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湖南省张家界市慈利县2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题
一、选择题：每小题3分，共10道小题，合计30分
1．下列关系式中，与成反比例关系的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：选项A：即，是正比例函数，不符合反比例函数形式，不符合题意；
选项B：即，是一次函数，不是反比例函数形式，不符合题意，
选项C：即，符合形式，符合反比例函数形式，符合题意；
选项D：即，不符合形式，不符合反比例函数形式，不符合题意；
故选：C ．
【分析】根据反比例函数的定义：反比例函数的形式为（其中是不为0的常数），也就是两个变量的乘积为定值，逐一判断各个选项是否符合该形式，就能得到结果。
2．若，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵，，，是成比例线段，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选：．
【分析】
根据成比例线段的定义，得到，接下来只需要将已知的，，代入等式计算，就可以得到未知线段d的值.
3．一元二次方程配方后可化为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】，
，
，
，
故选∶D．
【分析】在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将方程左侧整理为完全平方式，据此完成配方操作。
4．已知反比例函数，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过点
B．y随x的增大而减小
C．图象在第一、三象限内
D．图象是轴对称图形但不是中心对称图形
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】 解：A、当时，，即图象经过点，原说法错误，不符合题意；
B、由可知，图象在第一、三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小，原说法错误，不符合题意；
C、由可知，图象在第一、三象限，原说法正确，符合题意；
D、反比例函数图象是中心对称图形，也是轴对称图形，原说法错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】这道题主要考查反比例函数的图象与性质，对相关性质的掌握是正确解题的关键。结合反比例函数图象上点的坐标特征判断A选项，再借助反比例函数的图象特征与增减性，对B、C、D三个选项逐一分析判断。
5．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，若DE＝3，DF＝8，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵DE＝3，DF＝8，
∴，
解得：＝，
故答案为：B．
【分析】根据平行线分线段成比例定理"两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例"得比例式并结合已知条件即可求解．
6．两个相似三角形的一组对应边分别为和，如果较小三角形的周长为，那么较大三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：由两个相似三角形的一组对应边分别为6cm和8cm，
可得相似比为：6：8=3：4，
所以周长比为：3：4，
由较小三角形的周长为27cm，
可得较大三角形的周长为：=36(cm).
所以B选项是正确的.
故答案为：B.
【分析】已知两个相似三角形的一组对应边长分别是6cm和8cm，据此可以先求出这两个三角形的相似比，结合相似三角形的性质可知，相似三角形的周长之比等于相似比，现在已知较小三角形的周长为27cm，根据上述关系就可以求出较大三角形的周长。
7．随着新能源的日益普及，某校教工去年拥有电车144辆，预计明年将达到225辆．设该校电车数量的平均年增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设年平均增长率为，则去年数量为144辆，经过2年增长后达到225辆．根据增长模型，列方程：
故选：A
【分析】设该数据的年平均增长率为，初始的数量为144辆，经过两年增长后最终数量为225辆，按照增长率的增长规律列出对应方程即可求解。
8．如图，点A是反比例函数（）图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，的面积为6．若点也在此函数的图象上，则（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：∵点在反比例函数图象上，轴，，
∴．
又∵反比例函数图象在第一象限，，
∴，解得．
∴反比例函数解析式为．
∵点在上，
∴，
解得．
故选：B．
【分析】先利用的几何意义计算出的具体数值，得到完整的反比例函数解析式，再把点的坐标代入解析式，即可求出未知参数的值。
9．如图，要使，需补充的条件不能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】∵∠DAC=∠CAB
∴当∠ACD=∠ABC或∠ADC=∠ACB或AD：AC=AC：AB时，△ABC∽△ACD．
故选：D
【分析】
已知两个三角形有一组公共角相等，若要使得这两个三角形相似，只需要再额外添加一组角对应相等，或是添加这个公共角的两条夹边对应成比例即可.
10．在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：如果，那么称点为点的“可控变点”．若点是反比例函数图象上点的“可控变点”，则点的坐标为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【知识点】反比例函数的概念；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点的“可控变点”所在函数解析式为：，
①当时，将代入得，，
解得，
∴，
把代入点所在解析式，得，
∴；
②当时，将代入得，，
解得．
把代入点所在解析式，得，
∴，
综上所述，点P的坐标为或．
故选：A
【分析】根据题干给出的新定义，明确点P和点的位置特征，再结合参数的取值范围分类讨论，分别对和两种情况计算求解即可。
二、填空题：每小题3分，共8道小题，合计24分
11．若点在反比例函数的图象上，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将代入，得：，
解得，
故答案为：．
【分析】将代入反比例函数解析式，解关于参数 a 的方程即可得到结果．
12．已知，则　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴设x=3k，y=5k，
∴
故答案为：.
