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第五章 二次函数
一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)
1.下列y关于x的函数中，是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．y=(x+2)2-x2
2.如果将某一抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得新抛物线的表达式是那么原抛物线的表达式是(　 　)
A． B．
C． D．
3.二次函数()满足以下三个条件：①ac>0；②；③,则它的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
4.已知二次函数中x和y的部分对应值如下表所示.
x … -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 …
y … 0.89 0.56 0.25 -0.04 -0.31 …
则方程的较大的根的取值范围是（ ）
A．-0.5C．2. D．2.55.已知二次函数(x是自变量)的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．1a<
6.抛物线 的对称轴为直线x＝1.若关于x的一元二次方程 （t为实数）在-1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（　　）
A．-7＜t≤2 B．t≤2 C．-2＜t＜2 D．-7＜t≤-2
7.如图，将Rt△EFG与正方形ABCD按如图所示的方式摆放，边FG在直线BC上，∠EGF=.若Rt以2cm/s的速度沿着射线BC方向运动,初始时点G与点B重合,当点F与点C重合时停止运动.在运动过程中,Rt与正方形重叠部分面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ）
A. B. C. D.
8.已知抛物线的对称轴为直线x=-2.当时,y的最小值为,则a的值为（ ）
A．-6或 B． C．6 D．
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
9.若二次函数自变量时，函数值有最大值，则这样的二次函数关系式可以是　 　．
10.如图,抛物线与x轴只有一个公共点A(1,0),与y轴交于点B(0,2),虚线为其对称轴,若将抛物线向下平移2个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为_______.
11.某款旅游纪念品很受游客喜爱,每个纪念品的进价为40元,规定每个纪念品的售价不低于44元,且不高于52元.某商户在销售期间发现,当每个纪念品的售价定为44元时,每天可售出300个,每个纪念品的售价每上涨2元,每天销量减少20个.将每个纪念品的售价定为__________元时,商户每天销售纪念品获得的利润最大.
12.如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是　 　
13.如图,点在抛物线上,点在轴上.若
,都为等腰直角三角形(点与坐标原点重合),则
的腰长为____________.
14.在平面直角坐标系中,已知点,直线经过点,抛物线恰好经过三点中的两点,则____________.平移抛物线,若平移后所得抛物线的顶点在直线上,则平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值是____________.
三、解答题(本大题共5小题,共44分)
15.如图,已知二次函数的图象与x轴分别交于点A和点B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C．
(1)求AB的长；
(2)求的面积.
16.已知二次函数
(1)若图象过点，求抛物线的顶点坐标.
(2)若图象与坐标轴有两个交点,求a的值.若函数图象上有两个不同的点,,且,求的取值范围.
17.如图,在三角形ABC中,BC=12,AD是BC边上的高,AD=8,P,N分别是AB,AC上的点,Q,M是BC上的点,连接PQ,MN,PN,PN交AD于点E.
(1)如图(1),若四边形PQMN是正方形,求PQ的长；
(2)如图(2)，若四边形PQMN是矩形，且，求的长；
（3)若四边形PQMN是矩形,当矩形PQMN面积最大时,求其面积和此时PQ,PN的长.
请根据以下素材,完成探究任务.
