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湖南省怀化市通道县2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列各点在反比例函数的图象上的是（　　）
A． B． C． D．
2．反比例函数关于其函数图象下列说法错误的是（　　）
A．位于第二、四象限 B．图象过点
C．关于原点成中心对称 D．随的增大而减小
3．将一元二次方程化成一般形式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，从放大镜里看到的三角尺与原来的三角尺之间的图形变换属于（　　）
A．平移 B．旋转 C．相似 D．轴对称
5．在用求根公式求解一元二次方程时，a，b，c的值分别是（　　）
A． B． C． D．
6．已知，x，y，m，n均不为0，则把它改写成比例式后，正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如果是一元二次方程的一个根，则的值是（　　）
A． B．4 C． D．3
8．如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．《九章算术》“勾股”章有一题大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．在平面直角坐标系中，对于点，若满足，则称点P为“友好点”，下列说法正确的个数是（　　）
①点为“友好点”；
②若点为“友好点”，则或；
③若点是直线与反比例函数图象的交点，则为“友好点”．
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．在一张比例尺为 的地图上，我校的周长为 ，则我校的实际周长为　 　.
12．一元二次方程x2﹣1＝3的根为　 　．
13．已知反比例函数的图像在第二、四象限，那么的取值范围是　 　．
14．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是　 　．
15．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力与动力臂之间的函数关系式是　 　．
16．如图，在这架小提琴中，点C是线段的黄金分割点（）．若，则　 　cm．
17．若点 、 、 都在反比例函数 （k为常数）的图象上，则 、 、 的大小关系为　 　．
18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是　 　．
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．如图，若直线，它们依次交直线于点和点．
（1）如果，求的长；
（2）如果，求的长．
20．解下列一元二次方程：
（1）；
（2）．
21．如图，公园原有一块长方形空地，长是宽的2倍，从这块空地上划出“”型区域栽种鲜花，原空地的宽减少了，长减少了，剩余空地的面积是原空地面积的一半，求原空地的长和宽．
22．如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限的交点分别为，两点，连接，．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求的面积．
23．“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种，某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”200亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到288亩．
（1）求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率；
（2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元时，每天能售出；销售单价每降低1元，每天可多售出．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利2160元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定为多少元？
24．班级里张贴了5米视力表，规定测试对象站在离视力表5米处进行测试，根据测试同学能看清的最小的方块字“E”，来了解同学们的视力情况．
规定：视力表中方块字“E”的边长和视力读数之间存在反比例函数关系，下表是视力表中部分数据．
“E”边长（cm） 7.27 3.635 … 1.454 … 0.3635
视力读数 0.1 0.2 … 0.5 … 2.0
（1）设方块字“E”的边长为，视力读数为，则与的函数表达式为_______________；
（2）若小明的视力是1.0，求他能看清的最小的方块字“E”的边长是多少厘米？
（3）生活中当我们看不清物体时，常常眯起眼睛，这是由于眯眼改变了视角大小．用5米视力表测视力时，已知视角与视力读数的关系为，则视角变小时，能看清的最小的方块字“E”的边长__________（填“变大”、“变小”或“不变”）．
25．解某些高次方程或具有一定结构特点方程时，我们可以通过整体换元的方法，把方程转化为一元二次方程进行求解，从而达到降次或变复杂为简单的目的．
例如：解方程（x2﹣3）2﹣5（3﹣x2）+2＝0，
如果设x2﹣3＝y，∵x2﹣3＝y，∴3﹣x2＝﹣y，用y表示x后代入（x2﹣3）2﹣5（3﹣x2）+2＝0得：y2+5y+2＝0．
应用：请用换元法解下列各题
（1）已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝8，则x2+y2的值；
（2）解方程：；
（3）已知a2+ab﹣b2＝0（ab≠0），求的值．
26．如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、．设点、运动的时间为．
（1）当t =_______时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t =_______时，四边形AQCP是菱形；
（3）是否存在某一时刻t使得PQ⊥PC，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、，所以，点不在函数图象上，故选项A不符合题意；
B、，所以，点不在函数图象上，故选项B不符合题意；
C、，所以，点在函数图象上，故选项C符合题意；
D、，所以，点不在函数图象上，故选项D不符合题意；
故选：C．
【分析】根据反比例函数解析式，可以得到比例系数满足关系，因此只要一个点的横坐标与纵坐标的乘积等于，该点就在这个函数的图象上。
2．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数， ，
∴图象位于第二、四象限，故A正确；
当时， ，图象过点，故B正确；
反比例函数图象关于原点对称，故C正确；
当时，在每个象限内，y随x的增大而增大，而非减小，故D错误；
故选D
【分析】根据反比例函数的性质，逐一进行分析判断即可得出结论。
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：，
，
，
∴将一元二次方程化成一般形式为，
故选：．
【分析】通过去括号、移项将给定方程整理为的形式，其中是常数，且满足.
