资源简介

浙江省杭州市拱墅区慧澜中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷
1．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列各组线段（单位：）中，成比例线段的是（　　）．
A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，
3．下列事件是必然事件的是（　　）
A．车辆随机到达一个路口遇到红灯
B．投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
C．任意画一个三角形其内角和是
D．早上的太阳从西方升起
4．已知的半径为3，点在外，则的长可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（　　）
A． B．
C． D．
6．如果三点，和在抛物线的图象上，那么，与之间的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
7．如图所示，已知直线，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C；直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F．若，则等于（　　）
A． B． C． D．1
8．如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
10．已知二次函数（）的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④（）；⑤，其中正确的为（　　）
A．①② B．③④ C．④⑤ D．③⑤
11．1777年，法国科学家布丰提出了投针试验问题，他准备了一张画着等距平行线的大白纸，还有许多质地均匀，长度为相邻两平行线间距一半的小针．布丰邀请朋友们参与这个实验，参与者逐一将小针投掷到纸面上，布丰则认真记录每次投掷中小针与平行线相交的情况，如下表是实验数据：
投掷次数 100 500 1000 5000 10000
相交次数 28 138 273 1354 2698
相交频率 0.28 0.276 0.273 0.2708 0.2698
据此，可以估计任意投掷一枚小针，小针与平行线相交的概率约为　 　．（精确到0.01）
12．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是　 　m．
13．黄金分割，又称黄金比、中外比，是一个数学常数，它描述了一种特殊的比例关系：将一条线段分割为两部分，使得较长部分与较短部分的比值，等于全长与较长部分的比值，这个比值就是黄金分割比．自然界中就充满着黄金比，校园里一片小小的树叶，叶筋上一点为恰好为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为　 　．（用含的代数式表示）
14．如图，在中，，，则扇形的面积为　 　．
15．如图，将绕点逆时针方向旋转到，连接，若，，则的长度为　 　．
16．如图，将沿弦折叠后，圆弧恰好经过圆心，为上一点，连接、，与交于点，则　 　；若，则　 　．
17．已知线段a，b满足，且．
（1）求a，b，c的值．
（2）若线段x是线段b，c的比例中项，求x．
18．某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同．
（1）甲选择“校园安全”主题的概率为______；
（2）请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率．
19．图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．
（1）如图1，点、、、均在格点上，是线段，的交点，求证：点为线段的中点；
（2）如图2，只用无刻度的直尺，在给定的网格中画出点，使得．
20．如图，已知二次函数的图象与轴分别交于点和点，与轴交于点．
（1）求的面积；
（2）当时，直接写出的取值范围；
（3）当时，求的取值范围．
21．如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接．
（1）若，求的度数；
（2）若弦分为的两部分，点在上，求弦所对的圆周角的度数．
22．喜迎元旦，某中学开展“摊”玩计划，万事大“集”校园创意市集活动，小华负责的摊位主题是：“探趣科学·科技改变未来”．活动开展前，小华到科技园区了解到一款独特的AI交互功能智能摆件，根据以下素材，完成探索任务：
背景素材 素材1 每个智能摆件的成本为60元，当售价为100元时，平均每天可以售出20件．
素材2 当售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件．
问题解决 任务1 当降价8元时，填空：平均每天售出智能摆件______件，每天的利润是______元；
任务2 当每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大时，求智能摆件的销售单价；
任务3 若智能摆件的销售单价为偶数，在保证盈利的前提下，当优惠力度最大时，求此时每天获得的利润．
23．已知二次函数，经过点，且经过二次函数顶点．
（1）求与的关系；
（2）若二次函数的对称轴是直线，求二次函数的解析式；
（3）若抛物线的开口方向向上，且经过点，，设对称轴为直线，求的取值范围．
24．如图1，是的直径，弦，垂足为，为上一点，连接，，．
（1）求证：；
（2）如图2，，，
①若恰好经过圆心，求线段的长；
②如图3，为上的一个动点，作，连接，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：四个选项中，只有D选项是中心对称图形，其余三个选项均不是中信对称图形。
故答案为：D．
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。本题结合中心对称图形的定义逐项进行分析即可。
2．【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A. ，故四条线段不成比例，不符合题意；
B. ，故四条线段成比例，符合题意；
C. ，故四条线段不成比例，不符合题意；
D. ，故四条线段不成比例，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段。因此本题可以先将各选项的四条线段按从小到大的顺序排列好，计算前两条线段之比是否等于后两条线段之比，如果相等则成比例，据此计算判断即可。
3．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；事件的分类
【解析】【解答】解：选项A中车辆随机到达一个路口可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，不是必然事件，不符合题意；
选项B中投掷一枚质地均匀的硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，不是必然事件，不符合题意；
选项C中三角形的内角和定理：任意三角形的内角和等于，是必然事件，符合题意；
选项D中早上的太阳从东方升起，从西方升起是不可能事件，故不是必然事件，不符合题意．
故选：C．
【分析】
结合所学的三角形内角和定理可知，任意一个三角形的内角和都等于，因此选项C属于必然事件；其余选项对应的事件都不是一定会发生的事件，不符合必然事件的定义.
