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河北联邦外国语学校2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷
1．下列图形中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x=0 B．x=3 C．x≠0 D．x≠3
3．下列实数中，是无理数的是（　　）
A． B．0 C． D．0.6
4．9的算术平方根的平方根为（　　）
A．3 B． C． D．
5．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直
C．两直线平行，内错角相等
D．若，则b的平方根大于a的平方根
6．若，则的值不能是（　　）
A． B．4 C． D．0
7．如图，，，，，则（　　）
A． B． C． D．
8．如图，已知；，线段，求作．
作法；（1）作线段；
（2）在的同旁作，，与的另一边交于点．则是所作三角形，这样作图的依据是（　　）
A． B． C． D．
9．为了缅怀革命先烈，传承红色精神，青海省某学校八年级师生在清明节期间前往距离学校的烈士陵园扫墓.一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达；已知汽车的速度是骑车师生速度的2倍，设骑车师生的速度为.根据题意，下列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，已知，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与全等的是（　　）
A． B．
C． D．
11．下面是嘉琪同学做的练习题，她做对了（　　）道．
填空题： （1）的相反数是 （2）算术平方根等于它本身的数有0和1 （3） （4）的倒数是 （5）近似数5.2万精确到了千位 （6）已知，则
A．5 B．4 C．3 D．2
12．已知，，，其中，点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒．
①若．则点运动路程始终是点运动路程的2倍；
②当、两点同时到达点时，：
③若，，时，；
④若与全等，则或．
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
13．比较大小： 　 　5（选填“ ”、“ ”、“ ” ）．
14．如果两个最简二次根式与能够合并，那么a值为　 　．
15．规定：用符号[x]表示一个不大于实数x的最大整数，例如：，，，按这个规定：若，则x的取值范围是　 　 ．
16．1.如图，甲杯和乙杯中分别盛有体积均为的橙汁和苹果汁（如下操作，果汁均不溢出）．
（1）当时，从甲杯取橙汁放入乙杯并搅拌均匀，则乙杯中橙汁与混合果汁的体积比为　 　；
（2）把两杯中的果汁进行如下操作：
第一步：从甲杯取出橙汁，倒入乙杯并搅拌均匀．此时，乙杯中的橙汁与混合果汁的体积比为　 　
第二步：从乙杯取出混合果汁，倒入甲杯并搅拌均匀．经过两次调和后，设此时甲杯中含苹果汁，乙杯中含橙汁，则　 　.
17．计算：
（1）
（2）
（3）
18．先化简，再求代数式的值，其中．
19．如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，且．
（1）求证：；
（2）若，试求的长．
20．如图，面积为的正方形四个角是面积为的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子．
（1）则原来大正方形的边长为 ；（保留根号）四个角的小正方形的边长为 ．（保留根号）
（2）求这个长方体盒子的底面边长和体积分别是多少 并将结果精确到．提示：
21．某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场至少购进乙种商品多少个？
22．阅读下列材料，并解决相应问题：
应用：用上述类似的方法化简下列各式：
（1）；
（2）若，求的值；
（3）若为的整数部分，为的小数部分，求的值．
23．如图，半径为1个单位长度的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合．（所有结果均保留）．
（1）若该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点到达点，设点表示的数为．
①求的值；
②求的算术平方根．
（2）若圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次滚动的情况记录如下：，，，，．
①第几次滚动后，点距离原点最近？第几次滚动后，点距离原点最远？
②当圆片结束运动时，点运动的路程共有多少？此时点所表示的数是多少？
24．综合与实践
【基本模型】如图1和2所示，，直线l经过点O（不与，重合），过点A，B作l的垂线，垂足分别为C，D，可以很容易证得，进而得到：．
【模型应用】在图1的基础上，在射线上取一点M，把线段绕点O逆时针转得到、连接．交直线l于点P．
（1）如图3，当点M与点C重合时与的数量关系为______；
（2）如图4，当点M在的延长线上时，试判断与的数量关系．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：过点N作直线l于E（见下图）．同学们，根据小颖的提示，请你判断与的数量关系，并给出证明．
（3）如图5，当点M在线段上时的值为______．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．该图形不是轴对称图形，不符合题意；
B．该图形是轴对称图形，符合题意；
C．该图形不是轴对称图形，不符合题意；
D．该图形不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
【分析】
根据轴对称图形的定义：把一个图形沿着一条直线对折后，直线两旁的部分能后完全重合，这个图形就是轴对称图形，逐项分析即可.