4．【答案】C
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：根据相似图形的定义可知，用放大镜将图形放大．属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换，
故选：C．
【分析】根据相似三角形性质即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：∵，
整理得：，
∴，，，
故选：D．
【分析】先把给定方程整理成一元二次方程的标准形式，再找出对应各项的系数就可以完成求解。
6．【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：A．
【分析】利用比例的性质（比例内项之积等于比例外项之积）分析求解即可.
7．【答案】A
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是方程的根，
∴将代入方程得，即，
∴．
故选A．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，即能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。已知是该一元二次方程的一个根，将这个根直接代入原方程，就可以求出参数m的值。
8．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答解：∵点在上，轴于点，交于点，
∴，，
∴的面积为，
故选：．
【分析】结合和中比例系数的几何意义，先得到，，再将两个三角形的面积作差，即可求出结果.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设相遇时行走了个单位时间，则乙向东行走的距离为步，甲先向南走步，然后斜向东北行走的距离为步．
如图，由勾股定理，得
∵
∴
即．
故选A．
【分析】根据题目描述可知，甲行走的路线、乙行走的路线刚好可以构成一个直角三角形，可以结合勾股定理列出对应方程求解。
10．【答案】B
【知识点】公式法解一元二次方程；点的坐标；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：①∵点，
∴，故①正确；
②∵点为“友好点”，
∴，
整理得，
解得或，故②错误；
③∵点是直线与反比例函数的交点，
∴且，
∴，
∴，故③正确；
综上，正确个数为2个．
故选B．
【分析】根据“友好点”的定义，若点是友好点，则其坐标满足。判断各个结论正误的思路为：对结论①，直接将点坐标代入关系式验证即可；对结论②，根据友好点的定义列出方程后求解即可得到结果；对结论③，先求出两个函数图象的交点，再代入友好点的定义验证即可判断。
11．【答案】1.6km
【知识点】图上距离与实际距离的换算（比例尺的应用）
【解析】【解答】解：由题意可知，相似多边形的边长之比=相似比=1：10000，
在我校的周长为16cm，则我校的实际周长为16×10000=160000cm=1600m．
故答案为：1.6km．
【分析】比例尺为1：10000的地图上的多边形按照比例缩小，因此它们是相似多边形，利用相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比计算．
12．【答案】x1＝2，x2＝﹣2．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】移项得x2＝4，
开方得x＝±2，
即x1＝2，x2＝﹣2．
故答案为：x1＝2，x2＝﹣2．
【分析】
先对原方程进行移项整理，之后就可以使用直接开平方法来求出这个方程的解.
13．【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：根据题意，得，
解得，
故答案为：．
【分析】已知反比例函数的图象位于第二、第四象限，根据反比例函数的图象性质可得比例系数满足，据此即可求解本题。
14．【答案】2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题可知，，
解得，
故答案为：2．
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出方程求解即可。
15．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，阻力和阻力臂分别为和，
∴动力F和动力臂l之间的函数解析式为，
则，
∴这一杠杆的动力与动力臂之间的函数关系式是，
故答案为：．
【分析】利用杠杆原理：阻力乘以阻力臂等于动力乘以动力臂，推导出动力F和动力臂l之间的函数关系，再根据函数性质确定对应图象即可。
16．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】C是线段的黄金分割点（），，
．
故答案为：．
【分析】
先根据黄金分割点的定义得到关系式，再进一步计算得到结果.
