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贵州省铜仁市松桃苗族自治县2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题
一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列各式中，是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．要使分式有意义，则的取值应满足（　　）
A． B． C． D．
3．有下列各式：①；②；③；④．其中是分式的是（　　）
A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④
4．可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，可燃冰的质量仅为．数据用科学记数法表示是（　　）
A． B． C． D．
5．将多项式分解因式，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．如果把分式中的x，y都扩大到2倍，那么分式的值（　　）
A．缩小2倍 B．扩大2倍 C．不变 D．扩大4倍
7．分式的值为，则（　　）．
A． B． C． D．
8．解关于x的分式方程时会产生增根，则m的值（　　）
A． B． C． D．
9．若a＜1，化简的结果是（　　）
A．a－1 B．－a－1 C．1－a D．a＋1
10．每天比原计划多生产台机器，现在生产台机器所需时间与原计划生产 台机器所需时间相同，设原计划平均每天生产台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．已知，，则的值为（　　）
A．0 B．2 C．4 D．6
12．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　）
A．，且 B．
C．，且 D．
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．化简 　 　．
14．计算　 　．
15．已知是的整数部分，是的整数部分，则　 　．
16．已知（且），，，…，，则的值为　 　．
三、解答题（共98分）
17．计算：
（1）
（2）
18．先化简，再求值：
化简，然后从中选出合适的整数作为的值代入求值．
19．解方程
（1）
（2）
20．因式分解
（1）
（2）
21．已知长方形的长，宽．
（1）求长方形的周长．
（2）求长方形的面积．
22．【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常通过添加或拆分一项的方法，使其成为完全平方式，然后进行因式分解．
例如：
（添加，即拆3为）
解决问题
（1）请仿照上面的例子，对多项式进行因式分解；
（2）已知，请说明：．
23．观察下列等式：
第一个等式：；第二个等式：；
第三个等式：；……，
（1）请写出第四个等式________；
（2）根据上述规律，写出第个等式（为正整数）；
（3）计算：．
24．某超市用4500元购进一批水果，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该种水果，但这次的进货单价比第一次的单价提高了，购进数量比第一次的2倍还多100千克．
（1）该超市第一次购进水果的单价是每千克多少元？
（2）如果超市按每千克15元的定价出售，一部分水果售出后，余下的500千克按定价的8折售完．那么这两次水果销售中，该超市总共获利多少元？
25．操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值．
解：由知，所以，即．
，
的值为7的倒数，即．
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，
（1）已知，求的值；
（2）实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题：
已知，求的值；
（3）问题解决：
已知：，，，求代数式的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：A 、为立方根，根指数 3，不符合二次根式的定义；
B、 为常数 π，不符合二次根式的定义；
C 、被开方数为，不符合二次根式的定义；
D、 被开方数，根指数为 2，符合二次根式的定义．
故答案为 ：D．
【分析】形如是二次根式。本题根据二次根式的定义逐项判断即可．
2．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴分母，
故答案为：A．
【分析】分式有意义的条件，即分母不为零。本题据此列式即可得出答案．
3．【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：①，③是分式，②，④不是分式，
故答案为：C．
【分析】形如“(A、B都是整式，B≠0且B中含有字母”的式子就是分式，据此逐一判断得出答案.