2．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，x﹣3≠0，
解得，x≠3，
故答案为：D．
【分析】根据分式的分母不能为0，从而列出不等式，求解即可得出x的取值范围。
3．【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A．是无理数，故本选项符合题意；
B.0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
D.0.6是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：A．
【分析】
无理数的本质是无限不循环小数。要理解无理数的概念，就必须先理清有理数的概念：有理数是整数和分数的统称，有限小数和无限循环小数都属于有理数，只有无限不循环小数才是无理数.
4．【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：9的算术平方根是3，3的平方根是，
9的算术平方根的平方根为，
故选：D．
【分析】
先算出9的算术平方根是3，再求3的平方根即可得到最终结果，3的平方根为，据此即可得到答案.
5．【答案】C
【知识点】真命题与假命题；平方根的概念与表示；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：A：两条直线被第三条直线所截，只有两直线平行时同旁内角才互补，否则不一定，此选项不符合题意；
B：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，而不是垂直，是假命题，此选项不符合题意；
C：两直线平行，内错角相等，这是平行线的性质，是真命题，此选项符合题意；
D：若，则b的平方根有正负两个值，并非所有b的平方根都大于a的平方根，是假命题，此选项不符合题意．
故选：C．
【分析】
根据平行线的性质与判定，还有平方根的相关概念即可解答.
6．【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴四个选项中，只有B选项中的数符合题意，
故选：B．
【分析】
化简二次根式的核心性质为，结合题目给出的化简结果，即可推导出，据此即可得到题目的答案.
7．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【分析】
已知两个三角形全等，根据全等三角形对应角相等的性质，可以得到；之后结合三角形内角和等于180°，计算求出，最后通过角度差计算可得.
8．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作三角形
【解析】【解答】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即．
故选C．
【分析】
先准确理解作图步骤中得到的对应相等的边或角，再结合这些相等元素判断可以使用哪种全等判定方法证明三角形全等.
9．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设骑车师生的速度为xkm/h，则汽车速度为2xkm/h，
由题意得 .
故答案为： .
【分析】 设骑车师生的速度为xkm/h，则汽车速度为2xkm/h，根据总路程除以速度等于时间及骑自行车师生所用时间比坐汽车师生所用时间多30min列出方程即可.
10．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：选项A：甲三角形中，已知的角与中已知角的位置和边的对应关系不正确，
所以甲与不全等．
选项B：在乙三角形中，已知的角与中已知角的位置和边的对应关系不正确，
所以乙与不全等．
选项C：在丙三角形中，有两边分别与的两边相等，且这两边的夹角也相等，满足全等三角形判定定理中的“边角边”（SAS），
所以丙与全等．
选项D：丁三角形中，虽然有两角与的两角相等，但这两角的夹边与中对应角的夹边不相等，不满足全等三角形判定定理中的“角边角”（ASA），
所以丁与不全等．
综上，与全等的是丙．
故选：C．
【分析】
根据全等三角形的判定需要逐个分析每个选项里的三角形，判断它和是否符合全等的判定条件就可以得出结果.
11．【答案】C
【知识点】有理数的倒数；算术平方根的性质（双重非负性）；实数的相反数；实数的绝对值；近似数与准确数
【解析】【解答】解：（1）的相反数是，（1）正确；
（2）算术平方根等于它本身的数有0和1，（2）正确；
（3），（3）错误；
（4），它的倒数是，（4）错误；
（5）近似数5.2万精确到了千位，（5）正确；
（6）∵，
∴，，
解得：，，
∴，（6）错误；
∴ 做对了三道题，
故答案为：C．
【分析】根据相反数的定义可判断（1），根据算术平方根的定义可判断（2），根据绝对值的意义可判断（3），根据倒数的定义可判断（4），根据近似数可判断（5），根据绝对值和算术平方根的非负性可判断（6）.
12．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：①∵点P以每秒2个单位长度的速度，运动时间为 t 秒，
∴点P运动路程为，
若，则点Q运动路程为，
∴点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍，故①正确；
②当P点到达A点时，秒，
∵P、Q两点同时到达A点，
∴，故②正确；
③如图所示，
当，时，
点P运动的路程为，点Q运动的路程为，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴和不全等，故③错误；
④当时，则，．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
当时，则，．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴若与全等，则或，故④正确．
综上所述，正确的选项为①②④．
故选：C．
【分析】
以先结合路程、速度、时间的关系，计算出不同运动时间下点P、点Q走过的路程，以此对第一个结论作出判断；接下来先算出点P运动到点A所需的时间，再结合题意列式计算，即可对第二个结论作出判断；之后先画出对应图形，结合题意计算得到，，，，据此可推得和不可能全等，以此判断第三个结论；最后分两种不同情况计算出x的取值，即可对第四个结论作出判断.
