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5.2.2　复合函数的导数
班级 姓名
学习目标
1、进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.
2、了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．
学习过程
学习指导 学习检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 知识点1　复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． 内、外层函数通常为基本初等函数． 知识点2　复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 【即时训练】(1)(多选题)下列函数是复合函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】是由对数函数和一次函数复合而成，故符合题意； 是由二次函数和反比例函数相加得到，故不符合题意； 是由指数函数和对数函数复合而成，故符合题意； 是由余弦函数和一次函数复合而成，故符合题意. (2)下列对函数的求导正确的是(　　) A．y＝(1－2x)3，则y′＝3(1－2x)2 B．y＝log2(2x＋1)，则y′＝ C．y＝cos ，则y′＝sin D．y＝22x-1，则y′＝22xln 2 D　[A中，y′＝－6(1－2x)2，∴A错误；B中，y′＝，∴B错误；C中，y′＝－sin ，∴C错误；D中，y′＝22x-1ln 2×(2x－1)′＝22xln 2.故D正确．] (3)下列结论中正确的是(　　) A．若y＝cos ，则y′＝－sin B．若y＝sin x2，则y′＝2x cos x2 C．若y＝cos 5x，则y′＝－sin 5x D．若y＝x sin 2x，则y′＝x sin 2x B　[对于A，y＝cos ，则y′＝sin ，故错误； 对于B，y＝sin x2，则y′＝2x cos x2，故正确； 对于C，y＝cos 5x，则y′＝－5sin 5x，故错误； 对于D，y＝x sin 2x，则y′＝sin 2x＋x cos 2x，故错误．故选ACD.]
求简单复合函数的导数 【例1】求下列函数的导数． (1)h(x)＝e5x-1；(2)f(x)＝ln (2x＋1)；(3)y＝；(4)y＝sin . [思路引导]　先分析每个复合函数的构成，再按照复合函数的求导法则进行求导． [解]　(1)h(x)＝e5x-1可以看成f(u)＝eu与u＝g(x)＝5x－1的复合函数，因此h′(x)＝f ′(u)g′(x)＝(eu)′(5x－1)′＝eu×5＝5e5x-1. (2)f(x)＝ln (2x＋1)可以看成h(u)＝ln u与u＝g(x)＝2x＋1的复合函数，因此h′(x)＝f ′(u)g′(x)＝(ln u)′(2x＋1)′＝×2＝. (3)y＝可以看成函数y＝与u＝2x－1的复合函数，因此y′x＝y′uu′x＝()′(2x－1)′＝×2＝＝. (4)y＝sin 可以看成函数y＝sin u与u＝2x＋的复合函数，因此y′x＝y′uu′x＝(sin u)′′＝2cos u＝2cos . 【变式1】求下列函数的导数： (1)y＝；(2)y＝cos(x2)；(3)；(4). 解　(1)令u＝1－3x，则y＝＝u－4， 所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3. 所以y′x＝y′u·u′x＝12u－5＝. (2)令u＝x2，则y＝cos u， 所以y′x＝y′u·u′x＝－sin u·2x＝－2xsin(x2). (3)因为，所以. (4). 反思感悟　(1)求复合函数的导数的步骤 (2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．
【例2】求下列函数的导数： (1)y＝；(2)y＝e－xsin 2x；(3)y＝ln －1；(4)y＝cos (－2x)＋32x+1. [解]　(1)∵y＝， ∴y′＝＝. (2)y′＝－e－xsin 2x＋2e－xcos 2x＝e－x(2cos 2x－sin 2x)． (3)∵y＝ln －1＝ln (2x＋1)－1， ∴y′＝×(2x＋1)′＝. (4)y′＝－2sin 2x＋(2x＋1)′32x+1ln 3＝－2sin 2x＋2·32x+1ln 3.
课后作业
基础训练题
1．设函数y＝－2exsin x，则y′等于(　　)
A．－2excos x B．－2exsin x
C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x)
1、答案　D
解析　y′＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x)．
2．设函数f(x)＝ln (2x)＋，则f ′(1)＝(　　)
A． B．1
C． D．1－
2、B　[f ′(x)＝，则f ′(1)＝1.故选B.]
3．已知函数f(x)＝e2x+1－3x，则f ′(0)＝(　　)
A．0 B．－2
C．2e－3 D．e－3
3、C　[∵f(x)＝e2x+1－3x，∴f ′(x)＝2e2x+1－3.∴f ′(0)＝2e－3.]
