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广东省深圳市龙岗区龙岗中学2025-2026学年下学期九年级数学素养评价测试卷
1．“数字人民币”应用场景范围逐步扩大，若转入3元记作元，那么转出10元记作（　　）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】A
【知识点】具有相反意义的量
【解析】【解答】解：∵转入元记作元，转入和转出是相反意义的量，正负数用来表示相反意义的量，转入记为正数，则转出记为负数，
∴转出元记作元．
故答案为：A
【分析】根据用正数和负数表示相反意义的量，进而即可求解。
2．如图是隋朝时期的青瓷高足盘，关于该物体的三视图描述正确的是（　　）
A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：依题意，观察得出的主视图与左视图相同，俯视图不与主视图与左视图相同
故选：B．
【分析】根据简单组合体的三视图结合题意即可求解。
3．中国四大名楼是黄鹤楼（湖北武汉）、岳阳楼（湖南岳阳）、滕王阁（江西南昌）和鹳雀楼（山西永济）．从中随机选取一个名楼，刚好抽到“鹳雀楼”的概率是（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵总共有4个名楼，鹳雀楼是1个，
∴从中随机选取一个名楼，刚好抽到“鹳雀楼”的概率是．
故选：D
【分析】根据简单事件的概率结合题意即可求解。
4． 如图，在中，，，，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求正弦值
【解析】【解答】解：在中，，
根据锐角正弦的定义，锐角的正弦值为该角的对边与斜边的比值。
的对边为，斜边为，因此：
故答案为：C
【分析】本题考查直角三角形中锐角正弦的定义。在直角三角形中，一个锐角的正弦等于这个角的对边长度与斜边长度的比值。本题中无需计算另一条直角边的长度，直接确定的对边为、斜边为，代入对应边长即可求出的数值。
5．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：3a2-a2=2a2，所以A不正确；
B：（-3a3）2=9a6，所以B不正确；
C：（a-b）2=a2-2ab+b2，所以C不正确；
D：a3.a2=a5，所以D正确；
故答案为：D.
【分析】根据整式的运算法则，分别进行正确运算，选出结果正确的即可。
6．如图是某家具店出售的黄色木椅的侧面图，其中，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵CD∥EF，∠E=60°，
∴∠BCD=∠E=60°，
∵∠ABD=130°，
∴∠CBD=180°-∠ABD=50°，
∴∠BDC=180°-∠CBD-∠BCD
=180°-50°-60°
=70°
故答案为：A.
【分析】根据平行线的性质得∠BCD=∠E=60°，根据平角的定义得∠CBD=180°-∠ABD=50°，根据三角形的内角和可得解.
7． 数学活动课上，甲，乙两位同学制作长方体盒子．已知甲做6个盒子比乙做4个盒子多用10分钟，乙每小时做盒子的数量是甲每小时做盒子的数量的2倍．设甲每小时做x个盒子，根据题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设甲每小时做个盒子，则乙每小时做个盒子。
根据 “工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率”，
甲做 6 个盒子的用时为小时，乙做 4 个盒子的用时为小时。
已知甲比乙多用 10 分钟，统一单位为小时，10 分钟小时，
据此列方程：。
故答案为：D
【分析】本题考查分式方程的工程类实际应用，核心是利用 “工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率” 建立等量关系。解题时先根据甲乙效率的倍数关系，表示出乙的工作效率，再分别计算两人完成对应工作量的时间；由于效率单位是 “每小时”，需将时间差 10 分钟换算为小时单位，最后根据 “甲用时 - 乙用时 = 多用的时间” 的等量关系列出方程。
8．如图，四边形为正方形，延长至点E，使得，连接，过点C作于点H，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴设，则，记与交于点，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质。设出线段长度后，根据正方形四条边相等、内角为直角的性质，在直角三角形中用勾股定理求出AE的长度；通过垂直得到两组直角，结合公共角，依据两角对应相等的判定定理证明两个三角形相似；利用相似三角形对应边成比例的性质求出CH的长度，最终计算出AB与CH的比值。
9．若关于x的方程的解是，则　 　．
【答案】5
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将代入方程得：，
解得：
故答案为：5．
【分析】根据题意将代入方程，进而即可求出参数的数值。
10． 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在坐标原点，点的坐标为，将沿轴向右平移，得到（点、、的对应点分别为点、、），已知，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：点坐标为，。
，，
即点的坐标为。
点与点是平移对应点，
向右平移了 3 个单位长度。
点向右平移 3 个单位，横坐标加 3，纵坐标不变，
点的坐标为，即。
故答案为：
【分析】本题考查平面直角坐标系中的图形平移规律。平移前后所有对应点的平移方向、平移距离完全一致。首先根据点的坐标得到线段的长度，结合的长度求出的长度，确定点的对应点的坐标，由此得到图形向右平移的单位数；再将点按相同方向和距离平移，即可得到对应点的坐标。
11．计算： =　 　．
【答案】a﹣1
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：原式= =a﹣1．
故答案为：a﹣1
【分析】分式化简的基本方法有通分、约分，分子分母出现多项式时看能否分解因式，便于约分.