4．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径为3，点P在外，
∴，
∴的长可能是4．
故选：D．
【分析】
根据"点在圆外时，点到圆心的距离大于圆的半径"这一性质来求解该题.
5．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是，即．
故答案为：A．
【分析】 根据抛物线的平移规律“左加右减、上加下减”可求解.
6．【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵，
∴ 抛物线的对称轴为直线，且开口向下，
∴为顶点，最大，关于对称轴的对称点为，
∵ 当 时，随的增大而增大，且，
∴．
故答案为：A．
【分析】本题可以先将二次函数化为顶点式，此时可以确定对称轴和开口方向，然后利用二次函数的性质比较点的纵坐标大小即可。本题还可以将三个点的坐标代入，分别求出每个点的纵坐标，最后比较大小亦可。
7．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵．
∴，
∴，
故选：C．
【分析】
根据平行线分线段成比例定理，依据该定理可推出，进一步可得.
8．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：由圆内接四边形的性质可知：，
，
，
∵，
．
故选：C．
【分析】先利用圆内接四边形对角互补的性质，求出，再结合已知条件，根据“相等的弧所对的圆周角相等”可以推出，进而就可以计算出的度数.
9．【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，连接，
四边形为的内接正四边形，为的内接正三角形，
点在上，且是和的角平分线，，
，
，
，
恰好是圆O的一个内接正边形的一边，
，
故答案为：D．
【分析】结合圆内接正多边形和正三角形的性质，综合推出，然后角的和差计算得出，根据圆周角定理可得，最后根据正多边形的性质列式计算即可。
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵图象开口向下，
∴，
∵对称轴在轴的右侧，a与b异号，
∴，
∵与轴交于正半轴，
∴，
∴，故①错误；
∵二次函数图象与x轴交于不同两点，则．
∴，故②错误；
∵当时，．即．故③正确；
∵时函数有最大值，
∴当时的y值大于当时的y值，
即
∴成立，故④正确．
∵抛物线的对称轴为直线：，
∴，
∵，
∴，故⑤错误．
综上：③④正确．
故答案为：B．
【分析】由二次函数图象的开口方向、对称轴、依次函数与轴的交点，分别确定a、b、c的正负情况，计算即可判断①；由二次函数图象与x轴交于不同两点，即可判断②；将代入，并结合函数图象得出，即可判断③；根据函数的图象和最值情况得出，时函数有最大值，因此，变形计算即可判断④；由抛物线的对称轴可得，结合，综合计算即可判断⑤．
11．【答案】0.27
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由实验数据可知，随着投掷次数的增加，小针与平行线相交的频率逐渐稳定在0.27附近，
因此可以估计任意投掷一枚小针，小针与平行线相交的概率约为0.27，
故答案为：0.27．
【分析】
在大量重复试验的前提下，频率稳定后得到的稳定值可以作为概率的估计值，也就是试验次数越多，频率越接近概率.
12．【答案】10
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：在函数式中，令，
得：，
解得：，（舍去），
∴铅球推出的距离是10m．
故答案为：10．
【分析】铅球推出的距离就是求铅球的落脚点与坐标原点的距离，于是可令得关于x的一元二次方程，解方程求出x的正值即为所求．
13．【答案】
【知识点】列分式方程；黄金分割
【解析】【解答】解：设的长度为，则的长度为．
由黄金分割的定义，得，即．
变形，得．
解得，．
由于且，因此取．
故的长度为.
故答案为：．
【分析】本题根据黄金分割的定义直接列式得到分式方程，求解后找到满足条件的x的值，即为AP。
14．【答案】
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据圆周角定理可以推出，之后借助扇形面积公式即可完成计算.
