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四川成都市教育科学研究院附属中学贯通班2026-2027学年八年级上学期9月数学练习
1．下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形的是(
A．笛卡尔心形线
B．赵爽弦图
C．莱洛三角形 D．科克曲线
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形的概念“沿某条直线对折，对折后，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形”进行判断即可．
2．“一丝一粟，来之不易”是中国民间谚语，一粒粟的重量非常轻，大约为0.000005千克，用科学记数法表示0.000005.为(　　)
A． B．5×106 C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
3．下列计算正确的是(　　)
A． B．
C． D．(2x+1)(2x-1)=2x2-1
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；平方差公式及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，，∴A错误；
B、，，∴B错误；
C、，与等式右侧一致，∴C正确；
D、，，∴D错误．
故答案为：C.
【分析】根据幂的乘方、单项式乘以单项式、同底数幂的除法、平方差公式法则逐项判断即可．
4．甲、乙、丙三人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都为8.8环，方差分别为 则三人中成绩最稳定的选手是(　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定
【答案】A
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：
0.006<0.012<0.025，
∴甲的成绩最稳定，
故选： A.
【分析】根据方差小的成绩稳定解答即可.
5． 如图，直线a∥b∥c，直线AC分别交a，b，c于点A，B，C，直线DF分别交a，b，c于点D，E，F，若DE=3EF，AC=12，则AB的长为(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．
6． 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是(　　)
A．当AB=BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当AC=BD时，它是正方形 D．当∠ABC=90°时，它是矩形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、四边形是平行四边形，，由邻边相等的平行四边形是菱形，可知四边形是菱形，A不符合题意；
B、四边形是平行四边形，，由对角线垂直的平行四边形是菱形，可知四边形是菱形，B不符合题意；
C、四边形是平行四边形，，由对角线相等的平行四边形是矩形，可知四边形是矩形，C不符合题意；
D、四边形是平行四边形，，由一个内角是直角的平行四边形是矩形，可知四边形是矩形，不能证明四边形是正方形，D符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理逐项判断解答即可．
7．如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积.已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植面积为480平方米，则劳动基地中的道路宽为(　　)
A．2.5米 B．2米 C．1.5米 D．1米
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：假设修建的路宽应x米，则，
，
整理得：
解得：米，米(不合题意舍去)，
故答案为：B．
【分析】设修建的路宽应x米，根据“种植面积为480平方米”列出一元二次方程解答即可．
8．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上， DE=2EC，连接AE交BD于点F，若△DEF的面积为4，则△ABF的面积为(　　)
A．6 B．9 C．18 D．36
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质得到，，即可证明，根据面积比等于相似比的平方解答即可.
9．因式分解：　 　
【答案】3x(x-2)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：3x(x-2).
【分析】提取公因式3x因式分解即可．
10． 若m，n为实数，且则(m+n)2的值为　 　
【答案】1
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
解得，，
∴，
故答案为：1．
【分析】根据偶次方和算术平方数的非负性求出m、n的值，然后代入代数式计算即可．
11． 已知最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式，则xy的值为　 　
【答案】
【知识点】同类二次根式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由与是同类二次根式，得到，
整理得，
由最简二次根式与是同类二次根式，得到，
整理得，
∴，
解方程组得，
因此，
故答案为：．
【分析】根据同类二次根式的定义得到关于x，y的二元一次方程组，解方程组求出x和y的值，然后代入计算即可．
12．已知方程组的解满足x≤3，y≥-2，则k的取值范围为　 　
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组；不等式组和二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：，
得，
整理得．
得，
整理得，
∵，，
∴可得不等式组，
解第一个不等式得，
解第二个不等式得，
综上，的取值范围是．
故答案为：.
