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华东师大版2026年九年级数学上册第22章 图形的相似 单元检测卷
解答卷
一、选择题
1．下列各组中的四条线段是成比例线段的是（　　）
A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，4cm，6cm，8cm
C．1cm，cm，cm，2cm D．2cm，3cm，4cm，6cm
【解答】解：A．1：2≠3：4，所以A选项不符合题意；
B．2：4≠6：8，所以B选项不符合题意；
C．1：≠：2，所以C选项不符合题意；
D．2：3＝4：6，则2cm，3cm，4cm，6cm成比例线段，所以D选项符合题意．
故选：D．
2．下列各组图形中不一定是相似形的是（　　）
A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形
C．两个正方形 D．两个直角三角形
【解答】解：A、两个等腰直角三角形一定相似，不符合题意；
B、两个等边三角形一定相似，不符合题意；
C、两个正方形一定相似，不符合题意；
D、两个直角三角形不一定相似，符合题意，
故选：D．
3．若△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：3，则对应边上的高之比是（　　）
A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．1：12
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：3，
∴其相似比是1：3，
∴对应边上的高之比为1：3．
故选：A．
4．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件仍不能判定△ADE与△ACB相似的是（　　）
A．∠ADE＝∠ACB B．DE∥BC C． D．
【解答】解：∵∠A＝∠A，
A．∠ADE＝∠ACB，有两个角对应相等，能使△ADE与△ACB相似，
故该选项不符合题意；
B．由DE∥BC得∠ADE＝∠B，有两个角对应相等，能使△ADE与△ACB相似，
故该选项不符合题意；
C．，有两组对应边的比相等，且其夹角相等，能使△ADE与△ACB相似，
故该选项不符合题意；
D． ，有两组对应边的比相等但夹角不一定相等，不能使△ADE与△ACB相似，
故该选项符合题意．
故选：D．
5．下面是花架实物及其对应的侧面示意图，若AB∥CD∥EF，，DF＝50cm，则BD的长为（　　）
A．40cm B．45cm C．50cm D．60cm
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∵DF＝50cm，
∴BF＝BD+DF＝（BD+50）cm，
∴，
∴BD＝40，
则BD的长为40cm．
故选：A．
6．如图，五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'是位似图形，O为位似中心，A'B'＝2AB，则OD：DD'为（　　）
A．1：3 B．2：1 C．1：2 D．1：1
【解答】解：∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，
∴，
∵A′B′＝2AB，
∴，即OD′＝2OD，
∴DD′＝OD′﹣OD＝OD，
∴OD：DD′＝1：1，
故选：D．
7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A（﹣2，1）的对应点为A′（﹣4，2），则点B（﹣1，4）的对应点B′的坐标为（　　）
A．（﹣2，12） B．（﹣2，8） C．（﹣2，6） D．（﹣4，8）
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O，
而点A（﹣2，1）的对应点为A′（﹣4，2），
∴△ABC与△A′B′C′的位似比为1：2，
∴点B（﹣1，4）的对应点B′的坐标为（﹣2，8）．
故选：B．
8．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比（黄金分割比约为0.618）．如图，点B为AC的黄金分割点（AB＞BC），若AC＝100cm，则BC约为（　　）
A．42cm B．38cm C．62cm D．70cm
【解答】解：由题意，得：，AC＝100cm，
∴AB≈61.8cm，
∴BC＝AC﹣AB≈38cm．
故选：B．
9．如图，平行四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD边上两点，BE＝AB，，连接AC，EF交于点P，若△AEP的面积为S，则△APF的面积为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：过E点作EM∥BC交AC于M点，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴EM∥AD，
∵EM∥BC，
∴△AEM∽△ABC，
∴＝，
∵BE＝AB，
∴AE＝AB，
∴＝，
∴EM＝BC＝AD，
∵EM∥AF，
∴△PEM∽△PFA，
∴＝＝＝，
∴＝＝，
∴S△APF＝S△AEP＝S．
故选：C．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A，C在第一象限内，点B（0，8），AB＝AO，CA＝CB，∠OAB＝∠ACB＝120°，将四边形OACB绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第89次旋转结束时，点C的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意知，每旋转4次回到原位置．
