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章末检测（一）　预备知识
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设命题p： n∈N，n2＞2n，则p的否定为（　　）
A. n∈N，n2＞2n B. n∈N，n2≤2n
C. n∈N，n2≤2n D. n∈N，n2＝2n
2.已知集合M＝{1，2，3，4}，N＝{－2，2}，下列结论成立的是（　　）
A.N M B.M∪N＝M
C.M∩N＝N D.M∩N＝{2}
3.如果a＞b，那么下列不等式一定成立的是（　　）
A.－2a＞－2b B.c－a＞c－b
C.a＋c＞b＋c D.a2＞b2
4.设a∈R，则“a＞”是“a2＞2”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知命题p： x∈R，ax2＋2x＋1＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（　　）
A.{a｜a≥1} B.{a｜a＜1}
C.{a｜a＞1} D.{a｜a≤1}
6.如图所示，若A＝{x｜0≤x≤2}，B＝{x｜x＞0}，则阴影部分表示的集合为（　　）
A.{x｜0＜x＜2} B.{x｜1＜x≤2}
C.{x｜0≤x≤1或x≥2} D.{x｜x＝0或x＞2}
7.一个容积为1 000 mL的容器里盛满浓度为80％的酒精.第一次倒出若干毫升后，用水加满；第二次又倒出同样毫升数的溶液，再用水加满.要使这时容器内的酒精的浓度不大于20％.则每次至少倒出溶液（　　）
A.200 mL B.500 mL
C.1 000 mL D.1 500 mL
8.若实数x，y满足xy＋6x＝4，则＋的最小值为（　　）
A.4　　　 　B.8 C.16　　 　　D.32
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.设a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式成立的是（　　）
A.c－a＜c－b B.ac2≥bc2
C.＜ D.＜1
10.若函数y＝x2－4x－4在区间[0，a）上既有最大值又有最小值，则正整数a的值可能是（　　）
A.2 B.3
C.4 D.5
11.已知1≤a－b≤3，3≤a＋b≤7，则5a＋b的取值范围为（　　）
A.[15，31] B.[14，35]
C.[12，30] D.[11，27]
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.已知集合A＝{x｜－1＜x＜2}，B＝{x｜－1＜x＜m＋1}，若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，则实数m的取值范围是　 　.
13.若对于任意x∈[m，m＋1]，都有x2＋mx－1＜0成立，则实数m的取值范围是　　.
14.某商场销售某种商品的经验表明，该产品生产总成本C与产量q（q∈N＋）的函数关系式为C＝100＋4q，销售单价p与产量q的函数关系式为p＝25－q.要使每件产品的平均利润最大，则产量q为　 　.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知全集U＝R，A＝{x｜－4≤x＜2}，B＝{x｜0＜x＋1≤4}，P＝{x｜x≤0或x≥5}.求：
（1）A∩B， UB；
（2）（A∩B）∪（ UP）.
16.（本小题满分15分）设命题p：方程x2＋（2m－4）x＋m＝0有两个不相等的实数根；命题q：对所有的2≤x≤3，不等式x2－4x＋13≥m2恒成立.
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题p，q一真一假，求实数m的取值范围.
17.（本小题满分15分）（1）求函数y＝－x（0＜x＜4）的最小值；
（2）已知a＞0，b＞0，2a＋b＝2，求＋的最小值.
18.（本小题满分17分）已知关于x的不等式（ax－1）（x－1）＜0.
（1）当a＝2时，解上述不等式；
（2）当a＜1时，解上述关于x的不等式.
19.（本小题满分17分）某水产养殖户投资243万元建一个龙虾养殖基地，已知x年内付出的各种维护费用之和y满足二次函数y＝ax2＋c，且第一年付出的各种维护费用为3万元，第二年付出的各种维护费用为9万元，龙虾养殖基地每年收入90万元.