4．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：=，
故答案为：D
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数。本题先确定a=9.2，然后计算得出n=-4，从而用科学记数法表示即可。
5．【答案】D
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：．
故答案为： D．
【分析】本题先将4y2看做(2y)2，此时直接运用平方差公式进行因式分解即可。
6．【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵ 分式中的x，y都扩大到2倍，
∴，分式的值为原来的2倍，
故选：B．
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
7．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为，
∴且，
解得，
故答案为：．
【分析】分式的值为，即分式的分子为且分母的值不为。本题据此列式且，求解即可。
8．【答案】B
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得：，
∵分式方程有增根，
∴，即，
把代入整式方程，得：，
解得．
故答案为：B
【分析】本题先去分母，将分式方程转化为整式方程；分式方程有增根，即原分式方程的分母为0，此时得到x=1，然后将x=1代入整式方程，求出m的值即可．
9．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】结合a的取值，根据二次根式的性质进行化简．
【解答】原式=1-a．
故选C．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简．解题的关键是注意被开方数与开方的结果都是一个非负数．
10．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原计划平均每天生产台机器，则实际平均每天生产台机器，
由题意得：，
故答案为：A．
【分析】设原计划平均每天生产台机器，则实际平均每天生产台机器；生产台机器所需时间为天，生产450台机器所需时间为，而“生产台所需时间与原计划生产台机器所需时间相同”，因此列方程，从而得出答案。
11．【答案】B
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：，
当，时，
原式，
故答案为：B．
【分析】本题提取公因式ab，然后利用完全平方公式，将原式进行因式分解得到，此时将，代入计算即可得到答案．
12．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：式子在实数范围内有意义，
∴，且，
即，且，
∴的取值范围是，且，
故答案为：C．
【分析】本题要使式子在实数范围内有意义，需同时满足根号下被开方数非负和分母不为零，因此列式，且，然后求解即可。
13．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：=== 。
故答案为： .
【分析】根据二次根式乘法法则的逆用即可化简。
14．【答案】
【知识点】分式的乘除法；负整数指数幂；实数的倒数
【解析】【解答】解： ．
故答案为：．
【分析】本题先运用负整数指数幂法则，将原式变形为，再对分母中的分式进行平方运算得到，最后利用倒数进行变形得到最终答案。
15．【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴的整数部分；
∵，
∴，
∴的整数部分；
∴．
故答案为：．
【分析】本题通过比较无理数与相邻整数的平方，计算可以确定的整数部分、的整数部分，最后计算的值即可。
16．【答案】
【知识点】分式的混合运算；探索数与式的规律；用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：，
，
，
，
计算结果是以、、为循环节进行循环，
2026÷3=675余1，
，
故答案为：．
【分析】本题结合条件和式子，列式计算出a1、a2、a3、a4，此时得到规律，即计算结果是以、、，每三组为循环节进行循环，然后计算出2026÷3=675余1，即，从而得出答案。
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】分式的加减法；零指数幂；负整数指数幂；化简含绝对值有理数；同分母分式的加、减法
【解析】【分析】（1）先计算负整数指数幂 ，零次幂 ，绝对值，再计算加减法即可；
（2）先通分，将原式变形为，再计算分式减法即可。
（1）原式；
（2）原式
18．【答案】解：
，
，，，
，，
又，为整数，
，
可得：原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值
【解析】【分析】本题首先根据分式的运算法则计算化简，得到原式，然后结合原分式以及分式有意义的条件，得出，，结合条件中的取值范围是，为整数，综合得出，最后将x=1代入2x中计算即可得出答案。
19．【答案】（1）解：方程两边同乘，得到，
去括号，得，
移项，得2x-3x=-2，
合并同类项，得-x=-2，
系数化为1，得．
检验：当时，x=2≠0，x+1=3≠0，
∴是原分式方程的解．
（2）解：方程两边同乘，得到，
去括号，得x+x-3=-2，
移项，得x+x=-2+3，
合并同类项，得2x=1，
系数化为1，得．
检验，当时，，3-x=2.5≠0；
∴是原分式方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）本题按照解分式方程的步骤，即先将分式方程去分母转化为整式方程，然后按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出x的值，最后代入原分式方程进行检验，以免产生增根；
（2）本题按照解分式方程的步骤，即先将分式方程去分母转化为整式方程，然后按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出x的值，最后代入原分式方程进行检验，以免产生增根。
（1）解：
方程两边同乘，得到，
去括号得，解得．
检验：当时，，
所以是原分式方程的解．
（2）方程两边同乘，得到，
去括号合并得，解得．
检验知时，，
所以是原分式方程的解．
20．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】（1）先提公因式3，此时原式变为，然后根据完全平方公式进行因式分解即可得到最终结果；
（2）将（a-b）看做整体，此时可以直接利用完全平方公式进行因式分解得到，去小括号进行整理即可。
（1）解：原式；
（2）解：原式．
21．【答案】（1）解：，
长方形的周长；
（2）解：长方形的面积．
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）先结合二次根式的加减计算法则，计算得出，然后根据长方形周长公式列出代数式，并结合二次根式的乘法计算法则进行计算即可；
（2）根据长方形面积公式列出代数式ab，替换并结合二次根式的乘法计算法则进行计算即可。
（1）解：，，
，
长方形的周长；
（2）解：长方形的面积．
22．【答案】（1）解：
（2）证明：，
，
，
即，
由非负数的知识，可得：
，，
，，，
【知识点】因式分解的应用；因式分解-完全平方公式；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【分析】（1）把原式中的常数项拆分为，对前三项整理后可得到，再利用平方差公式就能完成因式分解；
（2）先将等式左右两边同时乘2，再结合分组分解法进行因式分解，最后根据非负数的性质即可得出结果.
