资源简介

浙江省温州市第二中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷
1．下列函数中，属于二次函数的是 （　　)
A．y=2x-1 B． C． D．
2． 若 则 的值是（　　)
A．- 2 B．2 C．- 3 D．3
3．二次函数 的顶点坐标是（　　)
A．（3， 4) B．（-3， 4)
C．（3， - 4) D．（-3， - 4)
4． 如图， 直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1， l2，l3于点A， B， C， 直线DF交l1， l2，l3于点D， E，F， 若 则 的值为（　　)
A． B． C． D．
5．将抛物线 先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的函数表达式是 （　　)
A． B． C． D．
6．将二次函数 化成 的形式，下列变形正确的是 （　　)
A． B． C． D．
7． 已知A （-2， y1)， B （4， y2)是抛物线. 上的两点，则y1，y2的大小关系是（　　)
A． B． C． D．无法比较
8． 在菱形ABCD中，AB=10，AE⊥BC于点E， EC=4， 连结BD交AE于点F，则AF的长为（　　)
A．4 B．5 C．6 D．4.8
9． 如图， 在△ABC中， BC=6， ∠B=90°， 点O为△ABC的重心， 作OD⊥AB于点 D，若 则AO=（　　)
A．2 B．4 C． D．
10．二次函数 经过 则点 （a，b)所在的象限是 （　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．二次函数 的图象与y轴交点坐标为　 　。
12．设计一个矩形窗户，要求宽与长之比为黄金比，当窗户长为2米时，宽为　 　米。
13．某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为x，则该工厂3月份的产值y（万元)关于x的函数表达式为　 　
14．二次函数 的图象与x轴有两个交点，则正整数c的值为　 　。
15．二次函数 的图象如图所示，若关于x的方程 有两个不相等的实数根，则常数k的取值范围是 　 　。
16． 如图， 在矩形ABCD中，AB17．
（1）已知4：3=5：x， 求比例式中x的值。
（2）若线段c是线段a， b 的比例中项， a=3， b=27， 求线段c的长。
18．已知二次函数. 的图象经过A（0， 5)， B（2，-3)。
（1）求b， c的值。
（2）求这个图象的顶点坐标和对称轴。
19．如图， 在△ABC中， D， E分别为BC，AC上的点， 连结DE。若 DE=6，
（1）求AB的长。
（2）若△CDE的面积为18， 请求出△ABC 的面积：
20．在12×8网格建立平面直角坐标系， 已知四点： O（0， 0)， A（1， 2)， B（2， 0)，C（5， 1)。
（1）以点O为位似中心，在网格中作△ABC的位似图形△A'B'C'，使△ABC的边长放大到原来的2倍。
（2）某同学们在探索“函数 的系数a，b，c与图象的关系”时分别经过O（0， 0)， A（1， 2)， B（2， 0)，C（5，1)这四个点中的三个点画出二次函数的图象，则选哪三个点的抛物线对应的函数表达式a最小 在O，A，B， C中选择3个填入横线　 　。
21．如图，已知二次函数 的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧)，与y轴交于点 C，点D 在二次函数图象上，且点 D 与点 C 关于对称轴对称，一次函数y=kx+b的图象经过B，D两点。
（1）求点 B， D 的坐标。
（2）根据图象，请直接写出当 时x的取值范围。
22．小明同学想利用所学数学知识求旗杆的高度，于是他设计了如下方案：如图，已知点A，B，C在同一条直线上，点A，E，D也在同一条直线上，BE⊥AC于点B，DC⊥AC于点 C，小明眼睛到地面高BE=1.5米，且AB=3米，CB=9米。
（1）求旗杆CD的高度。
（2）在地面BC上的F处放置一个平面镜，小明刚好可以通过该镜子看到旗杆顶端D，求此时BF的长。
23．【问题情境】机器狗是现代人工智能机器人的代表，随着科技的进步，它的功能也越来越强大，高端科研机器狗已经实现自主跳跃。实验数据显示：机器狗从水平地面起跳，并落在水平地面，其运动路线类似于抛物线，且起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变。一只微型机器狗起跳后的最高点距地面50cm，起跳点与落地点的距离是200cm。
【数学建模】如图1，将这只微型机器狗的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，机器狗在水平地面上的起跳点为O，落地点为M，以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系。
【问题解决】
（1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式。
（2）如图1，若机器狗从点O正上方的台面点 P（0，22)处起跳，落地点为Q，点Q在x轴的正半轴上，求落地点 Q 到原点的水平距离OQ的长。
