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2026年湖南长沙市雅礼教育集团2026年 九年级 一模数学试题
1．2026 年是农历丙午马年，2026 的倒数是(　　)
A．-2026 B． C． D．2026
2．据文化和旅游部数据中心测算，年清明节假期天，全国国内出游约亿人次，同比增长．数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．中国古代数学著作《九章算术》中，将两底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.将一个“堑堵”按如图方式摆放，则它的左视图为（　　）
A． B．
C． D．
4．下列计算正确的是（　　）．
A． B． C． D．
5．一个三角形的三边长度分别为2，5和x，则x的值可以是(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
6．某校举办了关于航空航天的知识竞赛，随机抽取了10名参赛学生的成绩，绘制成如图所示的统计图，则参赛学生成绩的中位数是（　　）
A．90 B．92.5 C．95 D．100
7．如图，点的坐标为，将绕点逆时针旋转得到，点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
8．《九章算术》中有一道“凫雁相逢”（凫：野鸭）问题：今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫、雁俱起，问何日相逢？大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天；大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相逢？设经过天相遇，可列方程为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，四边形的顶点在上，点在的延长线上．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．小阳同学将温度计从热水杯中取出后立即放入一杯凉水中，每隔记录一次温度计上显示的度数，记录结果如表：
时间（s） 5 10 15 20 25 30 35
温度计上的度数（） 49 31 22 16 14 12 12
下列说法中不正确的是（　　）
A．当时，温度计上的度数是
B．这个表中时间是自变量，温度计上的度数是时间的函数
C．温度计上的度数随时间的增加逐渐减小，最后保持不变
D．当温度计的度数为时，经过的时间可能是
11．若分式 的值为0，则x的值为　 　.
12．如图，，，，则的长是　 　．
13．如图，为估计椭圆的面积，小明在面积为的矩形纸片上进行随机投点实验，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在0.6左右，据此估计图中椭圆的面积约为　 　．
14．反比例函数的图象上三个点的坐标分别是，，，则，，的大小关系为　 　．（用“”连接）
15．如图，四边形是菱形，，，于，则　 　．
16．在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯．某模拟线路上依次设有，，三个路口，相邻路口间距为，．假设，，各路口红绿灯均按“绿灯30 s、红灯30 s”交替循环，路口绿灯亮起后20 s，路口绿灯亮起；路口绿灯亮起后40 s，路口绿灯亮起．绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．一辆汽车从路口出发时路口绿灯刚好开始亮起，全程绿灯匀速通过，，三个路口的“绿波速度”的最大值是　 　．
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．人教版初中数学教科书八年级上册第40页告诉我们一种过直线外一点作平行线的方法：
已知：直线及直线外一点．
求作：过点作直线的平行线．
作法：①过点作一条直线，与直线相交于点；
②以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；
③以点为圆心，长为半径画弧，交于点；
④以点为圆心，长为半径画弧，与上一步作的弧相交于点；
⑤连接，并两端延长为直线，则直线即为所求作的平行线．
请你根据提供的材料完成下面的问题．
（1）这种过直线外一点作平行线的方法的依据是（　　）（填选项）
A． B． C． D．
（2）请你证明．
20．为进一步宣传推广湖南文旅，某校开展“春假最想去的湖南特色景点”问卷调查，每人限选一项：A张家界武陵源，B南岳衡山，C凤凰古城，D岳阳楼．收集数据后绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，已知选C凤凰古城的人数占总抽取人数的．
（1）本次调查一共抽取__________名学生，扇形统计图中“B南岳衡山”对应扇形的圆心角度数为__________；
（2）补全条形统计图；
（3）甲、乙两名同学各自随机任选一个景点，用树状图或列表法，求两人选择同一景点的概率．
21．如图，在中，为边上一点，为的中点，连接并延长至点，使得，连接．
（1）求证：；
（2）若，且平分，求的度数．
22．2026年3月28日至29日进行的世界超级摩托锦标赛（WSBK）葡萄牙站SSP组别赛事中，来自中国的摩托车品牌“张雪机车”斩获两连冠，中国制造的摩托车在世界赛场强势出圈，也瞬间点燃了国内消费市场的热情．某经销商计划购进A，B两种型号的机车进行销售．若购进1辆A型机车，2辆B型机车，共需7万元；若购进2辆A型机车，1辆B型机车，共需8万元．
（1）求A，B两种型号机车的单价；
（2）该经销商计划购进A，B两种型号的机车共50辆，并且购进A型机车的数量不超过B型机车的2倍．若一辆A型机车的售价为4.2万元，一辆B型机车的售价为2.8万元，怎样进货才能在全部售完时获得最大利润？最大利润是多少？
23．如图，在平行四边形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：∠BAE=∠DAF；
（2）已知AE=4，AF=6，tan∠BAE=，求CF的长．
24．如图，在中，为直径，点在上方的半圆上，且点不与点，重合．过点作的切线，交的延长线于点．过点作，垂足为点．连接，交于点．
（1）求证：；
（2）记与的面积分别为，，若，求的值；
（3）若的半径为，设，，求关于的函数解析式．
25．在平面直角坐标系中，若抛物线（，，为常数且）的顶点为，点为该抛物线上不与点重合的一点，连接．我们不妨约定：直线与抛物线的对称轴相交所成的锐角，称为点的“轴偏角”．
（1）若点为抛物线上一点，求点的“轴偏角”的度数；
（2）若抛物线（，，为常数且）的顶点为，与轴交于点，点的“轴偏角”为，且直线与两坐标轴围成的平面图形的面积为，求的值；
（3）已知抛物线（，，为常数且）与抛物线（，，为常数且）开口方向相同，顶点公共，点与点分别是抛物线和上的点，且都不与顶点重合．若点和点的“轴偏角”分别是和，且，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解： 2026 的倒数是.