15．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：连接，延长交于点，
由旋转可得，，
∴是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】由旋转性质得出，，此时结合等边三角形的判定及性质得出，，接着利用SSS证明，全等三角形对应角相等得出，由等边三角形三线合一得出，，接着利用勾股定理求出AB=4，再结合等边三角形的性质以及勾股定理，分别求出，CD=2，，最后线段作差即可求出B'C的长度。
16．【答案】 ；
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，作半径于D，连接、．
∵将沿弦折叠，圆弧恰好经过圆心O，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴．
如图，连接，，，过作于，
由对折可得：，，
∴，
∴所在的圆的圆心为，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴设，而，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：，．
【分析】做辅助线后，结合折叠的性质以及圆的半径相等，得出，利用余弦定义列式得出，从而得出，并计算出，此时结合圆周角定理即可计算出；
继续做辅助线，结合折叠的性质以及圆的半径相等，得出，“多个点到定点的距离长度都相等，则这些点都在以这个定点为圆心的圆弧上”，因此得出所在的圆的圆心为，而∠AEB和∠AOB对应的是同一个圆的弧，因此得出，邻补角计算并推出，从而得出为等边三角形。接着用x来分别表示出AP、AH、BH，此时利用勾股定理即可计算出，最后计算即可。
17．【答案】（1）解：设，则：，
∴，
∴，
∴；
（2）∵线段x是线段b，c的比例中项，∴，且，
∴．
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】
（1）设，由此可以得到，再结合已知条件，就可以求出参数的值，进而得到最终结果；
（2）求解第二问时，直接依据比例中项的定义计算即可得到答案．
（1）解：设，
则：，
∴，
∴，
∴；
（2）∵线段x是线段b，c的比例中项，
∴，且，
∴．
18．【答案】（1）
（2）解：设交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全分别为A、B、C、D，
画树状图为：
，
共有16种等可能结果，其中甲和乙选择不同主题的结果有12种，
则甲和乙选择不同主题的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：共有四种等可能结果，甲选择“校园安全”主题的结果只有一种，所以甲选择“校园安全”主题的概率为．
故答案为：；
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）此题是抽取放回类型，由题意画出树状图列举出所有等可能的情况数，由图可知共有16种等可能结果，其中甲和乙选择不同主题的结果有12种， 利用概率公式求解即可．
（1）解：共有四种等可能结果，甲选择“校园安全”主题的结果只有一种，所以甲选择“校园安全”主题的概率为．
故答案为：．
（2）解：设交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全分别为A、B、C、D，
画树状图为：
，
共有16种等可能结果，其中甲和乙选择不同主题的结果有12种，
则甲和乙选择不同主题的概率为．
19．【答案】（1）证明：由题意可得：，，
∴，，
∴，
∴，
∴点为线段的中点.
（2）解：如图，取格点，且，，，连接交于，则即为所求.
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，内错角相等；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）“两直线平行、内错角相等”得出，，从而利用ASA证明，对应边相等得出，结合线段中点的定义即可得证；
（2）按要求作图。理由如下：利用平行，得出，对应边成比例即可得出。
（1）证明：由题意可得：，，
∴，，
∴，
∴，
∴点为线段的中点.
（2）解：如图，取格点，且，，，连接交于，则即为所求.
理由如下：
∵，
∴，
∴.
20．【答案】（1）解：在二次函数中，
当时，，即，则，
解得或，
∴，，
∴；
在二次函数中，
当时，则，
∴点，即，
∴．
（2）解：由图象可得：当时，的取值范围为：或.
（3）解：∵二次很熟的对称轴为直线：，
∴函数最大值为：，
当时，，当时，，
当时，的取值范围为：.
【知识点】二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用；三角形的面积；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先将y=0代入二次函数中，即可求出，，从而得出AB=4；然后将x=0代入，即可求出点，从而得出， 最后利用三角形面积计算公式列式计算即可；
（2）结合（1）计算出来的A、B两点坐标，结合函数图象即可得出，当y＜0时，A点左侧和B点右侧即为该范围，对应的x的取值范围即可写出；
（3）先结合二次函数的对称轴，可以求出最大值为y=4，再求解当和x=4时，分别对应y的值，最后综合即可得出y的取值范围。
（1）解：在二次函数中，
当时，，
即，
则，
解得或，
∴，，
∴；
在二次函数中，
当时，则，
∴点，即，
∴．
（2）解：由图象可得：当时，的取值范围为：或.
（3）解：∵抛物线的对称轴为直线：，
∴函数最大值为：，
当时，，当时，，
当时，的取值范围为：.
21．【答案】（1）解：如图，
∵，
∴，
∴，
∵，则，而，
∴，
∵，，
∴.