（3）实验表明：机器狗在越过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于4cm才能安全通过。如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为矩形ABCD，AB=38cm，BC=30cm。机器狗从距离AB左侧 130cm的点O处起跳，发现不能跳过障碍物，则机器狗至少要向障碍物前进　 　cm，才能刚好安全通过障碍物。（请直接写出答案)
24．已知菱形ABCD中，E，F，H分别是AD， CD，BC边上一点， 连结EF， AH， AF， HF。
（1）如图1， 当时，
①求证：=60°。
②当m=3，以A，E，F为顶点的三角形和以F，C，H为顶点的三角形相似时，求AH：AB 的值。
（2）如图2， 连结 BE， EH， 记S四边形ABHE：S菱形ABCD的值为k，当，1答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：解：A． 中的最高次数为1，不是二次函数．
B． 中的最高次数为2，且表达式为整式，是二次函数．
C． ，不是二次函数．
D． 中在分母位置，表达式不是整式，不是二次函数．
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的定义“形如的函数是二次函数”逐项判断即可.
2．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴设，（），
∴．
故答案为：C.
【分析】根设a=2k，b=3k，代入分式计算即可．
3．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数 的顶点坐标为．
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的顶点坐标为(h，k)解答即可．
4．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵
∴
∴．
故答案为：C.
【分析】根据平行线分线段成比例得到，代入数值计算即可．
5．【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线 先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的函数表达式为．
故答案为：A.
【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可.
6．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：，
故答案为：D.
【分析】结合二次项和一次项，然后添加一次项系数一半的平方，写成完全平方形式解答即可．
7．【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将代入，得．
将代入，得．
∵，
∴．
故答案为：A.
【分析】把两点坐标代入求出y1，y2的值，然后比较大小解答即可.
8．【答案】B
【知识点】菱形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：四边形是菱形，，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
解得．
故答案为：B.
【分析】根据菱形性质，根据勾股定理求出，然后根据平行线得到，根据对应边成比例求出AF长解答即可．
9．【答案】D
【知识点】三角形的重心及应用；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：延长 交 于点
点 为 的重心，
为 的中点，
，
，，
，
在 中，．
故答案为：D.
【分析】延长 交 于点 ，根据重心的定义得到为中点和，然后根据平行线得到 ，根据对应边成比例求出BD和AD长，再根据勾股定理解答即可．
10．【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点代入，得，
化简得．
将点代入，得，
把代入上式，得，
整理得，
配方得．
，
，
，
点在第一象限．
故答案为：A.
【分析】将两点坐标代入二次函数解析式得到b=2a，，进而得到a，b的符号得到点所在象限解答即可．
11．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数图象与轴交点的横坐标为，
∴将代入，计算得，
∴二次函数图象与轴交点坐标为．
故答案为：.
【分析】把代入函数解析式，求出y的值解答即可．
12．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：黄金比的值为，
设窗户的宽为米，
根据题意可得：，解得．
故答案为：.
【分析】设窗户的宽为米，根据黄金分割比例方程求出x的值解答即可．
13．【答案】
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：依题意得：
故答案为：.
【分析】根据“现有量=原有量×(1+增长率”列函数关系式即可．
14．【答案】1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵ 二次函数的图像与轴有两个交点，
∴ 方程有两个不相等的实数根，
∴，即，解得：，
∵是正整数，
∴．
故答案为：1.