故选：C.
【分析】根据两数相乘得1
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故选：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数的绝对值＞10时，n是正数，当原数的绝对值＜1时，n是负数，据此即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从左边观看立体图形可得：左视图为直角在左边的直角三角形，
故选：B．
【分析】左视图：从物体左面所看的平面图形，注意：看到的棱画实线，看不到的棱画虚线，据此进行解答即可.
4．【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，但右边为，故A错误，不符合题意；
B、，但右边为，故B错误，不符合题意；
C、，但右边为，故C错误，不符合题意；
D：，右边为，故D正确，符合题意．
故选：D．
【分析】根据合并同类项法则，单项式乘单项式法则，积的乘方法则，幂的乘方法则，逐项进行判断，即可得出答案．
5．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，
可得5-2＜x＜5+2，
∴3＜x＜7，选项中只有4满足该范围．
故选：A.
【分析】根据三角形的三边关系，即可得到x的取值范围，从而得到正确答案.
6．【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将10名参赛学生的成绩按照从小到大排列为：，，，，，，，，，，位置在第个和第个的成绩分别为，，
故参赛学生成绩的中位数是．
故选：C.
【分析】根据中位数的定义，先将10名参赛学生的成绩按照从小到大排列，找出位置在第个和第个的成绩，再求出这两个数的平均数，即可得出答案．
7．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：，原中轴，
因此，，
绕逆时针旋转后，如图：
在中轴，
因此，，
旋转后落在第二象限，
因此坐标为．
故选：B.
【分析】根据点A的坐标得出，，根据旋转的性质得出，，再根据再第二象限，得出旋转后点的坐标为，即可得出答案．
8．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设总路程为单位1，经过天相遇，
∵野鸭飞完全程需要7天，．
∴野鸭每天飞行的路程为，天的飞行路程为，
∵大雁飞完全程需要9天，
∴大雁每天飞行的路程为，天的飞行路程为，
相遇时两者飞行路程和等于总路程，
∴可列方程.
故选：B.
【分析】将总路程看作单位1，根据题意得出野鸭每天飞行的路程为，大雁每天飞行的路程为，利用相遇时野鸭飞行路程与大雁飞行路程之和等于总路程，列出方程，即可得出答案．
9．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：在优弧上取点D，连接，
∵四边形ACBD是的内接四边形，
∴，
∴．
故选：C.
【分析】在优弧上取点D，连接，根据圆内接四边形的性质得出，再根据圆心角定理得出，即可得出答案．
10．【答案】D
【知识点】函数的概念；用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：A、由表格数据可得，当时，温度计上的度数是，说法正确，故A不符合题意；
B、时间主动变化，对每一个确定的，都有唯一确定的温度计度数与之对应，因此时间是自变量，温度计上的度数是的函数，说法正确，故B不符合题意；
C、观察表格数据，温度计度数从逐渐下降到，之后保持不变，因此温度计上的度数随时间的增加逐渐减小，最后保持不变，说法正确，故C不符合题意；
D、时温度为，时温度为，温度随时间增加持续下降，
对应的时间在到之间，，此时温度低于，不可能为，说法错误，故D符合题意．
故选：D.
【分析】根据表格中的数据，根据变量的定义和函数的定义以及温度随时间的变化情况，逐项进行判断，即可得出答案．
11．【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】依题意得：x﹣2=0，
解得x=2.
经检验x=2符合题意，
故答案是：2.
【分析】分式的值为零的条件：分子为0且分母不为0，据此解答即可.
12．【答案】4
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：，
，
，，
，
．
故填：4.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，代入已知数据进行计算，即可得出答案．
13．【答案】120
【知识点】几何概率；利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右，
点落在椭圆内部的概率为，
椭圆的面积与矩形纸片的面积的比值为，
椭圆的面积为．
故填：120.
【分析】根据大量反复实验，频率的稳定值即为概率值，得出点落在椭圆内部的概率为，再根据概率公式进行计算，即可得出答案．
14．【答案】
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当x=-2时，，
当x=3时，，
当x=6时，，
，
．
故填：.
