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广东省广州市第一中学2025-2026学年度七年级第二学期第一次阶段质量评价（数学）
1．下列各数是有理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．如果剧院里5排2号记作，那么表示（　　）
A．9排7号 B．7排9号 C．7排7号 D．9排9号
3．如图，小手盖住的点的坐标可能为 (　　)
A．(5，2) B．(－6，3) C．(－4，－6) D．(3，－4)
4．若A、B、C是直线l上的三点，P是直线l外一点，，且，，，则点P到直线l的距离是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．如图，直线AB与CD相交于点O，若，则等于（　　）
A．40° B．60° C．70° D．80°
6．估计 的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
7．如图，是一块直角三角板，其中．直尺的一边DE经过顶点A，若，则的度数为（　　）
A．100° B．120° C．135° D．150°
8．若是16的一个平方根，则x的值为(　　)
A．1 B． C．1或 D．
9．如图，将一张长方形纸条沿折叠，点B，A分别落在，位置上，与的交点为G．若，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
10．如图．在平面直角坐标系中，一质点自处向上运动1个单位长度至．然后向左运动2个单位长度至处，再向下运动3个单位长度至处，再向右运动4个单位长度至处，再向上运动5个单位长度至处，…，按此规律继续运动，则的坐标是（　　）
A． B．
C． D．
11．　 　．
12．命题“两直线平行，同位角相等”的条件是　 　，结论是同位角相等．
13．已知，，那么　 　.
14．如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点E所表示的数为　 　．
15．有一列数按如下顺序排列：，，，，…，则第10个数是　 　．
16．计算：
（1）
（2）
17．如图，直线交于点O，是的平分线，，求和的度数．
18．如图所示，某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米50元，其台阶的尺寸如图所示，则购买地毯至少需要元．
19．如图，已知，，点D，F是垂足，．求证：．
20．已知的立方根是，的算术平方根是3，是的算术平方根．
（1）求、、的值；
（2）求的平方根．
21．已知点，解答下列各题．
（1）点Q的坐标为，直线轴；求出点P的坐标．
（2）若点P到x轴的距离为2时，求点P的坐标．
22．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：
∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为．请回答：
（1）的整数部分是　 　，小数部分是　 　．
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
（3）已知：，其中x是整数，且，求的相反数．
23．如图1，已知，点轴，垂足为H，将线段平移至线段，点
，其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足．
（1）填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A（ ， ）、B（ ， ）、C（ ， ）；
②直接写出的面积 　 　．
（2）如图1，若点在线段上，证明：．
（3）如图2，连，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形与三角形的面积相等，试求t的值及点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的概念；有理数的分类
【解析】【解答】解：整数和分数统称为有理数，无理数是无限不循环小数。
是无限不循环小数，属于无理数；是开方开不尽的数，属于无理数；是开立方开不尽的数，属于无理数；是整数，属于有理数。
故答案为：D
【分析】本题考查实数的分类，核心是区分有理数与无理数的定义。先明确有理数包含整数和分数，本质是有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，常见类型有含的数、开方开不尽的数等。依次判断每个选项，属于含的典型无理数，和都属于开方运算后无法得到有限或循环小数的无理数，只有是整数，符合有理数的范畴，由此确定正确选项。
2．【答案】B
【知识点】有序数对
【解析】【解答】解：由题意可知，有序数对中前一个数对应排数，后一个数对应号数。
