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广西壮族自治区崇左市宁明县2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题
1．若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3
2．方程根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根
C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根
3．下列计算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．把方程 化成 的形式，其中m，n为实数，则n的值是 （　　）
A．1 B．5 C．16 D．17
5． 如图， 在□ABCD中， AELCD于点E， 则∠DAE等于（　　)
A．15° B．25° C．35° D．65°
6． 在△ABC中， ∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b， c，下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是 （　　)
A．∠A=35°，∠B=55° B．
C．∠A：∠B：∠C=3：2：1 D．a=5，b=12，c=13
7．如图，已知ABCD的对角线交于点O，下列条件不能证明ABCD是菱形的是 （　　)
A．∠ABD=∠ADB B． C．∠BAO=∠DCO D．∠ABO=∠CBO
8．估计 的运算结果应在（　　）
A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间
9．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计（如图所示)，其轮廓是个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中，右图是八角形窗户的示意图，它的一个外角∠1的大小为 （　　)
A．22.5° B．30° C．45 D．60°
10．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择 （　　)
　 甲 乙 丙 丁
平均数 （cm) 185 180 185 180
方差 3.6 3.6 6.4 7.1
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
11．如图，两张宽度均为6的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的菱形的边长是 （　　)
A．6 B．3 C．4 D．2
12． 如图， 在正方形ABCD中， 点E、F分别在BC，CD上， △AEF是等边三角形， 连接AC交 EF于 点G， 下列结论： ①BE=DF：②∠DAF=15°；③AC垂直平分EF； ④BE+DF=EF其中正确的结论有 （　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．计算 - ＝　 　.
14．设 ， 是一元二次方程 的两根，则 　 　．
15．如图，学校旗杆上的绳子垂到地面还多2米，将绳子的下端拉到离旗杆底端 （BC)6米处，下端刚好接触地面，则旗杆的高度为　 　米.
16． 如图， 菱形ABCD中， ∠ABC=60°，BC=8， E是BC边上一点，且BE=2， F是BD上一动点， 连接EF、CF， 则EF+CF的最小值为　 　
17．
（1）
（2）
18．解方程：
（1）
（2）3x（x-1)=2-2x
19．消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米．
（1）求处与地面的距离．
（2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？
20．已知关于x的一元二次方程. 有两个实数根.
（1）求实数k的取值范围：
（2）若其两根 满足 求k的值.
21．某校举办了以“感悟汉字底蕴，引弘扬中华文化”为主题的汉字听写大赛，全校4000名学生都参加了此次大赛，为了了解本次学生参赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分)作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表，
成绩x/分 50≤x<60 60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤
频数 10 30 40 m 50
频率 0.05 n 0.2 0.35 0.25
（1）m=　 　，n=　 　：
（2）请补全频数分布直方图；
（3）这次比赛成绩的中位数会落在　 　分数段：
（4）若成绩在80分以上（包括80分)的为“良好”等，估计该校参加这次比赛的4000名学生中成绩“良好”等约有多少人
22． 如图， 在平行四边形ABCD中， 连接AC， 分别过点B、点D作BE⊥AC于点E， 作DF⊥AC于点F， 连接DE、BF.
（1）求证：四边形BEDF为平行四边形
（2） 若AC=AD， ∠CAD=40°， 求∠ABE的度数.
23． 在正方形ABCD中， 点P在对角线AC上， 点E，F分别在边BC，CD上， 且PE⊥PF于点P.