【分析】根据反比例函数解析式分别求出的值，再比较它们的大小，即可得出答案．
15．【答案】
【知识点】菱形的性质；平行四边形的面积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：设与交于，
∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴，，
∵，
∴ ．
故答案为：．
【分析】本题主要考查菱形的性质与勾股定理的应用，需要注意菱形的面积有两种计算方式，分别为对角线乘积的一半，以及底乘高。已知四边形是菱形，对角线，，我们可以先据此求出菱形的面积，再结合菱形对角线互相垂直平分的性质，利用勾股定理求出边长的长度，进而求解最终答案。
16．【答案】17.5
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】设汽车的绿波速度为v m/s，
设车辆从A路口出发的时刻为0，则到达B路口的时间为 s，到达C路口的时间为 s．
红绿灯的循环周期为．
根据各路口绿灯亮起的时间规律，则有
B路口的绿灯时间段满足，其中k为非负整数，
C路口的绿灯时间段满足，其中n为非负整数．
要求v的最大值，由于v越大，tB，tC越小，因此从最小的非负整数开始讨论：
当时，解不等式得，
当时，不等式得．
所以“绿波速度”的取值范围为10 ≤ v ≤ 17.5，
所以的最大值是17.5 m/s．
故填：17.5.
【分析】设汽车的绿波速度为v m/s，设车辆从A路口出发的时刻为0，得出到达B路口的时间和到达C路口的时间，再根据题意分别表示汽车绿灯通过B，C两个路口应满足的时间范围，从而得出速度的取值范围，即可得出答案．
17．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算以及特殊角的三角函数值，解题时只需先分别求出算式中绝对值、负整数指数幂、零指数幂和三角函数项的值，再依次进行加减运算就能得到最终结果。
18．【答案】解：，
当时，原式．
【知识点】平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据平方差公式、单项式乘以多项式法则进行计算，再合并同类项，把原式化简，把代入进行计算，即可得出答案．
19．【答案】（1）A
（2）证明：在和中，
，
，
，
∴（同位角相等，两直线平行）．
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：（1）由作图可知，在和中，
，
，
，
即这种过直线外一点作平行线的方法的依据是“”．
故选：A；
【分析】（1）根据题意得出，，，利用SSS证出，即可得出答案；
（2）根据全等三角形的性质得出，再根据平行线的判定证出，即可得出答案.
（1）解：由作图可知，在和中，
，
，
．
即这种过直线外一点作平行线的方法的依据是“”．
（2）证明：∵．
∴（同位角相等，两直线平行）．
20．【答案】（1）100；
（2）解：如图，补全条形统计图：
（3）解：画树状图如下：
∴一共有16种等可能的结果，其中两人恰好选择同一景点的结果有4种，
∴两人恰好都选中同一景点的概率．

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）∵扇形统计图中“D岳阳楼”对应扇形的圆心角度数为108°，
∴选“D岳阳楼”的占比为，
∵选“D岳阳楼”的人数为30人，
∴总人数为：人，
∴选C凤凰古城人数为：人，
∴选B南岳衡山人数为：人，
∴“B南岳衡山”对应扇形的圆心角度数为．
故填：100；；
【分析】（1）先求出选D岳阳楼的人数所的占比，然后用选“D岳阳楼”的人数除以占比列式进行计算，得出这次被调查的学生人数，再求出选C凤凰古城人数，从而求出选B南岳衡山人数，然后用乘以选B南岳衡山人数占比，列式进行计算，即可求解；
（2）根据（1）中的数据，补全条形统计图，即可得出答案；
（3）画出树状图得出一共有16种等可能的结果，找出其中两人恰好选择同一景点的结果有4种，再利用概率公式进行计算，即可得出答案．
（1）解：总人数：（人），
选C凤凰古城人数：（人），
选B南岳衡山人数：（人），
“B南岳衡山”对应扇形的圆心角度数为．
（2）解：如图，补全条形统计图；
（3）解：画树状图如下：
一共有16种等可能的结果，其中两人恰好选择同一景点的结果有4种，
∴两人恰好都选中同一景点的概率．
21．【答案】（1）证明：∵为的中点，
∴AE=CE，
在和中，
，
，
；
（2）解：∵，
，
，
，
平分，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；全等三角形中对应角的关系；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）根据线段中点定义得出AE=CE，利用SAS证出，得出，再根据平行线的判定定理即可证出；
（2）根据平行线的性质得出，从而得出，再根据角平分线的定义得到，从而得出，即可得出答案.