因此有序数对中，前一个数 7 对应排数，后一个数 9 对应号数，即表示 7 排 9 号。
故答案为：B
【分析】本题考查有序数对表示位置的实际应用，核心是理解有序数对两个数的对应含义。根据题干给出的示例 “5 排 2 号记作”，可推导出有序数对的第一个数对应座位的排数，第二个数对应座位的号数，将该对应规则应用到上，即可得到其表示的座位位置。
3．【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【分析】根据点在第三象限点的坐标特点可直接解答．
【解答】∵小手的位置是在第三象限，
∴小手盖住的点的横坐标小于0，纵坐标小于0，
∴结合选项目这个点是（-4，-6)．
故选C．
4．【答案】B
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：因为P是直线l外一点，且，
所以点P到直线l的距离是5．
故答案为：B
【分析】根据垂线结合点到直线的距离，进而即可求解。
5．【答案】A
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由对顶角相等，得
∠1=∠2，又∠1+∠2=80°，
∴∠1=40°．
故选：A．
【分析】
本题考查的是对顶角，根据对顶角的性质，可得∠1的度数．
6．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
故答案为：B．
【分析】根据即可得到，从而得解。
7．【答案】B
【知识点】平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：∵，，
∴ 根据两直线平行，内错角相等，得。
又∵，且，
∴。
故答案为：B
【分析】本题考查平行线的性质与角度的和差计算，结合直角三角板的角度特征求解。首先由与平行的条件，根据 “两直线平行，内错角相等” 的性质，得到与相等，结合直角三角板中的特征，推出；再观察图形可知由和组成，已知，将两个角的度数相加即可得到的度数。
8．【答案】C
【知识点】平方根的概念与表示；平方根的性质
【解析】【解答】解：∵是16的一个平方根，16的平方根是±4
∴或
解得：或，
故选：C．
【分析】
因为一个正数的平方根有两个，它们是互为相反数的关系可列出方程，即可求出．
9．【答案】B
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由折叠的性质可知，，
∵，
∴
故答案为：B．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据折叠性质可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系；用代数式表示图形变化规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解： ∵，则在第三象限，
由题意，第三象限的点为，，，，
∴；
故选：C．
【分析】根据循环结合题意得到在第三象限，进而得到三象限的点为，，，，从而代入n即可求解。
11．【答案】2
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：；
故答案为：2．
【分析】先根据题意计算算术平方根，进而根据有理数的减法即可求解。
12．【答案】两直线平行
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念；命题的概念与组成
【解析】【解答】解：命题“两直线平行，同位角相等”可改为“如果两条直线平行，那么同位角相等”，因此该命题的条件是两直线平行．
故答案为：两直线平行．
【分析】根据命题的定义，将其改为“如果……那么……”，进而即可求解。
13．【答案】
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解∶ ∵，
==10×1.414=14.14，
故答案为∶．
【分析】
本题考查了算术平方根的概念，根据计算即可。
14．【答案】
【知识点】实数在数轴上的表示；求算术平方根
【解析】【解答】解：正方形的面积为3，
．
．
的坐标为，E在点A的右侧，
的坐标为．
故答案为：．
【分析】本题考查了实数与数轴，以及算术平方根的求解，先求出的长，得到的长，结合的坐标为，E在点A的右侧，求得的坐标，即可得到答案.
15．【答案】
【知识点】二次根式的化简求值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解： 数列变形为：
，，，，…，
观察发现：
数列的符号为，
分子中的数字规律：，
分母中的数字规律：，
∴第ｎ个数为：．
∴第10个数为：．
故答案为：．
【分析】先把，，，变形得，，，，…，观察发现：第ｎ个数为：，即可得第10个数.