（1）解：
；
（2）证明：，
，
，
即，
由非负数的知识，可得：
，，
，，，
23．【答案】（1）
（2）解：根据规律得；
（3）解：

【知识点】分母有理化；二次根式的加减法；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】（1）解：根据规律得；
故答案为：（1）；
【分析】（1）观察发现所有式子的分子都是1，第一个式子分母就是，结果为；第二个式子分母是，结果为；第三个式子分母是，结果为；因此得出规律，第个式子的分母就是，结果为，此时即可写出第四个式子；
（2）根据题（1）发现的规律即可写出第个式子；
（3）根据上述规律以及计算结果，可以先出第一步，去括号后发现，除了第一项的-1和最后一项的外，其余各项均为一加一减直接抵消，从而得出答案。
（1）根据规律得；
（2）根据规律得；
（3）
故原式．
24．【答案】（1）解：设该超市第一次购进水果的单价是每千克元，则第二次进货单价是每千克元，
，
解得，
经检验，是分式方程的解，
答：该超市第一次购进水果的单价是每千克10元。
（2）解：由题意可知，第一次购进水果的数量为：（千克）；第二次购进水果的数量为：（千克）；
则两次一共购进水果：（千克）；
按15元每千克出售的水果有：（千克），
则总销售额为：（元），
总成本为：（元），
总获利为：（元）．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）第一次购进水果的数量是千克，第二次购进水果的数量是，根据条件“第二次购进数量比第一次的2倍还多100千克 ”，即“第二次购进水果数量第一次购进水果数量”，因此列分式方程，求解后进行检验即可；
（2）先分别得到两次购进水果数量分别是450千克和1000千克，此时得出两次一共购进水果1450千克，而条件中“ 一部分水果售出后，余下的500千克按定价的8折售完 ”，即按15元每千克出售的水果有950千克；此时950千克的水果销售额为950×15=14250元， 余下的500千克按定价的8折销售的水果销售额为500×15×0.8=6000元，因此总销售额为20250元，而总成本是15500元，由“利润总销售额总成本”代入计算即可。
（1）解：设该超市第一次购进水果的单价是每千克元，则第二次进货单价是每千克元，
，
解得，
经检验，是分式方程的解，
答：该超市第一次购进水果的单价是每千克10元；
（2）解：由题意可知，第一次购进水果的数量为：（千克）；第二次购进水果的数量为：（千克）；
则两次一共购进水果：（千克）；
按15元每千克出售的水果有：（千克），
则总销售额为：（元），
总成本为：（元），
总获利为：（元）．
25．【答案】（1）解：由，
，即．
，
．
（2）解：由，知，
得，即，
．
，
．
（3）解：由，知xy≠0，得，即：①．
由，知xz≠0，得，即②；
由，知yz≠0，得，即③；
①+②+③，得，
④．
④-①，得，即；
④-②，得，即；
④-③，得，即；
。
【知识点】完全平方公式及运用；分式有无意义的条件；分式的基本性质；分式的化简求值-倒数法
【解析】【分析】（1）参照条件中的解题过程，先确定x≠0，然后等式两边分别进行倒数计算并约分变形，得到=2，再利用完全平方公式把所求的式子变形得到，最后代入计算即可；
（2）先结合条件得出，然后等式两边分别进行倒数计算并约分变形，计算得到，再利用完全平方公式把所求的式子变形得到，最后代入计算即可；
（3）根据已知等式得出，，，三式相加得出，然后将此式分别与前面三式相减，即可分别求出，，，最后求和计算即可。
1 / 1贵州省铜仁市松桃苗族自治县2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题
一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列各式中，是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：A 、为立方根，根指数 3，不符合二次根式的定义；
B、 为常数 π，不符合二次根式的定义；
C 、被开方数为，不符合二次根式的定义；
D、 被开方数，根指数为 2，符合二次根式的定义．
故答案为 ：D．
【分析】形如是二次根式。本题根据二次根式的定义逐项判断即可．
2．要使分式有意义，则的取值应满足（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴分母，
故答案为：A．
【分析】分式有意义的条件，即分母不为零。本题据此列式即可得出答案．
3．有下列各式：①；②；③；④．其中是分式的是（　　）
A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④
【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：①，③是分式，②，④不是分式，
故答案为：C．
【分析】形如“(A、B都是整式，B≠0且B中含有字母”的式子就是分式，据此逐一判断得出答案.