【分析】根据加减消元法解方程组，用含的式子表示和，再根据给出的和的范围列不等式组求解的取值范围．
13．如图，已知在△ABC中，边BC的垂直平分线DF交AC于点E，再以点B为圆心，任意长为半径画弧交BA，BC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧交于点P，作射线BP恰好交AC于点E，若AB=8，BC=12，△BDE的面积为9，则△ABC的面积为　 　
【答案】30
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；几何图形的面积计算-割补法；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：过点作于点，
由作图可知，射线为的平分线，
，
直线为线段的垂直平分线，
，，
的面积为，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】过点作于点，根据角平分线的性质得到，再根据线段垂直平分线的性质得到，，根据的面积求出DE长，进而根据解答即可．
14．（1）分解因式：
（2）解不等式组：
（3）解方程：
【答案】（1）解∶原式
；
（2）解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为；
（3）解：方程两边同乘以，得，
解得，
当时，，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解．
【知识点】解一元一次不等式组；去分母法解分式方程；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】（1）根据平方差公式分解因式解答即可；
（2）解两个不等式得到解集，再根据 “大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小找不到”求出不等式组的公共部分解答即可；
（3）方程两边同时乘以(x-3)化为整式方程，然后解整式方程求出x的值并检验解答即可．
15．(10分)已知关于x的一元二次方程. 有两个实数根.
（1）求实数m的取值范围：
（2）若x1、x2是该方程的两个根，且满足求m的值
【答案】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：；
（2）解：由题意可得：，，
∵，
∴，
∴，
解得：或，
由（1）可得，
∴．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的情况得到，代入数值求出m的取值范围解答即可；
（2）根据根与系数的关系得到，，然后代入解关于m的方程求出m的值解答即可．
16．在平面直角坐标系内，△ABC的位置如图所示(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形).
（1）将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A1B1C，作出△A1B1C1.
（2） 以原点O为位似中心，在第四象限内作出△ABC的位似图形△A2B2C2，且△A2B2C2与△ABC的相似比为2：1.
（3）(2)中B2的坐标为　 　； 　 　
【答案】（1）解：如图，即为所作；
（2）解：如图，即为所作；
（3）；6
【知识点】点的坐标；作图﹣位似变换；作图﹣旋转；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（3）解：的坐标为，
．
故答案为：；6．
【分析】（1）根据旋转的性质分别作出点A、B、C绕点O旋转后的对应点，然后顺次连接得到△A1B1C1即可；
（2）连接并延长到点，使得，然后顺次连接得到△A2B2C2即可；
（3）根据平面直角坐标系中点的位置写出坐标，在根据正方形的面积减去三个三角形的面积解答即可．
17．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，AC平分∠DCB，点P是AC上一点，连接DP并延长分别交BC和AB的延长线于点E和点F.
（1）证明：四边形ABCD是菱形；
（2）若求BP的长.
【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵平分，点P是上一点，
∴，
∵四边形是菱形；
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去）.
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据两组对边分别相等得出是平行四边形，再根据角平分线的定义和平行线的性质可得，再根据等角对等边得到，证明结论即可；
（2）根据菱形的性质，利用SAS得到，即可得到，利用平行线的性质可得，等量代换得到，根据两角对应相等得到，利用对应边成比例解答即可．
18． 数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段.小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基图形如图（1）产生了如下问题，请同学们帮他解决.
在△ABC中，点D为边AB上一点，连接CD.
（1）初步探究：如图2，若∠ACD=∠B，求证：
（2）尝试应用：如图3，在(1)的条件下，若点D为AB中点，BC=4， 求CD的长；
（3） 创新提升：如图4，点E为CD中点，连接BE，若∠CDB=∠CBD=30°，∠ACD=∠EBD，AC=2，求BE的长.