16．【答案】（1）解：
．
（2）解：
【知识点】开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根、乘方、立方根的运算。先分别计算各项：根据算术平方根的定义，表示 25 的算术平方根，结果为 5；根据乘方的意义，表示 2 个 2 相乘，结果为 4；根据立方根的定义，表示的立方根，结果为。再按照从左到右的顺序进行有理数的加减运算，即可得到最终结果；
（2）本题考查二次根式的性质与算术平方根的运算。根据二次根式的性质（），可得；根据算术平方根的定义，的结果为 2；需先计算乘方得 9，再求 9 的算术平方根结果为 3。最后按照从左到右的顺序依次进行减法运算，求出最终数值。
17．【答案】解：∵和是对顶角，，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【分析】本题考查对顶角的性质、邻补角的定义以及角平分线的定义，结合相交线的角度关系求解。首先根据对顶角相等的性质，直线与相交形成的和是一组对顶角，因此与度数相等，可直接得出的度数；再根据邻补角互补的性质，与组成平角，和为，用减去的度数得到的度数；接着依据角平分线的定义，平分，因此等于的一半，计算出的度数；最后根据邻补角的关系，与组成平角，用减去的度数，即可得到的度数。
18．【答案】解：解：地毯的长度至少为：（米）；
（元）．
答：铺设梯子的红地毯至少需要米，花费至少元．
【知识点】利用平移的思想解决实际问题
【解析】【分析】根据题意平移得到地毯的长度，进而根据矩形的面积公式结合题意乘以单价即可求解。
19．【答案】证明：∵，，
∴ ，
∵，
∴，
∴
【知识点】平行线的判定与性质；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】本题考查平行线的判定，结合垂直的定义与同旁内角互补的判定定理证明。首先由、都垂直于，根据垂直的定义可得与均为，由此可得；再结合的条件，将拆分为与的和，可推导出；最后根据 “同旁内角互补，两直线平行” 的判定定理，即可证明与平行。
20．【答案】（1）解：∵的立方根是，
∴，
解得，
∵的算术平方根是3，
∴，即，
解得，
∵是的算术平方根，，
∴，
综上，，，
（2）解：∵，，，
∴，
∴的平方根是
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）本题考查立方根、算术平方根的定义，通过列方程求解未知数的值。根据立方根的定义，若一个数的立方根为，则这个数等于，由此列出关于的一元一次方程，求解可得的值；根据算术平方根的定义，若一个数的算术平方根为 3，则这个数等于，将求得的代入后列出关于的方程，求解可得的值；先计算的结果为 9，再求 9 的算术平方根，即可得到的值；
（2）本题考查平方根的计算，结合（1）的结果代入求值。将（1）中求得的、、的值代入代数式，计算出代数式的结果；再根据平方根的定义，一个正数有两个互为相反数的平方根，求出该结果的平方根，即为所求。
21．【答案】（1）解：点Q的坐标为，直线轴，
点Q和点P的横坐标相同，
即，
解得，
当时，，
点P的坐标为
（2）解：点P到x轴的距离为2，
，
即或，解得或，
当，，
点P的坐标为，
当，，
点P的坐标为，
综上所述，点P的坐标为或.
【知识点】点的坐标；点到直线的距离
【解析】【分析】（1）本题考查平面直角坐标系中平行于轴的直线上点的坐标特征。平行于轴的直线上所有点的横坐标都相等，因此点与点的横坐标相同，据此列出关于的一元一次方程，解出的值后，代入点的纵坐标表达式计算出纵坐标，即可得到点的坐标；
（2）本题考查平面直角坐标系中点到坐标轴的距离与坐标的关系。点到轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，因此可得；根据绝对值的性质，绝对值为 2 的数有 2 和两个，因此分两种情况列方程求解的值，再分别将的值代入点的横、纵坐标表达式，计算后即可得到两种情况下点的坐标。
22．【答案】（1）；
（2）解：∵，即，
∴的小数部分为，
∵，即，
∴的整数部分为，
∴
；
（3）解：，
∴的整数部分为，小数部分是，
∴，
∵，x是整数，且，
∴，，
∴，
∴，
∴的相反数为
【知识点】无理数的估值；实数的相反数；实数的绝对值
【解析】【解答】（1）解：∵，即，
∴的整数部分是，小数部分是，
故答案为：，；
【分析】（1）本题考查无理数的整数部分与小数部分的估算，核心是确定无理数的取值范围。先找到与 33 相邻的两个完全平方数 25 和 36，由此得到介于 5 和 6 之间，因此它的整数部分为 5；根据 “小数部分 = 原数 - 整数部分” 的规律，用减去整数部分 5，即可得到它的小数部分；
（2）本题考查无理数的估算与绝对值的化简，结合整数部分、小数部分的定义计算代数式的值。先分别估算和的取值范围：介于 7 和 8 之间，因此它的小数部分等于减去整数部分 7；介于 9 和 10 之间，因此它的整数部分为 9。将、代入代数式，先判断的正负性，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项后即可得到计算结果；