（2）解：解：如图，连接、、，
∵分为的两部分，
∴，
若点F在优弧上，
∴；
若点F在劣弧上，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余；分类讨论
【解析】【分析】（1）“等边对等角”得出，利用三角形的外角性质列式得到，再根据直角三角形锐角互余列式，替换可以计算出，从而计算出；
（2）先根据弧和圆心角的关系求得，再分点F在优弧上和点F在劣弧上两种情况，利用圆周角定理分别计算即可．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，则，而，
∴，
∵，，
∴.
（2）解：如图，连接、、，
∵分为的两部分，
∴，
若点F在优弧上，
∴；
若点F在劣弧上，
∴．
22．【答案】任务1：36，1152；
任务2：解：设降价x元，则售价为元，销售量为件，每件利润为元．
则．
解得或．
∵优惠力度最大即降价最多，则，
∴售价为元．
任务3：解：设降价x元，每天的利润为y元，则
∵，
∴二次函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值，
∵销售单价为偶数，销售单价为，
∴为偶数，则x为偶数，
要优惠力度最大，即x尽可能大，且x为偶数，因此取，
当时，元，
即当优惠力度最大时，每天获得的利润为1248元。
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】任务1：解：降价8元，售价为元．销售量增加件，
∴销售量为件，每件利润为元，总利润为元．
故答案为：任务1：36，1152；
【分析】任务1，先结合条件“ 当售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件 ”，因此可以求出降价8元后对应的售价，继而计算销售量和利润；
任务2，先用x来分别表示出售价、销售量和每件利润，然后建立一元二次方程，求解得出x有两个值或，因为优惠力度最大即降价最多，因此取x=25，接着进行进一步计算即可；
任务3，先列式并计算得出y，此时结合二次函数的性质分析得出，在销售单价为偶数的条件下，选择优惠力度最大（即销售单价最低）时的利润．
23．【答案】（1）解：，
∴ 其顶点为，
将点 和代入得，
，
则，即，
∴与的关系为；
（2）解：∵ 对称轴是直线，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
，
∴ 二次函数的解析式为；
（3）解：由（1）知，
∴，
∴，
解得，
又 ∵ 抛物线的开口方向向上，
∴，
∴，
则，
∴，
∴．
故的取值范围为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；不等式的性质
【解析】【分析】（1）先将二次函数变为顶点式，即可得出其顶点为，然后将点 和代入，计算即可得解；
（2）结合二次函数的对称轴和条件，即可得出，结合（1）的，替换计算出a和b，从而得出二次函数的解析式；
（3）由（1）可得，再根据条件中m＞0以及，代入计算可求a的范围，综合抛物线的开口情况得出，最后利用，依据不等式的形式计算即可．
（1）解：，
∴ 其顶点为，
将点 和代入得，
，
则，即，
∴与的关系为；
（2）解：∵ 对称轴是直线，
∴，
∴，
又 ∵，
∴，
解得，
，
∴ 二次函数的解析式为；
（3）解：由（1）知，
∴，
∴，
解得，
又 ∵ 抛物线的开口方向向上，
∴，
∴，
则，
∴，
∴．
故的取值范围为．
24．【答案】（1）证明：∵是的直径，弦，
∴，
∴.
（2）解：①∵是的直径，弦，，
∴，
设的半径为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴；
②如图，∵，
∴，
取的中点，则在以为圆心，为半径的圆上，
∴当三点共线时，最小，
连接，，设交于点，
∵分别为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
又∵，
∴的最小值为．
【知识点】勾股定理；垂径定理；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据垂径定理可先得出，然后根据“等弧对等角”即可得出；
（2）①先结合垂径定理得出，然后结合图中信息并利用勾股定理列式，求解，即可得出，，再利用勾股定理计算出，圆周角定理推论得出，最后依旧利用勾股定理即可计算出；
②做辅助线并分析得出，当三点共线时，最小；结合三角形中位线定理得出，此时利用平行证明出，对应边成比例得出，，然后利用勾股定理求出，从而求出TJ和DJ，结合①中，可以求出，最后线段作差求出DH即可。
（1）证明：∵是的直径，弦，
∴，
∴.