∵89÷4＝22……1，
∴第89次旋转结束时，图形旋转了90°．
如图，旋转后的图形为四边形OA′C′B′．
过点C′作C′E⊥B′O于点E，过点A′作A′D⊥B′O于点D，则A′D∥C′E．
∵点B（0，8），AB＝AO，CA＝CB，且∠OAB＝∠ACB＝120°，
∴B′O＝BO＝8，，∠ABO＝，
∴∠CAB＝∠ABO＝30°，∠OBC＝∠CBA+∠ABO＝60°，，∠OBC+∠ACB＝180°，
∴AC∥BO，A′C′∥B′O，A′D＝DO tan30°＝，
∴，
∴四边形A′C′ED是平行四边形，，，
∴则第89次旋转结束时，点C的坐标为．
故选：A．
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）到x轴的距离是 　3　 ．
【解答】解：点P（2，﹣3）到x轴的距离是|﹣3|＝3，
故答案为：3．
12．若，则的值为 　　 ．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13．如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，若∠B＝50°，∠C＝80°，∠A＝100°，则∠D′＝　130　 度．
【解答】解：∵∠B＝50°，∠C＝80°，∠A＝100°，
∴∠D＝360°﹣∠B﹣∠C﹣∠A＝360°﹣50°﹣80°﹣100°＝130°．
∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴∠D′＝∠D＝130°（相似多边形对应角相等）．
则∠D′的度数为130°，
故答案为：130．
14．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1，l2于点A、B、C和点D、E、F，，如果AD＝7，CF＝14，那么BE＝　9　 ．
【解答】解：如图，过点D作DN∥AC，交BE于点M，交CF于点N，
∵AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1，l2于点A、B、C和点D、E、F，AD＝7，
∴四边形ACND、四边形ABMD是平行四边形，△DME∽△DNF，
∴AD＝BM＝CN＝7，，
∵，CF＝14，
∴，NF＝CF﹣CN＝7，
∴，
解得ME＝2，
∴BE＝BM+ME＝7+2＝9．
故答案为：9．
15．如图，在菱形ABCD中，点E在BC上，AE与BD交于点F．若AB＝5，BE＝3，则＝　　 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝5，BE＝3，
∴AD∥BC，DA＝AB＝5，
∵AD∥EB，
∴△DAF∽△BEF，
∴，
故答案为：．
16．黄金矩形是指宽与长的比值为黄金分割比的矩形，它因视觉上极具和谐美感，被广泛应用于古希腊帕特农神庙、蒙娜丽莎构图等经典艺术与建筑中，若从一个黄金矩形中裁去一个以宽为边长的正方形，剩余部分仍为一个新的黄金矩形，这一特性被称为“黄金矩形的自相似性”．如图，若从原黄金矩形ABCD中依次裁去以宽为边长的正方形，设第n次裁去后剩余矩形的长为an（n≥2），则的值为　　 ，的值为　　 ．
【解答】解：设第（n﹣1）次裁去后剩余矩形的长为an﹣1，宽为bn﹣1，根据题意可知：
第（n﹣1）次剩余矩形满足宽与长之比为，即，
∵第n次裁剪是裁去以宽bn﹣1为边长的正方形，
∴第n次剩余矩形的长an等于第（n﹣1）次剩余矩形的宽bn﹣1，
∴an＝bn﹣1，
∴，
当n＝3时，，
故的值为，的值为．
故答案为：，．
三、解答题
17．（8分）图1，图2是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC为格点三角形（三角形的顶点均在格点上）．请按下列要求画出图形．
（1）在图1中画出格点△A1B1C1，使得△A1B1C1∽△ABC，相似比为2：1；
（2）在图2中画出格点△A2B2C2，使得△A2B2C2∽△ABC，面积比为2：1．
【解答】解：（1）如图1，△A1B1C1即为所求．
（2）由题意知，△A2B2C2与△ABC的相似比为，
如图2，△A2B2C2即为所求．
18．（8分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD＝∠C．
（1）求证：△ABD∽△CBA；
（2）若AB＝4，BD＝2，求BC的长．
【解答】（1）证明：∵在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBA；
（2）解：由（1）可得△ABD∽△CBA，
∴，即，
解得：BC＝8．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣4，0），C（﹣4，﹣4），在y轴右侧，以原点O为位似中心画一个△A′B′C′，使它与△ABC位似，且位似比是1：2．
（1）请画出△A′B′C′；
（2）△A′B′C′与△ABC的周长之比为　1：2　 ；
（3）若△ABC内部一点M的坐标为（a，b），则点M的对应点M′的坐标是　　 ．
【解答】解：（1）与△ABC位似，且位似比是1：2的△A′B′C′，如图即为所求；
（2）∵△A′B′C′与△ABC位似，且位似比是1：2．
∴△A′B′C′与△ABC的周长之比为1：2，
故答案为：1：2；
（3）∵△A′B′C′与△ABC位似，且位似比是1：2．
又∵点M的坐标为（a，b），
∴点M的对应点M′的坐标为．
故答案为：．