（1）略
（2）解：∵，
，
，
，
平分，
，
．
22．【答案】（1）解： 设A型机车单价为万元/辆，B型机车单价为万元/辆，
根据题意得，
解得，
答：A型机车单价为3万元/辆，B型机车单价为2万元/辆；
（2）解：设购进A型机车辆，则购进B型机车辆，总利润为万元，
则，
购进A型机车的数量不超过B型机车的2倍，
，
，
又为非负整数，
的最大值为33，
，
∴随的增大而增大，
当时，取得最大值，
此时，，
∴购进A型机车33辆、B型机车17辆时，获得最大利润，最大利润为53.2万元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设A型机车单价为万元/辆，B型机车单价为万元/辆，根据题意列出二元一次方程组，解方程组求出x，y的值，即可得出答案；
（2）设购进A型机车辆，购进B型机车辆，总利润为万元，利用总利润=A型机车的利润+B型机车的利润 ，建立总利润W与a的一次函数关系式，再根据条件列出不等式，解不等式求出自变量a的取值范围，再利用一次函数的性质求出最大值，即可得出答案．
（1）解： 设A型机车单价为万元/辆，B型机车单价为万元/辆，根据题意列方程组得
解得
答：A型机车单价为3万元/辆，B型机车单价为2万元/辆；
（2）解：设购进A型机车辆，则购进B型机车辆，总利润为万元，则
．
购进A型机车的数量不超过B型机车的2倍，
，
．
又为非负整数，
的最大值为33．
，
∴随的增大而增大，
当时，取得最大值，
此时，，
所以购进A型机车33辆、B型机车17辆时，获得最大利润，最大利润为53.2万元．
23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B=∠D，AB=CD，
∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEB=90°，∠AFD=90°
∴∠B+∠BAE=90°，∠DAF+∠D=90°
∴∠BAE=∠DAF；
（2）解：∵tan∠BAE，AE=4，
∴BE=3，
∴在△ABE中，，
∴
∵在Rt△ABE和Rt△ADF中，∠AEB=∠AFD=90°，∠BAE=∠DAF，
∴△ABE∽△ADF
∴，
∴，
∴FC==．
【知识点】平行四边形的性质；已知正切值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对角相等的性质，可得∠B=∠D，AB=CD。又因为AE⊥BC，AF⊥CD，因此在Rt△ABE中，∠B+∠BAE=90°，在Rt△ADF中，∠DAF+∠D=90°，由此可推出∠BAE=∠DAF；
（2）已知 由tan∠BAE， 且AE=4，代入可计算得BE=3。再根据勾股定理可得AB =5 。再证△ABE∽△ADF，根据相似三角形对应边成比例的性质，计算得到DF的长度后，即可得到最终答案。
24．【答案】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，即，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
设，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∵ ，
∴；
（3）解：∵半径为1，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴ ，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
，
，
，
，
，
∵点不与重合，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴函数解析式为：．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得出，根据切线的性质得出，从而得出，结合，即可证明；
（2）先证出，得出 ，得出，设，，由勾股定理得出，再证出，得出，根据得 出，得出，再求出 ，即可得出；
（3）根据勾股定理得出，根据，求出，根据得出 ，根据得出 ，，得出，根据得出，从而得出 ，代入进行化简，即可得出y与x的函数解析式.
（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵是的切线，
∴，即，
∴，
又，
∴，
又，
∴．
（2）解：∵，
∴，
又由（1）知，
∴，
∴ ，
∴，
设，，
由勾股定理得，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由得 ，
∴，
又 ，
∴．
（3）解：∵半径为1，
故，，
∵，
∴由勾股定理，
∵，
∴平方得，
∴，
由，得 ，
∴ ，
∴ ，
由，得 ，，
∴，故，
由，得，
则，
∴ ，
∴，
，
∵点不与重合，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
故函数解析式为：．
25．【答案】（1）解：将代入解析式得：，
∴A（，），
∵函数顶点坐标为O，对称轴为轴，
设线段OA与y轴的夹角为，
∴，
∴=30°，
∴点的“轴偏角”的度数为；

（2）解：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点，对称轴为直线， 与轴的交点，
根据“轴偏角”的定义，点的“轴偏角”为，
∴，
∴，
设直线解析式为：，
将点代入，解得，
将点代入，解得，
∴直线解析式为：，
∴与轴交点为，
∵直线与两坐标轴围成的平面图形的面积为，
∴，
解得，
∴．
（3）解：设两抛物线的公共顶点为，则抛物线的顶点式为，，
∵点与点分别是抛物线和上的点，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；解直角三角形—边角关系；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）首先确定抛物线的顶点坐标与对称轴，将点的横坐标代入解析式求出纵坐标，得出点坐标，设线段OA与y轴的夹角为，利用三角函数定义求出，即可得出答案；
（2）先求出抛物线顶点的坐标、与轴的交点的坐标，对称轴，根据轴偏角的定义得出的值，利用待定系数法求出直线CM的解析式，求出直线与轴的交点坐标，结合直线与坐标轴围成图形的面积列出等式，求出c的值，从而求出的值，即可得出答案；
（3）设两抛物线的公共顶点坐标为，得出两条抛物线的解析式，根据点、纵坐标相同，分别代入对应抛物线解析式，用，表示两点到对称轴的水平距离，根据轴偏角的正切值等于水平距离与对应竖直距离的比值，再根据正切的比值，得出的值，即可得出答案．
（1）解：将代入解析式得：，
且函数顶点坐标为原点，对称轴为轴，
∴，
∴点的“轴偏角”的度数为．
（2）解：已知顶点，对称轴为直线，，
根据“轴偏角”的定义，点的“轴偏角”为，
∴，
∴，
设直线解析式为：，
将点代入，解得，
将点代入，解得，
∴直线解析式为：，
∴与轴交点为，
∵直线与两坐标轴围成的平面图形的面积为，
∴，
解得，
∴．
（3）解：设两抛物线的公共顶点为，
则抛物线的顶点式为，，
∵点与点分别是抛物线和上的点，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
1 / 12026年湖南长沙市雅礼教育集团2026年 九年级 一模数学试题
1．2026 年是农历丙午马年，2026 的倒数是(　　)
A．-2026 B． C． D．2026
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解： 2026 的倒数是.
