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2026年四川省广元市旺苍县九年级第二次诊断性学科质量监测数学试卷
1．如图，将2在数轴上对应的点向左平移3个单位，则此时该点对应的数是（　　）
A．1 B． C．5 D．
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（　　）
A． B．
C． D．
4．某社区便利店销售家用洗衣液，店主想了解哪种容量规格的洗衣液最畅销，以便合理进货．下列关于洗衣液容量规格的统计量中，最有参考意义的是（　　）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．极差
5．如图，正五边形的边长为，点、在上，则的长是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，是的直径，、是的弦．若，， 则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．《九章算术》记载这样一道问题：现将一份文书送往距离900里处的城池，若用慢马递送，所需时间比规定时间多2天；若用快马递送，所需时间比规定时间少3天．已知快马速度是慢马的2倍，求规定的时间．设规定时间为天，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．如图所示，直线，点E在上，点H在上，点F、G在直线的上方，点Q是延长线上一点，且满足，，则与的数量关系是（　　）
A． B．
C． D．
9．二次函数 的图象如图所示，对称轴是，下列结论：①；②关于x的方程 有两个不相等的实数根；③； ④正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图①，在中， ，E、F分别是边，上的动点，且， D是的中点，连接，，，设，的面积为y，图②是y关于x的函数图象，则下列说法不正确的是（　　）
A．是等腰直角三角形 B．
C．的周长可以等于12 D．四边形的面积为4
11．9的算术平方根是 　 　．
12．千年米仓道，一品旺苍茶．我县年预计茶叶总产量突破万吨，综合产值亿元，特色优势持续彰显．数据亿元用科学记数法表示为　 　元．
13．某文具店举行抽奖活动，盒子中装有5支完全相同的中性笔，笔杆上分别刻有数字：．顾客随机抽取一支，记笔上的数字为a，求使得：以x为自变量的正比例函数经过第一、三象限，且关于x的一元二次方程有实数解的概率是　 　．
14．在中，若，满足 则的度数为　 　．
15．如图，点是反比例函数（为常数）的图象上一点，轴于点，点在上，，点是轴上一点，连接，若，则的值为　 　．
16．如图，在四边形中，，，若，，则四边形的面积　 　．
17．计算∶
18．先化简，再求值∶ ，其中满足
19．如图，在四边形中，为对角线，．
（1）用无刻度的直尺和圆规在线段上求作一点，连接，使得 (保留作图痕迹，不写作法)；
（2）若，点是的中点．求证：四边形是菱形．
20．某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，，，四个等级．请根据两幅统计图（不完整）中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了_____名学生，并补全条形统计图；
（2）“B等级”在扇形图中的圆心角度数为_____；
（3）若从体能测试结果为等级的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，作为重点帮扶对象，请用列表或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．
21．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，一次函数 与反比例函数 的图象交于两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象回答，当 时，求x的取值范围；
（3）y轴上有一点 P，当以点O、P、A、B为顶点的四边形的面积为5时，求点 P 的坐标．
22．如图，农户家有两面垂直的院墙，墙角内侧N处有一棵果树，距两侧院墙的距离分别为10米和5米．现计划借助这两面院墙（足够长），用总长为24米的篱笆围成一个矩形菜园（篱笆只围、两边），果树在围成的区域内，设为x米．
（1）菜园的面积能否为119平方米？若能，求出x的值；若不能，请说明理由；
（2）求面积S与x的函数解析式，写出x的取值范围，并求出当x为何值时，菜园面积最大？
23．如图，在某机场的地面雷达观测站O处，观测到空中点A处的一架飞机的仰角为，飞机沿水平线方向飞行到达点B处，此时观测到飞机的仰角为 飞机继续沿与水平线成15°角的方向爬升到点C处，此时观测到飞机的仰角为 已知AB为 千米，(A、B、C、O、M、N在同一平面内)．
（1）求O、B两点之间的距离；
（2）若飞机的飞行速度保持12千米/分钟，求飞机从点B飞行到点 C所用的时间是多少分钟？ 结果精确到0.01)
24．如图，A是中的中点，以A、B、C三点作平行四边形，延长交于点E，连接．
（1）证明：是的切线；
（2）若的半径为13，，求平行四边形的周长．
25．在四边形中，是线段上一点，连接，为射线上一点(不与射线端点重合)，且．
（1）如图①，若四边形为正方形，点在线段上，探究与之间的位置关系和数量关系，并说明理由；
（2）如图②，若四边形为矩形，点在的延长线上，且，．探究线段与之间位置关系和数量关系，并说明理由；
（3）如图③，在(2)的条件下，过点作交于点，延长交边于点，当时，直接写出的长．
26．如图，抛物线 与x轴交于，两点，与轴交于点 ，点是抛物线上一动点，点是线段的中点，连接，以和为一组邻边作．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点在直线上方的抛物线上时，求面积的最大值及此时点D的坐标；
（3）当的点G落在x轴上时，求出D的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：根据题意得，
故此时该点对应的数是．
故选：B.