【分析】根据抛物线与x轴交点的个数得到判别式大于，求出c的取值范围解答即可．
15．【答案】
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：关于 的方程 有两个不相等的实数根， 等价于二次函数 的图象与直线 有两个不同的交点．
由图象可知，抛物线开口向下，且顶点的纵坐标为 ．
∴ 当直线 位于抛物线顶点下方时，即 时，直线与抛物线有两个不同的交点．
∴ 的取值范围是 ．
故答案为：.
【分析】将问题转化为二次函数 的图象与直线 的交点问题，借助函数图象中顶点的纵坐标得到k的取值范围即可．
16．【答案】3
【知识点】矩形的性质；相似多边形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
矩形矩形，
，
，
，
故的值为3．
故答案为：3.
【分析】设，即可得到.根据两角对应相等得到和，根据对应边成比例表示和.再根据相似多边形的性质表示，计算比值解答即可．
17．【答案】（1）解：，
，
（2）解：∵线段是线段，的比例中项，
∴，
∵线段长度为正数
∴
【知识点】比例的性质；比例中项
【解析】【分析】（1）利用内项积等于外项积得到一元一次方程，求出x的值解答即可；
（2）根据比例中项的定义得到c2=ab，代入数值求出线段c的值即可．
18．【答案】（1）解：∵二次函数的图象经过，，
∴将两点坐标代入解析式，得
解得
（2）解：由（1）得二次函数解析式为， 配方得，
∴顶点坐标为，对称轴为直线
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求出二次函数解析式即可．
（2）将二次函数化为顶点式，得到顶点坐标和对称轴方程即可．
19．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴，即，解得：
（2）解：∵，，
∴的相似比为，
∴，即，
解得：，
∴的面积为50
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）根据两边成比例且夹角相等得到，根据对应边成比例解答即可；
（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
20．【答案】（1）解：如图：即为所求．
（2）O、A、B
【知识点】作图﹣位似变换；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解析】（2）解：当抛物线经过点，，时，
代入得：，解得；
当抛物线经过点，， 时，
代入得：，解得；
当抛物线经过点，， 时，
代入得：，解得；
当抛物线经过点，， 时，
代入得： ，解得：，
比较四个a的值： ， 即a最小值是，对应三点：O、A、B．
故答案为：O；A；B
【分析】（1）先根据位似的性质作出的对应点，然后顺次连接即可；
（2）从四个点中任选 3 个点的坐标，分别代入抛物线的解析式求得a的值，然后比较a的值解答即可．
21．【答案】（1）解：当时，，解得：，
∵在的左侧，
∴，
当时，，即
∵二次函数，
∴抛物线对称轴直线为，
∵D 与 C 关于对称轴对称，
∴
（2）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】（2）解：∵二次函数的图像与一次函数的图像经过、两点．
∴根据图像判断，当时，．
∴当时，的取值范围为．
【分析】（1）先求得点B、C的坐标，根据二次函数的对称轴公式得到对称轴为直线，根据抛物线的对称性得到D的坐标解答；
（2）借助图象得到抛物线位于直线上方时自变量x的取值范围解答即可．
22．【答案】（1）解：已知，，
因此，
∵为公共角，且
∴．
∴
∵
代入已知数值，，：
则，
，
，
（2）解：根据平面镜面反射的原理，入射角等于反射角，可得；
又∵，
∴．
设米，则米，
∴，
代入已知数值，，
，
解得，
即米
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据两角对应相等得到，根据对应边成比例求出CD长即可．
（2）根据两角对应相等得到，设，，根据对应边成比例解答即可．
23．【答案】（1）顶点坐标为
解：设抛物线的函数解析式为：，
∵抛物线经过原点，
∴，解：，
∴
（2）解：∵抛物线的形状不变，点，
∴函数图象可以看作由抛物线向上平移22个单位长度得到的，
∴新的抛物线的解析式为： ，
当时，，解得：，（舍去）；
∴落地点到原点的水平距离的长
（3）
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（1）由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为50，
∴顶点坐标为；
（3）解：设机器狗至少要向障碍物前进，新抛物线是由抛物线向右平移得到的，
设新的函数解析式为：，
∵纵切面为矩形，，，机器狗从距离左侧的点处起跳，
∴即抛物线经过点D上方点的横坐标为160，
∵障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于才能安全通过，
∴抛物线经过点时，机器狗恰好通过障碍物，
∴，解得：或100，
∴机器狗至少要向障碍物前进，才能刚好安全通过障碍物．
【分析】（1）根据题意得到顶点坐标；然后利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）根据平移规律得到新函数解析式，令，求出x的值解答即可；
