．
故选：D
【分析】
依据相似三角形的判定定理，对每个选项逐一分析判断，就可以得到结果.
7．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（　　）
A．40 B．80 C．160 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；平行四边形的面积；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴菱形的面积．
故选：B．
【分析】
根据菱形的性质可得，由此可以推出；之后利用直角三角形斜边中线的性质计算得到的长度，最后代入菱形的面积公式计算得出最终结果即可.
8．如图在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且，为了使四边形是正方形．可以添加一个条件（　　）
A． B． C． D．E为的中点
【答案】C
【知识点】菱形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：∵的垂直平分线交于点D，交于点E，
∴，，，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
故A不符合题意；
当添加时，则四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
故B不符合题意；
当时，
∵，
∴，
∴，
∴菱形是正方形，
故C符合题意；
当E为的中点时，得到
无法判定菱形是正方形，
故D不符合题意；
故选：C．
【分析】
利用垂直平分线的性质证明四边形BECF为菱形，再根据正方形的判定定理（有一个角是直角的菱形是正方形）分析各个选项即可.
二、填空题（每题3分，共15分）
9．若，则　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质；利用等式的性质将等式变形；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
故答案为：
【分析】首先根据等式的性质可得出，通过计算即可得出。
10．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．
可以估计“钉尖向上”的概率是　 　．（结果精确到0.01）．
【答案】
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意知，估计“钉尖向上”的概率是，
故答案为：．
【分析】
利用频率估计概率的相关知识：当试验的次数足够多时，频率会逐渐稳定在一个常数附近，这个稳定的常数就可以用来估计事件发生的概率，据此结合题目信息求解即可.
11．如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边，延长AB到E，使AE = AC，以AE为一边作菱形AEFC，若菱形的面积为，则正方形边长为　 　．
【答案】3
【知识点】勾股定理；菱形的性质；正方形的性质；平行四边形的面积；二次根式的除法
【解析】【解答】
解：设正方形的边长为x，
AC＝AE＝x，
CB＝x是菱形的高，
x x＝9，
x＝3．
故答案为：3．
【分析】设正方形的边长为x，根据正方形的性质及勾股定理可得出AC＝AE＝x，进而根据菱形的面积，可得出x x＝9，解方程即可得出x＝3．即正方形的边长为3．
12．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金比，则称该矩形为黄金矩形．如图，已知矩形是黄金矩形，且，，点E是上一点，点G是上一点，将沿直线折叠，使点A落在边上的点F处，再将沿直线折叠，使点D落在上的点H处，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；黄金分割
【解析】【解答】解：∵矩形是黄金矩形，且，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵沿直线折叠得到，点A落在边上的点F处，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∵沿直线折叠，点D落在上的点H处，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
先根据黄金分割的定义求出的长度，再结合矩形的性质与折叠的性质，判定四边形为正方形，因此可得；之后根据折叠的性质得到，最后根据线段关系就可以求出对应线段的长度，完成求解.
13．如图，在平行四边形中，过B作且交于E，以为对称轴将对称至，，已知，，则　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；轴对称的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵与关于对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
即，
解得：（只取正值），
即，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据轴对称的性质和平行线的性质，可以推出；接下来设，由此可得，之后分别在中，借助勾股定理列出方程求解出x的值，进一步计算即可得到最终结果.
三、解答题（14题6分，15题7分，16题9分，17题8分，18题9分，19题10分，20题12分）
14．解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
，
，
解得；

（2）解：，，
解得．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1）本题形式适合用直接开平方法求解方程；
（2）本题可整理后通过因式分解法求出方程的解.
（1）解：，
，
，
解得；
（2），
，
解得．
15．为了缅怀科学家，九年级某班要召开一次“科学强国”主题活动，李老师做了编号为，，，的四张卡片（如下图，除编号和内容外，其余均相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）小智随机抽取张卡片，抽到卡片编号为的概率为____________．
（2）小智从张卡片中随机抽取张不放回，小慧再从余下的张卡片中随机抽取张，然后根据抽取的卡片讲述相关科学家事迹，请用画树状图或列表的方法，求小智、小慧两人中恰好有一人讲述钱学森事迹的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图如图，
共有种等可能的结果数，其中小智、小慧两人中恰好有一人讲述钱学森事迹的有种结果，
∴小智、小慧两人中恰好有一人讲述钱学森事迹的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）小智随机抽取张卡片，抽到卡片编号为的概率为，
故填：；
【分析】（）直接利用概率公式进行计算，即可得出答案；
（）根据题意先画树状图列出所有等可能结果数的，找出小智、小慧两人中恰好有一人讲述钱学森事迹的结果数，再根据概率公式进行计算，即可得出答案.