（3）本题考查无理数的估算与相反数的计算，结合整数部分和小数部分的拆分求解。先估算介于 2 和 3 之间，由此推出介于 12 和 13 之间，因此它的整数部分为 12，小数部分为。结合且为整数、的条件，可得等于整数部分 12，等于小数部分，分别求出和的值；再计算的结果，最后根据相反数的定义，求出该结果的相反数即可。
23．【答案】（1）①，②2
（2）证明：如图，连接．
∵的面积+ 的面积＝的面积，
∴，
∴．
（3）解：①当点P在线段上，，
解得．
此时．
②当点P在的延长线上时，，
解得，
此时 ，
综上所述，时，，时，
【知识点】点的坐标；三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称；偶次方的非负性；三角形-动点问题
【解析】【解答】（1）解：①∵，
又∵，
∴，
∴，
∴平移方向是向下平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度
∴
②的面积，
【分析】（1）①本题考查非负数的性质与坐标平移的规律，先求解参数再推导平移后点的坐标。根据 “若两个非负数的和为 0，则每个非负数都为 0” 的性质，算术平方根与平方数均为非负数，因此且，分别求解得到和的值，即可写出、两点的坐标；再根据点到点的坐标变化，确定平移的方向和距离，将原点按照相同的平移方式移动，即可得到点的坐标。
②本题考查三角形面积的计算，结合平面直角坐标系中点的坐标求解。由轴可知，是直角三角形，的长度等于点横坐标的绝对值，的长度等于点纵坐标的绝对值，根据直角三角形面积公式 “面积 =× 底 × 高”，代入两条直角边的长度计算即可；
（2）本题考查平面直角坐标系中线段上点的坐标关系，利用面积法证明等式。连接，将拆分为和两个小三角形，两个小三角形的面积之和等于的面积。分别以、为底表示出两个小三角形的面积，结合（1）中的面积为定值 2，列出面积和的等式，化简整理后即可证明；
（3）本题考查动点问题中的三角形面积计算，结合一元一次方程求解时间与点坐标。先用含的代数式分别表示出运动秒后点、点的坐标，再分别表示出和的面积。由于点向左运动，存在在线段上和在延长线上两种情况，因此分两种情况讨论：当点在线段上时，底的长度为；当点在延长线上时，底的长度为。分别根据两个三角形面积相等列出方程，求解得到对应的值，再代入计算出点的坐标即可。
1 / 1广东省广州市第一中学2025-2026学年度七年级第二学期第一次阶段质量评价（数学）
1．下列各数是有理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的概念；有理数的分类
【解析】【解答】解：整数和分数统称为有理数，无理数是无限不循环小数。
是无限不循环小数，属于无理数；是开方开不尽的数，属于无理数；是开立方开不尽的数，属于无理数；是整数，属于有理数。
故答案为：D
【分析】本题考查实数的分类，核心是区分有理数与无理数的定义。先明确有理数包含整数和分数，本质是有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，常见类型有含的数、开方开不尽的数等。依次判断每个选项，属于含的典型无理数，和都属于开方运算后无法得到有限或循环小数的无理数，只有是整数，符合有理数的范畴，由此确定正确选项。
2．如果剧院里5排2号记作，那么表示（　　）
A．9排7号 B．7排9号 C．7排7号 D．9排9号
【答案】B
【知识点】有序数对
【解析】【解答】解：由题意可知，有序数对中前一个数对应排数，后一个数对应号数。
因此有序数对中，前一个数 7 对应排数，后一个数 9 对应号数，即表示 7 排 9 号。
故答案为：B
【分析】本题考查有序数对表示位置的实际应用，核心是理解有序数对两个数的对应含义。根据题干给出的示例 “5 排 2 号记作”，可推导出有序数对的第一个数对应座位的排数，第二个数对应座位的号数，将该对应规则应用到上，即可得到其表示的座位位置。
3．如图，小手盖住的点的坐标可能为 (　　)
A．(5，2) B．(－6，3) C．(－4，－6) D．(3，－4)
【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【分析】根据点在第三象限点的坐标特点可直接解答．
【解答】∵小手的位置是在第三象限，
∴小手盖住的点的横坐标小于0，纵坐标小于0，
∴结合选项目这个点是（-4，-6)．
故选C．
4．若A、B、C是直线l上的三点，P是直线l外一点，，且，，，则点P到直线l的距离是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：因为P是直线l外一点，且，
所以点P到直线l的距离是5．
故答案为：B
【分析】根据垂线结合点到直线的距离，进而即可求解。
5．如图，直线AB与CD相交于点O，若，则等于（　　）
