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5.3.1　函数的单调性（二）
班级 姓名
学习目标
1.进一步理解函数的导数和其单调性的关系.
2.能求简单的含参的函数的单调区间以及根据函数的单调性求参数的取值范围．
学习过程
学习指导 学习检测及课堂展示
求含参数的函数的单调区间 【例1】已知，讨论的单调性； 【变式1】已知函数，求的单调区间.
求含参数的函数的单调区间 【例2】已知函数讨论函数的单调性； 【变式2】已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求的单调区间.
函数单调性的运用 【例3】设函数，则不等式的解集为（ ）． A． B． C． D． 【变式3】已知，（为自然对数的底数），，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D．
课后作业
基础训练题
1．(多选题)下列函数中，在上单调递增的是　　
A． B．
C． D．
2．(多选题)下列函数在定义域上为增函数的是( )
A． B．
C． D．
3．函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，－3)和(1，＋∞) D．(－3,1)
4．函数的单调递减区间为　　
A．， B．
C． D．
5．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为　　
A． B．
C． D．
6．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，2)，则b＝________，c＝________.
7．已知函数，若，则的范围是 ．
8．求函数的单调区间.
9．已知函数,讨论的单调性.
设函数.当时，讨论函数的单调性.
综合训练题
11．已知，，，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
12．已知函数．讨论的单调性；
三、能力提升题
13．已知函数，若，，，则的大小关系为　　
A． B． C． D．
14．若，为自然对数的底数，则下列结论正确的是　　
A． B．
C． D．
15．已知函数，则不等式的解集为___________.
5.3.1　函数的单调性（二）
参考答案
1、【答案】BC
【解析】对于A：，，所以不恒成立，故A错误；
对于B：在上恒成立，函数递增，故B正确；
对于C：，函数递增，故C正确；
对于D：，所以在单调递减，故D错误；
2、【答案】BC
【解析】对于A中，函数，可得 ，当时，，单调递增；
当时，，单调递减，所以A不符合题意,
对于B,函数（），可得，当时，,单调递增；故B符合，
对于C中，,则，故单调递增；故C符合，
对于D，函数，可得，当或时，，单调递增；
当时，，单调递减，所以D不符合题意．
3、【答案】D
【解析】y′＝－2xex＋(3－x2)ex＝(－x2－2x＋3)ex，令(－x2－2x＋3)ex>0，由于ex>0，则－x2－2x＋3>0，
解得－34、【答案】A
【解析】由，解得：，故函数的定义域是，
，令，解得：，故在，递减，
5、【答案】A
【解析】因为，所以，因为在区间上单调递减，
所以，即，则在上恒成立，因为在上单调递减，所以，故.
6、【答案】－　－6
【解析】f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知－17、【答案】
【解析】由函数，可得为奇函数，
又，所以为R上的单调递增函数，
故由可得，即，即的范围是.
8、【解】定义域,
令导数解得：（通过定义域大大化简解不等式的过程）
+ -
↗ ↘
函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
9、【解】的定义域为，，
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
10、【解】由题知，函数的定义域为，
所以求导得，若，
由得或，由得，
所以函数在，和上单调递增，在上单调递减，
若，恒有，当且仅当时取等号，因此函数在上单调递增，
若，由得或，
由得，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在，上单调递增，在上单调递减.
11、【答案】B
【解析】令，则，易得在上单调递增，
∴，即，∴.故选：B.
12、【解】函数的定义域为，
则，
①当时，令，解得，令，解得，
在上单调递减，在上单调递增，
②当时，令，解得，令，解得或，
在上单调递减，在和上单调递增，
③当时，恒成立，在上单调递增，
④当时，令，解得，令，解得或，
在上单调递减，在和上单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增；
13、【答案】D
【解析】由，所以函数为上的单调递减函数，
又因为，且，即，
所以，可得，
又由函数是上的奇函数，可得，
所以，即.
14、【答案】B
【解析】令，则，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
因为，所以，即，所以，错误，正确；
令，则，，
当时，，（1），故在上不单调，
故时，与大小关系不确定，，错误．
15、【答案】
【解析】因为，，
所以，所以是偶函数.
因为
当时，，所以在上单调递增.
又因为是偶函数，所以在上单调递减.
所以，即，
所以，即，解得或.
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5.3.1　函数的单调性（一）
班级 姓名
学习目标
1.进一步理解函数的导数和其单调性的关系.
2.能求简单的含参的函数的单调区间以及根据函数的单调性求参数的取值范围．
学习过程
学习指导 学习检测及课堂展示
求含参数的函数的单调区间 【例1】已知，讨论的单调性； 【答案】答案见解析 【详解】由函数，可得 ①当时，恒成立，所以在上单调递增； ②当时，令，解得， 可得当时，；当时，， 所以在时单调递减，在时单调递增 综上所述：当时，在上单调递增 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【变式1】已知函数，求的单调区间. 【答案】答案见解析 【详解】解：， 当时，，在上为增函数， 当时，由，解得：， 当时，，在上为减函数， 当时，，在上为增函数， 所以，当时，的单调递增区间为， 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是.
