资源简介

1.3　交集、并集
基础过关练
题组一　交集的运算
1.(2026江苏盐城射阳中学期中)已知集合A={x|-3≤x≤1},B={x||x|≤2},则A∩B=(　　)
A.{x|-3≤x≤2}　　　　B.{x|0≤x≤1}
C.{x|-2≤x≤1}　　　　D.{x|1≤x≤2}
2.(2025江苏扬州仪征精诚高级中学月考)已知集合P=, Q={x|-1≤x≤4},则P∩Q=(　　)
A.{1,2,4}　　　　B.{0,1,3}
C.{x|0≤x≤3}　　　　D.{x|-1≤x≤4}
3.(2026江苏淮安高中校协作体联考)已知A B,A C,B={0,2,4,5},C={0,2,6,7},则满足上述条件的集合A的个数为　　　　.
4.(2026河南重点高中检测)设集合A={1,2,3,…,2 025},B={5x|x∈A},C={x|5x∈A},则B∩C中元素的个数为　　　　　.
题组二　并集的运算
5.(2026江苏宿迁第一高级中学阶段测试)设集合A={x|0A.(0,3)　　　　B.(-4,3)　　　　
C.(-4,2)　　　　D.(0,2)
6.(2025江苏南京第二十九中学月考)已知集合A={-2,0,1},B={y|y=2|x|,x∈A},则A∪B的真子集个数为(　　)
A.5　　　　B.30　　　　
C.31　　　　D.32
7.(教材习题改编)已知集合A={x|x=2n-1,n∈Z},B={x|x=4m+1,m∈Z},则(　　)
A.A∩B=A　　　　B.A∪B=A　　　　
C.A∪B=Z　　　　D.A∩B=
题组三　集合的综合运算
8.(2026江苏丹阳质量检测)已知集合M={x|x-4≥0},N={-2,0,2,4,5},则( RM)∩N=(　　)
A.{-2,0,2}　　　　B.{-2,0}
C.{4,5}　　　　D.{-2,0,2,4}
9.(2026江苏徐州睢宁菁华高级中学月考)如图,U为全集,M,P,S是U的三个子集,则阴影部分所表示的集合是(　　)
A.(M∩P)∩S　　　　B.(M∩P)∪S
C.(M∩P)∩( US)　　　　D.(M∩P)∪( US)
10.(2025江苏南京、镇江、扬州六校月考)已知集合P,Q均为R的子集,且( RQ)∪P=R,则( RP)∩Q=(　　)
A. 　　　　B. RP　　　　
C.Q　　　　D.R
题组四　集合运算中的参数问题
11.(2026江苏海安检测)已知集合A={-5,-1,1,5},B={x|aA.(-2,-1)　　　　B.[-2,-1]
C.(-2,2]　　　　D.[-5,-1)
12.(2026湖北华中科技大学附属中学月考)已知集合P={x|-2≤x≤10},Q={x|1-m≤x≤1+m},若Q∩( RP)= ,则实数m的取值范围为(　　)
A.m≤3　　　　B.m≥9
C.m≤3或m≥9　　　　D.3≤m≤9
13.(2026江苏常州调研)已知集合M={x|x2-3x+2=0},非空集合N={x|x2-ax+3a-5=0},若M∪N=M,则实数a的取值构成的集合为　　　　.
14.(2025江苏连云港灌南高级中学质检)已知全集U={x|x=3n,1≤n≤5且n∈N},A={x|x2-px+27=0,p∈N},B={x|x2-15x+q=0,q∈N},且A∪( UB)={3,9,12,15},则p+q=　　　　.