（1） 特例发现： 如图1， 当点P在对角线AC，BD的交点处时， 求证： PE=PF；
（2）探究证明：如图2，当点P不在对角线AC，BD的交点处时，判断PE与PF的数量关系，并说明理由：
（3） 拓展运用： 在（2） 的条件下， 若EC=4，CF=2， 连接EF， 请直接写出PE的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得，x﹣3≥0，
解得x≥3．
故选：A．
【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解．
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：方程中，，，，
∴，
∴此方程有两个不相等的实数根．
故选D．
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意进行计算，进而即可求解。
3．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、，正确，符合题意；
B、因为，所以选项B错误，不符合题意；
C、因为，所以选项C错误，不符合题意；
D、因为，所以选项D错误，不符合题意．
故选：A．
【分析】根据开平方结合题意对选项逐一运算，进而即可求解。
4．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：先将常数项移至等号右侧，得 。
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为 8，一半为 4，平方为 16，因此
整理可得 ，
对比 的形式，可得 。
故答案为：D
【分析】本题考查一元二次方程的配方法变形，核心是利用完全平方公式将一般式转化为顶点式。先通过移项将含未知数的项留在等号左侧、常数项移至右侧，再依据完全平方公式的结构，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，右侧合并常数项后即可得到 n 的取值。
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D=65°，
∵AE⊥CD，
∴∠AED=90°，
∴∠DAE=90°-65°=25°
故答案为：B
【分析】先根据平行四边形的性质得到∠B=∠D=65°，再根据垂直的性质结合直角进行角的运算即可求解。
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：选项 A：∵三角形内角和为，
∴，
可判定为直角三角形，不符合题意；
选项 B：设三边长分别为，，（），
计算平方得，，，
∵，不满足勾股定理逆定理，
不能判定为直角三角形，符合题意；
选项 C：由角度比，设三个角分别为、、，
由内角和得，解得，
最大角，可判定为直角三角形，不符合题意；
选项 D：∵，即，
满足勾股定理逆定理，可判定为直角三角形，不符合题意。
故答案为：B
【分析】本题综合考查直角三角形的判定方法，涵盖三角形内角和定理与勾股定理的逆定理。对于角度条件，利用三角形内角和为 180° 计算最大内角是否为 90° 来判定；对于边长条件，依据勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。逐一验证四个选项，找出不满足直角三角形判定条件的选项即可。
7．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；菱形的判定
【解析】【解答】解：选项 A：∵，根据等角对等边可得，
又∵四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴可判定是菱形，不符合题意；
选项 B：∵四边形是平行四边形，∴，
∵，∴，
根据勾股定理的逆定理可得，即，
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定是菱形，不符合题意；
选项 C：∵四边形是平行四边形，∴，
由平行线的内错角相等天然可得，
该条件是平行四边形的固有性质，无法推出邻边相等或对角线垂直，
不能判定是菱形，符合题意；
选项 D：∵四边形是平行四边形，∴，
∴（两直线平行，内错角相等），
又∵，∴，
根据等角对等边得，一组邻边相等的平行四边形是菱形，
可判定是菱形，不符合题意。
故答案为：C
【分析】本题考查菱形的判定定理，需结合平行四边形的性质与勾股定理等知识分析。菱形的核心判定方向为：一组邻边相等的平行四边形是菱形，或对角线互相垂直的平行四边形是菱形。对每个选项，先结合平行四边形对边平行、对边相等的性质推导，再验证是否能推出邻边相等或对角线垂直，其中由平行四边形内错角相等直接得到的条件，无法额外推出菱形的判定要素。
8．【答案】C
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】原式= + = + = = ，因为 < < ，所以7< <8，故选C．
【分析】准确进行二次根式的加减法运算，并能运用平方法比较根号内的数估算根式的大小是本节的一个学习重点．
9．【答案】C
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵任意多边形的外角和均为，正八边形的 8 个外角大小相等，
∴单个外角的度数为，
即。
故答案为：C
【分析】本题考查正多边形的外角和定理，任意凸多边形的外角和恒为 360°，与边数无关。正多边形的所有外角大小相等，因此用外角和总度数除以正八边形的边数 8，即可求出单个外角的度数。
10．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：首先比较平均数，平均数越高代表整体成绩越好，
∵，，且，
∴甲、丙两人的整体成绩优于乙、丁，从甲、丙中进一步筛选；
再比较方差，方差越小代表成绩波动越小、发挥越稳定，
∵，，且，
∴甲的发挥比丙更稳定。
综上，甲同时满足成绩好且发挥稳定的要求。
故答案为：A