20．（8分）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC上的点，ED的延长线与CB的延长线交于点F，且∠1＝∠A．
（1）求证：FD2＝FB FC；
（2）若FB＝4，BC＝5，求FD的长．
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠A，∠1＝∠2，
∴∠2＝∠A，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠DCB+∠CBD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠CBD＝90°，
∴∠DCB＝∠A＝∠2．
又∵∠DFB＝∠CFD，
∴△FBD∽△FDC，
∴，
∴FD2＝FB FC；
（2）解：∵FB＝4，BC＝5，
∴FC＝9．
由（1）可知FD2＝FB FC，
∴FD2＝36，
∴FD＝6．
21．（8分）张祥云烈士纪念碑位于温县城西8公里祥云镇广场东端，为纪念解放战争时期被国民党杀害的张祥云烈士而修建，已被列为县级重点文物保护单位（图1）．温县某数学兴趣小组参观该纪念碑时开展了测量纪念碑高度的活动，记录如下：
活动主题 测量纪念碑的高度
成员 组长：×××，组员：×××
测量方案及示意图
测量步骤 步骤一：如图2，把长为2m的标杆垂直立于地面点D处，碑的顶点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面BD于点Q，测得QD＝3m； 步骤二：将标杆沿着水平面BD的方向平移到点F处，碑的顶点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面BD于点P，测得PF＝4m，FD＝6.5m．
… …
（1）求该纪念碑AB的高度；
（2）另外一个小组在实际测量时出现了误差，请提出一条减少误差的建议．
【解答】解：（1）设AB＝xm，BD＝ym，
由题意得：EF∥AB，
∴△EFP∽△ABP，
∴，
∵EF＝2m，PF＝4m，PB＝PF+FD+BD＝4+6.5+y＝（10.5+y）m，
∴，
由题意得：CD∥AB，
∴△CDQ∽△ABQ，
∴，
∵CD＝2m，DQ＝3m，QB＝QD+DB＝（3+y）m，
∴，
∴，
解得y＝19.5，
经检验y＝19.5是原分式方程的解，且符合题意，
∴，
解得x＝15．
经检验，x＝15是原分式方程的解，且符合题意．
答：纪念碑的高度AB为15米．
（2）多次测量求平均值或选用刻度更精准的卷尺进行长度测量．
22．（10分）阅读以下材料，并解答后面的问题．
黄金三角形的概念和性质 定义：顶角为36°的等腰三角形叫作黄金三角形． 性质：黄金三角形的底边与腰的比等于．
如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，BC于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；作射线BP交AC于点D．
（1）求证：△BCD为黄金三角形；
（2）若AC＝4，求DC的长．（结果保留根号）
【解答】（1）证明：由作图可知，BP平分∠ABC，
∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∴∠BCD＝∠ABC＝36°，
∴∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BC＝BD，
∴△BCD是顶角为36°的等腰三角形，
∴△BCD为黄金三角形；
（2）解：∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴△ABC是黄金三角形，
∴．
∵AC＝4，
∴BC＝．
∵△BCD为黄金三角形，
∴，
∴CD＝．
23．（10分）已知菱形ABCD中，E，F，H分别是AD，CD，BC边上一点，，连接EF，AH，AF，HF．（1）如图1，当∠AEF＝∠C时，
①求证：∠B＝60°．
②当m＝3，以A，E，F为顶点的三角形和以F，C，H为顶点的三角形相似时，求AH：AB的值．
（2）如图2，连接BE，EH，记S四边形ABHE：S菱形ABCD的值为k，当S△ABE＝S四边形EHCF，1＜m≤5时，请直接写出k的取值范围．
【解答】（1）①证明：∵菱形ABCD，
∴AD∥BC，AD＝CD，∠B＝∠D，
∴∠D+∠C＝180°，
∵∠AEF+∠FED＝180°，∠AEF＝∠C，
∴∠D＝∠FED，
∴EF＝FD，
∵AE＝CF，
∴AD﹣AE＝CD﹣CF，即DE＝DF，
∴DE＝DF＝EF，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠D＝60°，即∠B＝60°；
②设菱形的边长为3a，即AD＝AB＝CD＝BC＝3a，
当m＝3时，，
∴DE＝AD﹣AE＝2a，
∴DE＝DF＝EF，
∴△DEF是等边三角形，
∴EF＝DE＝2a，
∵∠AEF＝∠C，
∴当∠AFE＝∠FHC时，△AFE∽△FHC，
∴，即，解得：CH＝2a，
∴BH＝BC﹣CH＝a，
如图：连接AC，过A作AG⊥BC于G，
∵AB＝BC，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
∵AG⊥BC，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴当∠FAE＝∠FHC时，△FAE∽△FHC，
∴，即，解得：，
如图：连接AC，过A作AG⊥BC于G，
∵AB＝BC，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
∵AG⊥BC，
∴，
∴HG＝CG﹣CH＝a，
∴，
∴．
综上，AH：AB的值为或．