【分析】由比例性质，设x=3k，y=5k，然后代入待求式子分子合并同类项后，再约分化简即可.
13．如图，与位似，点为位似中心，若，的周长为4，则的周长为　 　．
【答案】12
【知识点】相似三角形的性质-对应周长；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与位似，点为位似中心，
∴，，
∴，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴的周长为．
故答案为：12．
【分析】根据位似图形的相关性质，位似属于特殊的相似图形，根据位似图形的性质，位似图形的周长比等于对应相似比，据此计算即可得出结果。
14．已知点、、在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为　 　．（请用“”连接）
【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴反比例函数的图象在一、三象限，
∵点、、在反比例函数的图象上，
∴当时，，
∵、在第一象限的图象上，又y随x的增大而减小，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据反比例函数的图象与性质，，得到反比例函数的图象在一、三象限，再根据点所在象限，结合反比例函数的增减性，即可解题．
15．如图，在中，，若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
【分析】
根据题意可以推出 ，根据相似三角形的性质可得对应边成比例，即 ，将已知数据代入该比例式计算，即可得到结果.
16．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为　 　．
【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得且，
故答案为：且．
【分析】
先根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，也就是，再结合一元二次方程的二次项系数不能为0，列出两个不等式联立求解，就能得到k的取值范围.
17．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A与D在函数的图象上，轴，垂足为C，正方形的周长为，则k的值为　 　．
【答案】8
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：四边形是周长为的正方形，
，，
，，
，
，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
点在函数的图象上，
，
解得，
故答案为：
【分析】已知四边形是周长为的正方形，根据正方形性质可得，边长，同时正方形对角线平分内角，因此。再由勾股定理计算对角线长度，可得。结合条件轴，可以推出，根据等角对等边可得。再次应用勾股定理，有，解得，由此可以确定点A坐标为。最后因为点在反比例函数的图象上，将点坐标代入即可求得，得到本题结果.
18．如图，在反比例函数的图象上，有点，，，…，，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，则　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；探索规律-函数图象与几何图形的规律
【解析】【解答】解：当时，的纵坐标为2，
当时，的纵坐标为1，
当时，的纵坐标为，
当时，的纵坐标为，
当时，的纵坐标为，
…
当时，的纵坐标为，
则；
；
；
；
…
；
，
故答案为：．
【分析】先求出各点的纵坐标，以此得到每个阴影部分的高，再依次计算出的面积，最终推导出的结果。
三、解答题∶本题共8小题，共66分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．线段、、，且．若线段、、满足，求的值．
【答案】解：设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴
【知识点】比例的性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】设，就可以得到，之后把这三个式子代入等式，就能解出k的值，进一步得到最终结果。
20．用你喜欢的方法解下列一元二次方程：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：
，
（2）解：
，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）通过配方法求出方程的解；
（2）通过直接开平方法求出方程的解。
（1）解：
，；
（2）解：
，．
21．如图，四边形为平行四边形，点在延长线上，连接，且．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
（2）解：，
，
，，
，
的长是
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质.
（1）由平行四边形的性质(对角相等）得，因为，转化角的关系所以，结合已知角相等，通过“两角分别相等”证相似；
（2）利用相似三角形的对应边成比例得，代入已知边求解．
（1）证明：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，，
，
的长是.
22．马路两侧有两根灯杆AB、CD，当小明站在点N处时，在灯C的照射下小明的影长正好为NB，在灯A的照射下小明的影长为NE，测得BD=24m，NB=6m，NE=2m.
（1）若小明的身高MN=1.6m，求AB的长；
（2）试判断这两根灯杆的高度是否相等，并说明理由．
【答案】解：（1）∵MN∥AB，∴△MNE∽ABE，∴=．∵NB=6，NE=2，MN=1.6，∴=，∴AB=6.4（m）；
（2）这两根灯杆的高度相等，理由如下：
∵MN∥CD，BD=24，∴===，∴===，∴AB=CD．
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）直接运用相似三角形的判定定理得到三角形相似，再结合相似三角形的性质推导，即可得到对应结论；
（2）直接根据平行线分线段成比例定理进行分析推导，即可得到对应结论.