12． 如图，，是反比例函数 的图象与正比例函数 的图象的交点，已知点的坐标为，则关于的不等式 的解集为　 　．
【答案】或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：正比例函数与反比例函数的图象均关于原点中心对称，因此两函数的两个交点也关于原点对称。
点坐标为，另一交点的坐标为。
不等式的几何意义为：反比例函数图象位于正比例函数图象上方时，对应的自变量的取值范围。
结合函数图象分析：
当时，反比例函数图象在正比例函数上方；
当时，反比例函数图象在正比例函数上方。
因此不等式的解集为或。
故答案为：或
【分析】本题考查反比例函数与正比例函数的交点问题，以及利用函数图象解不等式。正比例函数与反比例函数的图象都具有中心对称性，对称中心为坐标原点，因此两函数的两个交点必然关于原点对称，可由一个交点坐标直接推导得到另一个交点坐标。求解不等式时采用数形结合思想，不等式的解集，对应反比例函数图象位于正比例函数图象上方部分的自变量取值范围，分与两个区间分析即可得到完整解集。
13． 如图，在中，，点D是线段上的一点，连接，将线段绕着点A顺时针旋转得到线段，且，连接，．若且，则的周长为　 　．
【答案】10
【知识点】三角形全等及其性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：，
，即。
由旋转的性质得：。
又，
（SAS），
。
，，，
又，
（两边对应成比例且夹角相等），
。
，，
，解得。
的周长。
故答案为：
【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形与相似三角形的判定及性质。首先通过角的和差推导得到与相等，结合旋转得到的，以及已知的，利用 SAS 判定与全等，得到，由此将的周长转化为的长度和；再通过两边成比例且夹角相等，证明与相似，利用相似三角形对应边成比例求出的长度，最终代入计算得到三角形周长。
14． 计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；求有理数的绝对值的方法；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，涵盖算术平方根、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂四个基础知识点。先分别计算每一项：根据算术平方根的定义，表示 9 的算术平方根，结果为 3；根据绝对值的代数意义，负数的绝对值是它的相反数，因此；根据特殊角的三角函数值，，因此；根据零指数幂的运算法则，任意非零数的 0 次幂都等于 1，因此。将各项结果代入原式，按照从左到右的顺序进行加减运算，最终得到计算结果。
15．解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得　 　；
（2）解不等式②，得　 　；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为　 　．
【答案】（1）x＜4
（2）x≥-1
（3）
（4）-1≤x＜4
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】
解：(1)去括号得：3x-3＜1+2x
移项得：3x-2x＜1+3
合并同类项得：x＜4
故答案为：x＜4
（2）去分母得：x-9≤10x
移项得：x-10x≤9
合并同类项得：-9x≤9
系数化为1得：x≥-1
故答案为：x≥-1
（4）由（1）和（2）可知：该不等式组的解集为：-1≤x＜4
【分析】
本题考查一元一次不等式组的解法和在数轴上表示不等式组的解集，熟知一元一次不等式组的解法是解题关键.根据一元一次不等式组的解法：先求出每个一元一次不等式的解集，再根据口诀“大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小解不了”，可得出不等式组的解集，由此可得出答案.