【分析】根据数轴上点平移的规律：点向左平移时，代表这个点的数减去平移的单位长度，列式进行计算，即可得出答案.
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A，，错误，故A不符合题意；
B，，错误，故B不符合题意；
C，，错误，故C不符合题意；
D， ，正确，故D符合题意．
故选：D.
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的除法法则、完全平方公式、积的乘方法则，逐项进行判断，即可得出答案．
3．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：卷纸的主视图应是：
，
故答案为：C．
【分析】根据简单几何体的三视图即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；极差
【解析】【解答】解：∵店主需要了解哪种容量规格的洗衣液最畅销，核心需求是找出销量最高，也就是出现次数最多的容量规格，
又∵众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数反映数据的中间位置水平，平均数反映数据的平均水平，极差反映数据的波动范围，只有众数符合店主需求，
∴最有参考意义的统计量是众数．
故选：C.
【分析】根据中位数，平均数，众数，极差的意义得出店主需要了解哪种容量规格的洗衣液最畅销，核心需求是找出销量最高，即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；弧长的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：五边形是正五边形，边长为10，
，，
．
故选：C.
【分析】先求出正五边形的内角∠EAB的度数，再根据弧长公式列式进行计算，即可得出答案.
6．【答案】B
【知识点】圆周角定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
．
故选：B.
【分析】连接，根据题意得出，根据圆周角定理得出，从而得出，根据直径所对圆周角是直角得出，利用，即可得出答案．
7．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：∵ 规定时间为天，慢马所需时间比规定时间多天，快马所需时间比规定时间少天，
∴ 慢马走完全程的时间为天，快马走完全程的时间为天，
∵速度路程时间，总路程为里，
∴ 慢马速度为，快马速度为，
∵ 快马速度是慢马的倍，
∴．
故选：D.
【分析】根据速度路程时间，分别表示出慢马和快马的速度，再根据快马速度是慢马的2倍，列出方程，即可得出答案．
8．【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：设，，
，，
，，
，，
延长交直线于点P，延长交直线于点R，
，
，，
在中，，
，
，
在中，，
，
即．
故选：A.
【分析】设，，根据题意得出，，延长交直线于点P，延长交直线于点R，根据平行线的性质得出，，利用三角形外角性质得出，，从而得出
，即可得出答案.
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，
，
对称轴为直线，
，
，
，
，
∵抛物线与轴交于正半轴，
，
，
故结论①正确；
由图象可知，抛物线与轴有两个不同的交点，
方程有两个不相等的实数根，
故结论②正确；
当时，，此时函数取得最大值，
由图象可知，顶点在轴上方，
，
又，
，
故结论③错误；
当时，，
由图象可知，抛物线右侧与轴正半轴的交点在和之间，
当时，，
即，
，
，
故结论④正确；
综上所述，正确的结论有①②④，共个．
故选：C.
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点位置，确定、、的符号，即可判断
①正确；根据抛物线与轴有两个不同的交点，得出方程有两个不相等的实数根，即可判断②正确；根据抛物线的顶点纵坐标是函数的最大值，得出，再根据，得出
，即可判断③错误；根据图象得出当时，，再根据，得出
，即可判断④正确．
10．【答案】C
【知识点】等腰直角三角形；二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
，
，
，
，
，
，
该二次函数图象的对称轴为直线，
由图②可知，对称轴为，
，
解得：，
，
当时，
故选项B正确；
连接，
是的中点，，，
，，，，
在和中，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
故选项正确；
，
，
，
，
四边形的面积为，
故选项正确；
由知，
作于点，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
当时，，，
当或时，，，
，
为等腰直角三角形，，
，
的周长，
周长的最小值为，
周长的最大值为，
，
的周长不可能等于12，
故选项不正确．
故选：C.
【分析】根据题意求出，，利用三角形的面积公式得出，
根据函数图象的对称轴得出BC=4，再把顶点坐标代入解析式求出m=2，即可判断B不符合题意；
连接，利用SAS证出，得出，，从而得出
，得出是等腰直角三角形，即可判断不符合题意；
根据题意得出，再求出，即可判断D不符合题意；
作于点，先求出，，再利用勾股定理求出
，再根据二次函数的性质得出DE的取值范围，再求出周长的最大值，即可判断C符合题意.
11．【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵32=9，
∴9算术平方根为3．
故答案为：3．
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，根据此定义即可求出结果．
12．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿．
故填：.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数的绝对值＞10时，n是正数，当原数的绝对值＜1时，n是负数，据此即可得出答案.
13．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；概率公式；正比例函数的性质
【解析】【解答】解： 正比例函数经过第一、三象限，
，
，
一元二次方程有实数解，
且，
，
，
且，
笔上的数字为，
符合条件的a值只有，
所求概率为．
故填：.