23．已知关于的一元二次方程．
（1）若该方程有一个根是，求的值．
（2）若该方程有两个实数根，求的取值范围．
（3）若该方程的两个实数根，满足，求的值．
【答案】（1）解：∵方程有一个根是，
∴，
∴，
解得或；
（2）解：由题意得，
解得；
（3）解：∵方程的两个实数根，，
∴，，
∴，
∴，
解得，，
由（）可知，，
所以的值为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（）将代入方程得到关于k的方程，然后解一元二次方程即可；
（）由题意得，然后解不等式即可；
（）由题意可得，，从而得到关于k的方程，解得，， 再结合即可求出的值．
注意：一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；一元二次方程的两个根为，，则，．
（1）解：∵该方程有一个根是，
∴，
∴，
解得，；
（2）解：∵该方程有两个实数根，
∴，
解得．
即的取值范围是；
（3）解：∵该方程的两个实数根，，
∴，，
∴，
化简得，
解得，，
由（）可知，，
所以的值为．
24．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
【答案】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得
解得，（不合题意，舍去）
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．

（2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，
依题意，得
整理，得
解得
因尽可能让顾客得到实惠
所以不合题意，舍去．
所以．
答：该品牌头盔每个售价应定为50元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得
解得，（不合题意，舍去）
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，
依题意，得
整理，得
解得
因尽可能让顾客得到实惠
所以不合题意，舍去．
所以．
答：该品牌头盔每个售价应定为50元．
25．如图，直线与y轴交于A点，与反比例函数的图象交于点B，过点B作轴于点C，且C点的坐标为．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当时，时，求x的范围．
（3）点是反比例函数图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵轴于点C，且C点的坐标为，
∴把代入中，，
∴点B的坐标为，
又∵点在反比例函数上，
∴，
∴反比例函数的解析式为：
（2）解：由图象知，当时，时，x的范围为
（3）解：作点D关于x的轴的对称点，连接，直线与x轴的交点即为所求点P，
∴，
∴，
∴最小值为的长，
将点代入，得：，
∴点，
则点关于x轴的对称点为，
设过、的直线解析式为：，
可得，解得，
∴直线的解析式为：，
令，则，
解得：，
故点P的坐标为
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】
（1）通过点B的坐标确定反比例函数的参数k，利用垂直坐标轴的性质确定点B的横坐标，再结合直线方程求出点B的纵坐标， 再代到反比例函数解析式中可求得反比例函数解析式；
（2）根据图象求得反比例函数的图象在直线上方的x的范围即可；
（3）利用轴对称变换将折线路径PB+PD转化为直线距离，找到对称点后，通过直线与x轴的交点确定点P的位置。
（1）解：∵轴于点C，且C点的坐标为，
∴把代入中，，
∴点B的坐标为，
又∵点在反比例函数上，
∴，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）解：由图象知，当时，时，x的范围为；
（3）解：作点D关于x的轴的对称点，连接，直线与x轴的交点即为所求点P，
∴，
∴，
∴最小值为的长，
将点代入，得：，
∴点，
则点关于x轴的对称点为，
设过、的直线解析式为：，
可得，解得，
∴直线的解析式为：，
令，则，
解得：，
故点P的坐标为．
26．综合与探究
问题情境：如图1，在中，点分别在上，已知，交于点是的中点．
猜想证明：（1）试判断与之间的数量关系，并说明理由．
深入探究：（2）如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值．
拓展应用：（3）如图3，在平行四边形中，，对角线与交于点为上一点，交于点交于点，连结．若平分，则的长为___________．
【答案】解：（1），理由如下：
，
，，
，，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（3）延长交于M，连接，过点M作于N，如图③，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】本题以三角形和平行四边形中的平行线与相似三角形为背景，考查了相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理及含30°角的直角三角形性质。
（1）利用DE∥BC证△AGD∽△AFB和△AGE∽△AFC，结合F为BC中点，通过比例代换得DG=EG。
（2）由CG⊥DE结合DG=EG得CG垂直平分DE，则CD=CE=6，进而AC=9，再利用△ADE∽△ABC求。
（3）延长GE交AB于M，构造等腰三角形和直角三角形，利用角平分线、垂直及45°角关系，通过勾股定理和30°角所对直角边等于斜边一半求BF的长。
1 / 1湖南省张家界市慈利县2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题
一、选择题：每小题3分，共10道小题，合计30分
1．下列关系式中，与成反比例关系的是（　　）
A． B． C． D．
2．若，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（　　）
A． B． C． D．
3．一元二次方程配方后可化为（　　）
A． B． C． D．
4．已知反比例函数，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过点
B．y随x的增大而减小
C．图象在第一、三象限内
D．图象是轴对称图形但不是中心对称图形
5．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，若DE＝3，DF＝8，则的值为（　　）
A． B． C． D．
6．两个相似三角形的一组对应边分别为和，如果较小三角形的周长为，那么较大三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．