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵点为中点，
∴设，
由（1）知，
∴，
∴，
∴与的相似比为，
∴，
∵
∴；
（3）解：过点作的平行线交的延长线于点，过作，如图1所示：
∵点为中点，
∴设，
∵，
∴，，
在中，，则由勾股定理可得，
过点作于点，如图2所示：
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，点为中点，
∴，，，
又∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，，
∴，即，
∴，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；母子模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用两个两角对应相等得到，根据对应边成比例证明结论即可；
（2）设，根据（1）的结论得到，得到与的相似比解答即可；
（3）过点作的平行线交的延长线于点，设，根据30°的直角三角形的额性质和勾股定理得到，过点作于点，求出BE长，然后根据两角对应相等得到，根据对应边成比例解答即可．
19．已知则k的值为　 　
【答案】或
【知识点】比例的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：∵，
∴都不为0，
∴，
三个式子相加得，
则，
当时，
∴，
当时，则
∴
综上所述，的值为或．
故答案为：或．
【分析】根据题意得到，即可得到，然后分为或两种情况求出k的值解答即可．
20．已知实数m、n满足则　 　
【答案】2或-18
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；分类讨论
【解析】【解答】解：当m=n时，原式=1+1=2；
当m≠n时，m、n可看作方程x2 4x 1=0的两根，
则m+n=4，mn= 1，
所以原式======-18，
故答案为：2或-18.
【分析】当m=n时，代入求值即可；当m≠n时，可得m、n是方程x2-4x-1=0的两根，根据根与系数的关系可得m+n=4，mn=-1，再把原式变形为，整体代入计算即可．
21．如图是顶角为36°的等腰三角形 ABC，且 称这样的等腰三角形为黄金三角形.若腰AB=1，△ABC为第1个黄金三角形，△CDB为第2个黄金三角形，△BED为第3个黄金三角形，则第2026个黄金三角形的底边长为　 　
【答案】
【知识点】黄金分割；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：由题意可知，黄金三角形的底边与腰的比为，
第1个黄金三角形的腰，
第1个黄金三角形的底边长，
为顶角的等腰三角形，
，
由图形构造可知，，
∵为黄金三角形，
∴，
∴，
∴ 的腰长为，
第2个黄金三角形的底边长，
同理可得，第3个黄金三角形的腰长等于第2个三角形的底边长，
∴ 第3个黄金三角形的底边长 ，
以此类推，第 个黄金三角形的底边长为 ，
第2026个黄金三角形的底边长为．
故答案为：.
【分析】根据黄金三角形的定义得出底边与腰的比为，然后分别计算出前几个黄金三角形的底边长，进而得到规律解答即可．
22．如图，已知△ABC，AB=AC=7，BC=4，点D在BC上，且BD=1，E、H分别是AB、AC的点，EH交AD与点F，∠AFE=∠B，则　 　.
【答案】
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：在上取一点K，使，连接，如图所示：
，
在，，，
，
，
，
，
在和中，
，，
∽，
，
，
，
设，
在和中，
，，
∽，
，
，
，，，
，
，
，
又，
∽，
，
，
，
，
故答案为：
【分析】在上取一点K，使，连接，则，根据两角对应相等得到和相似，求出，即可得到，设，然后推理得到和相似，求出，进而得到和相似，根据相似三角形的对应边成比例可得，求出比值解答即可．
23．如图，正方形ABCD的边长为4，F为对角线AC上一动点，延长BF，AD交于点E，若BF·BE=24，则CF=　 　
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵正方形的边长为4，F为对角线上一动点，
∴，，
∴，
∴，
∴设，则，
∴，
∵，，
∴，
整理得：，即：，
，即：，
∵，
∴，整理得：，
解得：，（舍），
∴，
检验：当时，，
成立，
∴是的根，
∴，
故答案为：．
【分析】根据正方形的性质，运用勾股定理求出长，根据两角对应相等得到，设，则，根据相似三角形的对应边成比例求出x的值解答即可．
24．推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴，某合作社着力发展乡村水果网络销售，据统计某电商平台10月份的水果销售量50000kg，12月份的水果销售量是72000kg.
（1）若该平台10月份到12月份销售的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少
（2）某水果店以5元/kg的单价进了一批水果，若售价为10元/kg，每天能销售200kg为了尽快减少库存，决定降价销售，市场调查发现，售价每降价0.1元每天可多售出20kg.