13．【答案】＜
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵ ， ，
而24＜25，
∴ ＜5．
故答案为：＜．
【分析】由于 ， ，根据被开方数大，算术平方根就大进行解答即可.
14．【答案】5
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：由题意得，最简二次根式与是同类二次根式，因此被开方数相等，即．
解方程：，
，
所以．
故答案为：．
【分析】
根据同类二次根式的性质：两个最简二次根式可以进行合并，说明这两个根式是同类二次根式，满足同类二次根式的条件是被开方数相等，据此求解即可。
15．【答案】
【知识点】无理数的估值；解一元一次不等式；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：，
，
即，
，
，
故答案为：．
【分析】
根据取整定义可知不等式恒成立，因此可以得到，结合题目的条件即可化简得到，对该不等式整理后即可求解最终结果。
16．【答案】；；1
【知识点】分式的混合运算；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：（1）从甲杯取橙汁放入乙杯并搅拌均匀，乙杯中的果汁总体积为：，则乙杯中橙汁混合果汁的体积比为：；
故答案为：；
（2）第一步：从甲杯取出橙汁，倒入乙杯并搅拌均匀，乙杯中的果汁总体积为：，则乙杯中橙汁与混合果汁的体积比为：；
第二步：从乙杯取出混合果汁，则此时混合果汁中含有苹果汁：，
即此时甲杯中含苹果汁；
此时乙杯中含橙汁，
即此时乙杯中含橙汁，
∴．
故答案为：；1．
【分析】
（1）只需要按照题目的描述，写出对应的代数式，就能完成这一问的解答；
（2）先结合题目给出的条件，列出对应的代数式；第二步：通过计算可以得到，交换后甲杯中的苹果汁含量为，乙杯中的橙汁含量为，在此基础上进一步计算就可以得到最终结果。
17．【答案】（1）解：
．

（2） 解：
．
（3）解：方程两边同乘以，得
解得，
检验：当时，，
∴不是原方程的解，原方程无解．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算；解分式方程
【解析】【分析】
（1）先分别化简二次根式和立方根，再将化简后的结果做加减运算即可得到最终答案；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式展开计算，再对所得结果做加减运算即可得到最终答案；（3）按照解分式方程的标准步骤逐步计算，即可求出方程的解.
（1）解：
．
（2）
．
（3）方程两边同乘以，得
解得，
检验：当时，，
∴不是原方程的解，原方程无解．
18．【答案】解：
，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先根据分式的混合运算进行化简，进而代入数值即可求解。
19．【答案】（1）证明：∵是边上的中线，∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】
（1）根据三角形中线的定义，可得；再由平行线的性质，可得，结合对顶角相等，即可利用判定；
（2）先根据线段的和差关系求出的长度，再根据全等三角形对应边相等得到，即，代入计算即可得到结果.
（1）证明：∵是边上的中线，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
20．【答案】（1）；
（2）解：这个长方体盒子的底面边长为：，
这个长方体盒子的体积为：．
答：这个长方体盒子的底面边长为，体积为．
【知识点】二次根式的实际应用；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】
（1）解：则原来大正方形的边长为；四个角的小正方形的边长为．
故答案为：；．
【分析】
（1）求解第一问时，利用算术平方根的性质计算即可得到结果；
（2）求解第二问时，结合长方体的体积公式列式计算即可得到结果.
（1）解：则原来大正方形的边长为；四个角的小正方形的边长为．
故答案为：；．
（2）解：这个长方体盒子的底面边长为：，
这个长方体盒子的体积为：．
答：这个长方体盒子的底面边长为，体积为．
21．【答案】（1）解：设每个甲商品的进价为元，则乙商品的进价为元，由题意，得：，解得：，经检验是原方程的解；
∴；
答：每个甲、乙两种商品的进价分别是8元，10元；
（2）设商场购进乙种商品个，则购进甲商品的数量为个，由题意，得：，解得：，
∴的最小整数值为：，
答：该商场至少购进乙种商品24个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】
（1）首先设每个甲商品的进价为元，由题目信息可知每个乙商品的进价比甲多2元，因此乙商品的进价为元；再结合“80元购进甲商品的数量和100元购进乙商品的数量相等”这一等量关系，即可建立分式方程求解进价。
（2）设商场购进乙种商品个，根据甲的数量和乙的数量的关系，可得购进甲商品的数量为个；再结合题目中“销售完两种商品后的总利润超过380元”的不等关系，列出一元一次不等式，即可求解得到符合题意的进货方案.