4．可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，可燃冰的质量仅为．数据用科学记数法表示是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：=，
故答案为：D
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数。本题先确定a=9.2，然后计算得出n=-4，从而用科学记数法表示即可。
5．将多项式分解因式，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：．
故答案为： D．
【分析】本题先将4y2看做(2y)2，此时直接运用平方差公式进行因式分解即可。
6．如果把分式中的x，y都扩大到2倍，那么分式的值（　　）
A．缩小2倍 B．扩大2倍 C．不变 D．扩大4倍
【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵ 分式中的x，y都扩大到2倍，
∴，分式的值为原来的2倍，
故选：B．
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
7．分式的值为，则（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为，
∴且，
解得，
故答案为：．
【分析】分式的值为，即分式的分子为且分母的值不为。本题据此列式且，求解即可。
8．解关于x的分式方程时会产生增根，则m的值（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得：，
∵分式方程有增根，
∴，即，
把代入整式方程，得：，
解得．
故答案为：B
【分析】本题先去分母，将分式方程转化为整式方程；分式方程有增根，即原分式方程的分母为0，此时得到x=1，然后将x=1代入整式方程，求出m的值即可．
9．若a＜1，化简的结果是（　　）
A．a－1 B．－a－1 C．1－a D．a＋1
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】结合a的取值，根据二次根式的性质进行化简．
【解答】原式=1-a．
故选C．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简．解题的关键是注意被开方数与开方的结果都是一个非负数．
10．每天比原计划多生产台机器，现在生产台机器所需时间与原计划生产 台机器所需时间相同，设原计划平均每天生产台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原计划平均每天生产台机器，则实际平均每天生产台机器，
由题意得：，
故答案为：A．
【分析】设原计划平均每天生产台机器，则实际平均每天生产台机器；生产台机器所需时间为天，生产450台机器所需时间为，而“生产台所需时间与原计划生产台机器所需时间相同”，因此列方程，从而得出答案。
11．已知，，则的值为（　　）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：，
当，时，
原式，
故答案为：B．
【分析】本题提取公因式ab，然后利用完全平方公式，将原式进行因式分解得到，此时将，代入计算即可得到答案．
12．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　）
A．，且 B．
C．，且 D．
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：式子在实数范围内有意义，
∴，且，
即，且，
∴的取值范围是，且，
故答案为：C．
【分析】本题要使式子在实数范围内有意义，需同时满足根号下被开方数非负和分母不为零，因此列式，且，然后求解即可。
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．化简 　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：=== 。
故答案为： .