故选：C.
【分析】根据两数相乘得1
2．据文化和旅游部数据中心测算，年清明节假期天，全国国内出游约亿人次，同比增长．数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故选：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数的绝对值＞10时，n是正数，当原数的绝对值＜1时，n是负数，据此即可得出答案.
3．中国古代数学著作《九章算术》中，将两底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.将一个“堑堵”按如图方式摆放，则它的左视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从左边观看立体图形可得：左视图为直角在左边的直角三角形，
故选：B．
【分析】左视图：从物体左面所看的平面图形，注意：看到的棱画实线，看不到的棱画虚线，据此进行解答即可.
4．下列计算正确的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，但右边为，故A错误，不符合题意；
B、，但右边为，故B错误，不符合题意；
C、，但右边为，故C错误，不符合题意；
D：，右边为，故D正确，符合题意．
故选：D．
【分析】根据合并同类项法则，单项式乘单项式法则，积的乘方法则，幂的乘方法则，逐项进行判断，即可得出答案．
5．一个三角形的三边长度分别为2，5和x，则x的值可以是(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，
可得5-2＜x＜5+2，
∴3＜x＜7，选项中只有4满足该范围．
故选：A.
【分析】根据三角形的三边关系，即可得到x的取值范围，从而得到正确答案.
6．某校举办了关于航空航天的知识竞赛，随机抽取了10名参赛学生的成绩，绘制成如图所示的统计图，则参赛学生成绩的中位数是（　　）
A．90 B．92.5 C．95 D．100
【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将10名参赛学生的成绩按照从小到大排列为：，，，，，，，，，，位置在第个和第个的成绩分别为，，
故参赛学生成绩的中位数是．
故选：C.
【分析】根据中位数的定义，先将10名参赛学生的成绩按照从小到大排列，找出位置在第个和第个的成绩，再求出这两个数的平均数，即可得出答案．
7．如图，点的坐标为，将绕点逆时针旋转得到，点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：，原中轴，
因此，，
绕逆时针旋转后，如图：
在中轴，
因此，，
旋转后落在第二象限，
因此坐标为．
故选：B.
【分析】根据点A的坐标得出，，根据旋转的性质得出，，再根据再第二象限，得出旋转后点的坐标为，即可得出答案．
8．《九章算术》中有一道“凫雁相逢”（凫：野鸭）问题：今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫、雁俱起，问何日相逢？大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天；大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相逢？设经过天相遇，可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设总路程为单位1，经过天相遇，
∵野鸭飞完全程需要7天，．
∴野鸭每天飞行的路程为，天的飞行路程为，
∵大雁飞完全程需要9天，
∴大雁每天飞行的路程为，天的飞行路程为，
相遇时两者飞行路程和等于总路程，
∴可列方程.
故选：B.
【分析】将总路程看作单位1，根据题意得出野鸭每天飞行的路程为，大雁每天飞行的路程为，利用相遇时野鸭飞行路程与大雁飞行路程之和等于总路程，列出方程，即可得出答案．
9．如图，四边形的顶点在上，点在的延长线上．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：在优弧上取点D，连接，
∵四边形ACBD是的内接四边形，
∴，
∴．
故选：C.
【分析】在优弧上取点D，连接，根据圆内接四边形的性质得出，再根据圆心角定理得出，即可得出答案．
10．小阳同学将温度计从热水杯中取出后立即放入一杯凉水中，每隔记录一次温度计上显示的度数，记录结果如表：
时间（s） 5 10 15 20 25 30 35
温度计上的度数（） 49 31 22 16 14 12 12
下列说法中不正确的是（　　）
A．当时，温度计上的度数是
B．这个表中时间是自变量，温度计上的度数是时间的函数
C．温度计上的度数随时间的增加逐渐减小，最后保持不变
D．当温度计的度数为时，经过的时间可能是
【答案】D
【知识点】函数的概念；用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：A、由表格数据可得，当时，温度计上的度数是，说法正确，故A不符合题意；
B、时间主动变化，对每一个确定的，都有唯一确定的温度计度数与之对应，因此时间是自变量，温度计上的度数是的函数，说法正确，故B不符合题意；
C、观察表格数据，温度计度数从逐渐下降到，之后保持不变，因此温度计上的度数随时间的增加逐渐减小，最后保持不变，说法正确，故C不符合题意；
D、时温度为，时温度为，温度随时间增加持续下降，
对应的时间在到之间，，此时温度低于，不可能为，说法错误，故D符合题意．
故选：D.
【分析】根据表格中的数据，根据变量的定义和函数的定义以及温度随时间的变化情况，逐项进行判断，即可得出答案．
11．若分式 的值为0，则x的值为　 　.