【分析】根据正比例函数经过第一、三象限求出a的取值范围，再根据一元二次方程有实数解求出a的取值范围，再找出同时满足两个条件的a值，利用概率公式进行计算，即可得出答案．
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；偶次方的非负性；绝对值的非负性；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴.
故填：.
【分析】利用绝对值和偶次方的非负性得出，再根据特殊角的三角函数值得出，再根据三角形内角和定理求出，即可得出答案.
15．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：设点坐标为，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
故答案为：-6.
【分析】
先设点的坐标为，再结合三角形面积公式列出等式求解 k的值.
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆与四边形的综合；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：在四边形中，，
、、、四点共圆，
设圆心为，则点是的中点，
如图，连接，则为的直径，
在中，，，
，
过点作于点，
，
，
连接，则，
、、共线，
，
，
，
，
，
．
故填：11.
【分析】根据，得出、、、四点共圆，设圆心为，连接，根据勾股定理求出的长，从而得出的长，过点作于点，连接，证出、、共线，通过勾股定理求出和的长，利用列式进行计算，即可得出答案.
17．【答案】解：原式，
，
.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先把60°的余弦值代入，再计算绝对值，零指数幂，负整数指数幂，化简二次根式，然后再计算加减法，即可得出答案.
18．【答案】解：，
，
，
，
解方程，
，
或，
，，，，
，
，
原式．
【知识点】分式有无意义的条件；因式分解法解一元二次方程；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式混合运算法则进行计算，把原式进行化简，再利用因式分解法求出一元二次方程的根，根据分式有意义的条件得出x的值，再代入进行计算，即可得出答案.
19．【答案】（1）解：如图所示，点即为所求；
（2）证明：∵，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）如图所示，作出线段BC的垂直平分线MN，交于点，连接，
∴CE=BE，
∴点即为所求；
【分析】（）作线段的垂直平分线，交于点，连接，根据线段垂直平分线的性质得出，即可得出点即为所求；
（）先证出，再根据平行线的判定定理证出，得出 ，从而得出，证出，得出四边形是平行四边形，再证出，即可证出四边形是菱形．
（1）解：如图所示，点即为所求；
（2）证明：∵，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
20．【答案】（1），补全条形统计图如下，
（2）
（3）解：画出树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2．
所以抽取的两人恰好都是男生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）（名）．
C等级学生人数为：（人）．
补全条形图如图：
故答案为：50．
（2）
解：测试结果为等级的学生数为20名，
．
故答案为：．
【分析】
本题主要考查了列表法或树状图法求概率以及统计图相关知识点.
（1）根据A等级的人数(10)和所占的百分比(20%)，用“部分量÷对应比例”求总人数，再用总数减去已知等级人数得C等级人数，补全条形统计图即可；
（2）扇形圆心角=360°×该部分占比，先求B等级占比，再计算即可；
（3）先用树状图或列表法列出所有等可能结果，再算符合条件的结果占比.
（1）解：（名）．
C等级学生人数为：（人）．
补全条形图如图：
故答案为：50．
（2）解：测试结果为等级的学生数为20名，
．
故答案为：．
（3）解：画出树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2．
所以抽取的两人恰好都是男生的概率为．
21．【答案】（1）解：把代入得，
，
反比例函数的解析式为；
把代入得，
，
把，代入得：，
解得：，
一次函数的解析式为；
（2）解： 当时， x的取值范围为或；
（3）解：设，
由得，当时，，当时，，
，
当时， ，
，
，
，
，
，
点的坐标为，
如下图，
当时，，
，
，
点的坐标为，
综上所述：点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）根据B的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再求出A点坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式，即可得出答案；
（2）根据函数图象得出当或时，反比例函数的图象在一次函数的上方，即可得出答案；
（3）设，先求出一次函数与y轴的交点M，与x轴的交点N的坐标，分两种情况讨论：当时和当时，分别表示出四边形面积，再根据四边形面积为5列出方程，求出a的值，即可得出答案．
（1）解：把代入得，
，
反比例函数的解析式为，
把代入得，
，
把，代入得：，
解得：，
一次函数的解析式为；
（2）由图象得，当时，即时，x的取值范围为或；
（3）解：设，
由得，当时，，当时，，
，
当时， ，
，
，
，
点的坐标为，
如下图，
当时，，
，
，
点的坐标为，
综上所述：点的坐标为或．
22．【答案】（1）解：设为x米，则米，
由题意得，，
即，
解得，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去；
∴，
答：菜园面积能为119平方米，此时；
（2）解：，
∵点N距两侧院墙的距离分别为10米和5米，
∴，
解得，
∴，
∵二次项系数，
∴抛物线的开口向下，
∴当时，菜园面积S的值最大．
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设为x米，米，根据矩形的面积公式列出方程，解方程求出x的值，再进行检验，即可得出答案；
（）根据矩形的面积公式列出与的函数解析式，再根据题意求出的取值范围，根据二次函数的性质得出抛物线的开口向下，S有最大值，求出x的值，即可得出答案．
（1）解：设为x米，则米，
由题意得，，
即，
解得，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去；
∴，
答：菜园面积能为119平方米，此时；
（2）解：，
∵点N距两侧院墙的距离分别为10米和5米，
∴，
解得，
∴，
∵二次项系数，
∴抛物线的开口向下，
∴当时，菜园面积S的值最大．
23．【答案】（1）解：如图，分别过点A，B作于点D，于点E，
∴AD∥BE，∠ADO=∠BEO=90°，
飞机沿水平线方向从A飞行到B，
∴AB∥MN，
∴四边形ABED是矩形，
，，
设，
在点A处观测飞机的仰角为，
，
在点B处观测飞机的仰角为，
，
，
∴，
，
；
（2）解：如图，延长交于点M，过点B作于点M，
由题意，B、C两点的仰角均为，且BC与水平线成角，
∴，
，，
∴，
在中，
，
在中，
，
∴飞机从点B飞行到点 C所用的时间是：分钟.