【分析】根据二次根式乘法法则的逆用即可化简。
14．计算　 　．
【答案】
【知识点】分式的乘除法；负整数指数幂；实数的倒数
【解析】【解答】解： ．
故答案为：．
【分析】本题先运用负整数指数幂法则，将原式变形为，再对分母中的分式进行平方运算得到，最后利用倒数进行变形得到最终答案。
15．已知是的整数部分，是的整数部分，则　 　．
【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴的整数部分；
∵，
∴，
∴的整数部分；
∴．
故答案为：．
【分析】本题通过比较无理数与相邻整数的平方，计算可以确定的整数部分、的整数部分，最后计算的值即可。
16．已知（且），，，…，，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】分式的混合运算；探索数与式的规律；用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：，
，
，
，
计算结果是以、、为循环节进行循环，
2026÷3=675余1，
，
故答案为：．
【分析】本题结合条件和式子，列式计算出a1、a2、a3、a4，此时得到规律，即计算结果是以、、，每三组为循环节进行循环，然后计算出2026÷3=675余1，即，从而得出答案。
三、解答题（共98分）
17．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】分式的加减法；零指数幂；负整数指数幂；化简含绝对值有理数；同分母分式的加、减法
【解析】【分析】（1）先计算负整数指数幂 ，零次幂 ，绝对值，再计算加减法即可；
（2）先通分，将原式变形为，再计算分式减法即可。
（1）原式；
（2）原式
18．先化简，再求值：
化简，然后从中选出合适的整数作为的值代入求值．
【答案】解：
，
，，，
，，
又，为整数，
，
可得：原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值
【解析】【分析】本题首先根据分式的运算法则计算化简，得到原式，然后结合原分式以及分式有意义的条件，得出，，结合条件中的取值范围是，为整数，综合得出，最后将x=1代入2x中计算即可得出答案。
19．解方程
（1）
（2）
【答案】（1）解：方程两边同乘，得到，
去括号，得，
移项，得2x-3x=-2，
合并同类项，得-x=-2，
系数化为1，得．
检验：当时，x=2≠0，x+1=3≠0，
∴是原分式方程的解．
（2）解：方程两边同乘，得到，
去括号，得x+x-3=-2，
移项，得x+x=-2+3，
合并同类项，得2x=1，
系数化为1，得．
检验，当时，，3-x=2.5≠0；
∴是原分式方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）本题按照解分式方程的步骤，即先将分式方程去分母转化为整式方程，然后按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出x的值，最后代入原分式方程进行检验，以免产生增根；
（2）本题按照解分式方程的步骤，即先将分式方程去分母转化为整式方程，然后按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出x的值，最后代入原分式方程进行检验，以免产生增根。
（1）解：
方程两边同乘，得到，
去括号得，解得．
检验：当时，，
所以是原分式方程的解．
（2）方程两边同乘，得到，
去括号合并得，解得．
检验知时，，
所以是原分式方程的解．
20．因式分解
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】（1）先提公因式3，此时原式变为，然后根据完全平方公式进行因式分解即可得到最终结果；
（2）将（a-b）看做整体，此时可以直接利用完全平方公式进行因式分解得到，去小括号进行整理即可。
（1）解：原式；
（2）解：原式．
21．已知长方形的长，宽．
（1）求长方形的周长．
（2）求长方形的面积．
【答案】（1）解：，
长方形的周长；
（2）解：长方形的面积．
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）先结合二次根式的加减计算法则，计算得出，然后根据长方形周长公式列出代数式，并结合二次根式的乘法计算法则进行计算即可；
（2）根据长方形面积公式列出代数式ab，替换并结合二次根式的乘法计算法则进行计算即可。
（1）解：，，
，
长方形的周长；
（2）解：长方形的面积．
22．【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常通过添加或拆分一项的方法，使其成为完全平方式，然后进行因式分解．
例如：
（添加，即拆3为）
解决问题
（1）请仿照上面的例子，对多项式进行因式分解；
（2）已知，请说明：．
【答案】（1）解：
（2）证明：，
，
，
即，
由非负数的知识，可得：
，，
，，，
【知识点】因式分解的应用；因式分解-完全平方公式；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【分析】（1）把原式中的常数项拆分为，对前三项整理后可得到，再利用平方差公式就能完成因式分解；
（2）先将等式左右两边同时乘2，再结合分组分解法进行因式分解，最后根据非负数的性质即可得出结果.