16． 随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为．该汽车租赁公司有，，三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为元/辆，元/辆，元/辆．为了选择合适的型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下：
【整理数据】
（1）小明共调查了 ▲ 辆型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图；
（2）在型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为　 　；
（3）【分析数据】
型号 平均里程（） 中位数（） 众数（）
由上表填空：　 　，　 　；
（4）【判断决策】
结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由．
【答案】（1）解：，
补全条形统计图为：
（2）
（3）；
（4）解：小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为，故A型号的平均数、中位数和众数均低于，不符合要求；
B、C型号符合要求，但B型号的租金比C型号的租金优惠，所以选择B型号的纯电动汽车较为合适．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1） 辆，
（辆），
（2）
（3）由题意得，．
【分析】本题考查统计图表的综合应用，涵盖样本容量计算、扇形圆心角计算、中位数与众数的求解以及统计决策分析。
（1）计算 A 型车的调查总数时，利用续航 410km 的车辆数除以其对应的百分比，即可得到样本总容量；再用总容量减去其余续航里程的车辆数，得到续航 400km 的车辆数，以此补全条形统计图。
（2）计算 390km 对应扇形圆心角时，用乘以续航 390km 的车辆数占总样本的比例，即可得到对应圆心角的度数。
（3）求解中位数时，需先将数据按从小到大排序，若数据总数为偶数，取中间两个数的平均数作为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数值，分别统计 B 型、C 型车的续航数据，按定义计算得到和的值。
（4）决策时先结合预计行程 420km，筛选出续航能力满足行程要求的型号，再对比不同型号的租金成本，综合续航表现与成本选择最优型号。
17． 某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：【注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价）】
销售单价x（元）
日销售量y（件）
日销售利润w（元）
（1）根据以上信息，求y关于x的函数关系式；
（2）①填空：该产品的成本单价是 ▲ 元，表中a的值是 ▲ ；
②若商店规定该商品的销售单价不低于元，求该商品日销售利润的最大值．
【答案】（1）解：设，
把代入得：，
解得：，
一次函数解析式为；
（2）解：①；
②解：根据题意，得，
，且销售单价不低于元，即，
当时，w最大，最大值为，
答：该商品日销售利润的最大值为元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（2）①解：设该产品的成本单价是n元，
根据题意，得，
解得，
∴．
故答案为：；
【分析】本题考查一次函数与二次函数的实际销售应用，涉及待定系数法求解析式、成本与利润计算、二次函数的最值求解。
（1）求关于的函数关系式时，设一次函数的一般式，选取表格中两组与的对应值代入解析式，得到关于和的二元一次方程组，解方程组求出与的值，即可确定一次函数关系式。
（2）①计算成本单价时，利用日销售利润的计算公式，选取已知的一组销售单价、销量与利润数据，代入公式建立关于成本单价的方程，求解得到成本单价；再将代入利润公式，即可计算出的值。②求日销售利润最大值时，先根据 “总利润 = 单件利润 × 销售量” 列出日销售利润关于销售单价的二次函数解析式，将解析式配方为顶点式，结合二次函数的开口方向与的取值范围，判断函数在该区间内的单调性，进而求出利润的最大值。
18． 如图，内接于，为的直径，直线与相切于点．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）若（1）中的直线交劣弧于点，交弦于点，交直线于点．
①求证：；
②若，，则 ▲ ．
【答案】（1）解：直线即为所作：
（2）解：①证明：连接，
∵为直径，直线是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；切线的判定与性质；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】（2）②∵，，，
∴，，
由作图知，而，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查圆的综合应用，涵盖尺规作图、切线的性质、圆周角定理、解直角三角形等知识点。
（1）作线段的垂直平分线，依据是 “到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”，分别以点、点为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，即为线段的垂直平分线。
（2）①证明角相等时，先连接，根据直径所对的圆周角为直角，得到，再根据圆的切线垂直于过切点的半径，得到，通过同角的余角相等推导得到与相等，最后结合等边对等角，由得到，通过等量代换完成证明。②计算的长度时，先在中由勾股定理求出的长度，同时得到圆的半径、的长度；再通过角的互余关系推导得到与相等，利用正弦值相等建立比例式，求出的长度，最后根据代入数值计算即可得到结果。
19． 综合与实践
【问题情境】在校园运动会开幕式中，如图，运动会火炬手小明需要用火种点燃的箭头，然后射向距离发射点水平距离为70米、距地面的竖直高度为20米处的一个点火台上，已知点火台是一个弓形，其中米，且垂直平分这支箭（大小忽略不计）飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分．记这支箭飞行的水平距离为d（单位：m），距地面的竖直高度为h（单位：m）．获得的数据如表：
0 10 20 30 40 50 60 70
k
【问题解决】
（1）k的值为　 　．
（2）在平面直角坐标系中，描点，并用平滑的曲线将8个点依次连接；
（3）求出h与d的函数解析式；
（4）小明射出的箭的运动轨迹与线段有公共点时，说明这支箭就可以射入点火台内了，请判断小明射出的箭是否射入了点火台内？说明理由．
【答案】（1）22.5
（2）解：描点，用平滑的曲线依次连接如图所示．