①水果的售价为多少元时，每天可获利润为1600元
②水果的售价定为多少元时，每天获得利润为最大
【答案】（1）解：设月平均增长率是a，
由题意得：，
解得：（不合题意，舍去），，
故该平台月份到月份销售的月平均增长率是；
（2）解：①设售价降低元，利润为，
则水果的销售利润为元，每天的销售量为，
∴，
当时，，
解得或，
，，
∵尽快减少库存，
∴水果的售价应为7元，
答：水果的售价为7元时，每天可获利润为1600元；
②对于，
∵，
∴降价2元，即售价为元时，每天可获得最大利润为元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设月平均增长率是a，根据“月份的水果销售量月平均增长率月份的水果销售量”列一元二次方程，求出a的值解答即可；
（2）①设售价降低元，利润为，根据利润=单利润×销售量列函数关系式，令，解方程求出x的值即可；
②将二次函数配方为顶点式，利用二次函数的性质求出最大值解答即可．
25． 如图，在直角坐标系中，直线BC经过点B(-4，0)和点C(0，3)，A点坐标为(3，0)，点P为直线BC上一点，连接AC、AP.
（1）求直线BC的解析式；
（2） 如图，当点P在线段BC上，∠APC=45°时，求P点坐标；
（3）点P在直线BC上移动，当△APB与△BOC相似时，求点P的坐标.
【答案】（1）解：设直线的解析式为：，
∵直线BC经过点B(﹣4，0)和点C(0，3)，
∴，解得，
∴直线的解析式为：；
（2）解：当点P在线段BC上，
∵C(0，3)，A(3，0)，
∴，为等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
过点作轴于点，
在中，，
即，
∴(舍去正值)，
∴，
此时，
∴；
（3）解：过点作交延长线于点，
∵，，
∴，
过点作轴于点，
∵B(﹣4，0)，C(0，3)，A(3，0)，
∴，，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴；
过点作交直线于点，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
解得，
∴，
综上：当点的坐标为或时，△APB与△BOC相似．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）当点在线段上时，先得到为等腰直角三角形，然后得到两角对应相等，即可得到，根据对应边成比得到，设，求出CP长，在中，根据勾股定理求出m的值解答即可；
（3）分两种情况进行解答：①当，②当，根据相似三角形的判定和性质得到对应边成比例，然后列方程求出点P的坐标即可解答．
1 / 1四川成都市教育科学研究院附属中学贯通班2026-2027学年八年级上学期9月数学练习
1．下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形的是(
A．笛卡尔心形线
B．赵爽弦图
C．莱洛三角形 D．科克曲线
2．“一丝一粟，来之不易”是中国民间谚语，一粒粟的重量非常轻，大约为0.000005千克，用科学记数法表示0.000005.为(　　)
A． B．5×106 C． D．
3．下列计算正确的是(　　)
A． B．
C． D．(2x+1)(2x-1)=2x2-1
4．甲、乙、丙三人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都为8.8环，方差分别为 则三人中成绩最稳定的选手是(　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定
5． 如图，直线a∥b∥c，直线AC分别交a，b，c于点A，B，C，直线DF分别交a，b，c于点D，E，F，若DE=3EF，AC=12，则AB的长为(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
6． 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是(　　)
A．当AB=BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当AC=BD时，它是正方形 D．当∠ABC=90°时，它是矩形
7．如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积.已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植面积为480平方米，则劳动基地中的道路宽为(　　)
A．2.5米 B．2米 C．1.5米 D．1米
8．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上， DE=2EC，连接AE交BD于点F，若△DEF的面积为4，则△ABF的面积为(　　)
A．6 B．9 C．18 D．36
9．因式分解：　 　
10． 若m，n为实数，且则(m+n)2的值为　 　
11． 已知最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式，则xy的值为　 　
12．已知方程组的解满足x≤3，y≥-2，则k的取值范围为　 　
13．如图，已知在△ABC中，边BC的垂直平分线DF交AC于点E，再以点B为圆心，任意长为半径画弧交BA，BC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧交于点P，作射线BP恰好交AC于点E，若AB=8，BC=12，△BDE的面积为9，则△ABC的面积为　 　
14．（1）分解因式：
（2）解不等式组：
（3）解方程：
15．(10分)已知关于x的一元二次方程. 有两个实数根.
（1）求实数m的取值范围：
（2）若x1、x2是该方程的两个根，且满足求m的值
16．在平面直角坐标系内，△ABC的位置如图所示(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形).