（1）解：
；
（2）证明：，
，
，
即，
由非负数的知识，可得：
，，
，，，
23．观察下列等式：
第一个等式：；第二个等式：；
第三个等式：；……，
（1）请写出第四个等式________；
（2）根据上述规律，写出第个等式（为正整数）；
（3）计算：．
【答案】（1）
（2）解：根据规律得；
（3）解：

【知识点】分母有理化；二次根式的加减法；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】（1）解：根据规律得；
故答案为：（1）；
【分析】（1）观察发现所有式子的分子都是1，第一个式子分母就是，结果为；第二个式子分母是，结果为；第三个式子分母是，结果为；因此得出规律，第个式子的分母就是，结果为，此时即可写出第四个式子；
（2）根据题（1）发现的规律即可写出第个式子；
（3）根据上述规律以及计算结果，可以先出第一步，去括号后发现，除了第一项的-1和最后一项的外，其余各项均为一加一减直接抵消，从而得出答案。
（1）根据规律得；
（2）根据规律得；
（3）
故原式．
24．某超市用4500元购进一批水果，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该种水果，但这次的进货单价比第一次的单价提高了，购进数量比第一次的2倍还多100千克．
（1）该超市第一次购进水果的单价是每千克多少元？
（2）如果超市按每千克15元的定价出售，一部分水果售出后，余下的500千克按定价的8折售完．那么这两次水果销售中，该超市总共获利多少元？
【答案】（1）解：设该超市第一次购进水果的单价是每千克元，则第二次进货单价是每千克元，
，
解得，
经检验，是分式方程的解，
答：该超市第一次购进水果的单价是每千克10元。
（2）解：由题意可知，第一次购进水果的数量为：（千克）；第二次购进水果的数量为：（千克）；
则两次一共购进水果：（千克）；
按15元每千克出售的水果有：（千克），
则总销售额为：（元），
总成本为：（元），
总获利为：（元）．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）第一次购进水果的数量是千克，第二次购进水果的数量是，根据条件“第二次购进数量比第一次的2倍还多100千克 ”，即“第二次购进水果数量第一次购进水果数量”，因此列分式方程，求解后进行检验即可；
（2）先分别得到两次购进水果数量分别是450千克和1000千克，此时得出两次一共购进水果1450千克，而条件中“ 一部分水果售出后，余下的500千克按定价的8折售完 ”，即按15元每千克出售的水果有950千克；此时950千克的水果销售额为950×15=14250元， 余下的500千克按定价的8折销售的水果销售额为500×15×0.8=6000元，因此总销售额为20250元，而总成本是15500元，由“利润总销售额总成本”代入计算即可。
（1）解：设该超市第一次购进水果的单价是每千克元，则第二次进货单价是每千克元，
，
解得，
经检验，是分式方程的解，
答：该超市第一次购进水果的单价是每千克10元；
（2）解：由题意可知，第一次购进水果的数量为：（千克）；第二次购进水果的数量为：（千克）；
则两次一共购进水果：（千克）；
按15元每千克出售的水果有：（千克），
则总销售额为：（元），
总成本为：（元），
总获利为：（元）．
25．操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值．
解：由知，所以，即．
，
的值为7的倒数，即．
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，
（1）已知，求的值；
（2）实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题：
已知，求的值；
（3）问题解决：
已知：，，，求代数式的值．
【答案】（1）解：由，
，即．
，
．
（2）解：由，知，
得，即，
．
，
．
（3）解：由，知xy≠0，得，即：①．
由，知xz≠0，得，即②；
由，知yz≠0，得，即③；
①+②+③，得，
④．
④-①，得，即；
④-②，得，即；
④-③，得，即；
。
【知识点】完全平方公式及运用；分式有无意义的条件；分式的基本性质；分式的化简求值-倒数法
【解析】【分析】（1）参照条件中的解题过程，先确定x≠0，然后等式两边分别进行倒数计算并约分变形，得到=2，再利用完全平方公式把所求的式子变形得到，最后代入计算即可；
（2）先结合条件得出，然后等式两边分别进行倒数计算并约分变形，计算得到，再利用完全平方公式把所求的式子变形得到，最后代入计算即可；
（3）根据已知等式得出，，，三式相加得出，然后将此式分别与前面三式相减，即可分别求出，，，最后求和计算即可。
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