（3）解：依题意可知，抛物线的顶点坐标为
∴设二次函数的解析式为：，
当时，，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
（4）解：小王不能将这支箭射入圣火台，理由：
∵水平距离为70米、距地面的竖直高度为20米处的一个点火台上，已知点火台是一个弓形，其中米，垂直平分，
当时，
，
当时，
，
∵，，
∴箭的轨迹在点火台的上方，
∴小王不能将这支箭射入圣火台．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：（1）∵这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，
根据表格数据与时的函数值相等，
∴对称轴为直线，
∴与时的函数值相等，
∵当时，，
∴当时，．
故答案为：．
【分析】本题考查二次函数的实际应用，涉及抛物线的对称性、函数解析式求解、函数值计算与实际问题判断。
（1）求的值时，根据抛物线的对称性，观察表格中与时函数值相等，可确定抛物线的对称轴为直线，由此可知与关于对称轴对称，对应的函数值相等，即可得到的数值。
（2）描点连线时，以为横坐标、为纵坐标，在平面直角坐标系中依次标出表格中的 8 个点，再用平滑的曲线按顺序连接各点，即可得到抛物线的大致图象。
（3）求函数解析式时，根据表格数据确定抛物线的顶点坐标为，设二次函数的顶点式，代入一组已知的与的对应值，求解得到的值，即可确定与的函数解析式。
（4）判断箭是否能射入点火台时，先根据点火台的位置与的长度，确定两端点对应的水平距离，分别代入函数解析式求出对应高度，将计算结果与点火台的高度 20 米对比，判断箭的轨迹与线段是否存在交点，从而得出结论。
20． 【定义】如果一个凸四边形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则称该四边形为对称四边形，称该直线为对称轴．
（1）【概念理解】下列图形一定是对称四边形的是　 　；（填序号）
（2）如图1，在平面直角坐标系中，若点，，，组成的四边形为对称四边形，则满足点的个数为　 　；
（3）【性质探究】如图2，对称四边形关于直线对称，对角线，相交于点，过点作于点，交于点，若，求对称四边形的面积．
（4）【拓展应用】如图3，在菱形中，，点为对角线上一点，沿边折叠得到，延长交射线于，则当，，，组成的四边形为对称四边形时，求的值．（作答要求：画出所有满足条件的情况示意图，并写出相应的答案即可）
【答案】（1）①③④
（2）3
（3）∵对称四边形关于直线对称，点和点为对应点，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴对称四边形的面积．
（4）
（Ⅰ）如图所示，当点与点重合时．
根据题意可知垂直平分线段，
∴．
∴四边形为筝形，是对称四边形．
∵，，
∴为等边三角形．
根据图形折叠的性质可知，
∴．
∴．
（Ⅱ）如图所示，当点在的延长线上时．
根据题意可知，，，
∴为等边三角形．
∴ ．
根据图形折叠的性质可得，
∴．
∴．
∴．
∴四边形为筝形，是对称四边形．
根据题意可知．
∴．
∵，，
∴为等边三角形．
∴．
又∵，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
（Ⅲ）如图所示，当时．
根据图形折叠的性质可知，，，．
∵，
∴．
∴，．
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
在和中
，，，
∴
∴
∴四边形为等腰梯形，是对称四边形．
在中，，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∴．
（Ⅳ）如图所示，当时．
根据题意可知，．
∴．
∴．
∴．
∴．
根据图形折叠的性质可知，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
在和中
，，，
∴．
∴．
∴四边形为等腰梯形，是对称四边形．
在中，，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∴．
综上所述，或或或．
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：（1）①矩形的一条对称轴为一条边的垂直平分线，所以矩形一定是对称四边形；②平行四边形（非矩形、菱形和正方形）没有对称轴，所以平行四边形不一定是对称四边形；③等腰梯形的对称轴为底的垂直平分线，所以等腰梯形一定是对称四边形；④筝形的对称轴为直线，所以筝形一定是对称四边形．
故答案为：①③④
（2）根据题意可知，四边形不可能为菱形和正方形，所以当四边形分别为矩形、等腰梯形和筝形时，四边形是对称四边形，所以，点在图中的位置如图所示，共有个．
故答案为：
【分析】本题考查新定义四边形的综合探究，涵盖轴对称图形的概念、坐标与图形性质、相似三角形的判定与性质、菱形的性质、折叠的性质等知识点。
（1）判断对称四边形时，依据轴对称图形的定义，逐一分析各图形是否存在能使图形折叠后两边完全重合的直线：矩形有两条对边中点连线作为对称轴，等腰梯形有上下底中点连线作为对称轴，筝形有一条对角线作为对称轴，均属于对称四边形；普通平行四边形不存在这样的对称轴，因此不是对称四边形。
（2）确定点的个数时，根据对称四边形的定义，分别考虑以不同直线为对称轴的情况，包括矩形、等腰梯形、筝形三类对称四边形的形态，对应找出所有符合条件的点位置，统计个数即可。
（3）求四边形面积时，首先根据对称四边形关于对称的性质，得到垂直平分，即且；再通过同角的余角相等推导角的关系，证明与相似，根据相似三角形对应边成比例建立等式，结合已知线段长度求出的长度，进而得到的总长，最后利用对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半，计算得到四边形的面积。
（4）拓展应用需分情况讨论：根据对称四边形的定义，结合菱形与折叠的性质，分别分析点与点重合、点在延长线上、、四种不同的对称情况，每种情况先利用菱形、折叠、对称四边形的性质推导线段间的关系，再结合平行线分线段成比例或全等、相似三角形的性质，计算与的长度比值，最终得到所有符合条件的结果。
1 / 1广东省深圳市龙岗区龙岗中学2025-2026学年下学期九年级数学素养评价测试卷
1．“数字人民币”应用场景范围逐步扩大，若转入3元记作元，那么转出10元记作（　　）
A．元 B．元 C．元 D．元
2．如图是隋朝时期的青瓷高足盘，关于该物体的三视图描述正确的是（　　）
A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
3．中国四大名楼是黄鹤楼（湖北武汉）、岳阳楼（湖南岳阳）、滕王阁（江西南昌）和鹳雀楼（山西永济）．从中随机选取一个名楼，刚好抽到“鹳雀楼”的概率是（　　）
A．1 B． C． D．