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）分别过点A，B作于点D，于点E，根据题意得出，，设，解直角三角形求出，，再根据建立关于的方程，解方程求出的值，再利用锐角三角函数的定义求的长，即可得出答案；
（2）延长交于点M，过点B作于点M，根据题意求出，，解直角三角形分别求出BM和BC的长，再根据时间=路程÷速度列式进行计算，即可得出答案.
（1）解：分别过点A，B作
于点D，于点E，
设，
在点A处观测飞机的仰角为，
，
在点B处观测飞机的仰角为，
，
飞机沿水平线方向从A飞行到B，
，
∴
，
（2）解：延长交于点M，过点B作于点M，
由题意，B、C两点的仰角均为，且BC与水平线成角，
∴，
，，
∴
在中，
，
在中，
，
飞机从点B飞行到点 C所用的时间是：
分钟
24．【答案】（1）证明：如图，连接，交于点F，
∵A是中的中点，
∴，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，连接，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
解得，
即，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形的周长．
【知识点】平行四边形的性质；切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，交于点F，根据垂径定理的推论得出，得出，根据平行四边形的性质得出，从而得出，再根据切线的判定定理即可证出是的切线；
（2）连接，先证出，设，得出，根据勾股定理得出，列出方程，解方程求出x的值，得出，再求出BF的长，从而得出BC的长，再利用平行四边形的周长公式列式进行计算，即可得出平行四边形的周长．
（1）证明：连接，交于点F，
∵A是中的中点，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
解得，即，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形的周长．
25．【答案】（1）解：，，理由如下：
如图，过点作于点，作于点，
∴∠BGE=∠BHE=90°=∠EHC，
四边形为正方形，
，，
，
四边形是正方形，
，
在和中，
，
，
，，
，
；
（2）解：，，理由如下：
如图，过点作于点，作于点，
∴∠BQE=∠BHE=90°=∠EHC，
四边形为矩形，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，即，
，
；
（3）
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：（3）当时，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：5.
【分析】（1）过点作于点，作于点，先证出，得出
，，从而得出
，证出，即可得出答案；
（2）过点作于点，作于点，得出四边形是矩形，得出，，证出，得出，，从而得出，证出，再证出，得出，得出，得出
，从而得出，即可得出答案；
（3）当时，根据勾股定理求出的长，进而求出的长，再证出，得出，求出的长，再利用勾股定理求出的长，即可得出答案．
（1）解：，；理由如下：
如图，过点作于点，作于点，
四边形为正方形，
，，
，
四边形是正方形，
，
在和中，，
，
，，
，
；
（2）解：，；理由如下：
如图，过点作于点，作于点，
四边形为矩形，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，即，
，
；
（3）解：当时，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
26．【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；

（2）解：∵抛物线的解析式为，
当x=0时，y=2，
∴，
∵点是线段的中点，A（4，0），
∴
设直线的解析式为，
∵，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
如图，连接，过点作于点，交于点，
设，则点，
∴，
∴，
∴，
∵
∴当时，有最大值为4，此时；
（3）解：当在轴上的时候，如图
∵四边形ADGE是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴（ASA），
∵，
即点到轴的距离为1，
将代入抛物线解析式得，
解得，，
∴点的坐标为或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得出答案；
（2）根据题意求出点，点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，连接，过点作于点，交于点，设点，点，根据面积公式列出面积的表达式，再利用二次函数的性质求出面积的最大值，再求出点D的坐标，即可得出答案；
（3）利用ASA证出，根据全等三角形的性质得出点E和点D到x轴的距离都是1，从而得出点D的纵坐标为-1，再求出横坐标，即可得出答案．
（1）∵抛物线与轴交于，两点
∴
解得
∴抛物线的解析式为
（2）∵抛物线的解析式为
∴
∵点是线段的中点
∴
设直线的解析式为
∵，
∴
解得
∴直线的解析式为
如图，连接，过点作于点，交于点
设，则点
∴
∴
∴
∵
∴当时，有最大值4，此时
（3）当在轴上的时候，如图
∵，
∴
∴
∴
∵
即点到轴的距离为1
将代入抛物线解析式
解得，
∴点的坐标为或
1 / 12026年四川省广元市旺苍县九年级第二次诊断性学科质量监测数学试卷
1．如图，将2在数轴上对应的点向左平移3个单位，则此时该点对应的数是（　　）
A．1 B． C．5 D．
【答案】B
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：根据题意得，
故此时该点对应的数是．
故选：B.