（1）解：设每个甲商品的进价为元，则乙商品的进价为元，由题意，得：，
解得：，经检验是原方程的解；
∴；
答：每个甲、乙两种商品的进价分别是8元，10元；
（2）设商场购进乙种商品个，则购进甲商品的数量为个，由题意，得：，
解得：，
∴的最小整数值为：，
答：该商场至少购进乙种商品24个．
22．【答案】（1）解：
；

（2）解：∵
，
∴
；
（3）解：∵，∴，
∴，
∴，，
．
【知识点】无理数的估值；分母有理化；二次根式的混合运算；探索规律-计数类规律
【解析】【分析】
（1）按照题目给出的运算方法计算即可得到结果；
（2）先结合题目给出的运算过程，总结得到一般化的变形规律，再将原式各项按该规律拆分后，通过抵消合并计算即可得到结果；
（3）先对的大小进行估算，确定出a和b的值，再代入所求式子计算即可.
（1）解：
；
（2）解：∵
，
∴
；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
．
23．【答案】（1）解：①该圆片滚动一周的距离为，∵该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点到达点，
∴点表示的数．
②∵
，
∴的算术平方根为．
（2）解：①第1次滚动后，，点距离原点2周，第2次滚动后，，点距离原点1周，
第3次滚动后，，点距离原点4周，
第4次滚动后，，点在原点处，
第5次滚动后，，点距离原点3周，
由此可知，第4次滚动后，点距离原点最近；第3次滚动后，点距离原点最远．
②∵，
∴当圆片结束运动时，点运动的路程共有；
∵，
∴当圆片结束运动时，此时点所表示的数是．
【知识点】实数在数轴上的表示；正数、负数的实际应用；数轴上两点之间的距离；求算术平方根
【解析】【分析】
（1）①圆片滚动一周经过的距离就是圆的周长，计算可得该圆片滚动一周的路程为，再结合数轴上点的位置对应关系即可求解；②得到点对应的数值后，代入计算它的算术平方根即可得到结果；（2）①依次计算出第次滚动完成后，点到原点的距离，对比即可得到符合要求的结果；②点Q运动的总路程等于每次滚动的距离之和，因此先求出滚动记录各数的绝对值之和，再乘以单位滚动距离，即可得到总路程；要求终止时点Q表示的数，先将滚动记录的所有数字相加，得到总的位移，再乘以，即可得到此时点对应的数.
（1）解：①该圆片滚动一周的距离为，
∵该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点到达点，
∴点表示的数．
②∵
，
∴的算术平方根为．
（2）解：①第1次滚动后，，点距离原点2周，
第2次滚动后，，点距离原点1周，
第3次滚动后，，点距离原点4周，
第4次滚动后，，点在原点处，
第5次滚动后，，点距离原点3周，
由此可知，第4次滚动后，点距离原点最近；第3次滚动后，点距离原点最远．
②∵，
∴当圆片结束运动时，点运动的路程共有；
∵，
∴当圆片结束运动时，此时点所表示的数是．
24．【答案】（1）
（2）解：，
证明：过点N作直线于E，
∴，，
由旋转得，，
∴，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；旋转的性质；旋转全等模型
【解析】【解答】
（1）解：由旋转得，，
∵，点M与点C重合，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：过点N作直线于H，
同理得，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
设，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
（1）通过AAS判定定理证明△PON和△PDB全等，进而得到对应结论；
（2）过点N作NE垂直于直线l，垂足为E，先通过AAS判定定理证明△ONE和△MOC全等，即可得到OC=NE=BD，再通过AAS判定定理证明△PNE和△PBD全等，就可以推导出对应结论；
（3）过点N作NH垂直于直线l，垂足为H，先通过ASA判定定理证明△ONH和△MOC全等，就能得到OC=NH=BD，同时全等三角形面积相等，即S△ONH=S△OMC；再通过AAS判定定理证明△PNH和△PBD全等，得到NP=BP，且S△PNH=S△PBD，进一步可推得S△ONP=S△OPB；设S△ONH=S△OMC=x，S△ONP=S△OPB=y，就可以得到S△AOC=S△OBD=x+2y，整理后可得S△OAM=2y，据此就可以计算出最终结果．
（1）解：由旋转得，，
∵，点M与点C重合，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：，
证明：过点N作直线于E，
∴，，
由旋转得，，
∴，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：过点N作直线于H，
同理得，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
设，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
1 / 1河北联邦外国语学校2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷
1．下列图形中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．该图形不是轴对称图形，不符合题意；
B．该图形是轴对称图形，符合题意；
C．该图形不是轴对称图形，不符合题意；
D．该图形不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
【分析】
根据轴对称图形的定义：把一个图形沿着一条直线对折后，直线两旁的部分能后完全重合，这个图形就是轴对称图形，逐项分析即可.