4． 如图，在中，，，，则等于（　　）
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图是某家具店出售的黄色木椅的侧面图，其中，则（　　）
A． B． C． D．
7． 数学活动课上，甲，乙两位同学制作长方体盒子．已知甲做6个盒子比乙做4个盒子多用10分钟，乙每小时做盒子的数量是甲每小时做盒子的数量的2倍．设甲每小时做x个盒子，根据题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，四边形为正方形，延长至点E，使得，连接，过点C作于点H，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．若关于x的方程的解是，则　 　．
10． 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在坐标原点，点的坐标为，将沿轴向右平移，得到（点、、的对应点分别为点、、），已知，则点的坐标为　 　．
11．计算： =　 　．
12． 如图，，是反比例函数 的图象与正比例函数 的图象的交点，已知点的坐标为，则关于的不等式 的解集为　 　．
13． 如图，在中，，点D是线段上的一点，连接，将线段绕着点A顺时针旋转得到线段，且，连接，．若且，则的周长为　 　．
14． 计算：．
15．解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得　 　；
（2）解不等式②，得　 　；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为　 　．
16． 随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为．该汽车租赁公司有，，三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为元/辆，元/辆，元/辆．为了选择合适的型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下：
【整理数据】
（1）小明共调查了 ▲ 辆型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图；
（2）在型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为　 　；
（3）【分析数据】
型号 平均里程（） 中位数（） 众数（）
由上表填空：　 　，　 　；
（4）【判断决策】
结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由．
17． 某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：【注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价）】
销售单价x（元）
日销售量y（件）
日销售利润w（元）
（1）根据以上信息，求y关于x的函数关系式；
（2）①填空：该产品的成本单价是 ▲ 元，表中a的值是 ▲ ；
②若商店规定该商品的销售单价不低于元，求该商品日销售利润的最大值．
18． 如图，内接于，为的直径，直线与相切于点．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）若（1）中的直线交劣弧于点，交弦于点，交直线于点．
①求证：；
②若，，则 ▲ ．
19． 综合与实践
【问题情境】在校园运动会开幕式中，如图，运动会火炬手小明需要用火种点燃的箭头，然后射向距离发射点水平距离为70米、距地面的竖直高度为20米处的一个点火台上，已知点火台是一个弓形，其中米，且垂直平分这支箭（大小忽略不计）飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分．记这支箭飞行的水平距离为d（单位：m），距地面的竖直高度为h（单位：m）．获得的数据如表：
0 10 20 30 40 50 60 70
k
【问题解决】
（1）k的值为　 　．
（2）在平面直角坐标系中，描点，并用平滑的曲线将8个点依次连接；
（3）求出h与d的函数解析式；
（4）小明射出的箭的运动轨迹与线段有公共点时，说明这支箭就可以射入点火台内了，请判断小明射出的箭是否射入了点火台内？说明理由．
20． 【定义】如果一个凸四边形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则称该四边形为对称四边形，称该直线为对称轴．
（1）【概念理解】下列图形一定是对称四边形的是　 　；（填序号）
（2）如图1，在平面直角坐标系中，若点，，，组成的四边形为对称四边形，则满足点的个数为　 　；
（3）【性质探究】如图2，对称四边形关于直线对称，对角线，相交于点，过点作于点，交于点，若，求对称四边形的面积．
（4）【拓展应用】如图3，在菱形中，，点为对角线上一点，沿边折叠得到，延长交射线于，则当，，，组成的四边形为对称四边形时，求的值．（作答要求：画出所有满足条件的情况示意图，并写出相应的答案即可）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】具有相反意义的量
【解析】【解答】解：∵转入元记作元，转入和转出是相反意义的量，正负数用来表示相反意义的量，转入记为正数，则转出记为负数，
∴转出元记作元．
故答案为：A
【分析】根据用正数和负数表示相反意义的量，进而即可求解。
2．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：依题意，观察得出的主视图与左视图相同，俯视图不与主视图与左视图相同
故选：B．
【分析】根据简单组合体的三视图结合题意即可求解。
3．【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵总共有4个名楼，鹳雀楼是1个，
∴从中随机选取一个名楼，刚好抽到“鹳雀楼”的概率是．
故选：D
【分析】根据简单事件的概率结合题意即可求解。
4．【答案】C
【知识点】求正弦值
【解析】【解答】解：在中，，
根据锐角正弦的定义，锐角的正弦值为该角的对边与斜边的比值。
的对边为，斜边为，因此：
故答案为：C
【分析】本题考查直角三角形中锐角正弦的定义。在直角三角形中，一个锐角的正弦等于这个角的对边长度与斜边长度的比值。本题中无需计算另一条直角边的长度，直接确定的对边为、斜边为，代入对应边长即可求出的数值。
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：3a2-a2=2a2，所以A不正确；
B：（-3a3）2=9a6，所以B不正确；
C：（a-b）2=a2-2ab+b2，所以C不正确；
D：a3.a2=a5，所以D正确；
故答案为：D.