能力提升练
题组一　集合的综合运算
1.已知集合A中有10个元素,B中有6个元素,全集U中有18个元素,A∩B≠ .设集合( UA)∩( UB)中有x(x∈N*)个元素,则x的取值范围是(　　)
A.{x|3≤x≤8,x∈N*}
B.{x|2≤x≤8,x∈N*}
C.{x|8≤x≤12,x∈N*}
D.{x|10≤x≤15,x∈N*}
2.(多选题)(2026江苏南通如东高级中学检测)已知全集U={x|x<10,x∈N},A U,B U,A∩( UB)={1,9},A∩B={3},( UA)∩( UB)={4,6,7},则下列结论正确的为(　　)
A.8∈B　　　　B.A的子集的个数为8
C.{9} A　　　　D.6 U(A∪B)
3.(多选题)(2025江苏连云港新海高级中学检测)设U为全集,集合A,B,C满足A∪B=A∪C,则下列各式中不一定成立的是(　　)
A.B A
B.C A
C.A∩( UB)=A∩( UC)
D.( UA)∩B=( UA)∩C
4.(教材·深研拓展)某校高中部举行数学、物理、化学三科竞赛,参赛学生中至少参加一科竞赛的情况为:数学807人,物理738人,化学437人;至少参加其中两科的情况为:数学和物理593人,数学和化学371人,物理和化学267人;三科都参加的有213人.则该校参加竞赛的学生总人数为　　　　.
题组二　集合运算中的参数问题
5.(2026吉林省实验中学月考)若集合A={x|-1≤x≤5},B={x|ax≤a3},且A∩B={x|2≤x≤5},则实数a=(　　)
A.　　　　B.-　　　　C.±　　　　D.或0
6.(2026江苏南京金陵中学月考)已知集合A={1,2},B={x|(x2+ax)(x2+2x+b)=0,x∈R},且A∩( RB)= ,则集合B中的元素个数为(　　)
A.5　　　　B.4　　　　C.3　　　　D.2
7.(2026江苏无锡辅仁高级中学月考)已知集合A={x|x2+bx-3=0},B={x|ax2-x+c=0},若A∩B=A,A∪B=A,且集合A中的元素是整数,则a+b+c=　　　　.
8.(2025福建龙岩连城第一中学开学考试)已知全集U=R,集合A={x|x2+x-6=0},B={x|x2+2(a+1)·x+a2-5=0},若A∩( UB)=A,则实数a的取值范围为　　　　　　　　　　　.
9.(2025河北石家庄第十五中学阶段测试)已知集合A={x|x<-3或x>7},B={x|m+1≤x≤2m-1}.
(1)若( RA)∪B= RA,求实数m的取值范围;
(2)若( RA)∩B={x|a≤x≤b},且b-a≥1,求实数m的取值范围.
创新点　从新定义角度考查集合的综合运算
10.(2026江苏江阴南菁高级中学阶段检测)设有限集M所含元素的个数用card(M)表示,并规定card( )=0.已知集合A,B满足A∪B={1,2,3,4,5,6},A∩B= ,若card(A) A,card(B) B,则满足条件的所有集合A的个数为(　　)
A.6　　　　B.10　　　　C.16　　　　D.64
答案与分层梯度式解析
第1章　集合
1.3　交集、并集
基础过关练
1.C 2.B 5.B 6.C 7.B
8.A 9.C 10.A 11.A 12.A
1.C　易得B={x||x|≤2}={x|-2≤x≤2},又A={x|-3≤x≤1},所以A∩B={x|-2≤x≤1}.
2.B　易得P={0,1,3},又Q={x|-1≤x≤4},所以P∩Q={0,1,3}.
3.答案　4
解析　因为A B,A C,
所以A (B∩C).
易得B∩C={0,2},所以满足题意的集合A的个数为22=4.
4.答案　81
解析　易得B={5x|x∈A}={5,10,15,…,10 125},C==,,,…,405,所以B∩C={5,10,15,…,405}.因为=81,所以B∩C中元素的个数为81.
5.B
6.C　易得B={0,2,4},所以A∪B={-2,0,1,2,4},所以A∪B的真子集个数为25-1=31.
7.B　易知A={x|x=2n-1=2(n-1)+1,n∈Z},B={x|x=4m+1=2·2m+1,m∈Z},因为n∈Z,m∈Z,所以n-1表示所有的整数,2m表示所有的偶数,所以A∩B=B,A∪B=A.
8.A　因为M={x|x-4≥0}={x|x≥4},
所以 RM={x|x<4}.
又N={-2,0,2,4,5},
所以( RM)∩N={-2,0,2}.