【分析】根据数轴上点平移的规律：点向左平移时，代表这个点的数减去平移的单位长度，列式进行计算，即可得出答案.
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A，，错误，故A不符合题意；
B，，错误，故B不符合题意；
C，，错误，故C不符合题意；
D， ，正确，故D符合题意．
故选：D.
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的除法法则、完全平方公式、积的乘方法则，逐项进行判断，即可得出答案．
3．右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：卷纸的主视图应是：
，
故答案为：C．
【分析】根据简单几何体的三视图即可求出答案.
4．某社区便利店销售家用洗衣液，店主想了解哪种容量规格的洗衣液最畅销，以便合理进货．下列关于洗衣液容量规格的统计量中，最有参考意义的是（　　）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．极差
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；极差
【解析】【解答】解：∵店主需要了解哪种容量规格的洗衣液最畅销，核心需求是找出销量最高，也就是出现次数最多的容量规格，
又∵众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数反映数据的中间位置水平，平均数反映数据的平均水平，极差反映数据的波动范围，只有众数符合店主需求，
∴最有参考意义的统计量是众数．
故选：C.
【分析】根据中位数，平均数，众数，极差的意义得出店主需要了解哪种容量规格的洗衣液最畅销，核心需求是找出销量最高，即可得出答案.
5．如图，正五边形的边长为，点、在上，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；弧长的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：五边形是正五边形，边长为10，
，，
．
故选：C.
【分析】先求出正五边形的内角∠EAB的度数，再根据弧长公式列式进行计算，即可得出答案.
6．如图，是的直径，、是的弦．若，， 则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
．
故选：B.
【分析】连接，根据题意得出，根据圆周角定理得出，从而得出，根据直径所对圆周角是直角得出，利用，即可得出答案．
7．《九章算术》记载这样一道问题：现将一份文书送往距离900里处的城池，若用慢马递送，所需时间比规定时间多2天；若用快马递送，所需时间比规定时间少3天．已知快马速度是慢马的2倍，求规定的时间．设规定时间为天，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：∵ 规定时间为天，慢马所需时间比规定时间多天，快马所需时间比规定时间少天，
∴ 慢马走完全程的时间为天，快马走完全程的时间为天，
∵速度路程时间，总路程为里，
∴ 慢马速度为，快马速度为，
∵ 快马速度是慢马的倍，
∴．
故选：D.
【分析】根据速度路程时间，分别表示出慢马和快马的速度，再根据快马速度是慢马的2倍，列出方程，即可得出答案．
8．如图所示，直线，点E在上，点H在上，点F、G在直线的上方，点Q是延长线上一点，且满足，，则与的数量关系是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：设，，
，，
，，
，，
延长交直线于点P，延长交直线于点R，
，
，，
在中，，
，
，
在中，，
，
即．
故选：A.
【分析】设，，根据题意得出，，延长交直线于点P，延长交直线于点R，根据平行线的性质得出，，利用三角形外角性质得出，，从而得出
，即可得出答案.
9．二次函数 的图象如图所示，对称轴是，下列结论：①；②关于x的方程 有两个不相等的实数根；③； ④正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，
，
对称轴为直线，
，
，
，
，
∵抛物线与轴交于正半轴，
，
，
故结论①正确；
由图象可知，抛物线与轴有两个不同的交点，
方程有两个不相等的实数根，
故结论②正确；
当时，，此时函数取得最大值，
由图象可知，顶点在轴上方，
，
又，
，
故结论③错误；
当时，，
由图象可知，抛物线右侧与轴正半轴的交点在和之间，
当时，，
即，
，
，
故结论④正确；
综上所述，正确的结论有①②④，共个．
故选：C.
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点位置，确定、、的符号，即可判断
①正确；根据抛物线与轴有两个不同的交点，得出方程有两个不相等的实数根，即可判断②正确；根据抛物线的顶点纵坐标是函数的最大值，得出，再根据，得出
，即可判断③错误；根据图象得出当时，，再根据，得出
，即可判断④正确．
10．如图①，在中， ，E、F分别是边，上的动点，且， D是的中点，连接，，，设，的面积为y，图②是y关于x的函数图象，则下列说法不正确的是（　　）
A．是等腰直角三角形 B．
C．的周长可以等于12 D．四边形的面积为4
【答案】C
【知识点】等腰直角三角形；二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
，
，
，
，
，
，
该二次函数图象的对称轴为直线，
由图②可知，对称轴为，
，
解得：，
，
当时，
故选项B正确；
连接，
是的中点，，，
，，，，
在和中，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
故选项正确；
，
，
，
，
四边形的面积为，
故选项正确；
由知，
作于点，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
当时，，，
当或时，，，
，
为等腰直角三角形，，
，
的周长，
周长的最小值为，
周长的最大值为，
，
的周长不可能等于12，
故选项不正确．
故选：C.