求含参数的函数的单调区间 【例2】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 【解析】（1）当时，，得， ，则， 所以切线方程为：，即. （2）由题其定义域为R，可得， 当时，，，在单调递减， ，，在单调递增， 当时，由，解得， ①当，即时，，则在上单调递增； ②当，即时，在区间上，； 在区间上，； 所以的单调增区间为；单调减区间为； ③当，即时， 在区间上，，在区间上，， 所以的单调增区间为；单调减区间为. 【变式2】已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求的单调区间. 【解答过程】（1）当时，，定义域为， ， 令，得，令，得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2），定义域为， ，令，得或. ①当时，当时，，单调递减， 当时，，单调递增； ②当时，当和时，，单调递增， 当时，，单调递减； ③当时，对恒成立，所以在单调递增； ④当时，当和时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述：当时，在单调递减，在单调递增； 当时，在单调递减，在和单调递增； 当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在和单调递增.
函数单调性的运用 【例3】设函数，则不等式的解集为（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为R，，则函数为奇函数，求导得，当且仅当时取等号， 因此函数为R上的增函数，， 于是，即，解得， 所以原不等式的解集为. 【变式3】已知，（为自然对数的底数），，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解答过程】令，则， 令解得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 因为，，， 而，所以，即.
课后作业
基础训练题
1．(多选题)下列函数中，在上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
1、【答案】BC
【详解】对于A：，，所以不恒成立，故A错误；
对于B：在上恒成立，函数递增，故B正确；
对于C：，函数递增，故C正确；
对于D：，所以在单调递减，故D错误；
2．(多选题)下列函数在定义域上为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2、【答案】BC
【解答过程】对于A中，函数，可得 ，当时，，单调递增；
当时，，单调递减，所以A不符合题意,
对于B,函数（），可得，当时，，单调递增；故B符合，
对于C中，,则，故单调递增；故C符合，
对于D，函数，可得，当或时，，单调递增；
当时，，单调递减，所以D不符合题意．
3．函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，－3)和(1，＋∞) D．(－3,1)
3、【答案】　D
【解析】　y′＝－2xex＋(3－x2)ex＝(－x2－2x＋3)ex，令(－x2－2x＋3)ex>0，由于ex>0，则－x2－2x＋3>0，解得－34．函数的单调递减区间为　　
A．， B． C． D．
4、故选：．
【解答】由，解得：，故函数的定义域是，
，令，解得：，
故在，递减，
5．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5、【答案】A
【解析】因为，所以，
因为在区间上单调递减，
所以，即，则在上恒成立，
因为在上单调递减，所以，故.
6．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，2)，则b＝________，c＝________.
6、【答案】　－　－6
【解析】　f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知－17．已知函数，若，则的范围是 ．
7、【答案】
【详解】由函数，可得为奇函数，
又，所以为R上的单调递增函数，
故由可得，
即，即的范围是.
8．求函数的单调区间
8、解：定义域
令导数解得：（通过定义域大大化简解不等式的过程）
+ -
↗ ↘
函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
9．已知函数.讨论的单调性；
9、【解析】的定义域为，，
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
10．设函数.当时，讨论函数的单调性；
10、【答案】见解析
【详解】由题知，函数的定义域为，
所以求导得，若，
由得或，由得，
所以函数在，和上单调递增，在上单调递减，
若，恒有，当且仅当时取等号，因此函数在上单调递增，
若，由得或，
由得，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在，上单调递增，在上单调递减.
综合训练题
11．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
11、【答案】B
【详解】令，则，易得在上单调递增，
∴，即，∴.故选：B.
12．已知函数．讨论的单调性；
12、【解析】函数的定义域为，
则，
①当时，令，解得，令，解得，
在上单调递减，在上单调递增，
②当时，令，解得，令，解得或，
在上单调递减，在和上单调递增，
③当时，恒成立，
在上单调递增，
④当时，令，解得，令，解得或，
在上单调递减，在和上单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增；
三、能力提升题
13．已知函数，若，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
13、【答案】D
【详解】由，所以函数为上的单调递减函数，
又因为，且，即，
所以，可得，
又由函数是上的奇函数，可得，
所以，即.
14．若，为自然对数的底数，则下列结论正确的是　　
A． B．
C． D．
14、【答案】B
【解答】令，则，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
因为，所以，即，
所以，错误，正确；
令，则，，
当时，，（1），
故在上不单调，
故时，与大小关系不确定，，错误．
15．已知函数，则不等式的解集为___________.
15、【答案】
【详解】因为，，
所以，所以是偶函数.
因为
当时，，所以在上单调递增.
又因为是偶函数，所以在上单调递减.
所以，即，
所以，即，解得或.
1.1.1 空间向量及其线性运算（二）
参考答案
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