（1）解：小智随机抽取张卡片，抽到卡片编号为的概率为，
故答案为：；
（2）解：画树状图如图，
共有种等可能的结果数，其中小智、小慧两人中恰好有一人讲述钱学森事迹的有种结果，
∴小智、小慧两人中恰好有一人讲述钱学森事迹的概率为．
16．在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形．
（1）在图中标出位似中心P的位置；
（2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为；
（3）分别写出A，B的对应点，的坐标：________，________．
（4）已知的面积为2.5，则四边形的面积为________．
【答案】（1）解：如图：P即为所画；
（2）解：如图：即为所画；
（3），
（4）7.5
【知识点】作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】
（3）解：已知，以原点为位似中心，位似比为，且在第三象限，
的坐标为，的坐标为，
故答案为：，；
（4）解：与的位似比为2：1，
它们的面积比为，
，
，
四边形的面积为．
故答案为：．
【分析】
（1）位似图形所有对应点的连线会相交于位似中心，据此可以确定点P的位置；
（2）结合给出的位似比，以及位似中心位于第三象限的要求，画出对应的位似图形；
（3）依据位似变换的坐标变化规律，计算得到、的坐标；
（4）根据位似图形的面积比等于相似比的平方，计算得到四边形的面积.
（1）解：如图：P即为所画；
（2）解：如图：即为所画；
（3）解：已知，以原点为位似中心，位似比为，且在第三象限，
的坐标为，的坐标为，
故答案为：，；
（4）解：与的位似比为2：1，
它们的面积比为，
，
，
四边形的面积为．
故答案为：．
17．为了更好推广广东本地美食——绿豆饼，让我们一起制定销售方案吧：
主题：绿豆饼销售方案制定问题
广东本地美食绿豆饼历史悠久，为了能吸引不同口味需求的人流进店消费，某店推出“榴莲绿豆饼”，“抹茶绿豆饼”两个新品．
素材1 榴莲绿豆饼：每份21元 抹茶绿豆饼：每份19元
素材2 经统计，该店7月份“榴莲绿豆饼”销售量为500份，9月份销售量为720份；而“抹茶绿豆饼”9月份销售量为660份．
素材3 为了尽快减少库存，决定10月份对“抹茶绿豆饼”作降价促销，已知每份“抹茶绿豆饼”的成本为10元．经试验，发现该款抹茶绿豆饼每降价1元，月销售量就会增加110份．
问题解决
任务1 求该甜品店“榴莲绿豆饼”7月份到9月份销售量的月平均增长率是多少？
任务2 为了使该店10月份“抹茶绿豆饼”的总利润达到6160元，求该抹茶绿豆饼应该降价多少元？
【答案】任务1：解：设月平均增长率为，根据7月份销售量和9月份销售量的关系，列出一元二次方程求解．
设该店“榴莲绿豆饼”7月份到9月份销售量的月平均增长率为，
由题意得，
解得；
即该甜品店“榴莲绿豆饼”7月份到9月份销售量的月平均增长率是20%。
任务2：解：设“抹茶绿豆饼”应该降价元，则每份的利润为元，月销售量为份，
，
解得或，
为了尽快减少库存，，
答：为了使该店10月份“抹茶绿豆饼”的总利润达到6160元，求该抹茶绿豆饼应该降价2元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1，设月平均增长率为，则8月份销售量为500（1+x），月份销售量为500（1+x）2，此时列出一元二次方程，求解x即可；
任务2，结合条件得出每份的利润为元，而月销售量为份，根据“利润=每份的利润×月销售量”，列式得出方程，求出m的两个值之后，因为“尽快减少库存”，因此多降价才可以达到，故m=2.
18．如图，菱形的对角线、相交于点O．
（1）尺规作图：过点D作，且，并使得点E在点D的左侧，连接，；（不用说明作图过程，保留作图痕迹）
（2）在（1）的作图要求下，完成下边两问：
①求证：四边形为矩形；
②若菱形的边长为4，，求的长．
【答案】（1）解：作图如下：
（2）①证明：由作法知：，∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
即，
∴四边形是矩形；
②解：∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，四边形是矩形，
∴，，
由勾股定理得：，
∴，
在中，由勾股定理得：．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的判定；作图-平行线；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】
（1）作图步骤为：分别以点D、点C为圆心，分别以的长度为半径画弧，两段弧相交于点E，此时就可以得到，同时满足；
（2）①结合菱形的性质，再根据我们的作图过程，就可以完成证明；②根据题目条件可以推出是等边三角形，由此可以得到，同时计算得到，进而就能求出对角线的长度，最后在中，运用勾股定理就可以计算出要求的线段长.