（1）扣除投资和各种维护费用，求该龙虾养殖基地从第几年开始获取纯利润；
（2）若干年后该水产养殖户为了投资其他项目，对该龙虾养殖基地有两种处理方案：
①年平均利润最大时，以138万元出售该龙虾养殖基地；
②纯利润总和最大时，以30万元出售该龙虾养殖基地.
问该水产养殖户应该选择哪种方案？
章末检测（一）　预备知识
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设命题p： n∈N，n2＞2n，则p的否定为（　C　）
A. n∈N，n2＞2n B. n∈N，n2≤2n
C. n∈N，n2≤2n D. n∈N，n2＝2n
2.已知集合M＝{1，2，3，4}，N＝{－2，2}，下列结论成立的是（　　）
A.N M B.M∪N＝M
C.M∩N＝N D.M∩N＝{2}
解析：D　∵－2∈N，但－2 M，∴A、B、C三个选项均错误.
3.如果a＞b，那么下列不等式一定成立的是（　　）
A.－2a＞－2b B.c－a＞c－b
C.a＋c＞b＋c D.a2＞b2
解析：C　∵a＞b，∴－2a＜－2b，故A不正确；c－a＜c－b，B不正确；a＋c＞b＋c，C正确；a2＞b2不一定正确，当a，b为负数时，不等式不成立，D不正确.故选C.
4.设a∈R，则“a＞”是“a2＞2”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：A　由a2＞2，解得a＞或a＜－，则当a＞时，有a2＞2成立.当a2＞2时，a＞不一定成立，例如a＝－3时，满足a2＞2，但a＞不成立.所以“a＞”是“a2＞2”的充分不必要条件.
5.已知命题p： x∈R，ax2＋2x＋1＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（　　）
A.{a｜a≥1} B.{a｜a＜1}
C.{a｜a＞1} D.{a｜a≤1}
解析：C　∵p： x∈R，ax2＋2x＋1＝0，∴p的否定： x∈R，ax2＋2x＋1≠0.∵命题p为假命题，∴p的否定为真命题，∴当x∈R时，方程ax2＋2x＋1＝0没有实数根，∴Δ＝4－4a＜0，即a＞1.∴实数a的取值范围是{a｜a＞1}.
6.如图所示，若A＝{x｜0≤x≤2}，B＝{x｜x＞0}，则阴影部分表示的集合为（　　）
A.{x｜0＜x＜2} B.{x｜1＜x≤2}
C.{x｜0≤x≤1或x≥2} D.{x｜x＝0或x＞2}
解析：D　图中阴影部分表示的集合是 A∪B（A∩B）.由题可得A∩B＝{x｜0＜x≤2}，A∪B＝{x｜x≥0}，则 A∪B（A∩B）＝{x｜x＝0或x＞2}.
7.一个容积为1 000 mL的容器里盛满浓度为80％的酒精.第一次倒出若干毫升后，用水加满；第二次又倒出同样毫升数的溶液，再用水加满.要使这时容器内的酒精的浓度不大于20％.则每次至少倒出溶液（　　）
A.200 mL B.500 mL
C.1 000 mL D.1 500 mL
解析：B　设每次倒出溶液x mL.根据题意，得1 000×80％－1 000×20％≤80％x＋x，整理得x2－2 000x＋750 000≤0，解得500≤x≤1 500.又因为x≤1 000，所以500≤x≤1 000.故每次至少倒出500 mL溶液.
8.若实数x，y满足xy＋6x＝4，则＋的最小值为（　　）
A.4　　　 　B.8 C.16　　 　　D.32
解析：B　因为xy＋6x＝4，所以＋＝＋＝y＋6＋.因为0＜x＜，所以y＝＝－6＞0，故y＋6＋≥6＋2＝8，当且仅当y＝1，x＝时等号成立，故＋的最小值为8，故选B.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.设a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式成立的是（　　）
A.c－a＜c－b B.ac2≥bc2
C.＜ D.＜1
解析：AB　由a＞b，得－a＜－b，那么c－a＜c－b，所以A正确；由a＞b，且c2≥0，所以ac2≥bc2，所以B正确；取a＝1，b＝－2，可知＝1＞＝－，此时不等式＜不成立，所以C错误；取a＝－1，b＝－2，此时＝2＞1，即不等式＜1不成立，所以D错误.故选A、B.