2．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x=0 B．x=3 C．x≠0 D．x≠3
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，x﹣3≠0，
解得，x≠3，
故答案为：D．
【分析】根据分式的分母不能为0，从而列出不等式，求解即可得出x的取值范围。
3．下列实数中，是无理数的是（　　）
A． B．0 C． D．0.6
【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A．是无理数，故本选项符合题意；
B.0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
D.0.6是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：A．
【分析】
无理数的本质是无限不循环小数。要理解无理数的概念，就必须先理清有理数的概念：有理数是整数和分数的统称，有限小数和无限循环小数都属于有理数，只有无限不循环小数才是无理数.
4．9的算术平方根的平方根为（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：9的算术平方根是3，3的平方根是，
9的算术平方根的平方根为，
故选：D．
【分析】
先算出9的算术平方根是3，再求3的平方根即可得到最终结果，3的平方根为，据此即可得到答案.
5．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直
C．两直线平行，内错角相等
D．若，则b的平方根大于a的平方根
【答案】C
【知识点】真命题与假命题；平方根的概念与表示；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：A：两条直线被第三条直线所截，只有两直线平行时同旁内角才互补，否则不一定，此选项不符合题意；
B：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，而不是垂直，是假命题，此选项不符合题意；
C：两直线平行，内错角相等，这是平行线的性质，是真命题，此选项符合题意；
D：若，则b的平方根有正负两个值，并非所有b的平方根都大于a的平方根，是假命题，此选项不符合题意．
故选：C．
【分析】
根据平行线的性质与判定，还有平方根的相关概念即可解答.
6．若，则的值不能是（　　）
A． B．4 C． D．0
【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴四个选项中，只有B选项中的数符合题意，
故选：B．
【分析】
化简二次根式的核心性质为，结合题目给出的化简结果，即可推导出，据此即可得到题目的答案.
7．如图，，，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【分析】
已知两个三角形全等，根据全等三角形对应角相等的性质，可以得到；之后结合三角形内角和等于180°，计算求出，最后通过角度差计算可得.
8．如图，已知；，线段，求作．
作法；（1）作线段；
（2）在的同旁作，，与的另一边交于点．则是所作三角形，这样作图的依据是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作三角形
【解析】【解答】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即．
故选C．
【分析】
先准确理解作图步骤中得到的对应相等的边或角，再结合这些相等元素判断可以使用哪种全等判定方法证明三角形全等.
9．为了缅怀革命先烈，传承红色精神，青海省某学校八年级师生在清明节期间前往距离学校的烈士陵园扫墓.一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达；已知汽车的速度是骑车师生速度的2倍，设骑车师生的速度为.根据题意，下列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设骑车师生的速度为xkm/h，则汽车速度为2xkm/h，
由题意得 .
故答案为： .
【分析】 设骑车师生的速度为xkm/h，则汽车速度为2xkm/h，根据总路程除以速度等于时间及骑自行车师生所用时间比坐汽车师生所用时间多30min列出方程即可.
10．如图，已知，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与全等的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：选项A：甲三角形中，已知的角与中已知角的位置和边的对应关系不正确，
所以甲与不全等．
选项B：在乙三角形中，已知的角与中已知角的位置和边的对应关系不正确，
所以乙与不全等．
选项C：在丙三角形中，有两边分别与的两边相等，且这两边的夹角也相等，满足全等三角形判定定理中的“边角边”（SAS），
所以丙与全等．
选项D：丁三角形中，虽然有两角与的两角相等，但这两角的夹边与中对应角的夹边不相等，不满足全等三角形判定定理中的“角边角”（ASA），
所以丁与不全等．
综上，与全等的是丙．
故选：C．
【分析】
根据全等三角形的判定需要逐个分析每个选项里的三角形，判断它和是否符合全等的判定条件就可以得出结果.