（2）解：①∵是的直径，弦，，
∴，
设的半径为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴；
②如图，∵，
∴，
取的中点，则在以为圆心，为半径的圆上，
∴当三点共线时，最小，
连接，，设交于点，
∵分别为的中点，
∴
∴
∴
∴，
在中，
∴
∴
又∵
∴的最小值为．
1 / 1浙江省杭州市拱墅区慧澜中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷
1．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：四个选项中，只有D选项是中心对称图形，其余三个选项均不是中信对称图形。
故答案为：D．
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。本题结合中心对称图形的定义逐项进行分析即可。
2．下列各组线段（单位：）中，成比例线段的是（　　）．
A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，
【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A. ，故四条线段不成比例，不符合题意；
B. ，故四条线段成比例，符合题意；
C. ，故四条线段不成比例，不符合题意；
D. ，故四条线段不成比例，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段。因此本题可以先将各选项的四条线段按从小到大的顺序排列好，计算前两条线段之比是否等于后两条线段之比，如果相等则成比例，据此计算判断即可。
3．下列事件是必然事件的是（　　）
A．车辆随机到达一个路口遇到红灯
B．投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
C．任意画一个三角形其内角和是
D．早上的太阳从西方升起
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；事件的分类
【解析】【解答】解：选项A中车辆随机到达一个路口可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，不是必然事件，不符合题意；
选项B中投掷一枚质地均匀的硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，不是必然事件，不符合题意；
选项C中三角形的内角和定理：任意三角形的内角和等于，是必然事件，符合题意；
选项D中早上的太阳从东方升起，从西方升起是不可能事件，故不是必然事件，不符合题意．
故选：C．
【分析】
结合所学的三角形内角和定理可知，任意一个三角形的内角和都等于，因此选项C属于必然事件；其余选项对应的事件都不是一定会发生的事件，不符合必然事件的定义.
4．已知的半径为3，点在外，则的长可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径为3，点P在外，
∴，
∴的长可能是4．
故选：D．
【分析】
根据"点在圆外时，点到圆心的距离大于圆的半径"这一性质来求解该题.
5．将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是，即．
故答案为：A．
【分析】 根据抛物线的平移规律“左加右减、上加下减”可求解.
6．如果三点，和在抛物线的图象上，那么，与之间的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵，
∴ 抛物线的对称轴为直线，且开口向下，
∴为顶点，最大，关于对称轴的对称点为，
∵ 当 时，随的增大而增大，且，
∴．
故答案为：A．
【分析】本题可以先将二次函数化为顶点式，此时可以确定对称轴和开口方向，然后利用二次函数的性质比较点的纵坐标大小即可。本题还可以将三个点的坐标代入，分别求出每个点的纵坐标，最后比较大小亦可。
7．如图所示，已知直线，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C；直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F．若，则等于（　　）
A． B． C． D．1
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵．
∴，
∴，
故选：C．
【分析】
根据平行线分线段成比例定理，依据该定理可推出，进一步可得.
8．如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：由圆内接四边形的性质可知：，
，
，
∵，
．
故选：C．
【分析】先利用圆内接四边形对角互补的性质，求出，再结合已知条件，根据“相等的弧所对的圆周角相等”可以推出，进而就可以计算出的度数.
9．如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，连接，
四边形为的内接正四边形，为的内接正三角形，
点在上，且是和的角平分线，，
，
，
，
恰好是圆O的一个内接正边形的一边，
，
故答案为：D．
【分析】结合圆内接正多边形和正三角形的性质，综合推出，然后角的和差计算得出，根据圆周角定理可得，最后根据正多边形的性质列式计算即可。
10．已知二次函数（）的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④（）；⑤，其中正确的为（　　）
A．①② B．③④ C．④⑤ D．③⑤
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵图象开口向下，
∴，
∵对称轴在轴的右侧，a与b异号，
∴，
∵与轴交于正半轴，
∴，
∴，故①错误；
∵二次函数图象与x轴交于不同两点，则．
∴，故②错误；
∵当时，．即．故③正确；
∵时函数有最大值，
∴当时的y值大于当时的y值，
即
∴成立，故④正确．
∵抛物线的对称轴为直线：，
∴，
∵，
∴，故⑤错误．
综上：③④正确．
故答案为：B．
【分析】由二次函数图象的开口方向、对称轴、依次函数与轴的交点，分别确定a、b、c的正负情况，计算即可判断①；由二次函数图象与x轴交于不同两点，即可判断②；将代入，并结合函数图象得出，即可判断③；根据函数的图象和最值情况得出，时函数有最大值，因此，变形计算即可判断④；由抛物线的对称轴可得，结合，综合计算即可判断⑤．
11．1777年，法国科学家布丰提出了投针试验问题，他准备了一张画着等距平行线的大白纸，还有许多质地均匀，长度为相邻两平行线间距一半的小针．布丰邀请朋友们参与这个实验，参与者逐一将小针投掷到纸面上，布丰则认真记录每次投掷中小针与平行线相交的情况，如下表是实验数据：
投掷次数 100 500 1000 5000 10000
相交次数 28 138 273 1354 2698
相交频率 0.28 0.276 0.273 0.2708 0.2698
据此，可以估计任意投掷一枚小针，小针与平行线相交的概率约为　 　．（精确到0.01）
【答案】0.27
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由实验数据可知，随着投掷次数的增加，小针与平行线相交的频率逐渐稳定在0.27附近，
因此可以估计任意投掷一枚小针，小针与平行线相交的概率约为0.27，
故答案为：0.27．
【分析】
在大量重复试验的前提下，频率稳定后得到的稳定值可以作为概率的估计值，也就是试验次数越多，频率越接近概率.