10.若函数y＝x2－4x－4在区间[0，a）上既有最大值又有最小值，则正整数a的值可能是（　　）
A.2 B.3
C.4 D.5
解析：BC　令y＝x2－4x－4＝（x－2）2－8，作函数y＝（x－2）2－8的部分图象，如图，当x＝0和x＝4时，y＝－4，且ymin＝－8.因为函数在区间[0，a）上既有最大值又有最小值，所以区间[0，a）必须包含2，且y≤－4，所以2＜a≤4.结合选项可知选B、C.
11.已知1≤a－b≤3，3≤a＋b≤7，则5a＋b的取值范围为（　　）
A.[15，31] B.[14，35]
C.[12，30] D.[11，27]
解析：D　设5a＋b＝m（a－b）＋n（a＋b）＝（m＋n）a＋（n－m）b，所以 则5a＋b＝2（a－b）＋3（a＋b），又1≤a－b≤3，3≤a＋b≤7，所以2≤2（a－b）≤6，9≤3（a＋b）≤21，由不等式的性质得：11≤2（a－b）＋3（a＋b）≤27，则5a＋b的取值范围为[11，27].故选D.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.已知集合A＝{x｜－1＜x＜2}，B＝{x｜－1＜x＜m＋1}，若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，则实数m的取值范围是　{m｜m＞1}　.
解析：由x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，得A B，即即m＞1.
13.若对于任意x∈[m，m＋1]，都有x2＋mx－1＜0成立，则实数m的取值范围是　　.
解析：作出一元二次函数y＝x2＋mx－1的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有x2＋mx－1＜0，
则
解得－＜m＜0.
14.某商场销售某种商品的经验表明，该产品生产总成本C与产量q（q∈N＋）的函数关系式为C＝100＋4q，销售单价p与产量q的函数关系式为p＝25－q.要使每件产品的平均利润最大，则产量q为　40　.
解析：设该商品销售收入为R，利润为L，则R＝p×q＝25q－q2，L＝R－C＝－q2＋21q－100（0＜q＜400，q∈N＋）.易知每件产品的平均利润为＝21－（＋）.因为＋≥5，当且仅当q＝40时等号成立，所以每件产品的平均利润最大时，产量q为40.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知全集U＝R，A＝{x｜－4≤x＜2}，B＝{x｜0＜x＋1≤4}，P＝{x｜x≤0或x≥5}.求：
（1）A∩B， UB；
（2）（A∩B）∪（ UP）.
解：（1）因为A＝{x｜－4≤x＜2}，B＝{x｜0＜x＋1≤4}＝{x｜－1＜x≤3}，P＝{x｜x≤0或x≥5}，将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示.
所以A∩B＝{x｜－1＜x＜2}，
UB＝{x｜x≤－1或x＞3}.
（2）（A∩B）∪（ UP）＝{x｜－1＜x＜2}∪{x｜0＜x＜5}＝{x｜－1＜x＜5}.
16.（本小题满分15分）设命题p：方程x2＋（2m－4）x＋m＝0有两个不相等的实数根；命题q：对所有的2≤x≤3，不等式x2－4x＋13≥m2恒成立.
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题p，q一真一假，求实数m的取值范围.
解：（1）若命题p为真命题，即方程x2＋（2m－4）x＋m＝0有两个不相等的实数根，
则有Δ＝（2m－4）2－4m＝4m2－20m＋16＞0，
解得m＜1或m＞4.
∴实数m的取值范围为{m｜m＜1或m＞4}.
