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含参函数的极值与最值
班级 姓名
学习目标
1、理解含参数函数的极值问题；
2、理解含参数函数的最值问题.
学习过程
学习指导 学习检测及课堂展示
含参数函数的极值问题 【例1】已知函数f(x)＝x3－(a＋1)x2＋4ax＋2(a为实数)，求函数f(x)的极值． [解]　∵f(x)＝x3－(a＋1)x2＋4ax＋2， ∴f ′(x)＝x2－2(a＋1)x＋4a＝(x－2)(x－2a)． 令f ′(x)＝0，解得x＝2或x＝2a. (1)当a＝1时，2a＝2，因此f ′(x)＝(x－2)2≥0，故f(x)在R上单调递增，函数不存在极值； (2)当a<1时，2a<2，当x变化时，f(x)，f ′(x)随x的变化情况如表： x(－∞，2a)2a(2a，2)2(2，＋∞)f ′(x)＋0－0＋f(x)单调 递增极大 值单调 递减极小 值单调 递增
由上表可知f(x)在(－∞，2a)和(2，＋∞)上单调递增，在(2a，2)上单调递减，因此函数在x＝2a处取得极大值f(2a)＝－a3＋4a2＋2.函数在x＝2处取得极小值f(2)＝4a＋. (3)当a>1时，2a>2，因此函数f(x)在(－∞，2)和(2a，＋∞)上单调递增，在(2，2a)上单调递减，函数在x＝2处取得极大值f(2)＝4a＋，函数在x＝2a处取得极小值f(2a)＝－a3＋4a2＋2. 综上，当a＝1时，函数不存在极值；当a<1时，函数的极大值为－a3＋4a2＋2，极小值为4a＋；当a>1时，函数的极大值为4a＋，极小值为－a3＋4a2＋2. 【变式1-1】(1)已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 【答案】C【解析】由题意， 令得， 函数有两个极值点，等价于有两个零点， 等价于函数与的图象有两个交点， 在同一个坐标系中作出它们的图象（如图） 当时，直线与的图象相切， 由图可知，当时，与的图象有两个交点． 则实数的取值范围是． 【变式1-2】若函数既有极大值也有极小值，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，定义域为， 所以， 因为函数既有极大值也有极小值， 所以方程有两个不相等的正根，设两根为， 则有，解得，所以的取值范围为.
含参数函数的最值问题 【例2】已知函数f(x)＝－ln x(a∈R)． (1)讨论f(x)的单调区间； (2)求f(x)在上的最大值g(a)． [解]　(1)f(x)的定义域是(0，＋∞)． ∵f(x)＝－ln x， ∴f ′(x)＝. ①当a>0时，令f ′(x)>0，解得0a， 故f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减． ②当a≤0时，f ′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 综上，当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减； 当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减． (2)由(1)知当a≤时，f(x)在上单调递减， g(a)＝f(x)max＝f＝2－ae， 当含参数函数的极值与最值综合问题 【例3】已知函数． (1)求函数的极值点； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数a的值． 【答案】(1)为极小值点，无极大值点；(2) 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 所以当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以为的极小值点，无极大值点. （2）当，即时，在上单调递增， 所以在处取得最小值，，不符合题意； 当，即，此时在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得； 当，即，此时在上单调递减， 所以，不符合题意； 综上可得.
课后作业
基础训练题
1．若函数在处取得极值，则在内的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
1、【答案】A
【解答过程】由，则，
因为在处取得极值，所以，解得，
故，
当或时，，当时，，
即在和上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极大值，符合题意，故符合题意，
所以在上单调递增，在上单调递减，又，，
，故在上的最小值为2.
2．（2022年高考全国甲卷数学（理））当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
2、【答案】B
【解析】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
3．已知函数在区间上的最小值为，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
3、【答案】D
【详解】因为，所以，
当时，则，所以在单调递增，
此时函数最小值为，解得，不符合题意，舍去；
当时，令，得；令，得；
所以在上单调递减，在单调递减增，
①当时，在区间上单调递增，
所以最小值为，不符合题意舍去；
②当时，在上先减后增，
所以最小值为，解得；
③当时，在上单调递减，
所以最小值为，解得，不符合题意，舍去，
综上所述.
4．若函数存在两个极值点，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
4、【解析】，，
若存在2个极值点，则方程有2个根，
则函数和的图象有2个交点，
画出函数和的图象，如图示：
若，显然1个交点，不合题意，
若，设直线和相切时切点是，，
则，
则，解得：，
故切点是，
故，解得：，
故选：．
5．函数的最小值为 ．
5、【答案】
【解析】∵函数，
∴，令，得，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
∴在处取极小值，也是最小值，
∴函数最小值为.
6．已知函数.