（2）解：如图：设菱形的边长为b，菱形BC边上的高为h，过A作AG⊥BC于G，过B作BI⊥AD交AD延长线于I，过C作CJ⊥AD于J，则，
S菱形ABCD＝bh，
如图：连接AC，则，
∵，∠EDF＝∠ADC，
∴△EDF∽△ADC，
∴，即，解得：，
∵S△ABE＝S四边形EHCF，
∴S△ABE＝S梯形EHCD﹣S△EFD，
∴，解得：，
∴，
∴，，
设，则，，
∵，，
∴抛物线开口向下，对称轴为，
∴当时，且在范围内，k有最大值，
∵，，
∴当t＝1时，k有最小值，最小值为，
∴k的取值范围为．
24．（12分）【问题背景】
数学活动课上，老师和学生一起探究图形的旋转性质．
已知，如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝10，点D是BC边上的动点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接DE，CE，DE与AC交于点F．
【初步探究】
（1）如图1，在点D的运动过程中，试探究CE与BD的数量关系，并说明理由．
【深入探究】
（2）如图2，当点D运动到CD＝4时，求EF的长．
【拓展延伸】
（3）如图3，点M为ED延长线上一点，且满足MC＝MF，当＝k（k＞1）时，求的值（用含k的式子表示）．
【解答】解：（1）CE＝BD，理由如下：
由旋转得∠DAE＝90°，AD＝AE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAC+∠CAE＝∠DAC+∠BAD，
∴∠CAE＝∠BAD，
∵AB＝AC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴CE＝BD；
（2）∵BC＝10，CD＝4，
∴BD＝BC﹣CD＝6，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵△ABD≌△ACE，
∴CE＝BD＝6，∠ACE＝∠B＝45°，
∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，
∴，
在Rt△ADE 中，AD＝AE，
∴，∠AED＝∠ADE＝45°，
∴AD＝AE＝，
同理可求AB＝AC＝，
∵∠AEF＝∠B＝45°，∠EAF＝∠BAD＝90°﹣∠DAF，
∴△AEF∽△ABD，
∴，
∴，
解得；
（3）由（1）可得，△ABD≌△ACE，
∴∠ECA＝∠B＝45°，
∵MC＝MF，
∴∠MCF＝∠MFC，
∴∠FCD+∠MCD＝∠ECF+∠FEC，
∵∠DCF＝∠ECF＝45°，
∴∠MCD＝∠MEC，
∵∠M＝∠M，
∴△MCD∽△MEC，
∴，
∵，
∴，
∵CM＝FM，
∴，
∴．华东师大版2026年九年级数学上册第22章 图形的相似 单元检测卷
满分：120分 考试时间：120分钟
学校:___________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________
一、选择题
1．下列各组中的四条线段是成比例线段的是（　　）
A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，4cm，6cm，8cm
C．1cm，cm，cm，2cm D．2cm，3cm，4cm，6cm
2．下列各组图形中不一定是相似形的是（　　）
A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形
C．两个正方形 D．两个直角三角形
3．若△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：3，则对应边上的高之比是（　　）
A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．1：12
4．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件仍不能判定△ADE与△ACB相似的是（　　）
A．∠ADE＝∠ACB B．DE∥BC C． D．
5．下面是花架实物及其对应的侧面示意图，若AB∥CD∥EF，，DF＝50cm，则BD的长为（　　）
A．40cm B．45cm C．50cm D．60cm
6．如图，五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'是位似图形，O为位似中心，A'B'＝2AB，则OD：DD'为（　　）
A．1：3 B．2：1 C．1：2 D．1：1
7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A（﹣2，1）的对应点为A′（﹣4，2），则点B（﹣1，4）的对应点B′的坐标为（　　）
A．（﹣2，12） B．（﹣2，8） C．（﹣2，6） D．（﹣4，8）
8．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比（黄金分割比约为0.618）．如图，点B为AC的黄金分割点（AB＞BC），若AC＝100cm，则BC约为（　　）
A．42cm B．38cm C．62cm D．70cm
9．如图，平行四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD边上两点，BE＝AB，，连接AC，EF交于点P，若△AEP的面积为S，则△APF的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A，C在第一象限内，点B（0，8），AB＝AO，CA＝CB，∠OAB＝∠ACB＝120°，将四边形OACB绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第89次旋转结束时，点C的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）到x轴的距离是 _____ ．