【分析】根据整式的运算法则，分别进行正确运算，选出结果正确的即可。
6．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵CD∥EF，∠E=60°，
∴∠BCD=∠E=60°，
∵∠ABD=130°，
∴∠CBD=180°-∠ABD=50°，
∴∠BDC=180°-∠CBD-∠BCD
=180°-50°-60°
=70°
故答案为：A.
【分析】根据平行线的性质得∠BCD=∠E=60°，根据平角的定义得∠CBD=180°-∠ABD=50°，根据三角形的内角和可得解.
7．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设甲每小时做个盒子，则乙每小时做个盒子。
根据 “工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率”，
甲做 6 个盒子的用时为小时，乙做 4 个盒子的用时为小时。
已知甲比乙多用 10 分钟，统一单位为小时，10 分钟小时，
据此列方程：。
故答案为：D
【分析】本题考查分式方程的工程类实际应用，核心是利用 “工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率” 建立等量关系。解题时先根据甲乙效率的倍数关系，表示出乙的工作效率，再分别计算两人完成对应工作量的时间；由于效率单位是 “每小时”，需将时间差 10 分钟换算为小时单位，最后根据 “甲用时 - 乙用时 = 多用的时间” 的等量关系列出方程。
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴设，则，记与交于点，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质。设出线段长度后，根据正方形四条边相等、内角为直角的性质，在直角三角形中用勾股定理求出AE的长度；通过垂直得到两组直角，结合公共角，依据两角对应相等的判定定理证明两个三角形相似；利用相似三角形对应边成比例的性质求出CH的长度，最终计算出AB与CH的比值。
9．【答案】5
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将代入方程得：，
解得：
故答案为：5．
【分析】根据题意将代入方程，进而即可求出参数的数值。
10．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：点坐标为，。
，，
即点的坐标为。
点与点是平移对应点，
向右平移了 3 个单位长度。
点向右平移 3 个单位，横坐标加 3，纵坐标不变，
点的坐标为，即。
故答案为：
【分析】本题考查平面直角坐标系中的图形平移规律。平移前后所有对应点的平移方向、平移距离完全一致。首先根据点的坐标得到线段的长度，结合的长度求出的长度，确定点的对应点的坐标，由此得到图形向右平移的单位数；再将点按相同方向和距离平移，即可得到对应点的坐标。
11．【答案】a﹣1
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：原式= =a﹣1．
故答案为：a﹣1
【分析】分式化简的基本方法有通分、约分，分子分母出现多项式时看能否分解因式，便于约分.
12．【答案】或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：正比例函数与反比例函数的图象均关于原点中心对称，因此两函数的两个交点也关于原点对称。
点坐标为，另一交点的坐标为。
不等式的几何意义为：反比例函数图象位于正比例函数图象上方时，对应的自变量的取值范围。
结合函数图象分析：
当时，反比例函数图象在正比例函数上方；
当时，反比例函数图象在正比例函数上方。
因此不等式的解集为或。
故答案为：或
【分析】本题考查反比例函数与正比例函数的交点问题，以及利用函数图象解不等式。正比例函数与反比例函数的图象都具有中心对称性，对称中心为坐标原点，因此两函数的两个交点必然关于原点对称，可由一个交点坐标直接推导得到另一个交点坐标。求解不等式时采用数形结合思想，不等式的解集，对应反比例函数图象位于正比例函数图象上方部分的自变量取值范围，分与两个区间分析即可得到完整解集。
13．【答案】10
【知识点】三角形全等及其性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：，
，即。
由旋转的性质得：。
又，
（SAS），
。
，，，
又，
（两边对应成比例且夹角相等），
。
，，
，解得。
的周长。
故答案为：
【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形与相似三角形的判定及性质。首先通过角的和差推导得到与相等，结合旋转得到的，以及已知的，利用 SAS 判定与全等，得到，由此将的周长转化为的长度和；再通过两边成比例且夹角相等，证明与相似，利用相似三角形对应边成比例求出的长度，最终代入计算得到三角形周长。
14．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；求有理数的绝对值的方法；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，涵盖算术平方根、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂四个基础知识点。先分别计算每一项：根据算术平方根的定义，表示 9 的算术平方根，结果为 3；根据绝对值的代数意义，负数的绝对值是它的相反数，因此；根据特殊角的三角函数值，，因此；根据零指数幂的运算法则，任意非零数的 0 次幂都等于 1，因此。将各项结果代入原式，按照从左到右的顺序进行加减运算，最终得到计算结果。
15．【答案】（1）x＜4
（2）x≥-1
（3）
（4）-1≤x＜4
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】
解：(1)去括号得：3x-3＜1+2x
移项得：3x-2x＜1+3
合并同类项得：x＜4
故答案为：x＜4
（2）去分母得：x-9≤10x
移项得：x-10x≤9
合并同类项得：-9x≤9
系数化为1得：x≥-1
故答案为：x≥-1
（4）由（1）和（2）可知：该不等式组的解集为：-1≤x＜4
【分析】
本题考查一元一次不等式组的解法和在数轴上表示不等式组的解集，熟知一元一次不等式组的解法是解题关键.根据一元一次不等式组的解法：先求出每个一元一次不等式的解集，再根据口诀“大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小解不了”，可得出不等式组的解集，由此可得出答案.