（1）将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A1B1C，作出△A1B1C1.
（2） 以原点O为位似中心，在第四象限内作出△ABC的位似图形△A2B2C2，且△A2B2C2与△ABC的相似比为2：1.
（3）(2)中B2的坐标为　 　； 　 　
17．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，AC平分∠DCB，点P是AC上一点，连接DP并延长分别交BC和AB的延长线于点E和点F.
（1）证明：四边形ABCD是菱形；
（2）若求BP的长.
18． 数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段.小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基图形如图（1）产生了如下问题，请同学们帮他解决.
在△ABC中，点D为边AB上一点，连接CD.
（1）初步探究：如图2，若∠ACD=∠B，求证：
（2）尝试应用：如图3，在(1)的条件下，若点D为AB中点，BC=4， 求CD的长；
（3） 创新提升：如图4，点E为CD中点，连接BE，若∠CDB=∠CBD=30°，∠ACD=∠EBD，AC=2，求BE的长.
19．已知则k的值为　 　
20．已知实数m、n满足则　 　
21．如图是顶角为36°的等腰三角形 ABC，且 称这样的等腰三角形为黄金三角形.若腰AB=1，△ABC为第1个黄金三角形，△CDB为第2个黄金三角形，△BED为第3个黄金三角形，则第2026个黄金三角形的底边长为　 　
22．如图，已知△ABC，AB=AC=7，BC=4，点D在BC上，且BD=1，E、H分别是AB、AC的点，EH交AD与点F，∠AFE=∠B，则　 　.
23．如图，正方形ABCD的边长为4，F为对角线AC上一动点，延长BF，AD交于点E，若BF·BE=24，则CF=　 　
24．推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴，某合作社着力发展乡村水果网络销售，据统计某电商平台10月份的水果销售量50000kg，12月份的水果销售量是72000kg.
（1）若该平台10月份到12月份销售的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少
（2）某水果店以5元/kg的单价进了一批水果，若售价为10元/kg，每天能销售200kg为了尽快减少库存，决定降价销售，市场调查发现，售价每降价0.1元每天可多售出20kg.
①水果的售价为多少元时，每天可获利润为1600元
②水果的售价定为多少元时，每天获得利润为最大
25． 如图，在直角坐标系中，直线BC经过点B(-4，0)和点C(0，3)，A点坐标为(3，0)，点P为直线BC上一点，连接AC、AP.
（1）求直线BC的解析式；
（2） 如图，当点P在线段BC上，∠APC=45°时，求P点坐标；
（3）点P在直线BC上移动，当△APB与△BOC相似时，求点P的坐标.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形的概念“沿某条直线对折，对折后，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形”进行判断即可．
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；平方差公式及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，，∴A错误；
B、，，∴B错误；
C、，与等式右侧一致，∴C正确；
D、，，∴D错误．
故答案为：C.
【分析】根据幂的乘方、单项式乘以单项式、同底数幂的除法、平方差公式法则逐项判断即可．
4．【答案】A
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：
0.006<0.012<0.025，
∴甲的成绩最稳定，
故选： A.
【分析】根据方差小的成绩稳定解答即可.
5．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．
6．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、四边形是平行四边形，，由邻边相等的平行四边形是菱形，可知四边形是菱形，A不符合题意；
B、四边形是平行四边形，，由对角线垂直的平行四边形是菱形，可知四边形是菱形，B不符合题意；
C、四边形是平行四边形，，由对角线相等的平行四边形是矩形，可知四边形是矩形，C不符合题意；
D、四边形是平行四边形，，由一个内角是直角的平行四边形是矩形，可知四边形是矩形，不能证明四边形是正方形，D符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理逐项判断解答即可．
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：假设修建的路宽应x米，则，
，
整理得：
解得：米，米(不合题意舍去)，
故答案为：B．
【分析】设修建的路宽应x米，根据“种植面积为480平方米”列出一元二次方程解答即可．
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质得到，，即可证明，根据面积比等于相似比的平方解答即可.
9．【答案】3x(x-2)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：3x(x-2).