9.C　题图中的阴影部分是M∩P的子集,且与集合S没有交集,即是 US的子集,则阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩( US).
10.A　因为( RQ)∪P=R,所以Q P,
所以( RP)∩Q= .
11.A　因为a+3-a=3,所以A∩B中的元素只能为-1和1,所以
解得-212.A　因为Q∩( RP)= ,
所以Q P.
当Q= 时,1-m>1+m,解得m<0.
当Q≠ 时,要使Q P,需满足解得0≤m≤3.
综上,实数m的取值范围为m≤3.
13.答案　{2}
解析　易得M={1,2}.
因为M∪N=M,
所以N M,
当N={1}时,解得a=2;
当N={2}时,无解;
当N={1,2}时,无解.
综上,实数a的取值构成的集合为{2}.
14.答案　66
解析　易得U={3,6,9,12,15}.
因为A∪( UB)={3,9,12,15},
所以6∈B,
所以62-15×6+q=0,解得q=54,
则B={x|x2-15x+54=0}={6,9},
所以 UB={3,12,15},
所以9∈A,
所以92-9p+27=0,解得p=12,
则A={x|x2-12x+27=0}={3,9}.
经检验,符合题意,
所以p+q=12+54=66.
能力提升练
1.A 2.ABC 3.ABC 5.B 6.B
10.B
1.A　因为集合A中有10个元素,B中有6个元素,A∩B≠ ,所以A∩B中至少有1个元素,至多有6个元素,所以A∪B中至多有15个元素,至少有10个元素.
因为集合( UA)∩( UB)= U(A∪B)中有x个元素,所以18-15≤x≤18-10,且x∈N*,即3≤x≤8,x∈N*,即x的取值范围是{x|3≤x≤8,x∈N*}.
知识拓展
德·摩根定律
(1) U(A∩B)=( UA)∪( UB);
(2) U(A∪B)=( UA)∩( UB).
2.ABC　易得U={x|x<10,x∈N}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
因为A∩( UB)={1,9},所以1和9在集合A中,不在集合B中.
因为( UA)∩( UB)={4,6,7}= U(A∪B),所以4,6,7既不在集合A中,也不在集合B中.
因为A∩B={3},所以3既在集合A中又在集合B中.
所以在集合B中,不在集合A中的元素为0,2,5,8.
如图.
易得8∈B,9∈A,6∈ U(A∪B),
所以{9} A,
故A,C正确,D错误.
因为集合A中有3个元素,
所以A的子集的个数为8,
故B正确.
3.ABC　对于A,B,C,取U={1,2,3},A={1},B={2,3},C={1,2,3},满足A∪B=A∪C,但B,C不是A的子集,故A,B不一定成立;易得 UB={1}, UC= ,所以A∩( UB)={1},A∩( UC)= ,故C不一定成立.
对于D,若x∈( UA)∩B,
则x A,x∈B,则x∈A∪B,
又A∪B=A∪C,
所以x∈C,所以x∈( UA)∩C,
所以[( UA)∩B] [( UA)∩C].
同理,若x∈( UA)∩C,
则x∈( UA)∩B,
所以[( UA)∩C] [( UA)∩B].
所以( UA)∩B=( UA)∩C,故D一定成立.
4.答案　964
解析　解法一:只参加物理和数学的人数为593-213=380,只参加数学和化学的人数为371-213=158,只参加物理和化学的人数为267-213=54,
画出Venn图如图所示:
所以参加竞赛的学生总人数为56+91+12+380+158+54+213=964.
解法二:设集合A={x|x为参加数学竞赛的学生},集合B={x|x为参加物理竞赛的学生},集合C={x|x为参加化学竞赛的学生},则card(A)=807,card(B)=738,card(C)=437,card(A∩B)=593,card(B∩C)=267,card(A∩C)=371,card(A∩B∩C)=213,利用容斥原理得,该校参加竞赛的学生总人数为card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C)=807+738+437-593-267-371+213=964.知识拓展
　　把含有有限个元素的集合A叫作有限集,用card(A)来表示有限集合A中元素的个数,如A={a,b,c},则card(A)=3.容斥原理告诉我们,如果被计数的事物有A,B,C三类,那么card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C).