(1)当时，求的单调区间与极值；
(2)求在上的最小值.
6、【解析】（1）当时，，，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数有极小值，无极大值.
综上：的减区间是，增区间是，极小值为0，无极大值.
（2），
当时，，所以在上单调递增，所以；
当时，令，得，
（ⅰ）当时，则，所以在上单调递增，所以；
（ⅱ）当时，则，所以在上单调递减，在上单调递增，
则；
综上：当时，在上的最小值为；
当时，在上的最小值为.
7．已知函数.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)讨论在区间上的最小值.
7、【解析】（1）当时，，则，所以，
则在处的切线方程为，即，
所以当时，函数在处的切线方程为．
（2）函数，则，
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减；
当时，函数在上单调递减，故函数的最小值；
当时，函数在上单调递增，故函数的最小值；
当时，函数的最小值．
综上可得.
综合训练题
8．已知函数在区间上的最小值为，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
8、【答案】D
【详解】因为，所以，
当时，则，所以在单调递增，
此时函数最小值为，解得，不符合题意，舍去；
当时，令，得；令，得；
所以在上单调递减，在单调递减增，
①当时，在区间上单调递增，
所以最小值为，不符合题意舍去；
②当时，在上先减后增，
所以最小值为，解得；
③当时，在上单调递减，
所以最小值为，解得，不符合题意，舍去，
综上所述.
9．已知函数，其中，若是的极小值点，则实数a的取值范围为 ．
9、【答案】
【解析】因为函数的定义域为，
求导得，
令，可得或，
因为是的极小值点，又，所以，从而．
所以实数的取值范围为.
10．已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．
10、解：(1)f′(x)＝－a(x>0)，
①当a≤0时，f′(x)＝－a>0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
②当a>0时，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝，
当00；当x>时，f′(x)＝<0，
故函数f(x)的单调递增区间为，
单调递减区间为.
综上可知，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)①当≤1，即a≥1时，函数f(x)在[1,2]上是减函数，
所以f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2a.
②当≥2，即0所以f(x)的最小值是f(1)＝－a.
③当1<<2，即又f(2)－f(1)＝ln 2－a，
所以当当ln 2≤a<1时，最小值为f(2)＝ln 2－2a.
综上可知，当0当a≥ln 2时，函数f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2a.
三、能力提升题
11．(2023·新高考Ⅱ卷)若函数f(x)＝a ln x＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　　)
A．bc>0 B．ab>0
C．b2＋8ac>0 D．ac<0
11、BCD　[函数f(x)＝a ln x＋的定义域为(0，＋∞)，求导得f ′(x)＝＝，
因为函数f(x)既有极大值也有极小值，则函数f ′(x)在(0，＋∞)上有两个变号零点，而a≠0，因此方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正根x1，x2，
于是即有b2＋8ac>0，ab>0，ac<0，显然a2bc<0，即bc<0，A错误，BCD正确．故选BCD.]
12．（多选题）（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数，则（ ）
A．是的极小值点 B．当时，
C．当时， D．当时，
12、【答案】ACD
【解析】对A，因为函数的定义域为R，而，
易知当时，，当或时，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确；
对B，当时，，所以，
而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误；
对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，
所以，即，正确；
对D，当时，，
所以，正确；
故选：ACD.
13．已知，若函数有最小值，则实数的最大值为 .
13、【答案】/
【解析】当时，，，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，且，
当时，，
若，在上单调递增，此时没有最小值，
若，在上单调递减，
要想函数有最小值，则，解得，
故实数的最大值为.
含参函数的极值与最值
参考答案
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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含参函数的极值与最值
班级 姓名
学习目标
1、理解含参数函数的极值问题；2、理解含参数函数的最值问题.
学习过程
学习指导 学习检测及课堂展示
含参数函数的极值问题 【例1】已知函数f(x)＝x3－(a＋1)x2＋4ax＋2(a为实数)，求函数f(x)的极值． 【变式1-1】(1)已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 【变式1-2】若函数既有极大值也有极小值，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．
含参数函数的最值问题 【例2】已知函数f(x)＝－ln x(a∈R)． (1)讨论f(x)的单调区间；(2)求f(x)在上的最大值g(a)． 【变式2】已知函数的定义域为，求在上的最值.
含参数函数的极值与最值综合问题 【例3】已知函数． (1)求函数的极值点；(2)若函数在区间上的最小值为，求实数a的值．
课后作业
基础训练题
1．若函数在处取得极值，则在内的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．（2022年高考全国甲卷数学（理））当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
3．已知函数在区间上的最小值为，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
4．若函数存在两个极值点，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
5．函数的最小值为 ．
6．已知函数.
(1)当时，求的单调区间与极值； (2)求在上的最小值.