（3）设机器狗至少要向障碍物前进，根据平移得到新抛物线的解析式，把点代入解析式求出k的值解答即可．
24．【答案】（1）解：①证明：∵菱形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴是等边三角形，
∴，即．
②设菱形的边长为，即，
当时，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴当时，，
∴，即，解得：，
∴，
如图：连接，过A作于G，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴当时，，
∴，即，解得：，
如图：连接，过A作于G，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上，的值为或
（2）
【知识点】菱形的性质；平行四边形的面积；二次函数y=ax²+bx+c的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（2）解：如图：设菱形的边长为，菱形边上的高为，过A作于G，过B作交延长线于I，过C作于J，则，，
如图：连接，则，
∵，，
∴，
∴，即，解得：，
∵
∴，
∴，解得：，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∵，，
∴抛物线开口向下，对称轴为，
∴当时，且在范围内，k有最大值，
∵，，
∴当时，k有最小值，最小值为，
∴k的取值范围为．
【分析】（1）①根据菱形的性质得到是等边三角形，进而得到∠B的度数解答即可；
②设菱形的边长为，当时，、，根据等边三角形的性质求出；当时，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出BG和AG长，进而求出AH长，求出比值解答即可；当时同理解答即可；
（2）设菱形的边长为，边上的高为，过A作于G，过B作交延长线于I，过C作于J，得到；连接，即可得到；根据两边成比例且夹角相等得到，根据对应边成比例得到；然后根据得到、，进而得到；求出；设，则，配方为顶点式，根据二次函数的性质得到函数值的取值范围即可．
1 / 1浙江省温州市第二中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷
1．下列函数中，属于二次函数的是 （　　)
A．y=2x-1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：解：A． 中的最高次数为1，不是二次函数．
B． 中的最高次数为2，且表达式为整式，是二次函数．
C． ，不是二次函数．
D． 中在分母位置，表达式不是整式，不是二次函数．
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的定义“形如的函数是二次函数”逐项判断即可.
2． 若 则 的值是（　　)
A．- 2 B．2 C．- 3 D．3
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴设，（），
∴．
故答案为：C.
【分析】根设a=2k，b=3k，代入分式计算即可．
3．二次函数 的顶点坐标是（　　)
A．（3， 4) B．（-3， 4)
C．（3， - 4) D．（-3， - 4)
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数 的顶点坐标为．
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的顶点坐标为(h，k)解答即可．
4． 如图， 直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1， l2，l3于点A， B， C， 直线DF交l1， l2，l3于点D， E，F， 若 则 的值为（　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵
∴
∴．
故答案为：C.
【分析】根据平行线分线段成比例得到，代入数值计算即可．
5．将抛物线 先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的函数表达式是 （　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线 先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的函数表达式为．
故答案为：A.
【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可.
6．将二次函数 化成 的形式，下列变形正确的是 （　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：，
故答案为：D.
【分析】结合二次项和一次项，然后添加一次项系数一半的平方，写成完全平方形式解答即可．
7． 已知A （-2， y1)， B （4， y2)是抛物线. 上的两点，则y1，y2的大小关系是（　　)
A． B． C． D．无法比较
【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将代入，得．
将代入，得．
∵，
∴．
故答案为：A.
【分析】把两点坐标代入求出y1，y2的值，然后比较大小解答即可.