11．下面是嘉琪同学做的练习题，她做对了（　　）道．
填空题： （1）的相反数是 （2）算术平方根等于它本身的数有0和1 （3） （4）的倒数是 （5）近似数5.2万精确到了千位 （6）已知，则
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】有理数的倒数；算术平方根的性质（双重非负性）；实数的相反数；实数的绝对值；近似数与准确数
【解析】【解答】解：（1）的相反数是，（1）正确；
（2）算术平方根等于它本身的数有0和1，（2）正确；
（3），（3）错误；
（4），它的倒数是，（4）错误；
（5）近似数5.2万精确到了千位，（5）正确；
（6）∵，
∴，，
解得：，，
∴，（6）错误；
∴ 做对了三道题，
故答案为：C．
【分析】根据相反数的定义可判断（1），根据算术平方根的定义可判断（2），根据绝对值的意义可判断（3），根据倒数的定义可判断（4），根据近似数可判断（5），根据绝对值和算术平方根的非负性可判断（6）.
12．已知，，，其中，点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒．
①若．则点运动路程始终是点运动路程的2倍；
②当、两点同时到达点时，：
③若，，时，；
④若与全等，则或．
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：①∵点P以每秒2个单位长度的速度，运动时间为 t 秒，
∴点P运动路程为，
若，则点Q运动路程为，
∴点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍，故①正确；
②当P点到达A点时，秒，
∵P、Q两点同时到达A点，
∴，故②正确；
③如图所示，
当，时，
点P运动的路程为，点Q运动的路程为，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴和不全等，故③错误；
④当时，则，．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
当时，则，．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴若与全等，则或，故④正确．
综上所述，正确的选项为①②④．
故选：C．
【分析】
以先结合路程、速度、时间的关系，计算出不同运动时间下点P、点Q走过的路程，以此对第一个结论作出判断；接下来先算出点P运动到点A所需的时间，再结合题意列式计算，即可对第二个结论作出判断；之后先画出对应图形，结合题意计算得到，，，，据此可推得和不可能全等，以此判断第三个结论；最后分两种不同情况计算出x的取值，即可对第四个结论作出判断.
13．比较大小： 　 　5（选填“ ”、“ ”、“ ” ）．
【答案】＜
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵ ， ，
而24＜25，
∴ ＜5．
故答案为：＜．
【分析】由于 ， ，根据被开方数大，算术平方根就大进行解答即可.
14．如果两个最简二次根式与能够合并，那么a值为　 　．
【答案】5
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：由题意得，最简二次根式与是同类二次根式，因此被开方数相等，即．
解方程：，
，
所以．
故答案为：．
【分析】
根据同类二次根式的性质：两个最简二次根式可以进行合并，说明这两个根式是同类二次根式，满足同类二次根式的条件是被开方数相等，据此求解即可。
15．规定：用符号[x]表示一个不大于实数x的最大整数，例如：，，，按这个规定：若，则x的取值范围是　 　 ．
【答案】
【知识点】无理数的估值；解一元一次不等式；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：，
，
即，
，
，
故答案为：．
【分析】
根据取整定义可知不等式恒成立，因此可以得到，结合题目的条件即可化简得到，对该不等式整理后即可求解最终结果。
16．1.如图，甲杯和乙杯中分别盛有体积均为的橙汁和苹果汁（如下操作，果汁均不溢出）．
（1）当时，从甲杯取橙汁放入乙杯并搅拌均匀，则乙杯中橙汁与混合果汁的体积比为　 　；
（2）把两杯中的果汁进行如下操作：
第一步：从甲杯取出橙汁，倒入乙杯并搅拌均匀．此时，乙杯中的橙汁与混合果汁的体积比为　 　
第二步：从乙杯取出混合果汁，倒入甲杯并搅拌均匀．经过两次调和后，设此时甲杯中含苹果汁，乙杯中含橙汁，则　 　.