7．已知函数.
(1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论在区间上的最小值.
综合训练题
8．已知函数在区间上的最小值为，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
9．已知函数，其中，若是的极小值点，则实数a的取值范围为 ．
10．已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间； (2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．
三、能力提升题
11．（多选题）(2023·新高考Ⅱ卷)若函数f(x)＝a ln x＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　　)
A．bc>0 B．ab>0
C．b2＋8ac>0 D．ac<0
12．（多选题）（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数，则（ ）
A．是的极小值点 B．当时，
C．当时， D．当时，
13．已知，若函数有最小值，则实数的最大值为 .
含参函数的极值与最值
参考答案
1、【答案】A
【解析】由，则，
因为在处取得极值，所以，解得，
故，
当或时，，当时，，
即在和上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极大值，符合题意，故符合题意，
所以在上单调递增，在上单调递减，又，，
，故在上的最小值为2.
2、【答案】B
【解析】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
3、【答案】D
【解析】因为，所以，
当时，则，所以在单调递增，
此时函数最小值为，解得，不符合题意，舍去；
当时，令，得；令，得；
所以在上单调递减，在单调递减增，
①当时，在区间上单调递增，
所以最小值为，不符合题意舍去；
②当时，在上先减后增，
所以最小值为，解得；
③当时，在上单调递减，
所以最小值为，解得，不符合题意，舍去，
综上所述.
4、【答案】
【解析】，，
若存在2个极值点，则方程有2个根，
则函数和的图象有2个交点，
画出函数和的图象，如图示：
若，显然1个交点，不合题意，
若，设直线和相切时切点是，，
则，
则，解得：，
故切点是，
故，解得：，
5、【答案】
【解析】∵函数，
∴，令，得，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
∴在处取极小值，也是最小值，
∴函数最小值为.
6、【解析】（1）当时，，，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数有极小值，无极大值.
综上：的减区间是，增区间是，极小值为0，无极大值.
（2），
当时，，所以在上单调递增，所以；
当时，令，得，
（ⅰ）当时，则，所以在上单调递增，所以；
（ⅱ）当时，则，所以在上单调递减，在上单调递增，
则；
综上：当时，在上的最小值为；
当时，在上的最小值为.
7、【解析】（1）当时，，则，所以，
则在处的切线方程为，即，
所以当时，函数在处的切线方程为．
（2）函数，则，
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减；
当时，函数在上单调递减，故函数的最小值；
当时，函数在上单调递增，故函数的最小值；
当时，函数的最小值．
综上可得.
8、【答案】D
【详解】因为，所以，
当时，则，所以在单调递增，
此时函数最小值为，解得，不符合题意，舍去；
当时，令，得；令，得；
所以在上单调递减，在单调递减增，
①当时，在区间上单调递增，
所以最小值为，不符合题意舍去；
②当时，在上先减后增，
所以最小值为，解得；
③当时，在上单调递减，
所以最小值为，解得，不符合题意，舍去，
综上所述.
9、【答案】
【解析】因为函数的定义域为，
求导得，
令，可得或，
因为是的极小值点，又，所以，从而．
所以实数的取值范围为.
10、解：(1)f′(x)＝－a(x>0)，
①当a≤0时，f′(x)＝－a>0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
②当a>0时，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝，
当00；当x>时，f′(x)＝<0，
故函数f(x)的单调递增区间为，
单调递减区间为.
综上可知，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)①当≤1，即a≥1时，函数f(x)在[1,2]上是减函数，
所以f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2a.
②当≥2，即0所以f(x)的最小值是f(1)＝－a.
③当1<<2，即又f(2)－f(1)＝ln 2－a，
所以当当ln 2≤a<1时，最小值为f(2)＝ln 2－2a.
综上可知，当0当a≥ln 2时，函数f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2a.
11、【答案】BCD　
【解析】函数f(x)＝a ln x＋的定义域为(0，＋∞)，求导得f ′(x)＝＝，
因为函数f(x)既有极大值也有极小值，则函数f ′(x)在(0，＋∞)上有两个变号零点，而a≠0，
因此方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正根x1，x2，
于是即有b2＋8ac>0，ab>0，ac<0，
显然a2bc<0，即bc<0，A错误，BCD正确．故选BCD.
12、【答案】ACD
【解析】对A，因为函数的定义域为R，而，
易知当时，，当或时，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确；
对B，当时，，所以，
而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误；
对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，
所以，即，正确；
对D，当时，，
所以，正确；
故选：ACD.
13、【答案】/
【解析】当时，，，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，且，
当时，，
若，在上单调递增，此时没有最小值，
若，在上单调递减，
要想函数有最小值，则，解得，
故实数的最大值为.
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