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5.3.1　函数的单调性（一）
班级 姓名
学习目标
1.理解解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性.
学习过程
学习指导 学习检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 知识点1　函数的单调性与其导数的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f ′(x)的正负f(x)的单调性f ′(x)＞0单调递 f ′(x)＜0单调递
知识点2　判断函数y＝f(x)的单调性的步骤 第1步，确定函数的 ； 第2步，求出导数f ′(x)的 ； 第3步，用f ′(x)的 将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的 ，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 知识点3　函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)
【即时训练】(1)(多选题)如图是函数y＝f(x)的导函数f ′(x)的图象，则下列判断正确的是(　　) A．在(－2,1)上，f(x)单调递增 B．在(1,2)上，f(x)单调递增 C．在(4,5)上，f(x)单调递增 D．在(－3，－2)上，f(x)单调递增 (2)函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为 . (3)函数f(x)＝ln x－4x＋1的单调递增区间为 .
导函数与原函数的关联图象 【例1】(1)已知函数f(x)的导函数f ′(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的图象最有可能的是(　　) A B C D (2)设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f ′(x)的图象可能为(　　) A B C D 【变式1】已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则的图象大致是（ ） A B C D
利用导数求函数的单调区间 【例2】求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1； (2)f(x)＝3x2－2ln x． 【变式2】求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝cos x＋x，x∈(0，π)； (2)f(x)＝(x－2)ex－x2＋x．
由单调性求参数的取值范围 【例3】(1)函数y＝x3＋x2＋mx＋2是R上的单调函数，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) (2)若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不单调，则实数k的取值范围是(　　) A．(－∞，－3]∪[－1,1]∪[3，＋∞) B．(－3，－1)∪(1,3) C．(－2,2) D．不存在这样的实数k 【变式3】(1)若函数在区间上单调，则实数的取值范围是 . (2)若函数在内存在单调递减区间，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． (3)若函数在上单调递增，则实数t的取值范围是( ) A． B． C． D．
课后作业
基础训练题
1．函数y＝x3－x2－x的单调递增区间为(　　)
A．和(1，＋∞) B． C．∪(1，＋∞) D．
2．设函数f(x)＝2x＋sin x，则(　　)
A．f(1)>f(2)　 B．f(1)3．函数的单调减区间为( )
A． B． C． D．和
4．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是（ ）

A B C D
5．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f ′(x)可能为(　　)
A B C D
6．若函数在上单调递增，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
7．若函数f(x)＝x3－2ax2－(a－2)x＋5恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为(　　)
A．－1≤a≤2 B．－2≤a≤1 C．a＞2或a＜－1 D．a＞1或a＜－2
8．已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
9．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的单调增区间是 ．
10．函数的单调递减区间是 ．
11．已知函数f(x)＝x3－12x，若f(x)在区间(2m，m＋1)上单调递减，则实数m的取值范围是________．
12．判断函数f(x)＝2x(ex－1)－x2的单调性．
13．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间．
综合训练题
14．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为( )
A． B．
C． D．
15．已知函数f(x)＝2x－ln |x|，则f(x)的大致图象为(　　)
A B 　 C D
16．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
三、能力提升题
17．已知函数 在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
18．若对任意的正实数，，当时，恒成立，则的取值范围( )
A． B． C． D．
5.3.1　函数的单调性（一）
参考答案
1、【答案】A　
【解析】由题意知，y′＝3x2－2x－1(x∈R)．由y′＞0可解得x＜－或x＞1.∴单调递增区间为和(1，＋∞)．故选A.
【答案】B　
【解析】由题可知f(x)＝2x＋sin x(x∈R)，所以f ′(x)＝2＋cos x，又因为x∈R时－1≤cos x≤1，所以f ′(x)＝2＋cos x>0，故f(x)是R上的增函数，故f(1)3、【答案】D
【解析】函数的定义域为，求导得，
由，即，解得或，所以函数的单调减区间为和.
4、【答案】C
【解析】由的图象知，当时，为增函数，当时，为减函数，当时，，为增函数.