（2）若命题q为真命题，则对所有的2≤x≤3，不等式x2－4x＋13≥m2恒成立.
设y＝x2－4x＋13，则只需2≤x≤3时，m2≤ymin即可.
∵y＝x2－4x＋13＝（x－2）2＋9，2≤x≤3，
∴ymin＝9，∴m2≤9，解得－3≤m≤3.
∴当命题q为真命题时，实数m的取值范围为{m｜－3≤m≤3}.
∵命题p，q一真一假，
∴若命题p为真命题，命题q为假命题，则有解得m＜－3或m＞4；
若命题p为假命题，命题q为真命题，则有解得1≤m≤3.
综上所述，当命题p，q一真一假时，实数m的取值范围为{m｜m＜－3或1≤m≤3或m＞4}.
17.（本小题满分15分）（1）求函数y＝－x（0＜x＜4）的最小值；
（2）已知a＞0，b＞0，2a＋b＝2，求＋的最小值.
解：（1）因为0＜x＜4，所以4－x＞0，
则y＝－x＝＋4－x－4≥2－4＝－2，
当且仅当＝4－x，即x＝3时等号成立，所以函数y的最小值为－2.
（2）法一　＋＝＋＝＋＝＋＋≥2＋＝，
当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立，
所以＋的最小值为.
法二　＋＝＋＝＋－2
＝（＋）（2a＋b）－2
＝（5＋＋）－2≥－2＝，
当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立，
所以＋的最小值为.
18.（本小题满分17分）已知关于x的不等式（ax－1）（x－1）＜0.
（1）当a＝2时，解上述不等式；
（2）当a＜1时，解上述关于x的不等式.
解：（1）当a＝2时，代入可得（2x－1）（x－1）＜0，解得＜x＜1，
所以不等式的解集为{x｜＜x＜1}.
（2）当a＝0时，代入不等式可得－x＋1＜0，解得x＞1；
当0＜a＜1时，化简不等式可得a（x－）（x－1）＜0，由＞1，解不等式可得1＜x＜；
当a＜0时，化简不等式可得a（x－）（x－1）＜0，解不等式可得x＞1或x＜.
综上可知，当a＝0时，不等式的解集为{x｜x＞1}；　
当0＜a＜1时，不等式的解集为{x｜1＜x＜}；
当a＜0时，不等式的解集为{x｜x＜或x＞1}.
19.（本小题满分17分）某水产养殖户投资243万元建一个龙虾养殖基地，已知x年内付出的各种维护费用之和y满足二次函数y＝ax2＋c，且第一年付出的各种维护费用为3万元，第二年付出的各种维护费用为9万元，龙虾养殖基地每年收入90万元.
（1）扣除投资和各种维护费用，求该龙虾养殖基地从第几年开始获取纯利润；
（2）若干年后该水产养殖户为了投资其他项目，对该龙虾养殖基地有两种处理方案：
①年平均利润最大时，以138万元出售该龙虾养殖基地；
②纯利润总和最大时，以30万元出售该龙虾养殖基地.
问该水产养殖户应该选择哪种方案？
解：（1）由已知得，当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝12，即解得所以y＝3x2.
又投资243万元，x年共收入90x万元，
设x年共获得的纯利润为P万元，则P＝90x－3x2－243（x∈N＋）.
令P＞0，即90x－3x2－243＞0，即x2－30x＋81＜0，解得3＜x＜27（x∈N＋），
所以从第4年开始获取纯利润.
（2）方案①：年平均利润t＝＝90－3≤90－3×2＝36，当且仅当x＝9时，取等号，
所以当x＝9时，t取最大值36，
此时以138万元出售该基地共获得利润36×9＋138＝462（万元）.
方案②：纯利润总和P＝90x－3x2－243＝－3（x－15）2＋432（x∈N＋），
当x＝15时，纯利润总和最大，为432万元，
此时以30万元出售该基地共获得利润432＋30＝462（万元）.
两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以应选择方案①.
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