16．【答案】（1）解：，
补全条形统计图为：
（2）
（3）；
（4）解：小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为，故A型号的平均数、中位数和众数均低于，不符合要求；
B、C型号符合要求，但B型号的租金比C型号的租金优惠，所以选择B型号的纯电动汽车较为合适．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1） 辆，
（辆），
（2）
（3）由题意得，．
【分析】本题考查统计图表的综合应用，涵盖样本容量计算、扇形圆心角计算、中位数与众数的求解以及统计决策分析。
（1）计算 A 型车的调查总数时，利用续航 410km 的车辆数除以其对应的百分比，即可得到样本总容量；再用总容量减去其余续航里程的车辆数，得到续航 400km 的车辆数，以此补全条形统计图。
（2）计算 390km 对应扇形圆心角时，用乘以续航 390km 的车辆数占总样本的比例，即可得到对应圆心角的度数。
（3）求解中位数时，需先将数据按从小到大排序，若数据总数为偶数，取中间两个数的平均数作为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数值，分别统计 B 型、C 型车的续航数据，按定义计算得到和的值。
（4）决策时先结合预计行程 420km，筛选出续航能力满足行程要求的型号，再对比不同型号的租金成本，综合续航表现与成本选择最优型号。
17．【答案】（1）解：设，
把代入得：，
解得：，
一次函数解析式为；
（2）解：①；
②解：根据题意，得，
，且销售单价不低于元，即，
当时，w最大，最大值为，
答：该商品日销售利润的最大值为元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（2）①解：设该产品的成本单价是n元，
根据题意，得，
解得，
∴．
故答案为：；
【分析】本题考查一次函数与二次函数的实际销售应用，涉及待定系数法求解析式、成本与利润计算、二次函数的最值求解。
（1）求关于的函数关系式时，设一次函数的一般式，选取表格中两组与的对应值代入解析式，得到关于和的二元一次方程组，解方程组求出与的值，即可确定一次函数关系式。
（2）①计算成本单价时，利用日销售利润的计算公式，选取已知的一组销售单价、销量与利润数据，代入公式建立关于成本单价的方程，求解得到成本单价；再将代入利润公式，即可计算出的值。②求日销售利润最大值时，先根据 “总利润 = 单件利润 × 销售量” 列出日销售利润关于销售单价的二次函数解析式，将解析式配方为顶点式，结合二次函数的开口方向与的取值范围，判断函数在该区间内的单调性，进而求出利润的最大值。
18．【答案】（1）解：直线即为所作：
（2）解：①证明：连接，
∵为直径，直线是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；切线的判定与性质；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】（2）②∵，，，
∴，，
由作图知，而，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查圆的综合应用，涵盖尺规作图、切线的性质、圆周角定理、解直角三角形等知识点。
（1）作线段的垂直平分线，依据是 “到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”，分别以点、点为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，即为线段的垂直平分线。
（2）①证明角相等时，先连接，根据直径所对的圆周角为直角，得到，再根据圆的切线垂直于过切点的半径，得到，通过同角的余角相等推导得到与相等，最后结合等边对等角，由得到，通过等量代换完成证明。②计算的长度时，先在中由勾股定理求出的长度，同时得到圆的半径、的长度；再通过角的互余关系推导得到与相等，利用正弦值相等建立比例式，求出的长度，最后根据代入数值计算即可得到结果。
19．【答案】（1）22.5
（2）解：描点，用平滑的曲线依次连接如图所示．
（3）解：依题意可知，抛物线的顶点坐标为
∴设二次函数的解析式为：，
当时，，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
（4）解：小王不能将这支箭射入圣火台，理由：
∵水平距离为70米、距地面的竖直高度为20米处的一个点火台上，已知点火台是一个弓形，其中米，垂直平分，
当时，
，
当时，
，
∵，，
∴箭的轨迹在点火台的上方，
∴小王不能将这支箭射入圣火台．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：（1）∵这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，