17．【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解： 反比例函数 为常数）， ，
该函数图象在第一、三象限，在每个象限内 随 的增大而减小，
点 、 ， 、 都在反比例函数 为常数）的图象上， ，点 、 在第三象限，点 在第一象限，
，
故答案为： ．
【分析】根据反比例函数的解析式可知：该函数图象在第一、三象限，在每个象限内 随 的增大而减小，再利用该性质求解即可。
18．【答案】或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由题意可得，解得
∴，
观察图像可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方，
∴不等式的解集为或，
故答案为：或．
【分析】
先计算求出参数m的数值，再通过观察函数的图象就可以得出答案.
19．【答案】（1）解：，
，
，，，
，
；

（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
．
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】
（1）根据平行线分线段成比例定理，可得比例关系：：，将已知的对应数据代入该比例式，就可以计算出待求结果；
（2）同样根据平行线分线段成比例定理，可以推出：：：，由此进一步可以得到：：，结合AC的已知长度即可求出的长度，进而计算得到的长度．
（1）解：，
：：，
，，，
：：，
；
（2）∵，
：：，
：：，
：：，
，
，
．
20．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得，
（2）解：∵，
∴
∴或
解得，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）通过开平方的方法计算求解；
（2）通过因式分解的方法计算求解。
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得，
（2）解：∵，
∴
∴或
解得，．
21．【答案】解：设原空地的宽为，则长为，
根据题意得：，整理得：，
解得：或6，
当时，，（不符合题意，舍去），
当时，，
答：原空地的长为，宽为．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】
设这块原空地的宽度为，由原空地长和宽的关系可得长为，再结合题目给出的面积关系列出方程，求解得到符合实际意义的后，即可进一步得到题目的最终结果.
22．【答案】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，∴，
∴反比例函数的表达式为；
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
∴，
把A、B的坐标代入，得，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：设直线与x轴的交点为C，令，即，解得，
∴，
∴．

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）先通过待定系数法得到反比例函数的解析式，据此求出点B的坐标，之后再用待定系数法求解一次函数的解析式；
（2）设直线与x轴交于点C，借助已经求出的直线解析式得到点C的坐标，再利用三角形面积的和关系，即可算出△AOB的面积.
（1）∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
∴，
把A、B的坐标代入，得，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）设直线与x轴的交点为C，
令，即，解得，
∴，
∴．
23．【答案】（1）解：设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为，由题意，得：，
解得：（舍去）；
答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为

（2）解：设销售单价应定为元，由题意，的：，
解得：，
∵使消费者尽可能获得实惠，
∴；
答：销售单价应定为元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为，已知2021年底该基地种植“阳光玫瑰”共200亩，到2023年底种植面积已经达到288亩，根据这个数量关系列出一元二次方程，求解后即可得到结果；
（2）设销售单价应当定为元，根据“总利润=单件利润×销售量”这一关系列出对应方程，求解后即可得到结果.
（1）解：设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为，由题意，得：
，
解得：（舍去）；
答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为；
（2）设销售单价应定为元，由题意，的：
，
解得：，
∵使消费者尽可能获得实惠，
∴；
答：销售单价应定为元．
24．【答案】（1）
（2）解：将代入可得：，
答：他能看清的最小的方块字“E”的边长是厘米
（3）变小
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】
（1）解：设与的函数表达式为，
将代入得，
解得：，
∴，
故答案为：；
（3）解：将代入可得：，
∴当视角视角变小时，能看清的最小的方块字“E”的边长x变小，
故答案为：变小．
【分析】（1）先设与的函数解析式为，再把已知点的坐标代入解析式，即可求出系数k得到函数表达式；
（2）把代入已经求得的反比例函数解析式，即可计算求出对应的x值；