【分析】本题考查平均数与方差的实际意义，需结合两个统计量的含义双重筛选。平均数反映一组数据的平均水平，数值越大说明整体成绩越高；方差反映一组数据的波动程度，数值越小说明数据越稳定、发挥越平稳。解题时先通过平均数选出成绩较高的运动员，再在该范围内通过方差选出发挥最稳定的人选。
11．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：过点作于点，则，
由题意可知，纸条宽度即菱形的高，菱形的内角，
∴在中，，
设，根据直角三角形中 30° 角对的直角边等于斜边的一半，得。
由勾股定理得，
代入得，
即，整理得，解得，
∴边长。
故答案为：C
【分析】本题考查菱形的性质与含 30° 角的直角三角形的计算，结合勾股定理求解边长。纸条的宽度对应菱形的高，过顶点向对边作高可构造直角三角形；利用菱形的内角得到直角三角形的锐角为 60°，进而推出 30° 角，结合 30° 角所对直角边等于斜边一半的性质，设未知数后通过勾股定理列方程，即可求出菱形的边长。
12．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵是等边三角形，∴，。
①在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
②由全等得，
∵，，
∴，
即，得，故②正确；
③∵，，∴，即，
又∵，∴点、点都在的垂直平分线上，
即垂直平分，故③正确；
④设，在等腰中，由勾股定理得，
正方形对角线平分，∴，
等边中，，，
由勾股定理得，
∴正方形边长，
∴，
则，
∵，∴，故④错误；
综上，①②③正确，共 3 个。
故答案为：C
【分析】本题综合考查正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及三角形面积计算。先利用 HL 证明直角三角形全等，得到边与角的等量关系；再结合正方形与等边三角形的角度，计算出的度数；根据等腰三角形三线合一与垂直平分线的判定，推导 AC 与 EF 的位置关系；通过设未知数，利用勾股定理表示出各边长度，验证线段和的关系与面积关系，最终统计正确结论的数量。
13．【答案】
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：原式＝2 - ＝ .
故答案为 .
【分析】根据二次根式的加减法“合并同类二次根式”计算。
14．【答案】0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 、 是方程 的两根，
， ，
．
故答案为：0．
【分析】根据根与系数的关系，即韦达定理求解即可。
15．【答案】8
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设旗杆的高度为米，则绳子的总长度为米。
旗杆垂直于地面，因此旗杆、地面与绳子构成直角三角形，
由勾股定理得：，
展开得，
化简得，解得。
故答案为：8
【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，属于经典的旗杆拉绳模型。旗杆与地面垂直，因此旗杆、地面距离、绳子构成直角三角形；设旗杆的高度为米，则绳子的总长度为米，再依据勾股定理列方程求解，即可得到旗杆的高度。
16．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：在边上取点，使，连接、，
∵四边形是菱形，对角线平分，
∴点与点关于直线对称，因此，
∴，当且仅当、、三点共线时取等号，
即的最小值为线段的长度。
过点作交的延长线于点，
∵，，
∴在中，，
，。
∵，∴。
在中，由勾股定理得：
。
故答案为：
【分析】本题考查轴对称最短路径问题，结合菱形的性质与勾股定理求解。菱形的对角线是其对称轴，因此利用对称性将 EF 转化为 E'F，把两条线段和的最小值转化为两点之间线段的长度；通过作高构造直角三角形，利用含 30° 角的直角三角形性质求出直角边长度，再用勾股定理计算目标线段的长度，即为所求的最小值。
17．【答案】（1）解：
= 2-1-2
=-1；
（2）解：
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据题意先开平方、开立方、计算有理数的乘方，再根据有理数的加减运算即可求解；
（2）根据二次根式的混合运算结合平方差和完全平方公式计算即可求解。
18．【答案】（1）解：
(x-2)(x-3)=0
x-2=0 或x-2=0
（2）解：3x(x-1)=2-2x，
整理为3x(x-1)=-2(x-1)，
则 x(x-1)+2(x-1)=0，
则(3x+2)(x-1)=0，
即： 3x+2=0或x-1=0，
解得
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据题意运用十字相乘法因式分解，进而即可求解；
（2）根据题意先移项，再根据十字相乘法因式分解即可求解。
19．【答案】（1）解：由题意得，∠AOB=90°，米，米，OE=3米，
∴在中，（米）
米．
答：处与地面的距离是米；
（2）解：由题意得CD=15米，BD=3米，∠AOB=90°，米，
又∵由（1）得OB=9米，
∴（米），∴在中，（米）
米．
答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米．
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论；
（2）先根据题意求出OD的长，再由勾股定理求出OC的长，最后利用计算即可．
与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
20．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程. 有两个实数根，
解得k≤4，
即k的取值范围是k≤4
（2）解：∵方程 的两个实数根分别为x1，x2，
=-2k+10，
即， - 2k+10=18，
解得， k=-4，
故k的值为： - 4.