5、【答案】D　
【解析】观察函数f(x)的图象得：f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上先递增，再递减，后又递增，则当x∈(－∞，0)时，f ′(x)＞0，即当x∈(－∞，0)时，函数y＝f ′(x)的图象在x轴上方，于是排除A，C，当x∈(0，＋∞)时，f ′(x)的值先大于0，接着变为f ′(x)的值小于0，之后又变为大于0，即当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f ′(x)的图象先在x轴上方，接着变化到x轴下方，最后又变到x轴上方，于是排除B，选项D相符．
6、【答案】C
【解析】由，得，
因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立，所以，即的取值范围为.
7、【答案】D
【解析】若函数f(x)有3个单调区间，则f′(x)＝4x2－4ax－(a－2)有2个零点，
故Δ＝16a2＋16(a－2)＞0，解得a＞1或a＜－2.
8、【答案】D
【解析】试题分析：，令，，由题意，解得，又，即，所以．故选D．
9、【答案】和；
【解析】设函数为，由图象可得，当，，
所以函数的单调区间是和.
10、【答案】
【解析】的定义域为，，
令得，故的单调递减区间为.
11、【答案】[－1,1)
【解析】令f′(x)≤0，即3x2－12≤0，解得－2≤x≤2.
∴f(x)的单调递减区间为[－2,2]，由题意得(2m，m＋1) [－2,2]，
∴解得－1≤m<1.
12、【解】函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝2(ex－1＋xex－x)＝2(ex－1)(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；
当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(－∞，－1)和(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．
13、【答案】(1);(2)单调递减区间为，单调递增区间为
【解析】（1）因为，所以，
则，，
所以切点为，切线的斜率，则切线方程为；
（2）函数的定义域为，又，
所以当时，当时，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
14．【答案】B
【解析】由图象可知在上单调递增，在上单调递减，
所以当或时，；当时，；
而等价于①，或②，
由①得或，则，由②得，则，综上，.
15、【答案】A
【解析】当x＜0时，f(x)＝2x－ln (－x)，f ′(x)＝2－·(－1)＝2－＞0，
所以f(x)在(－∞，0)单调递增，则B、D错误；
当x＞0时，f(x)＝2x－ln x，f ′(x)＝2－＝，
则f(x)在单调递减，单调递增，所以A正确，故选A.
16、【答案】A
【解析】函数在上单调递增，即在恒成立.
故，即在恒成立，因为在上单调递减，
所以在处取得的最大值0，所以.
17、【答案】C
【解析】由题意可知，
因为函数在上存在单调递减区间，
则在上有解，可得，所以．
令，则，
显然，可知函数单调递增，则，
即，所以实数的取值范围是．
18、【答案】A
【解析】，又，所以，所以，
由已知对任意的，，且时，，
设，则在上为减函数，
因为，所以在上恒成立，
所以在上恒成立，所以，所以的取值范围为．
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5.3.1　函数的单调性（一）
班级 姓名
学习目标
1.理解解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性.