12．若，则的值为 __________________ ．
13．如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，若∠B＝50°，∠C＝80°，∠A＝100°，则∠D′＝________ 度．
14．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1，l2于点A、B、C和点D、E、F，，如果AD＝7，CF＝14，那么BE＝_____ ．
15．如图，在菱形ABCD中，点E在BC上，AE与BD交于点F．若AB＝5，BE＝3，则＝__________________ ．
16．黄金矩形是指宽与长的比值为黄金分割比的矩形，它因视觉上极具和谐美感，被广泛应用于古希腊帕特农神庙、蒙娜丽莎构图等经典艺术与建筑中，若从一个黄金矩形中裁去一个以宽为边长的正方形，剩余部分仍为一个新的黄金矩形，这一特性被称为“黄金矩形的自相似性”．如图，若从原黄金矩形ABCD中依次裁去以宽为边长的正方形，设第n次裁去后剩余矩形的长为an（n≥2），则的值为_________ ，的值为__________ ．
三、解答题
17．（8分）图1，图2是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC为格点三角形（三角形的顶点均在格点上）．请按下列要求画出图形．
（1）在图1中画出格点△A1B1C1，使得△A1B1C1∽△ABC，相似比为2：1；
（2）在图2中画出格点△A2B2C2，使得△A2B2C2∽△ABC，面积比为2：1．
18．（8分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD＝∠C．
（1）求证：△ABD∽△CBA；
（2）若AB＝4，BD＝2，求BC的长．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣4，0），C（﹣4，﹣4），在y轴右侧，以原点O为位似中心画一个△A′B′C′，使它与△ABC位似，且位似比是1：2．
（1）请画出△A′B′C′；
（2）△A′B′C′与△ABC的周长之比为________ ；
（3）若△ABC内部一点M的坐标为（a，b），则点M的对应点M′的坐标是____________________ ．
20．（8分）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC上的点，ED的延长线与CB的延长线交于点F，且∠1＝∠A．
（1）求证：FD2＝FB FC；
（2）若FB＝4，BC＝5，求FD的长．
21．（8分）张祥云烈士纪念碑位于温县城西8公里祥云镇广场东端，为纪念解放战争时期被国民党杀害的张祥云烈士而修建，已被列为县级重点文物保护单位（图1）．温县某数学兴趣小组参观该纪念碑时开展了测量纪念碑高度的活动，记录如下：
活动主题 测量纪念碑的高度
成员 组长：×××，组员：×××
测量方案及示意图
测量步骤 步骤一：如图2，把长为2m的标杆垂直立于地面点D处，碑的顶点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面BD于点Q，测得QD＝3m；步骤二：将标杆沿着水平面BD的方向平移到点F处，碑的顶点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面BD于点P，测得PF＝4m，FD＝6.5m．
… …
（1）求该纪念碑AB的高度；
（2）另外一个小组在实际测量时出现了误差，请提出一条减少误差的建议．
22．（10分）阅读以下材料，并解答后面的问题．
黄金三角形的概念和性质定义：顶角为36°的等腰三角形叫作黄金三角形．性质：黄金三角形的底边与腰的比等于．
如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，BC于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；作射线BP交AC于点D．
（1）求证：△BCD为黄金三角形；
（2）若AC＝4，求DC的长．（结果保留根号）
23．（10分）已知菱形ABCD中，E，F，H分别是AD，CD，BC边上一点，，连接EF，AH，AF，HF．（1）如图1，当∠AEF＝∠C时，
①求证：∠B＝60°．
②当m＝3，以A，E，F为顶点的三角形和以F，C，H为顶点的三角形相似时，求AH：AB的值．
（2）如图2，连接BE，EH，记S四边形ABHE：S菱形ABCD的值为k，当S△ABE＝S四边形EHCF，1＜m≤5时，请直接写出k的取值范围．
24．（12分）【问题背景】
数学活动课上，老师和学生一起探究图形的旋转性质．
已知，如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝10，点D是BC边上的动点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接DE，CE，DE与AC交于点F．
【初步探究】（1）如图1，在点D的运动过程中，试探究CE与BD的数量关系，并说明理由．
【深入探究】（2）如图2，当点D运动到CD＝4时，求EF的长．
【拓展延伸】（3）如图3，点M为ED延长线上一点，且满足MC＝MF，当＝k（k＞1）时，求的值（用含k的式子表示）．

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