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5.3.2　函数的极值与最大(小)值(二)
第2课时　函数的最大(小)值
班级 姓名
学习目标
1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.
2.会求某闭区间上函数的最值．
学习过程
学习指导 学习检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 知识点1　函数的最大(小)值的存在性 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值与最小值． 知识点2　求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的 ； (2)将函数y＝f(x)的 与 处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是 ，最小的一个是 ． 【即时训练】1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得． (　　) (2)开区间上的单调连续函数无最值． (　　) (3)在定义域内，若函数有最值与极值，则极大(小)值就是最大(小)值． (　　) 2．函数y＝3x－4x3在区间[0，2]上的最大值是(　　) A．1 B．2 C．0 D．－1
求不含参数的函数的最值 【例1】求下列各函数的最值． (1)f(x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2，2]； (2)f(x)＝sin 2x－x，x∈. 【变式1-1】已知函数，求在区间上的最大值和最小值． 【变式1-2】已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最值.
最值中的参数问题 【例2】若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围是 ． 【变式2】若函数在区间上既存在最大值，也存在最小值，则实数的取值范围是 .
课后作业
基础训练题
1．函数，的最小值为（ ）
A． B． C．9 D．16
2．函数在区间上的最大值是（ ）
A．0 B． C．1 D．
3．若函数在区间上的最小值为2e，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．函数在区间上的最小值是（ ）
A． B． C． D．0
5．若函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知是函数的导函数，若，且在上的最大值为5，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
7．函数f(x)＝x－ln x在区间(0，e]上的最小值为__________．
8．函数在区间上的值域为 ．
9．已知函数f(x)＝2x2－ln x，若f ′(x0)＝3，则x0＝________，若在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内存在最小值，则实数k的取值范围是________________．
10．已知函数在处取得极大值.
(1)求的解析式； (2)求在区间上的最值.
11．已知函数．
(1)求函数的单调区间；(2)求函数在上的值域．
12．已知函数.
(1)求在处的切线方程； (2)当，求的最值.
综合训练题
13．已知函数，若对，，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
14．若对于任意实数x≥0，函数f(x)＝ex＋ax恒大于零，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，e) B．(－∞，－e]
C．[e，＋∞) D．(－e，＋∞)
15．(多选题)下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是(　　)
A．f(x)>0的解集是{x|0B．f(－)是极小值，f()是极大值
C．f(x)没有最小值，也没有最大值
D．f(x)有最大值无最小值
三、能力提升题
16．已知函数的定义域为，其图象大致如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
17．设动直线与函数，的图象分别交于，，则的最小值为　　
A． B．1
C． D．
18．设函数，若对于任意的，都有成立，则实数a的值为 ．
5.3.2　函数的极值与最大(小)值(二)
参考答案
1、【答案】A【解析】由可得，，由解得，或，
因，当时，，单调递减；当时，，单调递增.
故时，.
2、【答案】D【解析】，定义域为，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，单调递减，所以在区间上的最大值为.
3、【答案】B【解析】，令，得，
时，，单调递减，时，，单调递增，
而，所以函数在区间上的最小值为2e，必有，即.
4、【答案】A【解析】由求导得，，
则当时，，单调递增；当时，，单调递减.
故当时，又
由，可得，故
5、【答案】C【解析】由，令，可得或，
由得：或，由得：，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，令，解得或，
若函数在内存在最小值，则，得．
6、【答案】D【解析】因为，所以，
所以，解得，所以，则，
所以当时，所以在上单调递增，所以，解得.
7、【答案】1【解析】f ′(x)＝1－，令f ′(x)＝0，得x＝1. 当x∈(0，1)时，f ′(x)＜0；当x∈(1，e]时，f ′(x)＞0，∴当x＝1时，f(x)有极小值，也是最小值，最小值为f(1)＝1.
8、【答案】【解析】题意可得，所以当时，单调递减，
当时，单调递增，且，
故在区间上的值域为．
9、【答案】1　【解析】∵函数f(x)＝2x2－ln x，x∈(0，＋∞)，∴f ′(x)＝4x－＝，
由f ′(x0)＝3，x0＞0，解得x0＝1.令f ′(x)＝0得x＝，当0＜x＜时，f ′(x)＜0，当x＞时，f ′(x)＞0，
∴当x＝时，f(x)取得极小值，也是最小值，
由题意可知：解得1≤k＜，∴实数k的取值范围是1≤k＜，即k∈.