【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】依题意得：x﹣2=0，
解得x=2.
经检验x=2符合题意，
故答案是：2.
【分析】分式的值为零的条件：分子为0且分母不为0，据此解答即可.
12．如图，，，，则的长是　 　．
【答案】4
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：，
，
，，
，
．
故填：4.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，代入已知数据进行计算，即可得出答案．
13．如图，为估计椭圆的面积，小明在面积为的矩形纸片上进行随机投点实验，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在0.6左右，据此估计图中椭圆的面积约为　 　．
【答案】120
【知识点】几何概率；利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右，
点落在椭圆内部的概率为，
椭圆的面积与矩形纸片的面积的比值为，
椭圆的面积为．
故填：120.
【分析】根据大量反复实验，频率的稳定值即为概率值，得出点落在椭圆内部的概率为，再根据概率公式进行计算，即可得出答案．
14．反比例函数的图象上三个点的坐标分别是，，，则，，的大小关系为　 　．（用“”连接）
【答案】
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当x=-2时，，
当x=3时，，
当x=6时，，
，
．
故填：.
【分析】根据反比例函数解析式分别求出的值，再比较它们的大小，即可得出答案．
15．如图，四边形是菱形，，，于，则　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质；平行四边形的面积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：设与交于，
∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴，，
∵，
∴ ．
故答案为：．
【分析】本题主要考查菱形的性质与勾股定理的应用，需要注意菱形的面积有两种计算方式，分别为对角线乘积的一半，以及底乘高。已知四边形是菱形，对角线，，我们可以先据此求出菱形的面积，再结合菱形对角线互相垂直平分的性质，利用勾股定理求出边长的长度，进而求解最终答案。
16．在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯．某模拟线路上依次设有，，三个路口，相邻路口间距为，．假设，，各路口红绿灯均按“绿灯30 s、红灯30 s”交替循环，路口绿灯亮起后20 s，路口绿灯亮起；路口绿灯亮起后40 s，路口绿灯亮起．绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．一辆汽车从路口出发时路口绿灯刚好开始亮起，全程绿灯匀速通过，，三个路口的“绿波速度”的最大值是　 　．
【答案】17.5
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】设汽车的绿波速度为v m/s，
设车辆从A路口出发的时刻为0，则到达B路口的时间为 s，到达C路口的时间为 s．
红绿灯的循环周期为．
根据各路口绿灯亮起的时间规律，则有
B路口的绿灯时间段满足，其中k为非负整数，
C路口的绿灯时间段满足，其中n为非负整数．
要求v的最大值，由于v越大，tB，tC越小，因此从最小的非负整数开始讨论：
当时，解不等式得，
当时，不等式得．
所以“绿波速度”的取值范围为10 ≤ v ≤ 17.5，
所以的最大值是17.5 m/s．
故填：17.5.
【分析】设汽车的绿波速度为v m/s，设车辆从A路口出发的时刻为0，得出到达B路口的时间和到达C路口的时间，再根据题意分别表示汽车绿灯通过B，C两个路口应满足的时间范围，从而得出速度的取值范围，即可得出答案．
17．计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算以及特殊角的三角函数值，解题时只需先分别求出算式中绝对值、负整数指数幂、零指数幂和三角函数项的值，再依次进行加减运算就能得到最终结果。
18．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：，
当时，原式．
【知识点】平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据平方差公式、单项式乘以多项式法则进行计算，再合并同类项，把原式化简，把代入进行计算，即可得出答案．
19．人教版初中数学教科书八年级上册第40页告诉我们一种过直线外一点作平行线的方法：
已知：直线及直线外一点．
求作：过点作直线的平行线．
作法：①过点作一条直线，与直线相交于点；
②以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；
③以点为圆心，长为半径画弧，交于点；
④以点为圆心，长为半径画弧，与上一步作的弧相交于点；
⑤连接，并两端延长为直线，则直线即为所求作的平行线．
请你根据提供的材料完成下面的问题．
（1）这种过直线外一点作平行线的方法的依据是（　　）（填选项）
A． B． C． D．
（2）请你证明．
【答案】（1）A
（2）证明：在和中，
，
，
，
∴（同位角相等，两直线平行）．
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：（1）由作图可知，在和中，
，
，
，
即这种过直线外一点作平行线的方法的依据是“”．
故选：A；
【分析】（1）根据题意得出，，，利用SSS证出，即可得出答案；
（2）根据全等三角形的性质得出，再根据平行线的判定证出，即可得出答案.