【答案】；；1
【知识点】分式的混合运算；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：（1）从甲杯取橙汁放入乙杯并搅拌均匀，乙杯中的果汁总体积为：，则乙杯中橙汁混合果汁的体积比为：；
故答案为：；
（2）第一步：从甲杯取出橙汁，倒入乙杯并搅拌均匀，乙杯中的果汁总体积为：，则乙杯中橙汁与混合果汁的体积比为：；
第二步：从乙杯取出混合果汁，则此时混合果汁中含有苹果汁：，
即此时甲杯中含苹果汁；
此时乙杯中含橙汁，
即此时乙杯中含橙汁，
∴．
故答案为：；1．
【分析】
（1）只需要按照题目的描述，写出对应的代数式，就能完成这一问的解答；
（2）先结合题目给出的条件，列出对应的代数式；第二步：通过计算可以得到，交换后甲杯中的苹果汁含量为，乙杯中的橙汁含量为，在此基础上进一步计算就可以得到最终结果。
17．计算：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：
．

（2） 解：
．
（3）解：方程两边同乘以，得
解得，
检验：当时，，
∴不是原方程的解，原方程无解．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算；解分式方程
【解析】【分析】
（1）先分别化简二次根式和立方根，再将化简后的结果做加减运算即可得到最终答案；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式展开计算，再对所得结果做加减运算即可得到最终答案；（3）按照解分式方程的标准步骤逐步计算，即可求出方程的解.
（1）解：
．
（2）
．
（3）方程两边同乘以，得
解得，
检验：当时，，
∴不是原方程的解，原方程无解．
18．先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】解：
，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先根据分式的混合运算进行化简，进而代入数值即可求解。
19．如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，且．
（1）求证：；
（2）若，试求的长．
【答案】（1）证明：∵是边上的中线，∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】
（1）根据三角形中线的定义，可得；再由平行线的性质，可得，结合对顶角相等，即可利用判定；
（2）先根据线段的和差关系求出的长度，再根据全等三角形对应边相等得到，即，代入计算即可得到结果.
（1）证明：∵是边上的中线，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
20．如图，面积为的正方形四个角是面积为的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子．
（1）则原来大正方形的边长为 ；（保留根号）四个角的小正方形的边长为 ．（保留根号）
（2）求这个长方体盒子的底面边长和体积分别是多少 并将结果精确到．提示：
【答案】（1）；
（2）解：这个长方体盒子的底面边长为：，
这个长方体盒子的体积为：．
答：这个长方体盒子的底面边长为，体积为．
【知识点】二次根式的实际应用；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】
（1）解：则原来大正方形的边长为；四个角的小正方形的边长为．
故答案为：；．
【分析】
（1）求解第一问时，利用算术平方根的性质计算即可得到结果；
（2）求解第二问时，结合长方体的体积公式列式计算即可得到结果.
（1）解：则原来大正方形的边长为；四个角的小正方形的边长为．
故答案为：；．
（2）解：这个长方体盒子的底面边长为：，
这个长方体盒子的体积为：．
答：这个长方体盒子的底面边长为，体积为．
21．某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场至少购进乙种商品多少个？
【答案】（1）解：设每个甲商品的进价为元，则乙商品的进价为元，由题意，得：，解得：，经检验是原方程的解；
∴；
答：每个甲、乙两种商品的进价分别是8元，10元；
（2）设商场购进乙种商品个，则购进甲商品的数量为个，由题意，得：，解得：，
∴的最小整数值为：，
答：该商场至少购进乙种商品24个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】
（1）首先设每个甲商品的进价为元，由题目信息可知每个乙商品的进价比甲多2元，因此乙商品的进价为元；再结合“80元购进甲商品的数量和100元购进乙商品的数量相等”这一等量关系，即可建立分式方程求解进价。
（2）设商场购进乙种商品个，根据甲的数量和乙的数量的关系，可得购进甲商品的数量为个；再结合题目中“销售完两种商品后的总利润超过380元”的不等关系，列出一元一次不等式，即可求解得到符合题意的进货方案.
（1）解：设每个甲商品的进价为元，则乙商品的进价为元，由题意，得：，
解得：，经检验是原方程的解；
∴；
答：每个甲、乙两种商品的进价分别是8元，10元；
（2）设商场购进乙种商品个，则购进甲商品的数量为个，由题意，得：，
解得：，
∴的最小整数值为：，
答：该商场至少购进乙种商品24个．
22．阅读下列材料，并解决相应问题：
应用：用上述类似的方法化简下列各式：
（1）；
（2）若，求的值；
（3）若为的整数部分，为的小数部分，求的值．
【答案】（1）解：
；

（2）解：∵
，
∴
；
（3）解：∵，∴，
∴，
∴，，
．
【知识点】无理数的估值；分母有理化；二次根式的混合运算；探索规律-计数类规律
【解析】【分析】
（1）按照题目给出的运算方法计算即可得到结果；
（2）先结合题目给出的运算过程，总结得到一般化的变形规律，再将原式各项按该规律拆分后，通过抵消合并计算即可得到结果；
（3）先对的大小进行估算，确定出a和b的值，再代入所求式子计算即可.