（3）先把代入关系式，整理后得到与x的函数关系式，再据此判断该函数类型即可。
（1）解：设与的函数表达式为，
将代入得，
解得：，
∴，
故答案为：；
（2）解：将代入可得：，
答：他能看清的最小的方块字“E”的边长是厘米；
（3）解：将代入可得：，
∴当视角视角变小时，能看清的最小的方块字“E”的边长x变小，
故答案为：变小．
25．【答案】解：（1）令，则，原方程可化为即，，解得或
又∵
∴
所以，x2+y2的值为1
（2）令，则
原方程可化为
即，解得或
当时，即，
，即
解得
当时，，
判别式，方程无解
综上所述，的解为
（3）∵
∴，
两边同时除可得：
令，可化为，
解得，
∴或

【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）使用换元法，设，将原式整理后就能得到，接下来解这个一元二次方程就能得到结果；
（2）同样使用换元法，设，根据完全平方公式可以得到，把这个关系代入原方程，就能把原方程转化为，先解出t的值，再进一步回代求解原方程的解；
（3）已知条件给出，由此可以推出，且也不为0，给方程两边同时除以，整理后可以得到，再设，方程就可以化简为，解这个关于t的方程就能得到最终结果．
26．【答案】（1）3
（2）
（3）解：不存在，理由如下：
，
，
，
若存在某一时刻，使得，则存在某一时刻使得，，
即方程有解，
方程整理得
，
故方程无解，
即不存在某一时刻，使得
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】
（1）解：如图， 过点作于点，
由矩形可知，，，，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，由运动可知，， 则，
当， 四边形是矩形，得到，，
解得，
即当时，四边形是矩形，
故答案为：；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
由题意可知，，
∴四边形是平行四边形，
∴当四边形是菱形，
，
，
解得，
即当时，四边形是菱形，
故答案为：；
【分析】
（1）若该四边形为矩形，满足，我们可以利用这个等量关系计算得到的取值；
（2）若该四边形为菱形，需要满足，通过列出对应方程就可以求解得到动点运动的时间；
（3）先借助勾股定理推导得到与的表达式，再列出方程，最后通过一元二次方程根的判别式判定该方程没有实数根，据此即可得到对应结论；
（1）解：如图， 过点作于点，
由矩形可知，，，，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，由运动可知，， 则，
当， 四边形是矩形，得到，，
解得，
即当时，四边形是矩形，
故答案为：；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
由题意可知，，
∴四边形是平行四边形，
∴当四边形是菱形，
，
，
解得，
即当时，四边形是菱形，
故答案为：；
（3）解：不存在，理由如下：
，
，
，
若存在某一时刻，使得，则存在某一时刻使得，，
即方程有解，
方程整理得
，
故方程无解，
即不存在某一时刻，使得．
1 / 1湖南省怀化市通道县2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列各点在反比例函数的图象上的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、，所以，点不在函数图象上，故选项A不符合题意；
B、，所以，点不在函数图象上，故选项B不符合题意；
C、，所以，点在函数图象上，故选项C符合题意；
D、，所以，点不在函数图象上，故选项D不符合题意；
故选：C．
【分析】根据反比例函数解析式，可以得到比例系数满足关系，因此只要一个点的横坐标与纵坐标的乘积等于，该点就在这个函数的图象上。
2．反比例函数关于其函数图象下列说法错误的是（　　）
A．位于第二、四象限 B．图象过点
C．关于原点成中心对称 D．随的增大而减小
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数， ，
∴图象位于第二、四象限，故A正确；
当时， ，图象过点，故B正确；
反比例函数图象关于原点对称，故C正确；
当时，在每个象限内，y随x的增大而增大，而非减小，故D错误；
故选D
【分析】根据反比例函数的性质，逐一进行分析判断即可得出结论。
3．将一元二次方程化成一般形式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：，
，
，
∴将一元二次方程化成一般形式为，
故选：．
【分析】通过去括号、移项将给定方程整理为的形式，其中是常数，且满足.
4．如图，从放大镜里看到的三角尺与原来的三角尺之间的图形变换属于（　　）
A．平移 B．旋转 C．相似 D．轴对称
【答案】C
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：根据相似图形的定义可知，用放大镜将图形放大．属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换，
故选：C．
【分析】根据相似三角形性质即可求出答案.
5．在用求根公式求解一元二次方程时，a，b，c的值分别是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：∵，
整理得：，
∴，，，
故选：D．
【分析】先把给定方程整理成一元二次方程的标准形式，再找出对应各项的系数就可以完成求解。
6．已知，x，y，m，n均不为0，则把它改写成比例式后，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：A．
【分析】利用比例的性质（比例内项之积等于比例外项之积）分析求解即可.