A．40° B．60° C．70° D．80°
【答案】A
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由对顶角相等，得
∠1=∠2，又∠1+∠2=80°，
∴∠1=40°．
故选：A．
【分析】
本题考查的是对顶角，根据对顶角的性质，可得∠1的度数．
6．估计 的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
故答案为：B．
【分析】根据即可得到，从而得解。
7．如图，是一块直角三角板，其中．直尺的一边DE经过顶点A，若，则的度数为（　　）
A．100° B．120° C．135° D．150°
【答案】B
【知识点】平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：∵，，
∴ 根据两直线平行，内错角相等，得。
又∵，且，
∴。
故答案为：B
【分析】本题考查平行线的性质与角度的和差计算，结合直角三角板的角度特征求解。首先由与平行的条件，根据 “两直线平行，内错角相等” 的性质，得到与相等，结合直角三角板中的特征，推出；再观察图形可知由和组成，已知，将两个角的度数相加即可得到的度数。
8．若是16的一个平方根，则x的值为(　　)
A．1 B． C．1或 D．
【答案】C
【知识点】平方根的概念与表示；平方根的性质
【解析】【解答】解：∵是16的一个平方根，16的平方根是±4
∴或
解得：或，
故选：C．
【分析】
因为一个正数的平方根有两个，它们是互为相反数的关系可列出方程，即可求出．
9．如图，将一张长方形纸条沿折叠，点B，A分别落在，位置上，与的交点为G．若，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由折叠的性质可知，，
∵，
∴
故答案为：B．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据折叠性质可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
10．如图．在平面直角坐标系中，一质点自处向上运动1个单位长度至．然后向左运动2个单位长度至处，再向下运动3个单位长度至处，再向右运动4个单位长度至处，再向上运动5个单位长度至处，…，按此规律继续运动，则的坐标是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系；用代数式表示图形变化规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解： ∵，则在第三象限，
由题意，第三象限的点为，，，，
∴；
故选：C．
【分析】根据循环结合题意得到在第三象限，进而得到三象限的点为，，，，从而代入n即可求解。
11．　 　．
【答案】2
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：；
故答案为：2．
【分析】先根据题意计算算术平方根，进而根据有理数的减法即可求解。
12．命题“两直线平行，同位角相等”的条件是　 　，结论是同位角相等．
【答案】两直线平行
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念；命题的概念与组成
【解析】【解答】解：命题“两直线平行，同位角相等”可改为“如果两条直线平行，那么同位角相等”，因此该命题的条件是两直线平行．
故答案为：两直线平行．
【分析】根据命题的定义，将其改为“如果……那么……”，进而即可求解。
13．已知，，那么　 　.
【答案】
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解∶ ∵，
==10×1.414=14.14，
故答案为∶．
【分析】
本题考查了算术平方根的概念，根据计算即可。
14．如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点E所表示的数为　 　．
【答案】
【知识点】实数在数轴上的表示；求算术平方根
【解析】【解答】解：正方形的面积为3，
．
．
的坐标为，E在点A的右侧，
的坐标为．
故答案为：．
【分析】本题考查了实数与数轴，以及算术平方根的求解，先求出的长，得到的长，结合的坐标为，E在点A的右侧，求得的坐标，即可得到答案.
15．有一列数按如下顺序排列：，，，，…，则第10个数是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的化简求值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解： 数列变形为：
，，，，…，
观察发现：
数列的符号为，
分子中的数字规律：，
分母中的数字规律：，
∴第ｎ个数为：．
∴第10个数为：．
故答案为：．
【分析】先把，，，变形得，，，，…，观察发现：第ｎ个数为：，即可得第10个数.