根据表格数据与时的函数值相等，
∴对称轴为直线，
∴与时的函数值相等，
∵当时，，
∴当时，．
故答案为：．
【分析】本题考查二次函数的实际应用，涉及抛物线的对称性、函数解析式求解、函数值计算与实际问题判断。
（1）求的值时，根据抛物线的对称性，观察表格中与时函数值相等，可确定抛物线的对称轴为直线，由此可知与关于对称轴对称，对应的函数值相等，即可得到的数值。
（2）描点连线时，以为横坐标、为纵坐标，在平面直角坐标系中依次标出表格中的 8 个点，再用平滑的曲线按顺序连接各点，即可得到抛物线的大致图象。
（3）求函数解析式时，根据表格数据确定抛物线的顶点坐标为，设二次函数的顶点式，代入一组已知的与的对应值，求解得到的值，即可确定与的函数解析式。
（4）判断箭是否能射入点火台时，先根据点火台的位置与的长度，确定两端点对应的水平距离，分别代入函数解析式求出对应高度，将计算结果与点火台的高度 20 米对比，判断箭的轨迹与线段是否存在交点，从而得出结论。
20．【答案】（1）①③④
（2）3
（3）∵对称四边形关于直线对称，点和点为对应点，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴对称四边形的面积．
（4）
（Ⅰ）如图所示，当点与点重合时．
根据题意可知垂直平分线段，
∴．
∴四边形为筝形，是对称四边形．
∵，，
∴为等边三角形．
根据图形折叠的性质可知，
∴．
∴．
（Ⅱ）如图所示，当点在的延长线上时．
根据题意可知，，，
∴为等边三角形．
∴ ．
根据图形折叠的性质可得，
∴．
∴．
∴．
∴四边形为筝形，是对称四边形．
根据题意可知．
∴．
∵，，
∴为等边三角形．
∴．
又∵，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
（Ⅲ）如图所示，当时．
根据图形折叠的性质可知，，，．
∵，
∴．
∴，．
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
在和中
，，，
∴
∴
∴四边形为等腰梯形，是对称四边形．
在中，，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∴．
（Ⅳ）如图所示，当时．
根据题意可知，．
∴．
∴．
∴．
∴．
根据图形折叠的性质可知，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
在和中
，，，
∴．
∴．
∴四边形为等腰梯形，是对称四边形．
在中，，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∴．
综上所述，或或或．
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：（1）①矩形的一条对称轴为一条边的垂直平分线，所以矩形一定是对称四边形；②平行四边形（非矩形、菱形和正方形）没有对称轴，所以平行四边形不一定是对称四边形；③等腰梯形的对称轴为底的垂直平分线，所以等腰梯形一定是对称四边形；④筝形的对称轴为直线，所以筝形一定是对称四边形．
故答案为：①③④
（2）根据题意可知，四边形不可能为菱形和正方形，所以当四边形分别为矩形、等腰梯形和筝形时，四边形是对称四边形，所以，点在图中的位置如图所示，共有个．
故答案为：
【分析】本题考查新定义四边形的综合探究，涵盖轴对称图形的概念、坐标与图形性质、相似三角形的判定与性质、菱形的性质、折叠的性质等知识点。
（1）判断对称四边形时，依据轴对称图形的定义，逐一分析各图形是否存在能使图形折叠后两边完全重合的直线：矩形有两条对边中点连线作为对称轴，等腰梯形有上下底中点连线作为对称轴，筝形有一条对角线作为对称轴，均属于对称四边形；普通平行四边形不存在这样的对称轴，因此不是对称四边形。
（2）确定点的个数时，根据对称四边形的定义，分别考虑以不同直线为对称轴的情况，包括矩形、等腰梯形、筝形三类对称四边形的形态，对应找出所有符合条件的点位置，统计个数即可。
（3）求四边形面积时，首先根据对称四边形关于对称的性质，得到垂直平分，即且；再通过同角的余角相等推导角的关系，证明与相似，根据相似三角形对应边成比例建立等式，结合已知线段长度求出的长度，进而得到的总长，最后利用对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半，计算得到四边形的面积。
（4）拓展应用需分情况讨论：根据对称四边形的定义，结合菱形与折叠的性质，分别分析点与点重合、点在延长线上、、四种不同的对称情况，每种情况先利用菱形、折叠、对称四边形的性质推导线段间的关系，再结合平行线分线段成比例或全等、相似三角形的性质，计算与的长度比值，最终得到所有符合条件的结果。
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