8． 在菱形ABCD中，AB=10，AE⊥BC于点E， EC=4， 连结BD交AE于点F，则AF的长为（　　)
A．4 B．5 C．6 D．4.8
【答案】B
【知识点】菱形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：四边形是菱形，，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
解得．
故答案为：B.
【分析】根据菱形性质，根据勾股定理求出，然后根据平行线得到，根据对应边成比例求出AF长解答即可．
9． 如图， 在△ABC中， BC=6， ∠B=90°， 点O为△ABC的重心， 作OD⊥AB于点 D，若 则AO=（　　)
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的重心及应用；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：延长 交 于点
点 为 的重心，
为 的中点，
，
，，
，
在 中，．
故答案为：D.
【分析】延长 交 于点 ，根据重心的定义得到为中点和，然后根据平行线得到 ，根据对应边成比例求出BD和AD长，再根据勾股定理解答即可．
10．二次函数 经过 则点 （a，b)所在的象限是 （　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点代入，得，
化简得．
将点代入，得，
把代入上式，得，
整理得，
配方得．
，
，
，
点在第一象限．
故答案为：A.
【分析】将两点坐标代入二次函数解析式得到b=2a，，进而得到a，b的符号得到点所在象限解答即可．
11．二次函数 的图象与y轴交点坐标为　 　。
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数图象与轴交点的横坐标为，
∴将代入，计算得，
∴二次函数图象与轴交点坐标为．
故答案为：.
【分析】把代入函数解析式，求出y的值解答即可．
12．设计一个矩形窗户，要求宽与长之比为黄金比，当窗户长为2米时，宽为　 　米。
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：黄金比的值为，
设窗户的宽为米，
根据题意可得：，解得．
故答案为：.
【分析】设窗户的宽为米，根据黄金分割比例方程求出x的值解答即可．
13．某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为x，则该工厂3月份的产值y（万元)关于x的函数表达式为　 　
【答案】
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：依题意得：
故答案为：.
【分析】根据“现有量=原有量×(1+增长率”列函数关系式即可．
14．二次函数 的图象与x轴有两个交点，则正整数c的值为　 　。
【答案】1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵ 二次函数的图像与轴有两个交点，
∴ 方程有两个不相等的实数根，
∴，即，解得：，
∵是正整数，
∴．
故答案为：1.
【分析】根据抛物线与x轴交点的个数得到判别式大于，求出c的取值范围解答即可．
15．二次函数 的图象如图所示，若关于x的方程 有两个不相等的实数根，则常数k的取值范围是 　 　。
【答案】
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：关于 的方程 有两个不相等的实数根， 等价于二次函数 的图象与直线 有两个不同的交点．
由图象可知，抛物线开口向下，且顶点的纵坐标为 ．
∴ 当直线 位于抛物线顶点下方时，即 时，直线与抛物线有两个不同的交点．
∴ 的取值范围是 ．
故答案为：.
【分析】将问题转化为二次函数 的图象与直线 的交点问题，借助函数图象中顶点的纵坐标得到k的取值范围即可．
16． 如图， 在矩形ABCD中，AB【答案】3
【知识点】矩形的性质；相似多边形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
矩形矩形，
，
，
，
故的值为3．
故答案为：3.