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到进而结合完全平方公式代入计算即可求解。
21．【答案】（1）0.15；70
（2）解：补全频数分布直方图如图所示：
（3）80≤x<90
（4）解：4000×(0.35+0.25)=2400人，
答：校参加这次比赛的4000 名学生中成绩“良好”等约有2400人.
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；中位数；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】(1) 解： n=30÷200=0.15； m=200×0.35=70，
故答案为： 0.15， 70；
(3) 将200个数据从小到大排列后， 处在第 100、101位的两个数落在80≤x<90，
故答案为： 80≤x<90，
【分析】（1）根据题意用频数除以总频数即可得到频率，进而用总频数乘以频率即可得到频数，从而即可求解；
（2）根据（1）的结果补全直方图即可；
（3）根据中位数的定义结合题意即可求解；
（4）根据样本估计总体的知识结合题意即可求解。
22．【答案】（1）证明： ∵BE⊥AC， DF⊥AC，
∴∠AEB=∠CFD=90， BE∥DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD， AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCF，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴BE=DF，
∵BE= DF， BE∥DF，
∴四边形BEDF为平行四边形；
（2）解：∵AC=AD， ∠CAD=40°，
∵∠CFD=90°，
∴∠CDF= 90°-∠ACD=20°，
又∵△ABE≌△CDF，
∴∠ABE=∠CDF=20°.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据垂直结合平行线的判定证明BE∥DF，再根据平行四边形的性质得到AB=CD， AB∥CD，进而根据三角形全等的判定与性质证明△ABE≌△CDF(AAS)得到BE=DF， 再根据平行四边形的判定即可求解；
（2）根据等腰三角形的性质得到 再结合题意根据三角形全等的性质即可求解。
23．【答案】（1）证明： ∵四边形ABCD是正方形，
∴PB= PC= PD，AC⊥BD.
∴△BPC，△CPD都是等腰直角三角形.
∴∠PBE= ∠PCF= 45°.
∵PE⊥PF，
∴∠BPC=∠EPF=90°.
∴∠BPC-∠EPC=∠EPF-∠EPC，
即∠BPE=∠CPF.
在△PBE和△PCF中
∴△PBE≌△PCF(ASA).
∴PE= PF.
（2）解：过点P分别作 BC，CD的垂线， 垂足分别为M， N .
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠BCD = 90°，∠PCM= ∠PCN.
∴四边形PMCN 是矩形.
∴PM∥CN.
∴∠MPC=∠PCN.
∴∠MPC= ∠PCM.
∴PM= CM.
∴四边形PMCN 是正方形.
∴PM=PN，∠MPN= ∠EPF =∠PME=∠PNF=90°.
∴∠MPN-∠MPF= ∠EPF-∠MPF，即∠EPM = ∠FPN.
在△PEM 和△PFN 中
∴△PEM≌△PFN(ASA).
∴PE=PF.
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】（3）解：连接EF，
∵PE⊥PF，∴∠EPF=90°，
∵∠BCD = 90°，CE= 4，CF = 2，
∵PE=PF，
∴PE2=10，
【分析】（1）本题考查正方形的性质与全等三角形的判定，核心是利用正方形对角线的性质构造全等三角形。根据正方形对角线相等且互相垂直平分，可得 PB 与 PC 相等，且对角线平分内角得到两个 45° 角；再由 PE 垂直 PF，利用同角的余角相等推出∠BPE 与∠CPF 相等，通过 ASA 证明△PBE 与△PCF 全等，依据全等三角形对应边相等即可证得 PE=PF。
（2）本题考查正方形的判定与全等三角形的综合应用，通过作辅助线构造全等三角形。过点 P 向 BC、CD 作垂线，利用正方形对角线平分内角的性质，结合角平分线上的点到角两边距离相等，得到两条垂线段相等，同时推出四边形 PMCN 是正方形；再由 PE 垂直 PF，利用同角的余角相等得到一组对应角相等，结合直角相等与垂线段相等，通过 ASA 证明两个直角三角形全等，依据全等三角形对应边相等得出 PE 与 PF 相等。
（3）本题考查勾股定理与等腰直角三角形的性质，需结合前一问的结论求解。先在 Rt△ECF 中，利用勾股定理求出 EF 的长度；由前一问结论 PE=PF 且 PE⊥PF，可知△PEF 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形三边的比例关系，结合 EF 的长度列方程求解，即可得到 PE 的长度。
1 / 1广西壮族自治区崇左市宁明县2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题
1．若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3