16．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
．
（2）解：
【知识点】开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根、乘方、立方根的运算。先分别计算各项：根据算术平方根的定义，表示 25 的算术平方根，结果为 5；根据乘方的意义，表示 2 个 2 相乘，结果为 4；根据立方根的定义，表示的立方根，结果为。再按照从左到右的顺序进行有理数的加减运算，即可得到最终结果；
（2）本题考查二次根式的性质与算术平方根的运算。根据二次根式的性质（），可得；根据算术平方根的定义，的结果为 2；需先计算乘方得 9，再求 9 的算术平方根结果为 3。最后按照从左到右的顺序依次进行减法运算，求出最终数值。
17．如图，直线交于点O，是的平分线，，求和的度数．
【答案】解：∵和是对顶角，，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【分析】本题考查对顶角的性质、邻补角的定义以及角平分线的定义，结合相交线的角度关系求解。首先根据对顶角相等的性质，直线与相交形成的和是一组对顶角，因此与度数相等，可直接得出的度数；再根据邻补角互补的性质，与组成平角，和为，用减去的度数得到的度数；接着依据角平分线的定义，平分，因此等于的一半，计算出的度数；最后根据邻补角的关系，与组成平角，用减去的度数，即可得到的度数。
18．如图所示，某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米50元，其台阶的尺寸如图所示，则购买地毯至少需要元．
【答案】解：解：地毯的长度至少为：（米）；
（元）．
答：铺设梯子的红地毯至少需要米，花费至少元．
【知识点】利用平移的思想解决实际问题
【解析】【分析】根据题意平移得到地毯的长度，进而根据矩形的面积公式结合题意乘以单价即可求解。
19．如图，已知，，点D，F是垂足，．求证：．
【答案】证明：∵，，
∴ ，
∵，
∴，
∴
【知识点】平行线的判定与性质；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】本题考查平行线的判定，结合垂直的定义与同旁内角互补的判定定理证明。首先由、都垂直于，根据垂直的定义可得与均为，由此可得；再结合的条件，将拆分为与的和，可推导出；最后根据 “同旁内角互补，两直线平行” 的判定定理，即可证明与平行。
20．已知的立方根是，的算术平方根是3，是的算术平方根．
（1）求、、的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：∵的立方根是，
∴，
解得，
∵的算术平方根是3，
∴，即，
解得，
∵是的算术平方根，，
∴，
综上，，，
（2）解：∵，，，
∴，
∴的平方根是
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）本题考查立方根、算术平方根的定义，通过列方程求解未知数的值。根据立方根的定义，若一个数的立方根为，则这个数等于，由此列出关于的一元一次方程，求解可得的值；根据算术平方根的定义，若一个数的算术平方根为 3，则这个数等于，将求得的代入后列出关于的方程，求解可得的值；先计算的结果为 9，再求 9 的算术平方根，即可得到的值；
（2）本题考查平方根的计算，结合（1）的结果代入求值。将（1）中求得的、、的值代入代数式，计算出代数式的结果；再根据平方根的定义，一个正数有两个互为相反数的平方根，求出该结果的平方根，即为所求。
21．已知点，解答下列各题．
（1）点Q的坐标为，直线轴；求出点P的坐标．
（2）若点P到x轴的距离为2时，求点P的坐标．
【答案】（1）解：点Q的坐标为，直线轴，
点Q和点P的横坐标相同，
即，
解得，
当时，，
点P的坐标为
（2）解：点P到x轴的距离为2，
，
即或，解得或，
当，，
点P的坐标为，
当，，
点P的坐标为，
综上所述，点P的坐标为或.