5.B　当a=0时,B=R,此时A∩B=A,与题意不符.
当a>0时,B={x|x≤a2},如图1,此时也不满足题意.
当a<0时,B={x|x≥a2},如图2,则a2=2,所以a=-.
综上,实数a=-.
6.B　因为A∩( RB)= ,所以A B,所以1∈B,2∈B.
解方程x2+ax=0,得x=0或x=-a.
若1是方程x2+ax=0的根,则2是方程x2+2x+b=0的根,所以a=-1,b=-8,此时B={0,1,2,-4},有4个元素.
若2是方程x2+ax=0的根,则1是方程x2+2x+b=0的根,所以a=-2,b=-3,此时B={0,1,2,-3},有4个元素.
综上,集合B中的元素个数为4.
7.答案　±3
解析　因为A∩B=A,A∪B=A,所以A B,B A,所以A=B,所以方程x2+bx-3=0和方程ax2-x+c=0的各项系数对应成比例,即==,所以b=-,c=-3a.
易知方程x2+bx-3=0的判别式Δ=b2+12>0,两根之积为-3,又集合A中的元素是整数,所以A={1,-3}或A={-1,3}.
当A={1,-3}时,b=2,a=-,c=,此时a+b+c=3.
当A={-1,3}时,b=-2,a=,c=-,此时a+b+c=-3.
综上,a+b+c=±3.
8.答案　{a|a∈R且a≠-1,a≠-3,a≠3±}
解析　易知A={2,-3}.
∵A∩( UB)=A,∴A UB,∴A∩B= .
对于方程x2+2(a+1)x+a2-5=0,
当Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8a+24<0,即a<-3时,B= ,满足题意.
当Δ=0,即a=-3时,B={2},
所以A∩B={2},与题意不符.
当Δ>0,即a>-3时,只需使-3 B且2 B,所以
解得a≠-1且a≠-3且a≠3±.
综上,实数a的取值范围是{a|a∈R且a≠-1,a≠-3,a≠3±}.
9.解析　(1)由题意知, RA={x|-3≤x≤7}.
因为( RA)∪B= RA,所以B RA.
①当B= 时,满足B RA,
则m+1>2m-1,解得m<2;
②当B≠ 时,若B RA,
则解得2≤m≤4.
综上所述,m的取值范围为{m|m≤4}.
(2)因为( RA)∩B={x|a≤x≤b},且b-a≥1,所以B≠ ,即m+1≤2m-1,
解得m≥2,则m+1≥3,2m-1≥3.
①当2m-1≤7,即m≤4时,( RA)∩B={x|m+1≤x≤2m-1},故2m-1-(m+1)≥1,所以3≤m≤4;
②当即4所以4③当m+1>7,即m>6时,( RA)∩B= ,不符合题意.
综上所述,实数m的取值范围为{m|3≤m≤5}.
10.B　当A= 时,B={1,2,3,4,5,6},此时card(A)=0,card(B)=6∈B,与card(B) B矛盾,所以A≠ .同理可得card(A)≠6.
设card(A)=k(k=1,2,3,4,5),
则card(B)=6-k,且6-k∈A∪B.
由k A且6-k B,得k∈B,6-k∈A.
①当k=1时,5∈A,又card(A)=1,所以A={5},则B={1,2,3,4,6},满足题意.
②当k=2时,4∈A,2∈B,
又card(A)=2,
所以若A={1,4},则B={2,3,5,6};
若A={3,4},则B={1,2,5,6};
若A={4,5},则B={1,2,3,6};
若A={4,6},则B={1,2,3,5}.
均满足题意.
③当k=3时,card(A)=3,则3 A,3∈B,但此时card(B)=3∈B,与题意不符.
④当k=4时,2∈A,4∈B,同②可得集合B的个数为4,所以集合A的个数为4.
⑤当k=5时,5∈B,又card(B)=1,所以B={5},则A={1,2,3,4,6},满足题意.
综上,满足题意的集合A的个数为1+4+4+1=10.

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