7．随着新能源的日益普及，某校教工去年拥有电车144辆，预计明年将达到225辆．设该校电车数量的平均年增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，点A是反比例函数（）图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，的面积为6．若点也在此函数的图象上，则（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，要使，需补充的条件不能是（　　）
A． B．
C． D．
10．在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：如果，那么称点为点的“可控变点”．若点是反比例函数图象上点的“可控变点”，则点的坐标为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
二、填空题：每小题3分，共8道小题，合计24分
11．若点在反比例函数的图象上，则的值是　 　．
12．已知，则　 　．
13．如图，与位似，点为位似中心，若，的周长为4，则的周长为　 　．
14．已知点、、在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为　 　．（请用“”连接）
15．如图，在中，，若，则的长为　 　．
16．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为　 　．
17．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A与D在函数的图象上，轴，垂足为C，正方形的周长为，则k的值为　 　．
18．如图，在反比例函数的图象上，有点，，，…，，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，则　 　．
三、解答题∶本题共8小题，共66分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．线段、、，且．若线段、、满足，求的值．
20．用你喜欢的方法解下列一元二次方程：
（1）；
（2）
21．如图，四边形为平行四边形，点在延长线上，连接，且．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
22．马路两侧有两根灯杆AB、CD，当小明站在点N处时，在灯C的照射下小明的影长正好为NB，在灯A的照射下小明的影长为NE，测得BD=24m，NB=6m，NE=2m.
（1）若小明的身高MN=1.6m，求AB的长；
（2）试判断这两根灯杆的高度是否相等，并说明理由．
23．已知关于的一元二次方程．
（1）若该方程有一个根是，求的值．
（2）若该方程有两个实数根，求的取值范围．
（3）若该方程的两个实数根，满足，求的值．
24．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
25．如图，直线与y轴交于A点，与反比例函数的图象交于点B，过点B作轴于点C，且C点的坐标为．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当时，时，求x的范围．
（3）点是反比例函数图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
26．综合与探究
问题情境：如图1，在中，点分别在上，已知，交于点是的中点．
猜想证明：（1）试判断与之间的数量关系，并说明理由．
深入探究：（2）如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值．
拓展应用：（3）如图3，在平行四边形中，，对角线与交于点为上一点，交于点交于点，连结．若平分，则的长为___________．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：选项A：即，是正比例函数，不符合反比例函数形式，不符合题意；
选项B：即，是一次函数，不是反比例函数形式，不符合题意，
选项C：即，符合形式，符合反比例函数形式，符合题意；
选项D：即，不符合形式，不符合反比例函数形式，不符合题意；
故选：C ．
【分析】根据反比例函数的定义：反比例函数的形式为（其中是不为0的常数），也就是两个变量的乘积为定值，逐一判断各个选项是否符合该形式，就能得到结果。
2．【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵，，，是成比例线段，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选：．
【分析】
根据成比例线段的定义，得到，接下来只需要将已知的，，代入等式计算，就可以得到未知线段d的值.
3．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】，
，
，
，
故选∶D．
【分析】在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将方程左侧整理为完全平方式，据此完成配方操作。
4．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】 解：A、当时，，即图象经过点，原说法错误，不符合题意；
B、由可知，图象在第一、三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小，原说法错误，不符合题意；
C、由可知，图象在第一、三象限，原说法正确，符合题意；
D、反比例函数图象是中心对称图形，也是轴对称图形，原说法错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】这道题主要考查反比例函数的图象与性质，对相关性质的掌握是正确解题的关键。结合反比例函数图象上点的坐标特征判断A选项，再借助反比例函数的图象特征与增减性，对B、C、D三个选项逐一分析判断。
5．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵DE＝3，DF＝8，
∴，
解得：＝，
故答案为：B．
【分析】根据平行线分线段成比例定理"两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例"得比例式并结合已知条件即可求解．
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：由两个相似三角形的一组对应边分别为6cm和8cm，
可得相似比为：6：8=3：4，
所以周长比为：3：4，
由较小三角形的周长为27cm，
可得较大三角形的周长为：=36(cm).