12．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是　 　m．
【答案】10
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：在函数式中，令，
得：，
解得：，（舍去），
∴铅球推出的距离是10m．
故答案为：10．
【分析】铅球推出的距离就是求铅球的落脚点与坐标原点的距离，于是可令得关于x的一元二次方程，解方程求出x的正值即为所求．
13．黄金分割，又称黄金比、中外比，是一个数学常数，它描述了一种特殊的比例关系：将一条线段分割为两部分，使得较长部分与较短部分的比值，等于全长与较长部分的比值，这个比值就是黄金分割比．自然界中就充满着黄金比，校园里一片小小的树叶，叶筋上一点为恰好为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为　 　．（用含的代数式表示）
【答案】
【知识点】列分式方程；黄金分割
【解析】【解答】解：设的长度为，则的长度为．
由黄金分割的定义，得，即．
变形，得．
解得，．
由于且，因此取．
故的长度为.
故答案为：．
【分析】本题根据黄金分割的定义直接列式得到分式方程，求解后找到满足条件的x的值，即为AP。
14．如图，在中，，，则扇形的面积为　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据圆周角定理可以推出，之后借助扇形面积公式即可完成计算.
15．如图，将绕点逆时针方向旋转到，连接，若，，则的长度为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：连接，延长交于点，
由旋转可得，，
∴是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】由旋转性质得出，，此时结合等边三角形的判定及性质得出，，接着利用SSS证明，全等三角形对应角相等得出，由等边三角形三线合一得出，，接着利用勾股定理求出AB=4，再结合等边三角形的性质以及勾股定理，分别求出，CD=2，，最后线段作差即可求出B'C的长度。
16．如图，将沿弦折叠后，圆弧恰好经过圆心，为上一点，连接、，与交于点，则　 　；若，则　 　．
【答案】 ；
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，作半径于D，连接、．
∵将沿弦折叠，圆弧恰好经过圆心O，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴．
如图，连接，，，过作于，
由对折可得：，，
∴，
∴所在的圆的圆心为，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴设，而，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：，．
【分析】做辅助线后，结合折叠的性质以及圆的半径相等，得出，利用余弦定义列式得出，从而得出，并计算出，此时结合圆周角定理即可计算出；
继续做辅助线，结合折叠的性质以及圆的半径相等，得出，“多个点到定点的距离长度都相等，则这些点都在以这个定点为圆心的圆弧上”，因此得出所在的圆的圆心为，而∠AEB和∠AOB对应的是同一个圆的弧，因此得出，邻补角计算并推出，从而得出为等边三角形。接着用x来分别表示出AP、AH、BH，此时利用勾股定理即可计算出，最后计算即可。
17．已知线段a，b满足，且．
（1）求a，b，c的值．
（2）若线段x是线段b，c的比例中项，求x．
【答案】（1）解：设，则：，
∴，
∴，
∴；
（2）∵线段x是线段b，c的比例中项，∴，且，
∴．
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】
（1）设，由此可以得到，再结合已知条件，就可以求出参数的值，进而得到最终结果；
（2）求解第二问时，直接依据比例中项的定义计算即可得到答案．
（1）解：设，
则：，
∴，
∴，
∴；
（2）∵线段x是线段b，c的比例中项，
∴，且，
∴．
18．某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同．
（1）甲选择“校园安全”主题的概率为______；
（2）请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率．
【答案】（1）
（2）解：设交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全分别为A、B、C、D，
画树状图为：
，
共有16种等可能结果，其中甲和乙选择不同主题的结果有12种，
则甲和乙选择不同主题的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：共有四种等可能结果，甲选择“校园安全”主题的结果只有一种，所以甲选择“校园安全”主题的概率为．
故答案为：；
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）此题是抽取放回类型，由题意画出树状图列举出所有等可能的情况数，由图可知共有16种等可能结果，其中甲和乙选择不同主题的结果有12种， 利用概率公式求解即可．
（1）解：共有四种等可能结果，甲选择“校园安全”主题的结果只有一种，所以甲选择“校园安全”主题的概率为．
故答案为：．
（2）解：设交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全分别为A、B、C、D，
画树状图为：
，
共有16种等可能结果，其中甲和乙选择不同主题的结果有12种，
则甲和乙选择不同主题的概率为．
19．图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．
（1）如图1，点、、、均在格点上，是线段，的交点，求证：点为线段的中点；
（2）如图2，只用无刻度的直尺，在给定的网格中画出点，使得．
【答案】（1）证明：由题意可得：，，
∴，，
∴，
∴，
∴点为线段的中点.