【分析】设，即可得到.根据两角对应相等得到和，根据对应边成比例表示和.再根据相似多边形的性质表示，计算比值解答即可．
17．
（1）已知4：3=5：x， 求比例式中x的值。
（2）若线段c是线段a， b 的比例中项， a=3， b=27， 求线段c的长。
【答案】（1）解：，
，
（2）解：∵线段是线段，的比例中项，
∴，
∵线段长度为正数
∴
【知识点】比例的性质；比例中项
【解析】【分析】（1）利用内项积等于外项积得到一元一次方程，求出x的值解答即可；
（2）根据比例中项的定义得到c2=ab，代入数值求出线段c的值即可．
18．已知二次函数. 的图象经过A（0， 5)， B（2，-3)。
（1）求b， c的值。
（2）求这个图象的顶点坐标和对称轴。
【答案】（1）解：∵二次函数的图象经过，，
∴将两点坐标代入解析式，得
解得
（2）解：由（1）得二次函数解析式为， 配方得，
∴顶点坐标为，对称轴为直线
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求出二次函数解析式即可．
（2）将二次函数化为顶点式，得到顶点坐标和对称轴方程即可．
19．如图， 在△ABC中， D， E分别为BC，AC上的点， 连结DE。若 DE=6，
（1）求AB的长。
（2）若△CDE的面积为18， 请求出△ABC 的面积：
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴，即，解得：
（2）解：∵，，
∴的相似比为，
∴，即，
解得：，
∴的面积为50
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）根据两边成比例且夹角相等得到，根据对应边成比例解答即可；
（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
20．在12×8网格建立平面直角坐标系， 已知四点： O（0， 0)， A（1， 2)， B（2， 0)，C（5， 1)。
（1）以点O为位似中心，在网格中作△ABC的位似图形△A'B'C'，使△ABC的边长放大到原来的2倍。
（2）某同学们在探索“函数 的系数a，b，c与图象的关系”时分别经过O（0， 0)， A（1， 2)， B（2， 0)，C（5，1)这四个点中的三个点画出二次函数的图象，则选哪三个点的抛物线对应的函数表达式a最小 在O，A，B， C中选择3个填入横线　 　。
【答案】（1）解：如图：即为所求．
（2）O、A、B
【知识点】作图﹣位似变换；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解析】（2）解：当抛物线经过点，，时，
代入得：，解得；
当抛物线经过点，， 时，
代入得：，解得；
当抛物线经过点，， 时，
代入得：，解得；
当抛物线经过点，， 时，
代入得： ，解得：，
比较四个a的值： ， 即a最小值是，对应三点：O、A、B．
故答案为：O；A；B
【分析】（1）先根据位似的性质作出的对应点，然后顺次连接即可；
（2）从四个点中任选 3 个点的坐标，分别代入抛物线的解析式求得a的值，然后比较a的值解答即可．
21．如图，已知二次函数 的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧)，与y轴交于点 C，点D 在二次函数图象上，且点 D 与点 C 关于对称轴对称，一次函数y=kx+b的图象经过B，D两点。
（1）求点 B， D 的坐标。
（2）根据图象，请直接写出当 时x的取值范围。
【答案】（1）解：当时，，解得：，
∵在的左侧，
∴，
当时，，即
∵二次函数，
∴抛物线对称轴直线为，
∵D 与 C 关于对称轴对称，
∴
（2）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】（2）解：∵二次函数的图像与一次函数的图像经过、两点．
∴根据图像判断，当时，．
∴当时，的取值范围为．
【分析】（1）先求得点B、C的坐标，根据二次函数的对称轴公式得到对称轴为直线，根据抛物线的对称性得到D的坐标解答；
（2）借助图象得到抛物线位于直线上方时自变量x的取值范围解答即可．
22．小明同学想利用所学数学知识求旗杆的高度，于是他设计了如下方案：如图，已知点A，B，C在同一条直线上，点A，E，D也在同一条直线上，BE⊥AC于点B，DC⊥AC于点 C，小明眼睛到地面高BE=1.5米，且AB=3米，CB=9米。
（1）求旗杆CD的高度。
（2）在地面BC上的F处放置一个平面镜，小明刚好可以通过该镜子看到旗杆顶端D，求此时BF的长。
【答案】（1）解：已知，，
因此，
∵为公共角，且
∴．
∴
∵
代入已知数值，，：
则，
，
，
（2）解：根据平面镜面反射的原理，入射角等于反射角，可得；
又∵，
∴．
设米，则米，
∴，
代入已知数值，，
，
解得，
即米
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据两角对应相等得到，根据对应边成比例求出CD长即可．
（2）根据两角对应相等得到，设，，根据对应边成比例解答即可．
23．【问题情境】机器狗是现代人工智能机器人的代表，随着科技的进步，它的功能也越来越强大，高端科研机器狗已经实现自主跳跃。实验数据显示：机器狗从水平地面起跳，并落在水平地面，其运动路线类似于抛物线，且起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变。一只微型机器狗起跳后的最高点距地面50cm，起跳点与落地点的距离是200cm。