所以B选项是正确的.
故答案为：B.
【分析】已知两个相似三角形的一组对应边长分别是6cm和8cm，据此可以先求出这两个三角形的相似比，结合相似三角形的性质可知，相似三角形的周长之比等于相似比，现在已知较小三角形的周长为27cm，根据上述关系就可以求出较大三角形的周长。
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设年平均增长率为，则去年数量为144辆，经过2年增长后达到225辆．根据增长模型，列方程：
故选：A
【分析】设该数据的年平均增长率为，初始的数量为144辆，经过两年增长后最终数量为225辆，按照增长率的增长规律列出对应方程即可求解。
8．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：∵点在反比例函数图象上，轴，，
∴．
又∵反比例函数图象在第一象限，，
∴，解得．
∴反比例函数解析式为．
∵点在上，
∴，
解得．
故选：B．
【分析】先利用的几何意义计算出的具体数值，得到完整的反比例函数解析式，再把点的坐标代入解析式，即可求出未知参数的值。
9．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】∵∠DAC=∠CAB
∴当∠ACD=∠ABC或∠ADC=∠ACB或AD：AC=AC：AB时，△ABC∽△ACD．
故选：D
【分析】
已知两个三角形有一组公共角相等，若要使得这两个三角形相似，只需要再额外添加一组角对应相等，或是添加这个公共角的两条夹边对应成比例即可.
10．【答案】A
【知识点】反比例函数的概念；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点的“可控变点”所在函数解析式为：，
①当时，将代入得，，
解得，
∴，
把代入点所在解析式，得，
∴；
②当时，将代入得，，
解得．
把代入点所在解析式，得，
∴，
综上所述，点P的坐标为或．
故选：A
【分析】根据题干给出的新定义，明确点P和点的位置特征，再结合参数的取值范围分类讨论，分别对和两种情况计算求解即可。
11．【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将代入，得：，
解得，
故答案为：．
【分析】将代入反比例函数解析式，解关于参数 a 的方程即可得到结果．
12．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴设x=3k，y=5k，
∴
故答案为：.
【分析】由比例性质，设x=3k，y=5k，然后代入待求式子分子合并同类项后，再约分化简即可.
13．【答案】12
【知识点】相似三角形的性质-对应周长；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与位似，点为位似中心，
∴，，
∴，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴的周长为．
故答案为：12．
【分析】根据位似图形的相关性质，位似属于特殊的相似图形，根据位似图形的性质，位似图形的周长比等于对应相似比，据此计算即可得出结果。
14．【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴反比例函数的图象在一、三象限，
∵点、、在反比例函数的图象上，
∴当时，，
∵、在第一象限的图象上，又y随x的增大而减小，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据反比例函数的图象与性质，，得到反比例函数的图象在一、三象限，再根据点所在象限，结合反比例函数的增减性，即可解题．
15．【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
【分析】
根据题意可以推出 ，根据相似三角形的性质可得对应边成比例，即 ，将已知数据代入该比例式计算，即可得到结果.
16．【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得且，
故答案为：且．
【分析】
先根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，也就是，再结合一元二次方程的二次项系数不能为0，列出两个不等式联立求解，就能得到k的取值范围.
17．【答案】8
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：四边形是周长为的正方形，
，，
，，
，
，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
点在函数的图象上，
，
解得，
故答案为：
【分析】已知四边形是周长为的正方形，根据正方形性质可得，边长，同时正方形对角线平分内角，因此。再由勾股定理计算对角线长度，可得。结合条件轴，可以推出，根据等角对等边可得。再次应用勾股定理，有，解得，由此可以确定点A坐标为。最后因为点在反比例函数的图象上，将点坐标代入即可求得，得到本题结果.
18．【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；探索规律-函数图象与几何图形的规律
【解析】【解答】解：当时，的纵坐标为2，
当时，的纵坐标为1，
当时，的纵坐标为，
当时，的纵坐标为，
当时，的纵坐标为，
…
当时，的纵坐标为，
则；
；
；
；
…
；
，
故答案为：．
【分析】先求出各点的纵坐标，以此得到每个阴影部分的高，再依次计算出的面积，最终推导出的结果。
19．【答案】解：设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴
【知识点】比例的性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】设，就可以得到，之后把这三个式子代入等式，就能解出k的值，进一步得到最终结果。
20．【答案】（1）解：
，
（2）解：
，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）通过配方法求出方程的解；
（2）通过直接开平方法求出方程的解。
（1）解：
，；
（2）解：
，．
21．【答案】（1）证明：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
（2）解：，
，
，，
，
的长是
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质.