【分析】提取公因式3x因式分解即可．
10．【答案】1
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
解得，，
∴，
故答案为：1．
【分析】根据偶次方和算术平方数的非负性求出m、n的值，然后代入代数式计算即可．
11．【答案】
【知识点】同类二次根式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由与是同类二次根式，得到，
整理得，
由最简二次根式与是同类二次根式，得到，
整理得，
∴，
解方程组得，
因此，
故答案为：．
【分析】根据同类二次根式的定义得到关于x，y的二元一次方程组，解方程组求出x和y的值，然后代入计算即可．
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组；不等式组和二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：，
得，
整理得．
得，
整理得，
∵，，
∴可得不等式组，
解第一个不等式得，
解第二个不等式得，
综上，的取值范围是．
故答案为：.
【分析】根据加减消元法解方程组，用含的式子表示和，再根据给出的和的范围列不等式组求解的取值范围．
13．【答案】30
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；几何图形的面积计算-割补法；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：过点作于点，
由作图可知，射线为的平分线，
，
直线为线段的垂直平分线，
，，
的面积为，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】过点作于点，根据角平分线的性质得到，再根据线段垂直平分线的性质得到，，根据的面积求出DE长，进而根据解答即可．
14．【答案】（1）解∶原式
；
（2）解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为；
（3）解：方程两边同乘以，得，
解得，
当时，，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解．
【知识点】解一元一次不等式组；去分母法解分式方程；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】（1）根据平方差公式分解因式解答即可；
（2）解两个不等式得到解集，再根据 “大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小找不到”求出不等式组的公共部分解答即可；
（3）方程两边同时乘以(x-3)化为整式方程，然后解整式方程求出x的值并检验解答即可．
15．【答案】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：；
（2）解：由题意可得：，，
∵，
∴，
∴，
解得：或，
由（1）可得，
∴．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的情况得到，代入数值求出m的取值范围解答即可；
（2）根据根与系数的关系得到，，然后代入解关于m的方程求出m的值解答即可．
16．【答案】（1）解：如图，即为所作；
（2）解：如图，即为所作；
（3）；6
【知识点】点的坐标；作图﹣位似变换；作图﹣旋转；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（3）解：的坐标为，
．
故答案为：；6．
【分析】（1）根据旋转的性质分别作出点A、B、C绕点O旋转后的对应点，然后顺次连接得到△A1B1C1即可；
（2）连接并延长到点，使得，然后顺次连接得到△A2B2C2即可；
（3）根据平面直角坐标系中点的位置写出坐标，在根据正方形的面积减去三个三角形的面积解答即可．
17．【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵平分，点P是上一点，
∴，
∵四边形是菱形；
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去）.
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据两组对边分别相等得出是平行四边形，再根据角平分线的定义和平行线的性质可得，再根据等角对等边得到，证明结论即可；
（2）根据菱形的性质，利用SAS得到，即可得到，利用平行线的性质可得，等量代换得到，根据两角对应相等得到，利用对应边成比例解答即可．
18．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵点为中点，
∴设，
由（1）知，
∴，
∴，
∴与的相似比为，
∴，
∵
∴；
（3）解：过点作的平行线交的延长线于点，过作，如图1所示：
∵点为中点，
∴设，
∵，
∴，，
在中，，则由勾股定理可得，
过点作于点，如图2所示：
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，点为中点，
∴，，，
又∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，，
∴，即，
∴，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；母子模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用两个两角对应相等得到，根据对应边成比例证明结论即可；
（2）设，根据（1）的结论得到，得到与的相似比解答即可；
（3）过点作的平行线交的延长线于点，设，根据30°的直角三角形的额性质和勾股定理得到，过点作于点，求出BE长，然后根据两角对应相等得到，根据对应边成比例解答即可．
19．【答案】或
【知识点】比例的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：∵，
∴都不为0，
∴，
三个式子相加得，
则，
当时，
∴，
当时，则
∴
综上所述，的值为或．
故答案为：或．
【分析】根据题意得到，即可得到，然后分为或两种情况求出k的值解答即可．
20．【答案】2或-18
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；分类讨论
【解析】【解答】解：当m=n时，原式=1+1=2；
当m≠n时，m、n可看作方程x2 4x 1=0的两根，
则m+n=4，mn= 1，
所以原式======-18，
故答案为：2或-18.