10、【解析】（1），由题意可得，解得，则；
检验：当时，，
则当时，，当时，，
故在、上单调递减，在上单调递增，
故函数在处取得极大值，故成立；
故；
（2）由（1）知，当时，在、上单调递减，在上单调递增，
又，，，，
故在区间上的最大值为，最小值为.
11、【解析】（1）函数的定义域为R，，
由，得；由，得或，
故函数的递增区间为，递减区间为和．
（2）由（1）可得在上单调递减，在上单调递增，
在处取得极小值即最小值，，
又,函数在上的值域为．
12、【解析】（1）依题意，，则，
又，即切点坐标为，
故所求切线方程为：，即.
（2）由. 令，得.
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
故是的极小值，也是最小值.
又，
而，即.
故在区间上的最大值为，最小值为.
13、【答案】C【解析】(1)；(2)最大值为，最小值为.
由题意可知，，，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值，
因为对，，所以，解得.
14、【答案】D【解析】当x＝0时，a为任意实数，f(x)＝ex＋ax＞0恒成立．
当x＞0时，f(x)＝ex＋ax＞0恒成立，即当x＞0时，a＞－恒成立，
设g(x)＝－，x＞0，则g′(x)＝－＝.
当x∈(0，1)时，g′(x)＞0，则g(x)在(0，1)上单调递增，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＜0，则g(x)在(1，＋∞)上单调递减，
所以当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为－e.所以a＞－e.
则要使x≥0时，f(x)＝ex＋ax＞0恒成立，实数a的取值范围是(－e，＋∞)．
15、【答案】ABD【解析】由f(x)>0得0f′(x)＝(2－x2)ex，令f′(x)＝0，得x＝±，当x<－或x>时，f′(x)<0，当－0，
∴当x＝－时，f(x)取得极小值，当x＝时，f(x)取得极大值，故B正确．
当x→－∞时，f(x)→0，当x→＋∞时，f(x)→－∞，且f()>0，
结合函数的单调性可知，函数f(x)有最大值无最小值，故C不正确，D正确．
16、【答案】A【解析】设，可得，
由图象可知，函数先递增，再递减，最后递增，且当时，取得极小值，
所以函数既有极大值，也有极小值，所以有两个根，即，
所以，可得且，又由，可得，
由，可得，所以，所以.
17、【答案】B【解析】根据题意可得，，
所以 设，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以（1），所以的最小值为1．
18、【答案】4【解析】由题意得，，令，解得，．
①当时，，单调递增；②当时，，单调递减；
③当时，，单调递增．所以只需，且即可，
由，可得，由，可得，综上可得，．
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5.3.2　函数的极值与最大(小)值(二)
第2课时　函数的最大(小)值
班级 姓名
学习目标
1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.
2.会求某闭区间上函数的最值．
学习过程
学习指导 学习检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 知识点1　函数的最大(小)值的存在性 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值． 知识点2　求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【即时训练】1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得． (　　) (2)开区间上的单调连续函数无最值． (　　) (3)在定义域内，若函数有最值与极值，则极大(小)值就是最大(小)值． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)× [提示]　(1)函数在区间[a，b]上的最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得． (2)若单调函数有最值，则一定在区间端点处取得，但开区间上的单调连续函数在端点处无函数值，所以无最值，故正确． (3)因为y最大值≥y极值，y最小值≤y极值，故错误． 2．函数y＝3x－4x3在区间[0，2]上的最大值是(　　) A．1 B．2 C．0 D．－1 A　[设f(x)＝3x－4x3，∴f ′(x)＝－12x2＋3＝3(2x＋1)(1－2x)． ∵x∈[0，2]，∴当x＝时，f ′(x)＝0. 又f(0)＝0，f＝1，f(2)＝－26， ∴函数y＝3x－4x3在区间[0，2]上的最大值是1.]