【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得，x﹣3≥0，
解得x≥3．
故选：A．
【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解．
2．方程根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根
C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：方程中，，，，
∴，
∴此方程有两个不相等的实数根．
故选D．
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意进行计算，进而即可求解。
3．下列计算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、，正确，符合题意；
B、因为，所以选项B错误，不符合题意；
C、因为，所以选项C错误，不符合题意；
D、因为，所以选项D错误，不符合题意．
故选：A．
【分析】根据开平方结合题意对选项逐一运算，进而即可求解。
4．把方程 化成 的形式，其中m，n为实数，则n的值是 （　　）
A．1 B．5 C．16 D．17
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：先将常数项移至等号右侧，得 。
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为 8，一半为 4，平方为 16，因此
整理可得 ，
对比 的形式，可得 。
故答案为：D
【分析】本题考查一元二次方程的配方法变形，核心是利用完全平方公式将一般式转化为顶点式。先通过移项将含未知数的项留在等号左侧、常数项移至右侧，再依据完全平方公式的结构，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，右侧合并常数项后即可得到 n 的取值。
5． 如图， 在□ABCD中， AELCD于点E， 则∠DAE等于（　　)
A．15° B．25° C．35° D．65°
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D=65°，
∵AE⊥CD，
∴∠AED=90°，
∴∠DAE=90°-65°=25°
故答案为：B
【分析】先根据平行四边形的性质得到∠B=∠D=65°，再根据垂直的性质结合直角进行角的运算即可求解。
6． 在△ABC中， ∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b， c，下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是 （　　)
A．∠A=35°，∠B=55° B．
C．∠A：∠B：∠C=3：2：1 D．a=5，b=12，c=13
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：选项 A：∵三角形内角和为，
∴，
可判定为直角三角形，不符合题意；
选项 B：设三边长分别为，，（），
计算平方得，，，
∵，不满足勾股定理逆定理，
不能判定为直角三角形，符合题意；
选项 C：由角度比，设三个角分别为、、，
由内角和得，解得，
最大角，可判定为直角三角形，不符合题意；
选项 D：∵，即，
满足勾股定理逆定理，可判定为直角三角形，不符合题意。
故答案为：B
【分析】本题综合考查直角三角形的判定方法，涵盖三角形内角和定理与勾股定理的逆定理。对于角度条件，利用三角形内角和为 180° 计算最大内角是否为 90° 来判定；对于边长条件，依据勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。逐一验证四个选项，找出不满足直角三角形判定条件的选项即可。
7．如图，已知ABCD的对角线交于点O，下列条件不能证明ABCD是菱形的是 （　　)
A．∠ABD=∠ADB B． C．∠BAO=∠DCO D．∠ABO=∠CBO
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；菱形的判定
【解析】【解答】解：选项 A：∵，根据等角对等边可得，
又∵四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴可判定是菱形，不符合题意；
选项 B：∵四边形是平行四边形，∴，
∵，∴，
根据勾股定理的逆定理可得，即，
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定是菱形，不符合题意；
选项 C：∵四边形是平行四边形，∴，
由平行线的内错角相等天然可得，
该条件是平行四边形的固有性质，无法推出邻边相等或对角线垂直，
不能判定是菱形，符合题意；
选项 D：∵四边形是平行四边形，∴，
∴（两直线平行，内错角相等），
又∵，∴，
根据等角对等边得，一组邻边相等的平行四边形是菱形，
可判定是菱形，不符合题意。
故答案为：C
【分析】本题考查菱形的判定定理，需结合平行四边形的性质与勾股定理等知识分析。菱形的核心判定方向为：一组邻边相等的平行四边形是菱形，或对角线互相垂直的平行四边形是菱形。对每个选项，先结合平行四边形对边平行、对边相等的性质推导，再验证是否能推出邻边相等或对角线垂直，其中由平行四边形内错角相等直接得到的条件，无法额外推出菱形的判定要素。