飞行汽车
背景 飞行汽车是一种结合了传统汽车和飞行器功能的交通工具,旨在实现地面行驶与空中飞行的双重模式.它被视为未来城市交通的重要解决方案之一,尤其在缓解交通拥堵和拓展三维交通空间方面具有潜力
建模 某数学小组运用信息技术模拟飞行汽车的飞行过程.如图,以飞行汽车的地面起飞点为原点,地平线为轴,垂直于地面的直线为轴,建立平面直角坐标系.它在起飞后的初始飞行路径呈现抛物线形状,当飞行汽车到达抛物线最高点后下降到点,此时点距离地面0.4千米,保持这个高度以100千米/时的速度水平飞行一定距离后到达点,切换到直线下降飞行模式降落至地面点得到抛物线,直线和直线
任务 (1)若仪表监测到水平飞行时间为0.08小时,此时点距离起飞点的水平距离为10千米,求和的值
(2)若飞行汽车在最高点时,距离起飞点的水平距离为0.49千米.水平飞行了小时到达点后降落,求的取值范围
19.在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C(0,2)，与x轴交于A,B两点(A在B的左边)，对称轴是直线，连接AC,BC．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)如图,若点M为直线AC上方的抛物线上任意一点,过点M作y轴的平行线,交AC于点N,过点M作x轴的平行线,交直线AC于点Q,求的最大值；
(3)若点E是抛物线上一点,点D在x轴上,若以点A,D,C,E为顶点的四边形是平行四边形,求点E的坐标.
参考答案
1.A
【解析】是二次函数，故A选项符合题意；中x的最高次数是1，不是二
次函数，故B选项不符合题意；中x的次数为-2，不是二次函数，故C选项不符合题
意；的最高次数是1，不是二次函数，故D选项不符合题意故选
A
2.C
【解析】∵一条抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线的表达式为y=2(x-2)2+1，
∴抛物线的表达式为y=2(x-2)2+1，左移1个单位，下移2个单位得原函数解析式y=2(x-1)2-1.故答案为C.
3.C
【解析】由ac>0可知a,c同号，故排除D选项由，即可知，抛物线与x轴有两个不同的交点，故排除A选项由可知，当x=-1时，y<0，故排除B选项故满足条件的图象可能是C选项故选C.
4.C
【解析】由题意可知,二次函数的图象的对称轴为直线,由题表数据可得,当x=-0.5时,y=0.25>0,当x=-0.4时,y=-0.04<0,的较小的根的取值范围为-0.55.A
【解析】∵二次函数的图象经过第一、二、四象限，
∴解得的取值范围为.故选A.
6.A
【解析】∵ 抛物线 的对称轴为直线x＝1
∴, 解之：b=2.
∴y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2,∴抛物线的开口向下，顶点坐标为：（1，2）
∴当x=1时y有最大值为2，∴当x=-1时y=-2，x=4时y=-7, ∴当-1＜x＜4时-7＜y≤2
∵当y=t时，-x2+2x+1=t, ∴-x2+2x+1-t=0
∵ 关于x的一元二次方程 （t为实数）在-1＜x＜4的范围内有实数根 ， ∴t的取值范围为： -7＜t≤2 .
故答案为A.
7.A
【解析】当点与点重合时,,当点与点重合时,,当点与点
重合时,.分情况讨论:①当时,如图(1),设与交于点,则重叠
部分为梯形.由题意得,Rt是等腰直角三角形,.
.此
时函数图象为开口向下的抛物线的一部分.②当时,如图(2),重叠部分为
,,为定值,此时函数图象为直线的一部分.③当
时,如图(3),设与交于点,则重叠部分为,此时
,此时函数图象为开口向上的抛物线的一部分.综
上,符合题意的只有选项A.故选A.
8.A
【解析】∵抛物线的对称轴为直线
∵抛物线的开口向上，当时，y的最小值为若
，即，此时当x=-2时，y有最小值，则，
解得，不符合题意，舍去；若，即a<-5，此时当时，y有
最小值，则，解得a=-6，符合题意；若a>-2，此时当x=a
时，y有最小值，则，解得，符合题意综上，a的值为-6或故选
A.
9．y= (x 2)2 1
【解析】∵二次函数自变量x=2时，函数值y有最大值 1，
∴顶点坐标为(2， 1)，
∴二次函数关系式可以是y= (x 2)2 1.故答案为y= (x 2)2 1(答案不唯一)．
10.2
【解析】如图,过抛物线的顶点D作轴,与y轴交于点C.根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积,
11.52
【解析】设商户每天销售纪念品获得的利润为元，每个纪念品的售价为元，则当时，有最大值.故答案为52.