（1）解：由作图可知，在和中，
，
，
．
即这种过直线外一点作平行线的方法的依据是“”．
（2）证明：∵．
∴（同位角相等，两直线平行）．
20．为进一步宣传推广湖南文旅，某校开展“春假最想去的湖南特色景点”问卷调查，每人限选一项：A张家界武陵源，B南岳衡山，C凤凰古城，D岳阳楼．收集数据后绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，已知选C凤凰古城的人数占总抽取人数的．
（1）本次调查一共抽取__________名学生，扇形统计图中“B南岳衡山”对应扇形的圆心角度数为__________；
（2）补全条形统计图；
（3）甲、乙两名同学各自随机任选一个景点，用树状图或列表法，求两人选择同一景点的概率．
【答案】（1）100；
（2）解：如图，补全条形统计图：
（3）解：画树状图如下：
∴一共有16种等可能的结果，其中两人恰好选择同一景点的结果有4种，
∴两人恰好都选中同一景点的概率．

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）∵扇形统计图中“D岳阳楼”对应扇形的圆心角度数为108°，
∴选“D岳阳楼”的占比为，
∵选“D岳阳楼”的人数为30人，
∴总人数为：人，
∴选C凤凰古城人数为：人，
∴选B南岳衡山人数为：人，
∴“B南岳衡山”对应扇形的圆心角度数为．
故填：100；；
【分析】（1）先求出选D岳阳楼的人数所的占比，然后用选“D岳阳楼”的人数除以占比列式进行计算，得出这次被调查的学生人数，再求出选C凤凰古城人数，从而求出选B南岳衡山人数，然后用乘以选B南岳衡山人数占比，列式进行计算，即可求解；
（2）根据（1）中的数据，补全条形统计图，即可得出答案；
（3）画出树状图得出一共有16种等可能的结果，找出其中两人恰好选择同一景点的结果有4种，再利用概率公式进行计算，即可得出答案．
（1）解：总人数：（人），
选C凤凰古城人数：（人），
选B南岳衡山人数：（人），
“B南岳衡山”对应扇形的圆心角度数为．
（2）解：如图，补全条形统计图；
（3）解：画树状图如下：
一共有16种等可能的结果，其中两人恰好选择同一景点的结果有4种，
∴两人恰好都选中同一景点的概率．
21．如图，在中，为边上一点，为的中点，连接并延长至点，使得，连接．
（1）求证：；
（2）若，且平分，求的度数．
【答案】（1）证明：∵为的中点，
∴AE=CE，
在和中，
，
，
；
（2）解：∵，
，
，
，
平分，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；全等三角形中对应角的关系；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）根据线段中点定义得出AE=CE，利用SAS证出，得出，再根据平行线的判定定理即可证出；
（2）根据平行线的性质得出，从而得出，再根据角平分线的定义得到，从而得出，即可得出答案.
（1）略
（2）解：∵，
，
，
，
平分，
，
．
22．2026年3月28日至29日进行的世界超级摩托锦标赛（WSBK）葡萄牙站SSP组别赛事中，来自中国的摩托车品牌“张雪机车”斩获两连冠，中国制造的摩托车在世界赛场强势出圈，也瞬间点燃了国内消费市场的热情．某经销商计划购进A，B两种型号的机车进行销售．若购进1辆A型机车，2辆B型机车，共需7万元；若购进2辆A型机车，1辆B型机车，共需8万元．
（1）求A，B两种型号机车的单价；
（2）该经销商计划购进A，B两种型号的机车共50辆，并且购进A型机车的数量不超过B型机车的2倍．若一辆A型机车的售价为4.2万元，一辆B型机车的售价为2.8万元，怎样进货才能在全部售完时获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）解： 设A型机车单价为万元/辆，B型机车单价为万元/辆，
根据题意得，
解得，
答：A型机车单价为3万元/辆，B型机车单价为2万元/辆；
（2）解：设购进A型机车辆，则购进B型机车辆，总利润为万元，
则，
购进A型机车的数量不超过B型机车的2倍，
，
，
又为非负整数，
的最大值为33，
，
∴随的增大而增大，
当时，取得最大值，
此时，，
∴购进A型机车33辆、B型机车17辆时，获得最大利润，最大利润为53.2万元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设A型机车单价为万元/辆，B型机车单价为万元/辆，根据题意列出二元一次方程组，解方程组求出x，y的值，即可得出答案；
（2）设购进A型机车辆，购进B型机车辆，总利润为万元，利用总利润=A型机车的利润+B型机车的利润 ，建立总利润W与a的一次函数关系式，再根据条件列出不等式，解不等式求出自变量a的取值范围，再利用一次函数的性质求出最大值，即可得出答案．
（1）解： 设A型机车单价为万元/辆，B型机车单价为万元/辆，根据题意列方程组得
解得
答：A型机车单价为3万元/辆，B型机车单价为2万元/辆；
（2）解：设购进A型机车辆，则购进B型机车辆，总利润为万元，则
．
购进A型机车的数量不超过B型机车的2倍，
，
．
又为非负整数，
的最大值为33．
，
∴随的增大而增大，
当时，取得最大值，
此时，，
所以购进A型机车33辆、B型机车17辆时，获得最大利润，最大利润为53.2万元．
23．如图，在平行四边形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：∠BAE=∠DAF；
（2）已知AE=4，AF=6，tan∠BAE=，求CF的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B=∠D，AB=CD，
∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEB=90°，∠AFD=90°
∴∠B+∠BAE=90°，∠DAF+∠D=90°
∴∠BAE=∠DAF；
（2）解：∵tan∠BAE，AE=4，
∴BE=3，
∴在△ABE中，，
∴
∵在Rt△ABE和Rt△ADF中，∠AEB=∠AFD=90°，∠BAE=∠DAF，