8．估计 的运算结果应在（　　）
A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间
【答案】C
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】原式= + = + = = ，因为 < < ，所以7< <8，故选C．
【分析】准确进行二次根式的加减法运算，并能运用平方法比较根号内的数估算根式的大小是本节的一个学习重点．
9．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计（如图所示)，其轮廓是个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中，右图是八角形窗户的示意图，它的一个外角∠1的大小为 （　　)
A．22.5° B．30° C．45 D．60°
【答案】C
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵任意多边形的外角和均为，正八边形的 8 个外角大小相等，
∴单个外角的度数为，
即。
故答案为：C
【分析】本题考查正多边形的外角和定理，任意凸多边形的外角和恒为 360°，与边数无关。正多边形的所有外角大小相等，因此用外角和总度数除以正八边形的边数 8，即可求出单个外角的度数。
10．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择 （　　)
　 甲 乙 丙 丁
平均数 （cm) 185 180 185 180
方差 3.6 3.6 6.4 7.1
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：首先比较平均数，平均数越高代表整体成绩越好，
∵，，且，
∴甲、丙两人的整体成绩优于乙、丁，从甲、丙中进一步筛选；
再比较方差，方差越小代表成绩波动越小、发挥越稳定，
∵，，且，
∴甲的发挥比丙更稳定。
综上，甲同时满足成绩好且发挥稳定的要求。
故答案为：A
【分析】本题考查平均数与方差的实际意义，需结合两个统计量的含义双重筛选。平均数反映一组数据的平均水平，数值越大说明整体成绩越高；方差反映一组数据的波动程度，数值越小说明数据越稳定、发挥越平稳。解题时先通过平均数选出成绩较高的运动员，再在该范围内通过方差选出发挥最稳定的人选。
11．如图，两张宽度均为6的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的菱形的边长是 （　　)
A．6 B．3 C．4 D．2
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：过点作于点，则，
由题意可知，纸条宽度即菱形的高，菱形的内角，
∴在中，，
设，根据直角三角形中 30° 角对的直角边等于斜边的一半，得。
由勾股定理得，
代入得，
即，整理得，解得，
∴边长。
故答案为：C
【分析】本题考查菱形的性质与含 30° 角的直角三角形的计算，结合勾股定理求解边长。纸条的宽度对应菱形的高，过顶点向对边作高可构造直角三角形；利用菱形的内角得到直角三角形的锐角为 60°，进而推出 30° 角，结合 30° 角所对直角边等于斜边一半的性质，设未知数后通过勾股定理列方程，即可求出菱形的边长。
12． 如图， 在正方形ABCD中， 点E、F分别在BC，CD上， △AEF是等边三角形， 连接AC交 EF于 点G， 下列结论： ①BE=DF：②∠DAF=15°；③AC垂直平分EF； ④BE+DF=EF其中正确的结论有 （　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵是等边三角形，∴，。
①在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
②由全等得，
∵，，
∴，
即，得，故②正确；
③∵，，∴，即，
又∵，∴点、点都在的垂直平分线上，
即垂直平分，故③正确；
④设，在等腰中，由勾股定理得，
正方形对角线平分，∴，
等边中，，，
由勾股定理得，
∴正方形边长，
∴，
则，
∵，∴，故④错误；
综上，①②③正确，共 3 个。
故答案为：C
【分析】本题综合考查正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及三角形面积计算。先利用 HL 证明直角三角形全等，得到边与角的等量关系；再结合正方形与等边三角形的角度，计算出的度数；根据等腰三角形三线合一与垂直平分线的判定，推导 AC 与 EF 的位置关系；通过设未知数，利用勾股定理表示出各边长度，验证线段和的关系与面积关系，最终统计正确结论的数量。
13．计算 - ＝　 　.
【答案】
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：原式＝2 - ＝ .
故答案为 .
【分析】根据二次根式的加减法“合并同类二次根式”计算。
14．设 ， 是一元二次方程 的两根，则 　 　．
【答案】0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 、 是方程 的两根，
， ，
．
故答案为：0．
【分析】根据根与系数的关系，即韦达定理求解即可。
15．如图，学校旗杆上的绳子垂到地面还多2米，将绳子的下端拉到离旗杆底端 （BC)6米处，下端刚好接触地面，则旗杆的高度为　 　米.
