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7.3.2离散型随机变量的方差
A级必备知识基础练
1.已知随机变量X的分布列是
X 1 2 3
P 0.4 0.2 0.4
则D(X)=(　　)
A.0 B.0.8 C.2 D.1
2.已知随机变量X满足E(2X-1)=2,D(2X-1)=4,则(　　)
A.E(X)=2,D(X)=
B.E(X)=,D(X)=
C.E(X)=,D(X)=1
D.E(X)=2,D(X)=1
3.(2026江苏南通高二月考)若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论正确的是(　　)
A.P(X=0)=E(X) B.E(3X+2)=4
C.D(3X+2)=4 D.D(X)=
4.由以往的统计资料表明,甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为
X1(甲得分) 0 1 2
P 0.2 0.5 0.3
X2(乙得分) 0 1 2
P 0.3 0.3 0.4
现有一场比赛,应派哪位运动员参加较好(　　)
A.甲 B.乙
C.甲、乙均可 D.无法确定
5.不透明口袋中有n个相同的黑色小球和红色、白色、蓝色的小球各1个,从中任取4个小球,ξ表示当n=2时取出黑球的数目,η表示当n=3时取出黑球的数目,则下列结论中成立的是(　　)
A.E(ξ)B.E(ξ)>E(η),D(ξ)C.E(ξ)D(η)
D.E(ξ)>E(η),D(ξ)>D(η)
6.(多选题)已知离散型随机变量X的分布列如下表所示,则下列选项正确的是(　　)
X 2 4 6 8 10
P 2a 0.25 0.1 0.25 a+0.1
A.a=0.1 B.E(X)=6
C.E(2X+1)=12 D.D(2X+1)=33.6
7.(多选题)已知A1,A2为两所高校举行的自主招生考试,某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为,该同学一旦通过某所高校的考试,就不再参加其他高校的考试,设该同学通过考试的高校个数为随机变量X,则(　　)
A.X的可能取值为0,1 B.X服从两点分布
C.E(X)=1 D.D(X)=
8.(2026山东淄博模拟)随机变量X的取值为0,1,2,若P(X=0)=,E(X)=1,则D(X)=　　　　　.
9.(2026广东东莞高二期中)设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽3个,白粽7个,这两种粽子的外观完全相同,从中任意选取3个,设X表示取到的豆沙粽个数.求:
(1)X的分布列;
(2)X的期望与方差.
10.(2026安徽合肥高二期中)袋中有编号为1,2,3,4的四个大小、质地均相同的小球,从中依次不放回地随机取出两个球,设第一次取出的球的编号为X,第二次取出的球的编号为Y,设随机变量ξ=|X-Y|.
(1)求ξ的分布列及数学期望E(ξ);
(2)定义随机变量η=2ξ+1,求η的期望E(η)及方差D(η).
B级关键能力提升练
11.甲、乙、丙三人参加某比赛三个赛区的志愿服务活动,若每人只能选择一个赛区,且选择其中任何一个赛区是等可能的.记X为三人选中的赛区个数,Y为三人没有选中的赛区个数,则(　　)
A.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y)
B.E(X)=E(Y),D(X)≠D(Y)
C.E(X)≠E(Y),D(X)≠D(Y)
D.E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y)
12.两个排球队举行排球比赛,比赛结束后举办方为排球队员送上了甲、乙两个品牌的瓶装水,其中甲品牌的20瓶,乙品牌的12瓶,参与比赛的12名队员,每人随机取1瓶瓶装水,用X表示12名队员取到的甲品牌水的瓶数,则当P(X=k)最大时,=(　　)
A.7 B.8 C.49 D.64
13.(多选题)(2026吉林高二期中)下列说法正确的是(　　)
A.已知D(X)=3,则D(3X+2)=27
B.若随机变量Z的分布列为P(Z=i)=(i=1,2,3),则a=
C.随机变量X的方差为D(X)=20,期望为E(X)=6,则E(X2)=16
D.若随机变量X的取值是0,1,且满足P(X=1)=p,E(X)=,则D(X)=
14.若X是离散型随机变量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x115.若随机变量X的分布列为P(X=m)=,P(X=n)=a,若E(X)=2,则D(X)的最小值为　　　　　　.
16.有10张卡片,其中8张标有数字2,2张标有数字5,从中随机地抽出3张卡片,设3张卡片上的数字之和为X.
(1)求X的分布列及方差D(X);
(2)若ξ=aX+2,且D(ξ)=33.6,求实数a的值.
C级学科素养创新练
17.某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门,系统会随机(即等可能)为你打开一个通道,若是1号通道,则需要1小时走出迷宫;若是2号、3号通道,则分别需要2小时、3小时返回智能门.再次到达智能门时,系统会随机打开一个你未到过的通道,直至走出迷宫为止.令X表示走出迷宫所需的时间.
(1)求X的分布列;
(2)求X的均值和方差.
参考答案
1.B　∵E(X)=1×0.4+2×0.2+3×0.4=2,
∴D(X)=0.4×(1-2)2+0.2×(2-2)2+0.4×(3-2)2=0.8.故选B.
2.C　因为E(2X-1)=2E(X)-1=2,得E(X)=
因为D(2X-1)=4D(X)=4,得D(X)=1.故选C.