（1）解：作图如下：
（2）①证明：由作法知：，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
即，
∴四边形是矩形；
②解：∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，四边形是矩形，
∴，，
由勾股定理得：，
∴，
在中，由勾股定理得：．
19．请认真阅读材料
材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程，的两根，有如下的关系：，；
材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m、n看作是此方程的两个不相等的实数根；
材料3：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根；
材料4：如果实数m、n满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，将m、n看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有m、n两个实数根．
请根据上述材料解决下面问题：
（1）已知实数m、n且，满足、，求的值．
（2）已知实数p、q满足、，且，求的值．
（3）已知实数a、b、c满足、，求c的最大值．
【答案】（1）解：，且，
∴是方程的两个不相等的实数根，
，
（2）解：，
∴是方程的根，
，且，
，
∴是方程的根，
又 ∵，即，
∴和是方程的两个不相等的实数根，
，
．
（3）解：，
，
，
又，
，
∴是方程的实数根，
即方程有实数根，
∴判别式，
，
即，
，
，
，
，
，
又，
∴的最大值为2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据题目给出的条件，可知和是一元二次方程的两个不相等的根，先通过韦达定理得到两根和与两根积的值，再对所求的进行代数恒等变形，代入计算即可得到结果。
（2）先对第二个方程整理变形，得到以为未知数的一元二次方程，将这个方程和p满足的原方程对比，可发现结构完全一致，因此和是一元二次方程的两个根，再利用韦达定理得到两根和与两根积，代入所求的代数式计算即可。
（3）先根据条件得到a+b和ab关于c的表达式，由于a和b都是实数，说明以a、b为根的一元二次方程存在实根，因此判别式大于等于0，据此建立关于的不等式，解不等式后就能得到的最大值.
（1）解：，且，
∴是方程的两个不相等的实数根，
，
．
（2）解：，
∴是方程的根，
，且，
，
∴是方程的根，
又 ∵，即，
∴和是方程的两个不相等的实数根，
，
．
（3）解：，
，
，
又，
，
∴是方程的实数根，
即方程有实数根，
∴判别式，
，
即，
，
，
，
，
，
又，
∴的最大值为2．
20．（1）模型感知：
①如图1，在菱形中，，在和上分别取点F和点E，使且，此时________，和的数量关系是________．
②如图2，在菱形中，，在和上分别取点F和点E，使，
证明：．
（2）深入探究：
如图3，在菱形中，，在上取点F，连接，在和上分别取点M和点E，使，延长与交于点N，当时，求的值．
（3）拓展延伸
在平行四边形中，在直线上取一点F，连接，已知，，在上取点M，使得，直线与直线交于点E，且，此时的值为________（直接写出结果）．
【答案】（1）①，相等；②证明：如图，连接，过点A作于点M，于点N，
由①可知，，，
∵，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）过点作交于点，延长交于点，如图所示：
，
由（1）可知，当时，，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
；
（3）
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】（1）①解：∵在菱形中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
故答案为：；相等．
（3）延长交于点，如图所示：
，，
，
，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，，
，即，
，
，
，
，则．
故的值为．
【分析】
（1）①由菱形的性质可知，菱形的对角线会平分一组内角，因此可以推出。再结合题目给出的已知条件、，可以推导得出，最后利用角角边（AAS）全等判定定理，即可证明，从而得到对应结论；
②连接，过点A分别作，垂足为点M，作，垂足为点N。结合①中已经得到的结论，可以推出，且；再通过角的和差关系，推导得到，最后利用角角边（AAS）全等判定定理证明，即可得到对应结论；
（2）过点作，让它交于点，之后延长，与相交于点，由此可以得到。结合第(1)问得到的结论，能够推出，再借助菱形本身的性质，可以证明，同时还能证明四边形是平行四边形，进而得到，最后通过比例变换，就可以推导出最终结果；
（3）延长AM和BC，两条延长线交于点，先证明，由此求出线段的长度，接下来分别证明和，最后利用相似三角形对应边成比例的性质，就可以计算得到最终答案.
1 / 1

展开更多......

收起↑