7．如果是一元二次方程的一个根，则的值是（　　）
A． B．4 C． D．3
【答案】A
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是方程的根，
∴将代入方程得，即，
∴．
故选A．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，即能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。已知是该一元二次方程的一个根，将这个根直接代入原方程，就可以求出参数m的值。
8．如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答解：∵点在上，轴于点，交于点，
∴，，
∴的面积为，
故选：．
【分析】结合和中比例系数的几何意义，先得到，，再将两个三角形的面积作差，即可求出结果.
9．《九章算术》“勾股”章有一题大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设相遇时行走了个单位时间，则乙向东行走的距离为步，甲先向南走步，然后斜向东北行走的距离为步．
如图，由勾股定理，得
∵
∴
即．
故选A．
【分析】根据题目描述可知，甲行走的路线、乙行走的路线刚好可以构成一个直角三角形，可以结合勾股定理列出对应方程求解。
10．在平面直角坐标系中，对于点，若满足，则称点P为“友好点”，下列说法正确的个数是（　　）
①点为“友好点”；
②若点为“友好点”，则或；
③若点是直线与反比例函数图象的交点，则为“友好点”．
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【知识点】公式法解一元二次方程；点的坐标；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：①∵点，
∴，故①正确；
②∵点为“友好点”，
∴，
整理得，
解得或，故②错误；
③∵点是直线与反比例函数的交点，
∴且，
∴，
∴，故③正确；
综上，正确个数为2个．
故选B．
【分析】根据“友好点”的定义，若点是友好点，则其坐标满足。判断各个结论正误的思路为：对结论①，直接将点坐标代入关系式验证即可；对结论②，根据友好点的定义列出方程后求解即可得到结果；对结论③，先求出两个函数图象的交点，再代入友好点的定义验证即可判断。
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．在一张比例尺为 的地图上，我校的周长为 ，则我校的实际周长为　 　.
【答案】1.6km
【知识点】图上距离与实际距离的换算（比例尺的应用）
【解析】【解答】解：由题意可知，相似多边形的边长之比=相似比=1：10000，
在我校的周长为16cm，则我校的实际周长为16×10000=160000cm=1600m．
故答案为：1.6km．
【分析】比例尺为1：10000的地图上的多边形按照比例缩小，因此它们是相似多边形，利用相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比计算．
12．一元二次方程x2﹣1＝3的根为　 　．
【答案】x1＝2，x2＝﹣2．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】移项得x2＝4，
开方得x＝±2，
即x1＝2，x2＝﹣2．
故答案为：x1＝2，x2＝﹣2．
【分析】
先对原方程进行移项整理，之后就可以使用直接开平方法来求出这个方程的解.
13．已知反比例函数的图像在第二、四象限，那么的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：根据题意，得，
解得，
故答案为：．
【分析】已知反比例函数的图象位于第二、第四象限，根据反比例函数的图象性质可得比例系数满足，据此即可求解本题。
14．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是　 　．
【答案】2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题可知，，
解得，
故答案为：2．
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出方程求解即可。
15．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力与动力臂之间的函数关系式是　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，阻力和阻力臂分别为和，
∴动力F和动力臂l之间的函数解析式为，
则，
∴这一杠杆的动力与动力臂之间的函数关系式是，
故答案为：．
【分析】利用杠杆原理：阻力乘以阻力臂等于动力乘以动力臂，推导出动力F和动力臂l之间的函数关系，再根据函数性质确定对应图象即可。
16．如图，在这架小提琴中，点C是线段的黄金分割点（）．若，则　 　cm．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】C是线段的黄金分割点（），，
．
故答案为：．
【分析】
先根据黄金分割点的定义得到关系式，再进一步计算得到结果.
17．若点 、 、 都在反比例函数 （k为常数）的图象上，则 、 、 的大小关系为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解： 反比例函数 为常数）， ，
该函数图象在第一、三象限，在每个象限内 随 的增大而减小，
点 、 ， 、 都在反比例函数 为常数）的图象上， ，点 、 在第三象限，点 在第一象限，
，
故答案为： ．
【分析】根据反比例函数的解析式可知：该函数图象在第一、三象限，在每个象限内 随 的增大而减小，再利用该性质求解即可。
18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是　 　．
【答案】或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由题意可得，解得
∴，
观察图像可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方，
∴不等式的解集为或，
故答案为：或．
【分析】
先计算求出参数m的数值，再通过观察函数的图象就可以得出答案.