（2）解：如图，取格点，且，，，连接交于，则即为所求.
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，内错角相等；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）“两直线平行、内错角相等”得出，，从而利用ASA证明，对应边相等得出，结合线段中点的定义即可得证；
（2）按要求作图。理由如下：利用平行，得出，对应边成比例即可得出。
（1）证明：由题意可得：，，
∴，，
∴，
∴，
∴点为线段的中点.
（2）解：如图，取格点，且，，，连接交于，则即为所求.
理由如下：
∵，
∴，
∴.
20．如图，已知二次函数的图象与轴分别交于点和点，与轴交于点．
（1）求的面积；
（2）当时，直接写出的取值范围；
（3）当时，求的取值范围．
【答案】（1）解：在二次函数中，
当时，，即，则，
解得或，
∴，，
∴；
在二次函数中，
当时，则，
∴点，即，
∴．
（2）解：由图象可得：当时，的取值范围为：或.
（3）解：∵二次很熟的对称轴为直线：，
∴函数最大值为：，
当时，，当时，，
当时，的取值范围为：.
【知识点】二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用；三角形的面积；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先将y=0代入二次函数中，即可求出，，从而得出AB=4；然后将x=0代入，即可求出点，从而得出， 最后利用三角形面积计算公式列式计算即可；
（2）结合（1）计算出来的A、B两点坐标，结合函数图象即可得出，当y＜0时，A点左侧和B点右侧即为该范围，对应的x的取值范围即可写出；
（3）先结合二次函数的对称轴，可以求出最大值为y=4，再求解当和x=4时，分别对应y的值，最后综合即可得出y的取值范围。
（1）解：在二次函数中，
当时，，
即，
则，
解得或，
∴，，
∴；
在二次函数中，
当时，则，
∴点，即，
∴．
（2）解：由图象可得：当时，的取值范围为：或.
（3）解：∵抛物线的对称轴为直线：，
∴函数最大值为：，
当时，，当时，，
当时，的取值范围为：.
21．如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接．
（1）若，求的度数；
（2）若弦分为的两部分，点在上，求弦所对的圆周角的度数．
【答案】（1）解：如图，
∵，
∴，
∴，
∵，则，而，
∴，
∵，，
∴.
（2）解：解：如图，连接、、，
∵分为的两部分，
∴，
若点F在优弧上，
∴；
若点F在劣弧上，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余；分类讨论
【解析】【分析】（1）“等边对等角”得出，利用三角形的外角性质列式得到，再根据直角三角形锐角互余列式，替换可以计算出，从而计算出；
（2）先根据弧和圆心角的关系求得，再分点F在优弧上和点F在劣弧上两种情况，利用圆周角定理分别计算即可．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，则，而，
∴，
∵，，
∴.