12.
【解析】∵抛物线与直线交于两点，
由图象可知，不等式的解集是；
故答案为：．
13.
【解析】如图，作轴，轴，垂足分别为C,E，作轴，轴，
垂足分别为D,F.∵都是等腰直角三角形，∴设，则a=b，将其代入表达式，得，解得a=0（不
符合题意，舍去）或a=1，∴.由勾股定理得.过作于N.设点
，可得，易得.又∵点在抛物线上，∴，∴
，解得或（不合题意，舍去），∴.同理可得
的腰长为.
14.1
【解析】∵直线经过点,,解得,∴直线的表达式为.
把代入得,把代入得,∴点和点都在直线
上.把代入得,∴点在抛物线上.∵抛
物线恰好经过三点中的两点,且点和点的横坐标相同,∴点在
抛物线上,∴点为直线和抛物线的两个
交点.∵直线与抛物线不可能有三个交点,点在直线上,∴点不在抛物线
上,∴抛物线只能经过两点.把代入
,得解得∴,∴抛物线的表达式为
.设平移后的抛物线的表达式为,其顶点坐标为.∵平移后所得
抛物线的顶点在直线上,∴,∴.∵抛物线
与轴交点的纵坐标为,,∴当时,平移后所得抛物线与
轴交点纵坐标取得最大值,最大值为.故答案为.
15.【解】(1)对于，当y=0时，，解得x=-1或x=3，∴，
，∴.
(2)对于，当x=0时，y=3，∴点3),
16.【解】(1)把点(3,3)代入，解得a=1,∴二次函数表达式是
，∴抛物线的顶点坐标为(1,-1).
当二次函数图象与坐标轴有两个交点时,抛物线顶点在x轴上或者抛物线经过原点.
①抛物线顶点在x轴上，即抛物线与x轴有唯一交点，∴对于方程，解得.②抛物线经过原点,即1-a=0,解得a=1.当a=1时,对于方程,满足题意.
综上所述，a的值为或或1.
(3)∵点是函数图象上的两个点，∴
∵点A,B是函数图象上两个不同的点，∴
17.【解】(1)设正方形PQMN的边长为x.∵四边形PQMN为正方形,∴PN//BC,∴易得
△APN △ABC,∴,即,解得x=4.8,∴正方形PQMN的边长是4.8,∴PQ=4.8.
设PQ=y，则PN=2y由四边形PQMN是矩形易得，即，解得
(3)∵四边形PQMN是矩形,∴PN//BC,∠PQM=∠QPN=90°,∴易得△APN∽△ABC.∵AD是BC边上的高,∴∠ADB=90°,∴四边形PQDE是矩形,∴PQ=DE.∵△APN∽△ABC,∴.设AE=x(018.【解】(1)（千米）..
把代入得，解得a=-0.9把代入得，解得b=4.4
(2)由题意可得抛物线对称轴为直线x=0.49，
∴抛物线表达式为.
在中，当y=0.4时，，解得x=0.7或x=0.28，
将代入直线，得
∴3.88≤b≤4.68.
19.【解】(1)∵抛物线与y轴交于点，对称轴是直线，
∴该抛物线的表达式为.
在中，令y=0，则，解得，
设直线AC的表达式为.将A(-4,
0),代入直线表达式可得解得∴直线AC的表达式为
设，则
当m=-2时,的值最大,最大值为6.
(3)由题意可设
∵平面内以点A,D,C,E为顶点的四边形是平行四边形,,,
∴当AC为对角线时，由平行四边形的性质可得解得或（舍去），此时点E的坐标为.
当AC为边,四边形ADEC为平行四边形时,由平行四边形的性质可得解得或（舍去），此时点E的坐标为.
当AC为边,四边形AEDC为平行四边形时,由平行四边形的性质可得解得或此时点的坐标为
或.
综上所述，点的坐标为或或.

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