【答案】8
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设旗杆的高度为米，则绳子的总长度为米。
旗杆垂直于地面，因此旗杆、地面与绳子构成直角三角形，
由勾股定理得：，
展开得，
化简得，解得。
故答案为：8
【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，属于经典的旗杆拉绳模型。旗杆与地面垂直，因此旗杆、地面距离、绳子构成直角三角形；设旗杆的高度为米，则绳子的总长度为米，再依据勾股定理列方程求解，即可得到旗杆的高度。
16． 如图， 菱形ABCD中， ∠ABC=60°，BC=8， E是BC边上一点，且BE=2， F是BD上一动点， 连接EF、CF， 则EF+CF的最小值为　 　
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：在边上取点，使，连接、，
∵四边形是菱形，对角线平分，
∴点与点关于直线对称，因此，
∴，当且仅当、、三点共线时取等号，
即的最小值为线段的长度。
过点作交的延长线于点，
∵，，
∴在中，，
，。
∵，∴。
在中，由勾股定理得：
。
故答案为：
【分析】本题考查轴对称最短路径问题，结合菱形的性质与勾股定理求解。菱形的对角线是其对称轴，因此利用对称性将 EF 转化为 E'F，把两条线段和的最小值转化为两点之间线段的长度；通过作高构造直角三角形，利用含 30° 角的直角三角形性质求出直角边长度，再用勾股定理计算目标线段的长度，即为所求的最小值。
17．
（1）
（2）
【答案】（1）解：
= 2-1-2
=-1；
（2）解：
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据题意先开平方、开立方、计算有理数的乘方，再根据有理数的加减运算即可求解；
（2）根据二次根式的混合运算结合平方差和完全平方公式计算即可求解。
18．解方程：
（1）
（2）3x（x-1)=2-2x
【答案】（1）解：
(x-2)(x-3)=0
x-2=0 或x-2=0
（2）解：3x(x-1)=2-2x，
整理为3x(x-1)=-2(x-1)，
则 x(x-1)+2(x-1)=0，
则(3x+2)(x-1)=0，
即： 3x+2=0或x-1=0，
解得
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据题意运用十字相乘法因式分解，进而即可求解；
（2）根据题意先移项，再根据十字相乘法因式分解即可求解。
19．消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米．
（1）求处与地面的距离．
（2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？
【答案】（1）解：由题意得，∠AOB=90°，米，米，OE=3米，
∴在中，（米）
米．
答：处与地面的距离是米；
（2）解：由题意得CD=15米，BD=3米，∠AOB=90°，米，
又∵由（1）得OB=9米，
∴（米），∴在中，（米）
米．
答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米．
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论；
（2）先根据题意求出OD的长，再由勾股定理求出OC的长，最后利用计算即可．
与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
20．已知关于x的一元二次方程. 有两个实数根.
（1）求实数k的取值范围：
（2）若其两根 满足 求k的值.
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程. 有两个实数根，
解得k≤4，
即k的取值范围是k≤4
（2）解：∵方程 的两个实数根分别为x1，x2，
=-2k+10，
即， - 2k+10=18，
解得， k=-4，
故k的值为： - 4.
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到进而结合完全平方公式代入计算即可求解。
21．某校举办了以“感悟汉字底蕴，引弘扬中华文化”为主题的汉字听写大赛，全校4000名学生都参加了此次大赛，为了了解本次学生参赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分)作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表，
成绩x/分 50≤x<60 60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤
频数 10 30 40 m 50
频率 0.05 n 0.2 0.35 0.25
（1）m=　 　，n=　 　：
（2）请补全频数分布直方图；
（3）这次比赛成绩的中位数会落在　 　分数段：
（4）若成绩在80分以上（包括80分)的为“良好”等，估计该校参加这次比赛的4000名学生中成绩“良好”等约有多少人
【答案】（1）0.15；70
（2）解：补全频数分布直方图如图所示：
（3）80≤x<90
（4）解：4000×(0.35+0.25)=2400人，
答：校参加这次比赛的4000 名学生中成绩“良好”等约有2400人.
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；中位数；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】(1) 解： n=30÷200=0.15； m=200×0.35=70，
故答案为： 0.15， 70；
(3) 将200个数据从小到大排列后， 处在第 100、101位的两个数落在80≤x<90，
故答案为： 80≤x<90，
【分析】（1）根据题意用频数除以总频数即可得到频率，进而用总频数乘以频率即可得到频数，从而即可求解；
（2）根据（1）的结果补全直方图即可；
（3）根据中位数的定义结合题意即可求解；
（4）根据样本估计总体的知识结合题意即可求解。
22． 如图， 在平行四边形ABCD中， 连接AC， 分别过点B、点D作BE⊥AC于点E， 作DF⊥AC于点F， 连接DE、BF.