学习过程
学习指导 学习检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 知识点1　函数的单调性与其导数的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f ′(x)的正负f(x)的单调性f ′(x)＞0单调递增f ′(x)＜0单调递减
知识点2　判断函数y＝f(x)的单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f ′(x)的零点； 第3步，用f ′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 知识点3　函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)
【即时训练】(1)(多选题)如图是函数y＝f(x)的导函数f ′(x)的图象，则下列判断正确的是(　　) A．在(－2,1)上，f(x)单调递增 B．在(1,2)上，f(x)单调递增 C．在(4,5)上，f(x)单调递增 D．在(－3，－2)上，f(x)单调递增 答案　BC 解析　由题图知当x∈(1,2)，x∈(4,5)时，f ′(x)>0，所以在(1,2)，(4,5)上，f(x)单调递增，当x∈(－3，－2)时，f ′(x)<0，所以在(－3，－2)上，f(x)单调递减． (2)函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，2) C．(－∞，0) D．(0,2) 答案　D 解析　f ′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f ′(x)<0，得00}，f ′(x)＝－4＝，当f′(x)>0时，解得0导函数与原函数的关联图象 【例1】(1)已知函数f(x)的导函数f ′(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的图象最有可能的是(　　) A B C D (2)设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f ′(x)的图象可能为(　　) A B C D (1)A　(2)C　[(1)x＜－2时，f ′(x)＜0，则f(x)单调递减；－2＜x＜0时，f ′(x)＞0，则f(x)单调递增；x>0时，f ′(x)<0，则f(x)单调递减． 则符合上述条件的只有选项A.故选A. (2)由f(x)的图象知：当x∈(－∞，1)时，f(x)单调递减，f ′(x)＜0； 当x∈(1，4)时，f(x)单调递增，f ′(x)＞0； 当x∈(4，＋∞)时，f(x)单调递减，f ′(x)＜0. 由选项各图知：选项C符合题意，故选C.] 【变式1】已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由的图象可知当时，则， 当时，则， 当时，则， 当时，则， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，故符合题意的只有C.
利用导数求函数的单调区间 【例2】求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1; (2)f(x)＝3x2－2ln x； 解　(1)f′(x)＝6x2＋6x－36＝6(x＋3)(x－2)． 令f′(x)＝0，解得x＝－3或x＝2， x＝－3和x＝2把函数的定义域划分为三个区间， f′(x)在各个区间上的正负，以及f(x)的单调性如表， x(－∞，－3)－3(－3,2)2(2，＋∞)f ′(x)＋0－0＋f(x)单调递增f(－3)单调递减f(2)单调递增
故f(x)的单调递增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)； 单调递减区间是(－3,2)． 易知函数的定义域为(0，＋∞)． (2)f′(x)＝6x－＝＝，令f′(x)＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)，用x1分割定义域，得下表： xf′(x)－0＋f(x)单调递减f 单调递增
∴函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为. 【变式2】求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝cos x＋x，x∈(0，π)； (2)f(x)＝(x－2)ex－x2＋x 解　(1)∵x∈(0，π)，且f ′(x)＝－sin x＋. ∴令f ′(x)>0，即－sin x＋>0，解得0二、由单调性求参数的取值范围 【例3】(1)函数y＝x3＋x2＋mx＋2是R上的单调函数，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) 答案　D 解析　函数y＝x3＋x2＋mx＋2是R上的单调函数，即y′＝x2＋2x＋m≥0或y′＝x2＋2x＋m≤0(舍)在R上恒成立，∴Δ＝4－4m≤0，解得m≥1. (2)若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不单调，则实数k的取值范围是(　　) A．(－∞，－3]∪[－1,1]∪[3，＋∞) B．(－3，－1)∪(1,3) C．(－2,2) D．不存在这样的实数k 答案　B 解析　由题意得，f′(x)＝3x2－12＝0在区间(k－1，k＋1)上至少有一个实数根． 又f′(x)＝3x2－12＝0的根为±2，且f′(x)在x＝2或－2两侧导数异号，而区间(k－1，k＋1)的区间长度为2， 故只有2或－2在区间(k－1，k＋1)内， ∴k－1<2课后作业
基础训练题
1．函数y＝x3－x2－x的单调递增区间为(　　)
A．和(1，＋∞)
B．
C．∪(1，＋∞)
D．
1、A　[由题意知，y′＝3x2－2x－1(x∈R)．由y′＞0可解得x＜－或x＞1.∴单调递增区间为和(1，＋∞)．故选A.]
2．设函数f(x)＝2x＋sin x，则(　　)
A．f(1)>f(2) 　B．f(1)C．f(1)＝f(2) D．以上都不正确
2、B　[由题可知f(x)＝2x＋sin x(x∈R)，所以f ′(x)＝2＋cos x，又因为x∈R时－1≤cos x≤1，所以f ′(x)＝2＋cos x>0，故f(x)是R上的增函数，故f(1)3．函数的单调减区间为（ ）
A． B． C． D．和
3、【答案】D
【详解】函数的定义域为，求导得，
由，即，解得或，
所以函数的单调减区间为和.