4．设f(x)＝ln(3x＋2)－3x2，则f′(0)等于(　　)
A．1 B. C．－1 D．－2
4、答案　B
解析　f′(x)＝－6x，故f′(0)＝－0＝.
5．若f(x)＝ex ln 2x，则f ′(x)＝(　　)
A．exln 2x＋ B．ex ln 2x－
C．ex ln 2x＋ D．
5、C　[f ′(x)＝ex ln 2x＋ex×＝ex ln 2x＋.]
6．设函数，则（ ）
A． B． C． D．
6、【答案】D
【解答过程】．
7．（23-24高二下·陕西渭南·期中）下列函数的求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7、【答案】BCD
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确.
8．下列求导不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8、【答案】C
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，是常数，导数为0，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确．
9．求下列函数的导数：
(1)y＝102x＋3；(2)y＝x2cos ；(3)y＝e－xln x；(4)y＝.
9、[解]　(1)令u＝2x＋3，则y＝10u，
∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln 10·(2x＋3)′＝2×102x＋3ln 10.
(2)因为y＝x2cos ，
所以y′＝2x cos ＋x2′＝2x cos －x2sin ′
＝2x cos －2x2sin .
(3)因为y＝e－xln x，
所以y′＝(e－x)′ln x＋e－x·＝－e－xln x＋＝.
(4)因为y＝＝，
所以y′＝－×(－2)＝.
10．求下列函数的导数：
(1)y＝ln(ex＋x2)；(2)y＝；(3)y＝sin 2xcos 3x；(4)y＝x3ecos x.
解　(1)令u＝ex＋x2，则y＝ln u.
∴y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′＝·(ex＋2x)＝.
(2)设y＝，u＝1－x2，则y′x＝()′(1－x2)′＝·(－2x)＝.
(3)∵y＝sin 2xcos 3x，∴y′＝(sin 2x)′cos 3x＋sin 2x(cos 3x)′＝2cos 2xcos 3x－3sin 2xsin 3x.
(4)y′＝(x3)′ecos x＋x3(ecos x)′＝3x2ecos x＋x3ecos x·(cos x)′＝3x2ecos x－x3ecosxsin x.
综合训练题
11．等比数列中，，函数的导函数为，则（ ）
A． B．4 C． D．0
11、【答案】A
【详解】因为等比数列中，，函数，
，
则．
12．(多选)下列曲线的切线中，不存在两条互相垂直的切线的曲线是(　　)
A．f(x)＝ex B．f(x)＝x3
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝sin x
12、ABC　[若存在互相垂直的切线，则其斜率之积为－1，或一条切线的斜率不存在，另一条切线的斜率为0.A中，f ′(x)＝ex>0，B中f ′(x)＝3x2≥0，C中f ′(x)＝(x>0)，故ABC中均不存在互相垂直的切线．而D中f ′(x)＝cos x，其可正可负，一定存在使cos x1·cos x2＝－1的情形．]
13．若曲线在点处的切线的斜率为2，则 ．
13、【答案】2
【详解】由题得，由，得．
三、能力提升题
14．已知函数与满足，，，.对于下列函数，求和.
(1)；
(2).
14、【答案】(1)；(2)
【解答过程】（1）因为，
所以.
因为，
所以.
（2）因为，所以.
因为，
所以.
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5.2.3　复合函数的导数
班级 姓名
学习目标
1、进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.
2、了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．
学习过程
学习指导 学习检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 知识点1　复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作 ． 内、外层函数通常为基本初等函数． 知识点2　复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 【即时训练】(1)(多选题)下列函数是复合函数的是(　　) A． B． C． D． (2)下列对函数的求导正确的是(　　) A．y＝(1－2x)3，则y′＝3(1－2x)2 B．y＝log2(2x＋1)，则y′＝ C．y＝cos ，则y′＝sin D．y＝22x-1，则y′＝22xln 2 (3)下列结论中正确的是(　　) A．若y＝cos ，则y′＝－sin B．若y＝sin x2，则y′＝2x cos x2 C．若y＝cos 5x，则y′＝－sin 5x D．若y＝x sin 2x，则y′＝x sin 2x
求简单复合函数的导数 【例1】求下列函数的导数． (1)h(x)＝e5x-1；(2)f(x)＝ln (2x＋1)；(3)y＝；(4)y＝sin . 【变式1】求下列函数的导数： (1)y＝； (2)y＝cos(x2)； (3)； (4). 小结　(1)求复合函数的导数的步骤 (2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．
复合函数求导 【例2】求下列函数的导数： (1)y＝； (2)y＝e－xsin 2x； (3)y＝ln －1； (4)y＝cos (－2x)＋32x+1.