（1）解：
；
（2）解：∵
，
∴
；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
．
23．如图，半径为1个单位长度的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合．（所有结果均保留）．
（1）若该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点到达点，设点表示的数为．
①求的值；
②求的算术平方根．
（2）若圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次滚动的情况记录如下：，，，，．
①第几次滚动后，点距离原点最近？第几次滚动后，点距离原点最远？
②当圆片结束运动时，点运动的路程共有多少？此时点所表示的数是多少？
【答案】（1）解：①该圆片滚动一周的距离为，∵该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点到达点，
∴点表示的数．
②∵
，
∴的算术平方根为．
（2）解：①第1次滚动后，，点距离原点2周，第2次滚动后，，点距离原点1周，
第3次滚动后，，点距离原点4周，
第4次滚动后，，点在原点处，
第5次滚动后，，点距离原点3周，
由此可知，第4次滚动后，点距离原点最近；第3次滚动后，点距离原点最远．
②∵，
∴当圆片结束运动时，点运动的路程共有；
∵，
∴当圆片结束运动时，此时点所表示的数是．
【知识点】实数在数轴上的表示；正数、负数的实际应用；数轴上两点之间的距离；求算术平方根
【解析】【分析】
（1）①圆片滚动一周经过的距离就是圆的周长，计算可得该圆片滚动一周的路程为，再结合数轴上点的位置对应关系即可求解；②得到点对应的数值后，代入计算它的算术平方根即可得到结果；（2）①依次计算出第次滚动完成后，点到原点的距离，对比即可得到符合要求的结果；②点Q运动的总路程等于每次滚动的距离之和，因此先求出滚动记录各数的绝对值之和，再乘以单位滚动距离，即可得到总路程；要求终止时点Q表示的数，先将滚动记录的所有数字相加，得到总的位移，再乘以，即可得到此时点对应的数.
（1）解：①该圆片滚动一周的距离为，
∵该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点到达点，
∴点表示的数．
②∵
，
∴的算术平方根为．
（2）解：①第1次滚动后，，点距离原点2周，
第2次滚动后，，点距离原点1周，
第3次滚动后，，点距离原点4周，
第4次滚动后，，点在原点处，
第5次滚动后，，点距离原点3周，
由此可知，第4次滚动后，点距离原点最近；第3次滚动后，点距离原点最远．
②∵，
∴当圆片结束运动时，点运动的路程共有；
∵，
∴当圆片结束运动时，此时点所表示的数是．
24．综合与实践
【基本模型】如图1和2所示，，直线l经过点O（不与，重合），过点A，B作l的垂线，垂足分别为C，D，可以很容易证得，进而得到：．
【模型应用】在图1的基础上，在射线上取一点M，把线段绕点O逆时针转得到、连接．交直线l于点P．
（1）如图3，当点M与点C重合时与的数量关系为______；
（2）如图4，当点M在的延长线上时，试判断与的数量关系．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：过点N作直线l于E（见下图）．同学们，根据小颖的提示，请你判断与的数量关系，并给出证明．
（3）如图5，当点M在线段上时的值为______．
【答案】（1）
（2）解：，
证明：过点N作直线于E，
∴，，
由旋转得，，
∴，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；旋转的性质；旋转全等模型
【解析】【解答】
（1）解：由旋转得，，
∵，点M与点C重合，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：过点N作直线于H，
同理得，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
设，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
（1）通过AAS判定定理证明△PON和△PDB全等，进而得到对应结论；
（2）过点N作NE垂直于直线l，垂足为E，先通过AAS判定定理证明△ONE和△MOC全等，即可得到OC=NE=BD，再通过AAS判定定理证明△PNE和△PBD全等，就可以推导出对应结论；
（3）过点N作NH垂直于直线l，垂足为H，先通过ASA判定定理证明△ONH和△MOC全等，就能得到OC=NH=BD，同时全等三角形面积相等，即S△ONH=S△OMC；再通过AAS判定定理证明△PNH和△PBD全等，得到NP=BP，且S△PNH=S△PBD，进一步可推得S△ONP=S△OPB；设S△ONH=S△OMC=x，S△ONP=S△OPB=y，就可以得到S△AOC=S△OBD=x+2y，整理后可得S△OAM=2y，据此就可以计算出最终结果．
（1）解：由旋转得，，
∵，点M与点C重合，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：，
证明：过点N作直线于E，
∴，，
由旋转得，，
∴，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：过点N作直线于H，
同理得，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
设，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
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