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．如图，若直线，它们依次交直线于点和点．
（1）如果，求的长；
（2）如果，求的长．
【答案】（1）解：，
，
，，，
，
；

（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
．
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】
（1）根据平行线分线段成比例定理，可得比例关系：：，将已知的对应数据代入该比例式，就可以计算出待求结果；
（2）同样根据平行线分线段成比例定理，可以推出：：：，由此进一步可以得到：：，结合AC的已知长度即可求出的长度，进而计算得到的长度．
（1）解：，
：：，
，，，
：：，
；
（2）∵，
：：，
：：，
：：，
，
，
．
20．解下列一元二次方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得，
（2）解：∵，
∴
∴或
解得，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）通过开平方的方法计算求解；
（2）通过因式分解的方法计算求解。
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得，
（2）解：∵，
∴
∴或
解得，．
21．如图，公园原有一块长方形空地，长是宽的2倍，从这块空地上划出“”型区域栽种鲜花，原空地的宽减少了，长减少了，剩余空地的面积是原空地面积的一半，求原空地的长和宽．
【答案】解：设原空地的宽为，则长为，
根据题意得：，整理得：，
解得：或6，
当时，，（不符合题意，舍去），
当时，，
答：原空地的长为，宽为．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】
设这块原空地的宽度为，由原空地长和宽的关系可得长为，再结合题目给出的面积关系列出方程，求解得到符合实际意义的后，即可进一步得到题目的最终结果.
22．如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限的交点分别为，两点，连接，．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，∴，
∴反比例函数的表达式为；
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
∴，
把A、B的坐标代入，得，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：设直线与x轴的交点为C，令，即，解得，
∴，
∴．

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）先通过待定系数法得到反比例函数的解析式，据此求出点B的坐标，之后再用待定系数法求解一次函数的解析式；
（2）设直线与x轴交于点C，借助已经求出的直线解析式得到点C的坐标，再利用三角形面积的和关系，即可算出△AOB的面积.
（1）∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
∴，
把A、B的坐标代入，得，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）设直线与x轴的交点为C，
令，即，解得，
∴，
∴．
23．“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种，某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”200亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到288亩．
（1）求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率；
（2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元时，每天能售出；销售单价每降低1元，每天可多售出．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利2160元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定为多少元？
【答案】（1）解：设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为，由题意，得：，
解得：（舍去）；
答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为

（2）解：设销售单价应定为元，由题意，的：，
解得：，
∵使消费者尽可能获得实惠，
∴；
答：销售单价应定为元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为，已知2021年底该基地种植“阳光玫瑰”共200亩，到2023年底种植面积已经达到288亩，根据这个数量关系列出一元二次方程，求解后即可得到结果；
（2）设销售单价应当定为元，根据“总利润=单件利润×销售量”这一关系列出对应方程，求解后即可得到结果.