求不含参数的函数的最值 【例1】求下列各函数的最值． (1)f(x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2，2]； (2)f(x)＝sin 2x－x，x∈. [思路引导]　求函数的导数，得到函数的极值点，先求出极值，再结合定义域，将所有极值与区间端点的函数值进行比较求得最大(小)值． [解]　(1)f ′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)， 令f ′(x)＝0得x＝－1或x＝1. 当x变化时，f ′(x)，f(x)变化情况如表： x－2(－2，－1)－1(－1，1)1(1，2)2f ′(x)＋0－0＋f(x)－1单调递增11单调递减－1单调 递增11
从表中可以看出，当x＝－2或x＝1时，函数f(x)取得最小值－1. 当x＝－1或x＝2时，函数f(x)取得最大值11. (2)f ′(x)＝2cos 2x－1，令f ′(x)＝0，得cos 2x＝，又∵x∈，∴2x∈[－π，π]. ∴2x＝±，∴x＝±. ∴函数f(x)在上的两个极值分别为 f＝，f＝－. 又f＝－，f＝. 比较以上函数值可得f(x)max＝，f(x)min＝－. 【变式1-1】已知函数，求在区间上的最大值和最小值． 【答案】最大值为，最小值为1 【详解】， 当时，随的变化情况如下表： 极大值
由上表可知函数在上单调递增，在上单调递减，且在时取得极大值， 所以在区间上的最大值， 而在区间上的最小值为中的较小者， 又，所以， 所以在区间上的最小值为. 【变式1-2】已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2)最大值为，最小值为 【解答过程】（1）函数的定义域为， 求导得， 令，得，解得， 令，得，解得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 又， ， ，易知， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为.
【例2】若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题可知：， 令，则；令，则或， 所以函数在单调递增，在单调递减. 极小值为，令，所以或， 又函数在区间内有最小值， 所以. 【变式2】若函数在区间上既存在最大值，也存在最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】 对函数求导，结合题意根据函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为函数在区间上既存在最大值，也存在最小值， 结合图像可知：. 故答案为：.
课后作业
基础训练题
1．函数，的最小值为（ ）
A． B． C．9 D．16
1、【答案】A
【详解】由可得，，由解得，或，
因，当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
故时，.
2．函数在区间上的最大值是（ ）
A．0 B． C．1 D．
2、【答案】D
【分析】求导得到的单调性，然后根据单调性求最大值即可.
【详解】，定义域为，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，单调递减，
所以在区间上的最大值为.
3．若函数在区间上的最小值为2e，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3、【答案】B
【详解】，令，得，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
而，所以函数在区间上的最小值为2e，
必有，即.
故选：B
4．函数在区间上的最小值是（ ）
A． B． C． D．0
4、【答案】A
【详解】由求导得，，
则当时，，单调递增；当时，，单调递减.
故当时，
又由，可得，
故
5．若函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5、【答案】C
【详解】由，令，可得或，
由得：或，由得：，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，
令，解得或，
若函数在内存在最小值，则，得．
6．已知是函数的导函数，若，且在上的最大值为5，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
6、【答案】D
【详解】因为，所以，
所以，解得，所以，则，
所以当时，所以在上单调递增，
所以，解得.
7．函数f(x)＝x－ln x在区间(0，e]上的最小值为_____．
7、1　[f ′(x)＝1－，令f ′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0，1)时，f ′(x)＜0；当x∈(1，e]时，f ′(x)＞0，∴当x＝1时，f(x)有极小值，也是最小值，最小值为f(1)＝1.]
8．函数在区间上的值域为 ．
8、【答案】
【详解】由题意可得，所以当时，单调递减，
当时，单调递增，且，
故在区间上的值域为．
9．已知函数f(x)＝2x2－ln x，若f ′(x0)＝3，则x0＝________，若在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内存在最小值，则实数k的取值范围是________________．
9、1　　[∵函数f(x)＝2x2－ln x，x∈(0，＋∞)，∴f ′(x)＝4x－＝，由f ′(x0)＝3，x0＞0，解得x0＝1.令f ′(x)＝0得x＝，
当0＜x＜时，f ′(x)＜0，当x＞时，f ′(x)＞0，
∴当x＝时，f(x)取得极小值，也是最小值，
由题意可知：解得1≤k＜，
∴实数k的取值范围是1≤k＜，即k∈.]