（2）解：如图，连接、、，
∵分为的两部分，
∴，
若点F在优弧上，
∴；
若点F在劣弧上，
∴．
22．喜迎元旦，某中学开展“摊”玩计划，万事大“集”校园创意市集活动，小华负责的摊位主题是：“探趣科学·科技改变未来”．活动开展前，小华到科技园区了解到一款独特的AI交互功能智能摆件，根据以下素材，完成探索任务：
背景素材 素材1 每个智能摆件的成本为60元，当售价为100元时，平均每天可以售出20件．
素材2 当售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件．
问题解决 任务1 当降价8元时，填空：平均每天售出智能摆件______件，每天的利润是______元；
任务2 当每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大时，求智能摆件的销售单价；
任务3 若智能摆件的销售单价为偶数，在保证盈利的前提下，当优惠力度最大时，求此时每天获得的利润．
【答案】任务1：36，1152；
任务2：解：设降价x元，则售价为元，销售量为件，每件利润为元．
则．
解得或．
∵优惠力度最大即降价最多，则，
∴售价为元．
任务3：解：设降价x元，每天的利润为y元，则
∵，
∴二次函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值，
∵销售单价为偶数，销售单价为，
∴为偶数，则x为偶数，
要优惠力度最大，即x尽可能大，且x为偶数，因此取，
当时，元，
即当优惠力度最大时，每天获得的利润为1248元。
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】任务1：解：降价8元，售价为元．销售量增加件，
∴销售量为件，每件利润为元，总利润为元．
故答案为：任务1：36，1152；
【分析】任务1，先结合条件“ 当售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件 ”，因此可以求出降价8元后对应的售价，继而计算销售量和利润；
任务2，先用x来分别表示出售价、销售量和每件利润，然后建立一元二次方程，求解得出x有两个值或，因为优惠力度最大即降价最多，因此取x=25，接着进行进一步计算即可；
任务3，先列式并计算得出y，此时结合二次函数的性质分析得出，在销售单价为偶数的条件下，选择优惠力度最大（即销售单价最低）时的利润．
23．已知二次函数，经过点，且经过二次函数顶点．
（1）求与的关系；
（2）若二次函数的对称轴是直线，求二次函数的解析式；
（3）若抛物线的开口方向向上，且经过点，，设对称轴为直线，求的取值范围．
【答案】（1）解：，
∴ 其顶点为，
将点 和代入得，
，
则，即，
∴与的关系为；
（2）解：∵ 对称轴是直线，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
，
∴ 二次函数的解析式为；
（3）解：由（1）知，
∴，
∴，
解得，
又 ∵ 抛物线的开口方向向上，
∴，
∴，
则，
∴，
∴．
故的取值范围为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；不等式的性质
【解析】【分析】（1）先将二次函数变为顶点式，即可得出其顶点为，然后将点 和代入，计算即可得解；
（2）结合二次函数的对称轴和条件，即可得出，结合（1）的，替换计算出a和b，从而得出二次函数的解析式；
（3）由（1）可得，再根据条件中m＞0以及，代入计算可求a的范围，综合抛物线的开口情况得出，最后利用，依据不等式的形式计算即可．
（1）解：，
∴ 其顶点为，
将点 和代入得，
，
则，即，
∴与的关系为；
（2）解：∵ 对称轴是直线，
∴，
∴，
又 ∵，
∴，
解得，
，
∴ 二次函数的解析式为；
（3）解：由（1）知，
∴，
∴，
解得，
又 ∵ 抛物线的开口方向向上，
∴，
∴，
则，
∴，
∴．
故的取值范围为．
24．如图1，是的直径，弦，垂足为，为上一点，连接，，．
（1）求证：；
（2）如图2，，，
①若恰好经过圆心，求线段的长；
②如图3，为上的一个动点，作，连接，求的最小值．
【答案】（1）证明：∵是的直径，弦，
∴，
∴.
（2）解：①∵是的直径，弦，，
∴，
设的半径为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴；
②如图，∵，
∴，
取的中点，则在以为圆心，为半径的圆上，
∴当三点共线时，最小，
连接，，设交于点，
∵分别为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
又∵，
∴的最小值为．
【知识点】勾股定理；垂径定理；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据垂径定理可先得出，然后根据“等弧对等角”即可得出；
（2）①先结合垂径定理得出，然后结合图中信息并利用勾股定理列式，求解，即可得出，，再利用勾股定理计算出，圆周角定理推论得出，最后依旧利用勾股定理即可计算出；
②做辅助线并分析得出，当三点共线时，最小；结合三角形中位线定理得出，此时利用平行证明出，对应边成比例得出，，然后利用勾股定理求出，从而求出TJ和DJ，结合①中，可以求出，最后线段作差求出DH即可。
（1）证明：∵是的直径，弦，
∴，
∴.
（2）解：①∵是的直径，弦，，
∴，
设的半径为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴；
②如图，∵，
∴，
取的中点，则在以为圆心，为半径的圆上，
∴当三点共线时，最小，
连接，，设交于点，
∵分别为的中点，
∴
∴
∴
∴，
在中，
∴
∴
又∵
∴的最小值为．
1 / 1

展开更多......

收起↑