【分析】当m=n时，代入求值即可；当m≠n时，可得m、n是方程x2-4x-1=0的两根，根据根与系数的关系可得m+n=4，mn=-1，再把原式变形为，整体代入计算即可．
21．【答案】
【知识点】黄金分割；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：由题意可知，黄金三角形的底边与腰的比为，
第1个黄金三角形的腰，
第1个黄金三角形的底边长，
为顶角的等腰三角形，
，
由图形构造可知，，
∵为黄金三角形，
∴，
∴，
∴ 的腰长为，
第2个黄金三角形的底边长，
同理可得，第3个黄金三角形的腰长等于第2个三角形的底边长，
∴ 第3个黄金三角形的底边长 ，
以此类推，第 个黄金三角形的底边长为 ，
第2026个黄金三角形的底边长为．
故答案为：.
【分析】根据黄金三角形的定义得出底边与腰的比为，然后分别计算出前几个黄金三角形的底边长，进而得到规律解答即可．
22．【答案】
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：在上取一点K，使，连接，如图所示：
，
在，，，
，
，
，
，
在和中，
，，
∽，
，
，
，
设，
在和中，
，，
∽，
，
，
，，，
，
，
，
又，
∽，
，
，
，
，
故答案为：
【分析】在上取一点K，使，连接，则，根据两角对应相等得到和相似，求出，即可得到，设，然后推理得到和相似，求出，进而得到和相似，根据相似三角形的对应边成比例可得，求出比值解答即可．
23．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵正方形的边长为4，F为对角线上一动点，
∴，，
∴，
∴，
∴设，则，
∴，
∵，，
∴，
整理得：，即：，
，即：，
∵，
∴，整理得：，
解得：，（舍），
∴，
检验：当时，，
成立，
∴是的根，
∴，
故答案为：．
【分析】根据正方形的性质，运用勾股定理求出长，根据两角对应相等得到，设，则，根据相似三角形的对应边成比例求出x的值解答即可．
24．【答案】（1）解：设月平均增长率是a，
由题意得：，
解得：（不合题意，舍去），，
故该平台月份到月份销售的月平均增长率是；
（2）解：①设售价降低元，利润为，
则水果的销售利润为元，每天的销售量为，
∴，
当时，，
解得或，
，，
∵尽快减少库存，
∴水果的售价应为7元，
答：水果的售价为7元时，每天可获利润为1600元；
②对于，
∵，
∴降价2元，即售价为元时，每天可获得最大利润为元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设月平均增长率是a，根据“月份的水果销售量月平均增长率月份的水果销售量”列一元二次方程，求出a的值解答即可；
（2）①设售价降低元，利润为，根据利润=单利润×销售量列函数关系式，令，解方程求出x的值即可；
②将二次函数配方为顶点式，利用二次函数的性质求出最大值解答即可．
25．【答案】（1）解：设直线的解析式为：，
∵直线BC经过点B(﹣4，0)和点C(0，3)，
∴，解得，
∴直线的解析式为：；
（2）解：当点P在线段BC上，
∵C(0，3)，A(3，0)，
∴，为等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
过点作轴于点，
在中，，
即，
∴(舍去正值)，
∴，
此时，
∴；
（3）解：过点作交延长线于点，
∵，，
∴，
过点作轴于点，
∵B(﹣4，0)，C(0，3)，A(3，0)，
∴，，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴；
过点作交直线于点，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
解得，
∴，
综上：当点的坐标为或时，△APB与△BOC相似．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）当点在线段上时，先得到为等腰直角三角形，然后得到两角对应相等，即可得到，根据对应边成比得到，设，求出CP长，在中，根据勾股定理求出m的值解答即可；
（3）分两种情况进行解答：①当，②当，根据相似三角形的判定和性质得到对应边成比例，然后列方程求出点P的坐标即可解答．
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