（1）求证：四边形BEDF为平行四边形
（2） 若AC=AD， ∠CAD=40°， 求∠ABE的度数.
【答案】（1）证明： ∵BE⊥AC， DF⊥AC，
∴∠AEB=∠CFD=90， BE∥DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD， AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCF，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴BE=DF，
∵BE= DF， BE∥DF，
∴四边形BEDF为平行四边形；
（2）解：∵AC=AD， ∠CAD=40°，
∵∠CFD=90°，
∴∠CDF= 90°-∠ACD=20°，
又∵△ABE≌△CDF，
∴∠ABE=∠CDF=20°.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据垂直结合平行线的判定证明BE∥DF，再根据平行四边形的性质得到AB=CD， AB∥CD，进而根据三角形全等的判定与性质证明△ABE≌△CDF(AAS)得到BE=DF， 再根据平行四边形的判定即可求解；
（2）根据等腰三角形的性质得到 再结合题意根据三角形全等的性质即可求解。
23． 在正方形ABCD中， 点P在对角线AC上， 点E，F分别在边BC，CD上， 且PE⊥PF于点P.
（1） 特例发现： 如图1， 当点P在对角线AC，BD的交点处时， 求证： PE=PF；
（2）探究证明：如图2，当点P不在对角线AC，BD的交点处时，判断PE与PF的数量关系，并说明理由：
（3） 拓展运用： 在（2） 的条件下， 若EC=4，CF=2， 连接EF， 请直接写出PE的长.
【答案】（1）证明： ∵四边形ABCD是正方形，
∴PB= PC= PD，AC⊥BD.
∴△BPC，△CPD都是等腰直角三角形.
∴∠PBE= ∠PCF= 45°.
∵PE⊥PF，
∴∠BPC=∠EPF=90°.
∴∠BPC-∠EPC=∠EPF-∠EPC，
即∠BPE=∠CPF.
在△PBE和△PCF中
∴△PBE≌△PCF(ASA).
∴PE= PF.
（2）解：过点P分别作 BC，CD的垂线， 垂足分别为M， N .
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠BCD = 90°，∠PCM= ∠PCN.
∴四边形PMCN 是矩形.
∴PM∥CN.
∴∠MPC=∠PCN.
∴∠MPC= ∠PCM.
∴PM= CM.
∴四边形PMCN 是正方形.
∴PM=PN，∠MPN= ∠EPF =∠PME=∠PNF=90°.
∴∠MPN-∠MPF= ∠EPF-∠MPF，即∠EPM = ∠FPN.
在△PEM 和△PFN 中
∴△PEM≌△PFN(ASA).
∴PE=PF.
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】（3）解：连接EF，
∵PE⊥PF，∴∠EPF=90°，
∵∠BCD = 90°，CE= 4，CF = 2，
∵PE=PF，
∴PE2=10，
【分析】（1）本题考查正方形的性质与全等三角形的判定，核心是利用正方形对角线的性质构造全等三角形。根据正方形对角线相等且互相垂直平分，可得 PB 与 PC 相等，且对角线平分内角得到两个 45° 角；再由 PE 垂直 PF，利用同角的余角相等推出∠BPE 与∠CPF 相等，通过 ASA 证明△PBE 与△PCF 全等，依据全等三角形对应边相等即可证得 PE=PF。
（2）本题考查正方形的判定与全等三角形的综合应用，通过作辅助线构造全等三角形。过点 P 向 BC、CD 作垂线，利用正方形对角线平分内角的性质，结合角平分线上的点到角两边距离相等，得到两条垂线段相等，同时推出四边形 PMCN 是正方形；再由 PE 垂直 PF，利用同角的余角相等得到一组对应角相等，结合直角相等与垂线段相等，通过 ASA 证明两个直角三角形全等，依据全等三角形对应边相等得出 PE 与 PF 相等。
（3）本题考查勾股定理与等腰直角三角形的性质，需结合前一问的结论求解。先在 Rt△ECF 中，利用勾股定理求出 EF 的长度；由前一问结论 PE=PF 且 PE⊥PF，可知△PEF 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形三边的比例关系，结合 EF 的长度列方程求解，即可得到 PE 的长度。
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