3.B　由题意可知,P(X=1)=,所以E(X)=0+1,D(X)=(0-)2+(1-)2,E(3X+2)=3E(X)+2=4,D(3X+2)=9D(X)=2.
4.A　∵E(X1)=E(X2)=1.1,D(X1)=1.12×0.2+0.12×0.5+0.92×0.3=0.49,D(X2)=1.12×0.3+0.12×0.3+0.92×0.4=0.69,∴D(X1)则甲比乙得分稳定,故派甲运动员参加较好.
5.A　当n=2时,ξ的可能取值为1,2,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,因此E(ξ)=1+2,D(ξ)=
当n=3时,η的可能取值为1,2,3,P(η=1)=,P(η=2)=,P(η=3)=,
因此E(η)=1+2+3=2,D(η)=1+0+1,
所以E(ξ)6.ABD　由题可得,2a+0.25+0.1+0.25+a+0.1=1,
所以a=0.1,此时2a=0.2,a+0.1=0.2,
所以E(X)=2×0.2+4×0.25+6×0.1+8×0.25+10×0.2=6,D(X)=(2-6)2×0.2+(4-6)2×0.25+(6-6)2×0.1+(8-6)2×0.25+(10-6)2×0.2=8.4,
所以E(2X+1)=2E(X)+1=13,D(2X+1)=4D(X)=4×8.4=33.6.故选ABD.
7.ABD　由已知X的可能取值为0,1,且服从两点分布.
P(X=0)=,
P(X=1)=,
∴E(X)=0+1,
D(X)=
8　设P(X=1)=p1,P(X=2)=p2,由题意得
解得
则D(X)=(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2
9.解 (1)由题意,X的可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(2)由(1)可知,E(X)=1+2+3,
D(X)=(0-)2+(1-)2+(2-)2+(3-)2
10.解 (1)由题可得X,Y∈{1,2,3,4},
所以ξ=|X-Y|∈{1,2,3}.
易知,(X,Y)的情况有(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),共12种.
当ξ=1时,有(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),共6种,所以P(ξ=1)=;
当ξ=2时,有(1,3),(3,1),(2,4),(4,2),共4种,
所以P(ξ=2)=;
当ξ=3时,有(1,4),(4,1),共2种,
所以P(ξ=3)=
故ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P
所以E(ξ)=1+2+3
(2)因为η=2ξ+1,E(ξ)=,所以E(η)=2E(ξ)+1=,D(ξ)=E(ξ2)-[E(ξ)]2=12+22+32-()2=,
所以D(η)=D(2ξ+1)=22D(ξ)=
11.D　由题意得X的可能取值为1,2,3,
则P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,所以E(X)=1+2+3,
D(X)=(1-)2+(2-)2+(3-)2
Y的可能取值为0,1,2,则P(Y=0)=,P(Y=1)=,P(Y=2)=,
所以E(Y)=0+1+2,D(Y)=(0-)2+(1-)2+(2-)2
故E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y).故选D.
12.D　由题意得P(X=k)=(k=0,1,…,12),
,
则k2-32k+240-(k2+2k+1)=239-34k,
所以当k≤7时,>1,当k≥8时,<1,所以当k=7时,P(X=8)最大,故=82=64.故选D.
13.ABD　对于A,因为D(X)=3,根据方差的性质,可得D(3X+2)=32D(X)=9×3=27,故A正确;
对于B,由随机变量Z的分布列为P(Z=i)=(i=1,2,3),根据分布列的性质,可得P(Z=1)+P(Z=2)+P(Z=3)=1,可得=1,即=1,解得a=,故B正确;
对于C,因为D(X)=E(X2)-[E(X)]2,所以E(X2)=D(X)+[E(X)]2=20+62=56,故C错误;
对于D,由随机变量X的取值是0,1,则P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,根据两点分布的期望公式,可得E(X)=p×1+(1-p)×0=p.
因为E(X)=,所以p=,所以D(X)=(1-)=,故D正确.
14.3　由已知得
即
解得
又x115.0　由分布列的性质知,a+=1,得a=
∵E(X)=2,=2,∴m=6-2n.
∴D(X)=(m-2)2+(n-2)2
=(6-2n-2)2+(n-2)2
=2n2-8n+8=2(n-2)2,
故当n=2时,D(X)取最小值0.
16.解(1)X的所有可能取值为6,9,12.
P(X=6)=,P(X=9)=,
P(X=12)=,
∴X的分布列为
X 6 9 12
P
∴E(X)=6+9+12=7.8,D(X)=(6-7.8)2+(9-7.8)2+(12-7.8)2=3.36.
(2)由(1),可知D(ξ)=D(aX+2)=a2D(X)=3.36a2=33.6,解得a=±
17.解(1)X的所有可能取值为1,3,4,6,
当X=1时,直接从1号通道走出,则P(X=1)=;
当X=3时,先走2号通道,再走1号通道,
则P(X=3)=;
当X=4时,先走3号通道,再走1号通道,
则P(X=4)=;
当X=6时,先走2号通道,再走3号通道,最后再走1号通道,或者先走3号通道,再走2号通道,最后再走1号通道,则P(X=6)=21=所以X的分布列为
X 1 3 4 6
P
(2)E(X)=1+3+4+6,D(X)=(1-)2+(3-)2+(4-)2+(6-)2

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