【分析】根据题意求出，，利用三角形的面积公式得出，
根据函数图象的对称轴得出BC=4，再把顶点坐标代入解析式求出m=2，即可判断B不符合题意；
连接，利用SAS证出，得出，，从而得出
，得出是等腰直角三角形，即可判断不符合题意；
根据题意得出，再求出，即可判断D不符合题意；
作于点，先求出，，再利用勾股定理求出
，再根据二次函数的性质得出DE的取值范围，再求出周长的最大值，即可判断C符合题意.
11．9的算术平方根是 　 　．
【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵32=9，
∴9算术平方根为3．
故答案为：3．
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，根据此定义即可求出结果．
12．千年米仓道，一品旺苍茶．我县年预计茶叶总产量突破万吨，综合产值亿元，特色优势持续彰显．数据亿元用科学记数法表示为　 　元．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿．
故填：.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数的绝对值＞10时，n是正数，当原数的绝对值＜1时，n是负数，据此即可得出答案.
13．某文具店举行抽奖活动，盒子中装有5支完全相同的中性笔，笔杆上分别刻有数字：．顾客随机抽取一支，记笔上的数字为a，求使得：以x为自变量的正比例函数经过第一、三象限，且关于x的一元二次方程有实数解的概率是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；概率公式；正比例函数的性质
【解析】【解答】解： 正比例函数经过第一、三象限，
，
，
一元二次方程有实数解，
且，
，
，
且，
笔上的数字为，
符合条件的a值只有，
所求概率为．
故填：.
【分析】根据正比例函数经过第一、三象限求出a的取值范围，再根据一元二次方程有实数解求出a的取值范围，再找出同时满足两个条件的a值，利用概率公式进行计算，即可得出答案．
14．在中，若，满足 则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；偶次方的非负性；绝对值的非负性；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴.
故填：.
【分析】利用绝对值和偶次方的非负性得出，再根据特殊角的三角函数值得出，再根据三角形内角和定理求出，即可得出答案.
15．如图，点是反比例函数（为常数）的图象上一点，轴于点，点在上，，点是轴上一点，连接，若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：设点坐标为，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
故答案为：-6.
【分析】
先设点的坐标为，再结合三角形面积公式列出等式求解 k的值.
16．如图，在四边形中，，，若，，则四边形的面积　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆与四边形的综合；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：在四边形中，，
、、、四点共圆，
设圆心为，则点是的中点，
如图，连接，则为的直径，
在中，，，
，
过点作于点，
，
，
连接，则，
、、共线，
，
，
，
，
，
．
故填：11.
【分析】根据，得出、、、四点共圆，设圆心为，连接，根据勾股定理求出的长，从而得出的长，过点作于点，连接，证出、、共线，通过勾股定理求出和的长，利用列式进行计算，即可得出答案.
17．计算∶
【答案】解：原式，
，
.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先把60°的余弦值代入，再计算绝对值，零指数幂，负整数指数幂，化简二次根式，然后再计算加减法，即可得出答案.
18．先化简，再求值∶ ，其中满足
【答案】解：，
，
，
，
解方程，
，
或，
，，，，
，
，
原式．
【知识点】分式有无意义的条件；因式分解法解一元二次方程；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式混合运算法则进行计算，把原式进行化简，再利用因式分解法求出一元二次方程的根，根据分式有意义的条件得出x的值，再代入进行计算，即可得出答案.
19．如图，在四边形中，为对角线，．
（1）用无刻度的直尺和圆规在线段上求作一点，连接，使得 (保留作图痕迹，不写作法)；
（2）若，点是的中点．求证：四边形是菱形．
【答案】（1）解：如图所示，点即为所求；
（2）证明：∵，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）如图所示，作出线段BC的垂直平分线MN，交于点，连接，
∴CE=BE，
∴点即为所求；
【分析】（）作线段的垂直平分线，交于点，连接，根据线段垂直平分线的性质得出，即可得出点即为所求；
（）先证出，再根据平行线的判定定理证出，得出 ，从而得出，证出，得出四边形是平行四边形，再证出，即可证出四边形是菱形．
（1）解：如图所示，点即为所求；
（2）证明：∵，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
20．某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，，，四个等级．请根据两幅统计图（不完整）中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了_____名学生，并补全条形统计图；
（2）“B等级”在扇形图中的圆心角度数为_____；
（3）若从体能测试结果为等级的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，作为重点帮扶对象，请用列表或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．
【答案】（1），补全条形统计图如下，
（2）
（3）解：画出树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2．
所以抽取的两人恰好都是男生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）（名）．
C等级学生人数为：（人）．
补全条形图如图：
故答案为：50．
（2）
解：测试结果为等级的学生数为20名，
．
故答案为：．
【分析】
本题主要考查了列表法或树状图法求概率以及统计图相关知识点.