【知识点】点的坐标；点到直线的距离
【解析】【分析】（1）本题考查平面直角坐标系中平行于轴的直线上点的坐标特征。平行于轴的直线上所有点的横坐标都相等，因此点与点的横坐标相同，据此列出关于的一元一次方程，解出的值后，代入点的纵坐标表达式计算出纵坐标，即可得到点的坐标；
（2）本题考查平面直角坐标系中点到坐标轴的距离与坐标的关系。点到轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，因此可得；根据绝对值的性质，绝对值为 2 的数有 2 和两个，因此分两种情况列方程求解的值，再分别将的值代入点的横、纵坐标表达式，计算后即可得到两种情况下点的坐标。
22．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：
∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为．请回答：
（1）的整数部分是　 　，小数部分是　 　．
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
（3）已知：，其中x是整数，且，求的相反数．
【答案】（1）；
（2）解：∵，即，
∴的小数部分为，
∵，即，
∴的整数部分为，
∴
；
（3）解：，
∴的整数部分为，小数部分是，
∴，
∵，x是整数，且，
∴，，
∴，
∴，
∴的相反数为
【知识点】无理数的估值；实数的相反数；实数的绝对值
【解析】【解答】（1）解：∵，即，
∴的整数部分是，小数部分是，
故答案为：，；
【分析】（1）本题考查无理数的整数部分与小数部分的估算，核心是确定无理数的取值范围。先找到与 33 相邻的两个完全平方数 25 和 36，由此得到介于 5 和 6 之间，因此它的整数部分为 5；根据 “小数部分 = 原数 - 整数部分” 的规律，用减去整数部分 5，即可得到它的小数部分；
（2）本题考查无理数的估算与绝对值的化简，结合整数部分、小数部分的定义计算代数式的值。先分别估算和的取值范围：介于 7 和 8 之间，因此它的小数部分等于减去整数部分 7；介于 9 和 10 之间，因此它的整数部分为 9。将、代入代数式，先判断的正负性，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项后即可得到计算结果；
（3）本题考查无理数的估算与相反数的计算，结合整数部分和小数部分的拆分求解。先估算介于 2 和 3 之间，由此推出介于 12 和 13 之间，因此它的整数部分为 12，小数部分为。结合且为整数、的条件，可得等于整数部分 12，等于小数部分，分别求出和的值；再计算的结果，最后根据相反数的定义，求出该结果的相反数即可。
23．如图1，已知，点轴，垂足为H，将线段平移至线段，点
，其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足．
（1）填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A（ ， ）、B（ ， ）、C（ ， ）；
②直接写出的面积 　 　．
（2）如图1，若点在线段上，证明：．
（3）如图2，连，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形与三角形的面积相等，试求t的值及点P的坐标．
【答案】（1）①，②2
（2）证明：如图，连接．
∵的面积+ 的面积＝的面积，
∴，
∴．
（3）解：①当点P在线段上，，
解得．
此时．
②当点P在的延长线上时，，
解得，
此时 ，
综上所述，时，，时，
【知识点】点的坐标；三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称；偶次方的非负性；三角形-动点问题
【解析】【解答】（1）解：①∵，
又∵，
∴，
∴，
∴平移方向是向下平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度
∴
②的面积，
【分析】（1）①本题考查非负数的性质与坐标平移的规律，先求解参数再推导平移后点的坐标。根据 “若两个非负数的和为 0，则每个非负数都为 0” 的性质，算术平方根与平方数均为非负数，因此且，分别求解得到和的值，即可写出、两点的坐标；再根据点到点的坐标变化，确定平移的方向和距离，将原点按照相同的平移方式移动，即可得到点的坐标。
②本题考查三角形面积的计算，结合平面直角坐标系中点的坐标求解。由轴可知，是直角三角形，的长度等于点横坐标的绝对值，的长度等于点纵坐标的绝对值，根据直角三角形面积公式 “面积 =× 底 × 高”，代入两条直角边的长度计算即可；
（2）本题考查平面直角坐标系中线段上点的坐标关系，利用面积法证明等式。连接，将拆分为和两个小三角形，两个小三角形的面积之和等于的面积。分别以、为底表示出两个小三角形的面积，结合（1）中的面积为定值 2，列出面积和的等式，化简整理后即可证明；
（3）本题考查动点问题中的三角形面积计算，结合一元一次方程求解时间与点坐标。先用含的代数式分别表示出运动秒后点、点的坐标，再分别表示出和的面积。由于点向左运动，存在在线段上和在延长线上两种情况，因此分两种情况讨论：当点在线段上时，底的长度为；当点在延长线上时，底的长度为。分别根据两个三角形面积相等列出方程，求解得到对应的值，再代入计算出点的坐标即可。
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