课后作业
基础训练题
1．设函数y＝－2exsin x，则y′等于(　　)
A．－2excos x B．－2exsin x C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x)
2．设函数f(x)＝ln (2x)＋，则f ′(1)＝(　　)
A． B．1 C． D．1－
3．已知函数f(x)＝e2x+1－3x，则f ′(0)＝(　　)
A．0 B．－2 C．2e－3 D．e－3
4．设f(x)＝ln(3x＋2)－3x2，则f′(0)等于(　　)
A．1 B． C．－1 D．－2
5．若f(x)＝ex ln 2x，则f ′(x)＝(　　)
A．exln 2x＋ B．ex ln 2x－ C．ex ln 2x＋ D．
6．设函数，则(　　)
A． B． C． D．
7．(多选题)下列函数的求导运算正确的是(　　)
A． B．
C． D．
8．(多选题)下列求导正确的是(　　)
A． B．
C． D．
9．求下列函数的导数：
(1)y＝102x＋3； (2)y＝x2cos ； (3)y＝e－xln x； (4)y＝.
10．求下列函数的导数：
(1)y＝ln(ex＋x2)； (2)y＝； (3)y＝sin 2xcos 3x； (4)y＝x3ecos x.
综合训练题
11．等比数列中，，函数的导函数为，则(　　)
A． B．4 C． D．0
12．(多选题)下列曲线的切线中，不存在两条互相垂直的切线的曲线是(　　)
A．f(x)＝ex B．f(x)＝x3
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝sin x
13．若曲线在点处的切线的斜率为2，则 ．
三、能力提升题
14．已知函数与满足，，，.对于下列函数，求和.
(1)； (2).
5.2.3　复合函数的导数
参考答案
1、【答案】D
【解析】y′＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x)．
2、【答案】B　
【解析】f ′(x)＝，则f ′(1)＝1.故选B.
3、【答案】C　
【解析】∵f(x)＝e2x+1－3x，∴f ′(x)＝2e2x+1－3.∴f ′(0)＝2e－3.
4、【答案】B
【解析】f′(x)＝－6x，故f′(0)＝－0＝.
5、【答案】C　
【解析】f ′(x)＝ex ln 2x＋ex×＝ex ln 2x＋.
6、【答案】D
【解析】．
7、【答案】BCD
【解析】对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确.
8、【答案】ABD
【解析】对于A，，故A正确；
对于B，是常数，导数为0，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确．
9、【解】(1)令u＝2x＋3，则y＝10u，
∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln 10·(2x＋3)′＝2×102x＋3ln 10.
(2)因为y＝x2cos ，
所以y′＝2x cos ＋x2′＝2x cos －x2sin ′
＝2x cos －2x2sin .
(3)因为y＝e－xln x，
所以y′＝(e－x)′ln x＋e－x·＝－e－xln x＋＝.
(4)因为y＝＝，
所以y′＝－×(－2)＝.
10、【解】(1)令u＝ex＋x2，则y＝ln u.
∴y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′＝·(ex＋2x)＝.
(2)设y＝，u＝1－x2，
则y′x＝()′(1－x2)′＝·(－2x)＝.
(3)∵y＝sin 2xcos 3x，
∴y′＝(sin 2x)′cos 3x＋sin 2x(cos 3x)′＝2cos 2xcos 3x－3sin 2xsin 3x.
(4)y′＝(x3)′ecos x＋x3(ecos x)′＝3x2ecos x＋x3ecos x·(cos x)′＝3x2ecos x－x3ecosxsin x.
11、【答案】A
【解析】因为等比数列中，，函数，
，
则．
12、【答案】ABC　
【解析】若存在互相垂直的切线，则其斜率之积为－1，或一条切线的斜率不存在，另一条切线的斜率为0.A中，f ′(x)＝ex>0，B中f ′(x)＝3x2≥0，C中f ′(x)＝(x>0)，故ABC中均不存在互相垂直的切线．而D中f ′(x)＝cos x，其可正可负，一定存在使cos x1·cos x2＝－1的情形．]
13、【答案】2
【解析】由题得，
由，得．
14、【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因为，
所以.
因为，
所以.
（2）因为，
所以.
因为，
所以.
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