【数学建模】如图1，将这只微型机器狗的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，机器狗在水平地面上的起跳点为O，落地点为M，以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系。
【问题解决】
（1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式。
（2）如图1，若机器狗从点O正上方的台面点 P（0，22)处起跳，落地点为Q，点Q在x轴的正半轴上，求落地点 Q 到原点的水平距离OQ的长。
（3）实验表明：机器狗在越过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于4cm才能安全通过。如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为矩形ABCD，AB=38cm，BC=30cm。机器狗从距离AB左侧 130cm的点O处起跳，发现不能跳过障碍物，则机器狗至少要向障碍物前进　 　cm，才能刚好安全通过障碍物。（请直接写出答案)
【答案】（1）顶点坐标为
解：设抛物线的函数解析式为：，
∵抛物线经过原点，
∴，解：，
∴
（2）解：∵抛物线的形状不变，点，
∴函数图象可以看作由抛物线向上平移22个单位长度得到的，
∴新的抛物线的解析式为： ，
当时，，解得：，（舍去）；
∴落地点到原点的水平距离的长
（3）
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（1）由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为50，
∴顶点坐标为；
（3）解：设机器狗至少要向障碍物前进，新抛物线是由抛物线向右平移得到的，
设新的函数解析式为：，
∵纵切面为矩形，，，机器狗从距离左侧的点处起跳，
∴即抛物线经过点D上方点的横坐标为160，
∵障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于才能安全通过，
∴抛物线经过点时，机器狗恰好通过障碍物，
∴，解得：或100，
∴机器狗至少要向障碍物前进，才能刚好安全通过障碍物．
【分析】（1）根据题意得到顶点坐标；然后利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）根据平移规律得到新函数解析式，令，求出x的值解答即可；
（3）设机器狗至少要向障碍物前进，根据平移得到新抛物线的解析式，把点代入解析式求出k的值解答即可．
24．已知菱形ABCD中，E，F，H分别是AD， CD，BC边上一点， 连结EF， AH， AF， HF。
（1）如图1， 当时，
①求证：=60°。
②当m=3，以A，E，F为顶点的三角形和以F，C，H为顶点的三角形相似时，求AH：AB 的值。
（2）如图2， 连结 BE， EH， 记S四边形ABHE：S菱形ABCD的值为k，当，1【答案】（1）解：①证明：∵菱形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴是等边三角形，
∴，即．
②设菱形的边长为，即，
当时，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴当时，，
∴，即，解得：，
∴，
如图：连接，过A作于G，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴当时，，
∴，即，解得：，
如图：连接，过A作于G，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上，的值为或
（2）
【知识点】菱形的性质；平行四边形的面积；二次函数y=ax²+bx+c的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（2）解：如图：设菱形的边长为，菱形边上的高为，过A作于G，过B作交延长线于I，过C作于J，则，，
如图：连接，则，
∵，，
∴，
∴，即，解得：，
∵
∴，
∴，解得：，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∵，，
∴抛物线开口向下，对称轴为，
∴当时，且在范围内，k有最大值，
∵，，
∴当时，k有最小值，最小值为，
∴k的取值范围为．
【分析】（1）①根据菱形的性质得到是等边三角形，进而得到∠B的度数解答即可；
②设菱形的边长为，当时，、，根据等边三角形的性质求出；当时，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出BG和AG长，进而求出AH长，求出比值解答即可；当时同理解答即可；
（2）设菱形的边长为，边上的高为，过A作于G，过B作交延长线于I，过C作于J，得到；连接，即可得到；根据两边成比例且夹角相等得到，根据对应边成比例得到；然后根据得到、，进而得到；求出；设，则，配方为顶点式，根据二次函数的性质得到函数值的取值范围即可．
1 / 1

展开更多......

收起↑