（1）根据A等级的人数(10)和所占的百分比(20%)，用“部分量÷对应比例”求总人数，再用总数减去已知等级人数得C等级人数，补全条形统计图即可；
（2）扇形圆心角=360°×该部分占比，先求B等级占比，再计算即可；
（3）先用树状图或列表法列出所有等可能结果，再算符合条件的结果占比.
（1）解：（名）．
C等级学生人数为：（人）．
补全条形图如图：
故答案为：50．
（2）解：测试结果为等级的学生数为20名，
．
故答案为：．
（3）解：画出树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2．
所以抽取的两人恰好都是男生的概率为．
21．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，一次函数 与反比例函数 的图象交于两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象回答，当 时，求x的取值范围；
（3）y轴上有一点 P，当以点O、P、A、B为顶点的四边形的面积为5时，求点 P 的坐标．
【答案】（1）解：把代入得，
，
反比例函数的解析式为；
把代入得，
，
把，代入得：，
解得：，
一次函数的解析式为；
（2）解： 当时， x的取值范围为或；
（3）解：设，
由得，当时，，当时，，
，
当时， ，
，
，
，
，
，
点的坐标为，
如下图，
当时，，
，
，
点的坐标为，
综上所述：点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）根据B的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再求出A点坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式，即可得出答案；
（2）根据函数图象得出当或时，反比例函数的图象在一次函数的上方，即可得出答案；
（3）设，先求出一次函数与y轴的交点M，与x轴的交点N的坐标，分两种情况讨论：当时和当时，分别表示出四边形面积，再根据四边形面积为5列出方程，求出a的值，即可得出答案．
（1）解：把代入得，
，
反比例函数的解析式为，
把代入得，
，
把，代入得：，
解得：，
一次函数的解析式为；
（2）由图象得，当时，即时，x的取值范围为或；
（3）解：设，
由得，当时，，当时，，
，
当时， ，
，
，
，
点的坐标为，
如下图，
当时，，
，
，
点的坐标为，
综上所述：点的坐标为或．
22．如图，农户家有两面垂直的院墙，墙角内侧N处有一棵果树，距两侧院墙的距离分别为10米和5米．现计划借助这两面院墙（足够长），用总长为24米的篱笆围成一个矩形菜园（篱笆只围、两边），果树在围成的区域内，设为x米．
（1）菜园的面积能否为119平方米？若能，求出x的值；若不能，请说明理由；
（2）求面积S与x的函数解析式，写出x的取值范围，并求出当x为何值时，菜园面积最大？
【答案】（1）解：设为x米，则米，
由题意得，，
即，
解得，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去；
∴，
答：菜园面积能为119平方米，此时；
（2）解：，
∵点N距两侧院墙的距离分别为10米和5米，
∴，
解得，
∴，
∵二次项系数，
∴抛物线的开口向下，
∴当时，菜园面积S的值最大．
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设为x米，米，根据矩形的面积公式列出方程，解方程求出x的值，再进行检验，即可得出答案；
（）根据矩形的面积公式列出与的函数解析式，再根据题意求出的取值范围，根据二次函数的性质得出抛物线的开口向下，S有最大值，求出x的值，即可得出答案．
（1）解：设为x米，则米，
由题意得，，
即，
解得，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去；
∴，
答：菜园面积能为119平方米，此时；
（2）解：，
∵点N距两侧院墙的距离分别为10米和5米，
∴，
解得，
∴，
∵二次项系数，
∴抛物线的开口向下，
∴当时，菜园面积S的值最大．
23．如图，在某机场的地面雷达观测站O处，观测到空中点A处的一架飞机的仰角为，飞机沿水平线方向飞行到达点B处，此时观测到飞机的仰角为 飞机继续沿与水平线成15°角的方向爬升到点C处，此时观测到飞机的仰角为 已知AB为 千米，(A、B、C、O、M、N在同一平面内)．
（1）求O、B两点之间的距离；
（2）若飞机的飞行速度保持12千米/分钟，求飞机从点B飞行到点 C所用的时间是多少分钟？ 结果精确到0.01)
【答案】（1）解：如图，分别过点A，B作于点D，于点E，
∴AD∥BE，∠ADO=∠BEO=90°，
飞机沿水平线方向从A飞行到B，
∴AB∥MN，
∴四边形ABED是矩形，
，，
设，
在点A处观测飞机的仰角为，
，
在点B处观测飞机的仰角为，
，
，
∴，
，
；
（2）解：如图，延长交于点M，过点B作于点M，
由题意，B、C两点的仰角均为，且BC与水平线成角，
∴，
，，
∴，
在中，
，
在中，
，
∴飞机从点B飞行到点 C所用的时间是：分钟.