10．已知函数在处取得极大值.
(1)求的解析式；
(2)求在区间上的最值.
10、【答案】(1)；(2)最大值为，最小值为.
【详解】（1），由题意可得，解得，则；
检验：当时，，
则当时，，当时，，
故在、上单调递减，在上单调递增，
故函数在处取得极大值，故成立；
故；
（2）由（1）知，当时，
在、上单调递减，在上单调递增，
又，，
，，
故在区间上的最大值为，最小值为.
11．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在上的值域．
11、【答案】(1)递增区间为，递减区间为和；(2)
【详解】（1）函数的定义域为R，，
由，得；由，得或，
故函数的递增区间为，递减区间为和．
（2）由（1）可得在上单调递减，在上单调递增，
在处取得极小值即最小值，，
又,
函数在上的值域为．
12．已知函数.
(1)求在处的切线方程；
(2)当，求的最值.
12、【答案】(1)；(2)最大值为；最小值为.
【详解】（1）依题意，，则，
又，即切点坐标为，
故所求切线方程为：，即.
（2）由.
令，得.
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
故是的极小值，也是最小值.
又，
而，即.
故在区间上的最大值为，最小值为.
综合训练题
13．已知函数，若对，，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
13、【答案】C
【详解】由题意可知，，，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
因为对，，所以，解得.
故选：C
14．若对于任意实数x≥0，函数f(x)＝ex＋ax恒大于零，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，e) B．(－∞，－e]
C．[e，＋∞) D．(－e，＋∞)
14、D　[当x＝0时，a为任意实数，f(x)＝ex＋ax＞0恒成立．
当x＞0时，f(x)＝ex＋ax＞0恒成立，
即当x＞0时，a＞－恒成立，
设g(x)＝－，x＞0，则g′(x)＝－＝.
当x∈(0，1)时，g′(x)＞0，则g(x)在(0，1)上单调递增，
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＜0，则g(x)在(1，＋∞)上单调递减，
所以当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为－e.所以a＞－e.
则要使x≥0时，f(x)＝ex＋ax＞0恒成立，实数a的取值范围是(－e，＋∞)．故选D.]
15．(多选题)下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是(　　)
A．f(x)>0的解集是{x|0B．f(－)是极小值，f()是极大值
C．f(x)没有最小值，也没有最大值
D．f(x)有最大值无最小值
15、答案　ABD
解析　由f(x)>0得0f′(x)＝(2－x2)ex，
令f′(x)＝0，得x＝±，
当x<－或x>时，f′(x)<0，
当－0，
∴当x＝－时，f(x)取得极小值，
当x＝时，f(x)取得极大值，故B正确．
当x→－∞时，f(x)→0，
当x→＋∞时，f(x)→－∞，
且f()>0，
结合函数的单调性可知，函数f(x)有最大值无最小值，
故C不正确，D正确．
三、能力提升题
16．已知函数的定义域为，其图象大致如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
16、【答案】A
【详解】设，可得，
由图象可知，函数先递增，再递减，最后递增，且当时，取得极小值，
所以函数既有极大值，也有极小值，
所以有两个根，即，
所以，可得且，
又由，可得，
由，可得，
所以，所以.
故选：A.
17．设动直线与函数，的图象分别交于，，则的最小值为　　
A． B．1 C． D．
【分析】根据题意可得，，推出，设，对求导，判断单调性，求出，即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，，
所以
设
，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以（1），
所以的最小值为1．
故选：．
18．设函数，若对于任意的，都有成立，则实数a的值为 ．
【答案】4
【分析】由题意求导得函数的单调区间，进一步由，且列不等式组即可求解.
【详解】由题意得，，令，解得，．
①当时，，单调递增；
②当时，，单调递减；
③当时，，单调递增．
所以只需，且即可，
由，可得，
由，可得，
综上可得，．
故答案为：4.
1.1.1 空间向量及其线性运算（二）
参考答案
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