4．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是（ ）

A． B． C． D．
4、【答案】C
【详解】由的图象知，当时，为增函数，当时，为减函数，当时，，为增函数.
5．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f ′(x)可能为(　　)
A B C D
5、D　[观察函数f(x)的图象得：f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上先递增，再递减，后又递增，则当x∈(－∞，0)时，f ′(x)＞0，即当x∈(－∞，0)时，函数y＝f ′(x)的图象在x轴上方，于是排除A，C，当x∈(0，＋∞)时，f ′(x)的值先大于0，接着变为f ′(x)的值小于0，之后又变为大于0，即当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f ′(x)的图象先在x轴上方，接着变化到x轴下方，最后又变到x轴上方，于是排除B，选项D相符．]
6．若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6、【答案】C
【解答过程】由，得，
因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立，所以，即的取值范围为.
7．若函数f(x)＝x3－2ax2－(a－2)x＋5恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为(　　)
A．－1≤a≤2 B．－2≤a≤1
C．a＞2或a＜－1 D．a＞1或a＜－2
7、答案　D
解析　若函数f(x)有3个单调区间，则f′(x)＝4x2－4ax－(a－2)有2个零点，
故Δ＝16a2＋16(a－2)＞0，解得a＞1或a＜－2.
8．已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
8、【答案】D
【详解】试题分析：，令，，由题意，解得，又，即，所以．故选D．
9．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的单调增区间是 ．
9、【答案】和；
【详解】设函数为，由图象可得，当，，
所以函数的单调区间是和.
10．函数的单调递减区间是 ．
10、【答案】
【解答过程】的定义域为，，
令得，故的单调递减区间为.
11．已知函数f(x)＝x3－12x，若f(x)在区间(2m，m＋1)上单调递减，则实数m的取值范围是________．
11、答案　[－1,1)
解析　令f′(x)≤0，即3x2－12≤0，解得－2≤x≤2.
∴f(x)的单调递减区间为[－2,2]，由题意得(2m，m＋1) [－2,2]，
∴解得－1≤m<1.
12．判断函数f(x)＝2x(ex－1)－x2的单调性．
12、解　函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝2(ex－1＋xex－x)＝2(ex－1)(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；
当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(－∞，－1)和(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．
13．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间．
13、【答案】(1);(2)单调递减区间为，单调递增区间为
【解答过程】（1）因为，所以，
则，，
所以切点为，切线的斜率，则切线方程为；
（2）函数的定义域为，又，
所以当时，当时，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
综合训练题
14．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
14．【答案】B
【详解】由图象可知在上单调递增，在上单调递减，
所以当或时，；当时，；
而等价于①，或②，
由①得或，则，由②得，则，综上，.
15．已知函数f(x)＝2x－ln |x|，则f(x)的大致图象为(　　)
A B 　C D
15、A　[当x＜0时，f(x)＝2x－ln (－x)，f ′(x)＝2－·(－1)＝2－＞0，所以f(x)在(－∞，0)单调递增，则B、D错误；
当x＞0时，f(x)＝2x－ln x，f ′(x)＝2－＝，则f(x)在单调递减，单调递增，所以A正确，故选A.]
16．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16、【答案】A
【详解】函数在上单调递增，即在恒成立.
故，即在恒成立，因为在上单调递减，
所以在处取得的最大值0，所以.
三、能力提升题
17．已知函数 在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
17、【答案】C
【解答过程】由题意可知，
因为函数在上存在单调递减区间，
则在上有解，可得，所以．
令，则，
显然，可知函数单调递增，则，
即，所以实数的取值范围是．
18．若对任意的正实数，，当时，恒成立，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
18、【答案】A
【详解】，又，所以，
所以，
由已知对任意的，，且时，，
设，则在上为减函数，
因为，所以在上恒成立，
所以在上恒成立，所以，所以的取值范围为．
1.1.1 空间向量及其线性运算（二）
参考答案
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