（1）解：设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为，由题意，得：
，
解得：（舍去）；
答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为；
（2）设销售单价应定为元，由题意，的：
，
解得：，
∵使消费者尽可能获得实惠，
∴；
答：销售单价应定为元．
24．班级里张贴了5米视力表，规定测试对象站在离视力表5米处进行测试，根据测试同学能看清的最小的方块字“E”，来了解同学们的视力情况．
规定：视力表中方块字“E”的边长和视力读数之间存在反比例函数关系，下表是视力表中部分数据．
“E”边长（cm） 7.27 3.635 … 1.454 … 0.3635
视力读数 0.1 0.2 … 0.5 … 2.0
（1）设方块字“E”的边长为，视力读数为，则与的函数表达式为_______________；
（2）若小明的视力是1.0，求他能看清的最小的方块字“E”的边长是多少厘米？
（3）生活中当我们看不清物体时，常常眯起眼睛，这是由于眯眼改变了视角大小．用5米视力表测视力时，已知视角与视力读数的关系为，则视角变小时，能看清的最小的方块字“E”的边长__________（填“变大”、“变小”或“不变”）．
【答案】（1）
（2）解：将代入可得：，
答：他能看清的最小的方块字“E”的边长是厘米
（3）变小
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】
（1）解：设与的函数表达式为，
将代入得，
解得：，
∴，
故答案为：；
（3）解：将代入可得：，
∴当视角视角变小时，能看清的最小的方块字“E”的边长x变小，
故答案为：变小．
【分析】（1）先设与的函数解析式为，再把已知点的坐标代入解析式，即可求出系数k得到函数表达式；
（2）把代入已经求得的反比例函数解析式，即可计算求出对应的x值；
（3）先把代入关系式，整理后得到与x的函数关系式，再据此判断该函数类型即可。
（1）解：设与的函数表达式为，
将代入得，
解得：，
∴，
故答案为：；
（2）解：将代入可得：，
答：他能看清的最小的方块字“E”的边长是厘米；
（3）解：将代入可得：，
∴当视角视角变小时，能看清的最小的方块字“E”的边长x变小，
故答案为：变小．
25．解某些高次方程或具有一定结构特点方程时，我们可以通过整体换元的方法，把方程转化为一元二次方程进行求解，从而达到降次或变复杂为简单的目的．
例如：解方程（x2﹣3）2﹣5（3﹣x2）+2＝0，
如果设x2﹣3＝y，∵x2﹣3＝y，∴3﹣x2＝﹣y，用y表示x后代入（x2﹣3）2﹣5（3﹣x2）+2＝0得：y2+5y+2＝0．
应用：请用换元法解下列各题
（1）已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝8，则x2+y2的值；
（2）解方程：；
（3）已知a2+ab﹣b2＝0（ab≠0），求的值．
【答案】解：（1）令，则，原方程可化为即，，解得或
又∵
∴
所以，x2+y2的值为1
（2）令，则
原方程可化为
即，解得或
当时，即，
，即
解得
当时，，
判别式，方程无解
综上所述，的解为
（3）∵
∴，
两边同时除可得：
令，可化为，
解得，
∴或

【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）使用换元法，设，将原式整理后就能得到，接下来解这个一元二次方程就能得到结果；
（2）同样使用换元法，设，根据完全平方公式可以得到，把这个关系代入原方程，就能把原方程转化为，先解出t的值，再进一步回代求解原方程的解；
（3）已知条件给出，由此可以推出，且也不为0，给方程两边同时除以，整理后可以得到，再设，方程就可以化简为，解这个关于t的方程就能得到最终结果．
26．如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、．设点、运动的时间为．
（1）当t =_______时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t =_______时，四边形AQCP是菱形；
（3）是否存在某一时刻t使得PQ⊥PC，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由
【答案】（1）3
（2）
（3）解：不存在，理由如下：
，
，
，
若存在某一时刻，使得，则存在某一时刻使得，，
即方程有解，
方程整理得
，
故方程无解，
即不存在某一时刻，使得
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】
（1）解：如图， 过点作于点，
由矩形可知，，，，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，由运动可知，， 则，
当， 四边形是矩形，得到，，
解得，
即当时，四边形是矩形，
故答案为：；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
由题意可知，，
∴四边形是平行四边形，
∴当四边形是菱形，
，
，
解得，
即当时，四边形是菱形，
故答案为：；
【分析】
（1）若该四边形为矩形，满足，我们可以利用这个等量关系计算得到的取值；
（2）若该四边形为菱形，需要满足，通过列出对应方程就可以求解得到动点运动的时间；
（3）先借助勾股定理推导得到与的表达式，再列出方程，最后通过一元二次方程根的判别式判定该方程没有实数根，据此即可得到对应结论；
（1）解：如图， 过点作于点，
由矩形可知，，，，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，由运动可知，， 则，
当， 四边形是矩形，得到，，
解得，
即当时，四边形是矩形，
故答案为：；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
由题意可知，，
∴四边形是平行四边形，
∴当四边形是菱形，
，
，
解得，
即当时，四边形是菱形，
故答案为：；
（3）解：不存在，理由如下：
，
，
，
若存在某一时刻，使得，则存在某一时刻使得，，
即方程有解，
方程整理得
，
故方程无解，
即不存在某一时刻，使得．
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