∴△ABE∽△ADF
∴，
∴，
∴FC==．
【知识点】平行四边形的性质；已知正切值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对角相等的性质，可得∠B=∠D，AB=CD。又因为AE⊥BC，AF⊥CD，因此在Rt△ABE中，∠B+∠BAE=90°，在Rt△ADF中，∠DAF+∠D=90°，由此可推出∠BAE=∠DAF；
（2）已知 由tan∠BAE， 且AE=4，代入可计算得BE=3。再根据勾股定理可得AB =5 。再证△ABE∽△ADF，根据相似三角形对应边成比例的性质，计算得到DF的长度后，即可得到最终答案。
24．如图，在中，为直径，点在上方的半圆上，且点不与点，重合．过点作的切线，交的延长线于点．过点作，垂足为点．连接，交于点．
（1）求证：；
（2）记与的面积分别为，，若，求的值；
（3）若的半径为，设，，求关于的函数解析式．
【答案】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，即，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
设，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∵ ，
∴；
（3）解：∵半径为1，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴ ，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
，
，
，
，
，
∵点不与重合，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴函数解析式为：．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得出，根据切线的性质得出，从而得出，结合，即可证明；
（2）先证出，得出 ，得出，设，，由勾股定理得出，再证出，得出，根据得 出，得出，再求出 ，即可得出；
（3）根据勾股定理得出，根据，求出，根据得出 ，根据得出 ，，得出，根据得出，从而得出 ，代入进行化简，即可得出y与x的函数解析式.
（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵是的切线，
∴，即，
∴，
又，
∴，
又，
∴．
（2）解：∵，
∴，
又由（1）知，
∴，
∴ ，
∴，
设，，
由勾股定理得，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由得 ，
∴，
又 ，
∴．
（3）解：∵半径为1，
故，，
∵，
∴由勾股定理，
∵，
∴平方得，
∴，
由，得 ，
∴ ，
∴ ，
由，得 ，，
∴，故，
由，得，
则，
∴ ，
∴，
，
∵点不与重合，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
故函数解析式为：．
25．在平面直角坐标系中，若抛物线（，，为常数且）的顶点为，点为该抛物线上不与点重合的一点，连接．我们不妨约定：直线与抛物线的对称轴相交所成的锐角，称为点的“轴偏角”．
（1）若点为抛物线上一点，求点的“轴偏角”的度数；
（2）若抛物线（，，为常数且）的顶点为，与轴交于点，点的“轴偏角”为，且直线与两坐标轴围成的平面图形的面积为，求的值；
（3）已知抛物线（，，为常数且）与抛物线（，，为常数且）开口方向相同，顶点公共，点与点分别是抛物线和上的点，且都不与顶点重合．若点和点的“轴偏角”分别是和，且，求的值．
【答案】（1）解：将代入解析式得：，
∴A（，），
∵函数顶点坐标为O，对称轴为轴，
设线段OA与y轴的夹角为，
∴，
∴=30°，
∴点的“轴偏角”的度数为；

（2）解：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点，对称轴为直线， 与轴的交点，
根据“轴偏角”的定义，点的“轴偏角”为，
∴，
∴，
设直线解析式为：，
将点代入，解得，
将点代入，解得，
∴直线解析式为：，
∴与轴交点为，
∵直线与两坐标轴围成的平面图形的面积为，
∴，
解得，
∴．
（3）解：设两抛物线的公共顶点为，则抛物线的顶点式为，，
∵点与点分别是抛物线和上的点，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；解直角三角形—边角关系；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）首先确定抛物线的顶点坐标与对称轴，将点的横坐标代入解析式求出纵坐标，得出点坐标，设线段OA与y轴的夹角为，利用三角函数定义求出，即可得出答案；
（2）先求出抛物线顶点的坐标、与轴的交点的坐标，对称轴，根据轴偏角的定义得出的值，利用待定系数法求出直线CM的解析式，求出直线与轴的交点坐标，结合直线与坐标轴围成图形的面积列出等式，求出c的值，从而求出的值，即可得出答案；
（3）设两抛物线的公共顶点坐标为，得出两条抛物线的解析式，根据点、纵坐标相同，分别代入对应抛物线解析式，用，表示两点到对称轴的水平距离，根据轴偏角的正切值等于水平距离与对应竖直距离的比值，再根据正切的比值，得出的值，即可得出答案．
（1）解：将代入解析式得：，
且函数顶点坐标为原点，对称轴为轴，
∴，
∴点的“轴偏角”的度数为．
（2）解：已知顶点，对称轴为直线，，
根据“轴偏角”的定义，点的“轴偏角”为，
∴，
∴，
设直线解析式为：，
将点代入，解得，
将点代入，解得，
∴直线解析式为：，
∴与轴交点为，
∵直线与两坐标轴围成的平面图形的面积为，
∴，
解得，
∴．
（3）解：设两抛物线的公共顶点为，
则抛物线的顶点式为，，
∵点与点分别是抛物线和上的点，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
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