（1）由平行四边形的性质(对角相等）得，因为，转化角的关系所以，结合已知角相等，通过“两角分别相等”证相似；
（2）利用相似三角形的对应边成比例得，代入已知边求解．
（1）证明：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，，
，
的长是.
22．【答案】解：（1）∵MN∥AB，∴△MNE∽ABE，∴=．∵NB=6，NE=2，MN=1.6，∴=，∴AB=6.4（m）；
（2）这两根灯杆的高度相等，理由如下：
∵MN∥CD，BD=24，∴===，∴===，∴AB=CD．
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）直接运用相似三角形的判定定理得到三角形相似，再结合相似三角形的性质推导，即可得到对应结论；
（2）直接根据平行线分线段成比例定理进行分析推导，即可得到对应结论.
23．【答案】（1）解：∵方程有一个根是，
∴，
∴，
解得或；
（2）解：由题意得，
解得；
（3）解：∵方程的两个实数根，，
∴，，
∴，
∴，
解得，，
由（）可知，，
所以的值为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（）将代入方程得到关于k的方程，然后解一元二次方程即可；
（）由题意得，然后解不等式即可；
（）由题意可得，，从而得到关于k的方程，解得，， 再结合即可求出的值．
注意：一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；一元二次方程的两个根为，，则，．
（1）解：∵该方程有一个根是，
∴，
∴，
解得，；
（2）解：∵该方程有两个实数根，
∴，
解得．
即的取值范围是；
（3）解：∵该方程的两个实数根，，
∴，，
∴，
化简得，
解得，，
由（）可知，，
所以的值为．
24．【答案】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得
解得，（不合题意，舍去）
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．

（2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，
依题意，得
整理，得
解得
因尽可能让顾客得到实惠
所以不合题意，舍去．
所以．
答：该品牌头盔每个售价应定为50元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得
解得，（不合题意，舍去）
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，
依题意，得
整理，得
解得
因尽可能让顾客得到实惠
所以不合题意，舍去．
所以．
答：该品牌头盔每个售价应定为50元．
25．【答案】（1）解：∵轴于点C，且C点的坐标为，
∴把代入中，，
∴点B的坐标为，
又∵点在反比例函数上，
∴，
∴反比例函数的解析式为：
（2）解：由图象知，当时，时，x的范围为
（3）解：作点D关于x的轴的对称点，连接，直线与x轴的交点即为所求点P，
∴，
∴，
∴最小值为的长，
将点代入，得：，
∴点，
则点关于x轴的对称点为，
设过、的直线解析式为：，
可得，解得，
∴直线的解析式为：，
令，则，
解得：，
故点P的坐标为
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】
（1）通过点B的坐标确定反比例函数的参数k，利用垂直坐标轴的性质确定点B的横坐标，再结合直线方程求出点B的纵坐标， 再代到反比例函数解析式中可求得反比例函数解析式；
（2）根据图象求得反比例函数的图象在直线上方的x的范围即可；
（3）利用轴对称变换将折线路径PB+PD转化为直线距离，找到对称点后，通过直线与x轴的交点确定点P的位置。
（1）解：∵轴于点C，且C点的坐标为，
∴把代入中，，
∴点B的坐标为，
又∵点在反比例函数上，
∴，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）解：由图象知，当时，时，x的范围为；
（3）解：作点D关于x的轴的对称点，连接，直线与x轴的交点即为所求点P，
∴，
∴，
∴最小值为的长，
将点代入，得：，
∴点，
则点关于x轴的对称点为，
设过、的直线解析式为：，
可得，解得，
∴直线的解析式为：，
令，则，
解得：，
故点P的坐标为．
26．【答案】解：（1），理由如下：
，
，，
，，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（3）延长交于M，连接，过点M作于N，如图③，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】本题以三角形和平行四边形中的平行线与相似三角形为背景，考查了相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理及含30°角的直角三角形性质。
（1）利用DE∥BC证△AGD∽△AFB和△AGE∽△AFC，结合F为BC中点，通过比例代换得DG=EG。
（2）由CG⊥DE结合DG=EG得CG垂直平分DE，则CD=CE=6，进而AC=9，再利用△ADE∽△ABC求。
（3）延长GE交AB于M，构造等腰三角形和直角三角形，利用角平分线、垂直及45°角关系，通过勾股定理和30°角所对直角边等于斜边一半求BF的长。
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