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）分别过点A，B作于点D，于点E，根据题意得出，，设，解直角三角形求出，，再根据建立关于的方程，解方程求出的值，再利用锐角三角函数的定义求的长，即可得出答案；
（2）延长交于点M，过点B作于点M，根据题意求出，，解直角三角形分别求出BM和BC的长，再根据时间=路程÷速度列式进行计算，即可得出答案.
（1）解：分别过点A，B作
于点D，于点E，
设，
在点A处观测飞机的仰角为，
，
在点B处观测飞机的仰角为，
，
飞机沿水平线方向从A飞行到B，
，
∴
，
（2）解：延长交于点M，过点B作于点M，
由题意，B、C两点的仰角均为，且BC与水平线成角，
∴，
，，
∴
在中，
，
在中，
，
飞机从点B飞行到点 C所用的时间是：
分钟
24．如图，A是中的中点，以A、B、C三点作平行四边形，延长交于点E，连接．
（1）证明：是的切线；
（2）若的半径为13，，求平行四边形的周长．
【答案】（1）证明：如图，连接，交于点F，
∵A是中的中点，
∴，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，连接，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
解得，
即，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形的周长．
【知识点】平行四边形的性质；切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，交于点F，根据垂径定理的推论得出，得出，根据平行四边形的性质得出，从而得出，再根据切线的判定定理即可证出是的切线；
（2）连接，先证出，设，得出，根据勾股定理得出，列出方程，解方程求出x的值，得出，再求出BF的长，从而得出BC的长，再利用平行四边形的周长公式列式进行计算，即可得出平行四边形的周长．
（1）证明：连接，交于点F，
∵A是中的中点，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
解得，即，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形的周长．
25．在四边形中，是线段上一点，连接，为射线上一点(不与射线端点重合)，且．
（1）如图①，若四边形为正方形，点在线段上，探究与之间的位置关系和数量关系，并说明理由；
（2）如图②，若四边形为矩形，点在的延长线上，且，．探究线段与之间位置关系和数量关系，并说明理由；
（3）如图③，在(2)的条件下，过点作交于点，延长交边于点，当时，直接写出的长．
【答案】（1）解：，，理由如下：
如图，过点作于点，作于点，
∴∠BGE=∠BHE=90°=∠EHC，
四边形为正方形，
，，
，
四边形是正方形，
，
在和中，
，
，
，，
，
；
（2）解：，，理由如下：
如图，过点作于点，作于点，
∴∠BQE=∠BHE=90°=∠EHC，
四边形为矩形，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，即，
，
；
（3）
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：（3）当时，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：5.
【分析】（1）过点作于点，作于点，先证出，得出
，，从而得出
，证出，即可得出答案；
（2）过点作于点，作于点，得出四边形是矩形，得出，，证出，得出，，从而得出，证出，再证出，得出，得出，得出
，从而得出，即可得出答案；
（3）当时，根据勾股定理求出的长，进而求出的长，再证出，得出，求出的长，再利用勾股定理求出的长，即可得出答案．
（1）解：，；理由如下：
如图，过点作于点，作于点，
四边形为正方形，
，，
，
四边形是正方形，
，
在和中，，
，
，，
，
；
（2）解：，；理由如下：
如图，过点作于点，作于点，
四边形为矩形，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，即，
，
；
（3）解：当时，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
26．如图，抛物线 与x轴交于，两点，与轴交于点 ，点是抛物线上一动点，点是线段的中点，连接，以和为一组邻边作．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点在直线上方的抛物线上时，求面积的最大值及此时点D的坐标；
（3）当的点G落在x轴上时，求出D的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；

（2）解：∵抛物线的解析式为，
当x=0时，y=2，
∴，
∵点是线段的中点，A（4，0），
∴
设直线的解析式为，
∵，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
如图，连接，过点作于点，交于点，
设，则点，
∴，
∴，
∴，
∵
∴当时，有最大值为4，此时；
（3）解：当在轴上的时候，如图
∵四边形ADGE是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴（ASA），
∵，
即点到轴的距离为1，
将代入抛物线解析式得，
解得，，
∴点的坐标为或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得出答案；
（2）根据题意求出点，点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，连接，过点作于点，交于点，设点，点，根据面积公式列出面积的表达式，再利用二次函数的性质求出面积的最大值，再求出点D的坐标，即可得出答案；
（3）利用ASA证出，根据全等三角形的性质得出点E和点D到x轴的距离都是1，从而得出点D的纵坐标为-1，再求出横坐标，即可得出答案．
（1）∵抛物线与轴交于，两点
∴
解得
∴抛物线的解析式为
（2）∵抛物线的解析式为
∴
∵点是线段的中点
∴
设直线的解析式为
∵，
∴
解得
∴直线的解析式为
如图，连接，过点作于点，交于点
设，则点
∴
∴
∴
∵
∴当时，有最大值4，此时
（3）当在轴上的时候，如图
∵，
∴
∴
∴
∵
即点到轴的距离为1
将代入抛物线解析式
解得，
∴点的坐标为或
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