资源简介

7.4.1二项分布
A级必备知识基础练
1.若在一次测量中出现正误差和负误差的概率都是,则在5次测量中恰好出现2次正误差的概率是
(　　)
A. B. C. D.
2.唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道:“春江潮水连海平,海上明月共潮生.”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系,这是一种自然现象.根据历史数据,已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为,则该地在该季节连续三天内,至少有两天出现大潮的概率为(　　)
A. B. C. D.
3.(多选题)某智能分拣站的分拣机器人每次分拣包裹的正确率为0.9,现共有200个包裹需要依次分拣,每个包裹分拣正确与否相互独立,设随机变量X为分拣正确的包裹数,则
(　　)
A.X~B(200,0.9)
B.E(X)=180
C.D(2X)=36
D.P(X≥1)=1-0.1200
4.(多选题)随机变量X~B(5,p),且P(X≥1)=,则下列说法正确的有(　　)
A.p= B.E(X)=
C.D(X)= D.P(X=2)=
5.某市公租房的房源位于A,B,C三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任意一个片区的房源是等可能的.该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为　　　　　　.
6.(2026湖南长沙开学考试)已知随机变量X~B(n,p),且3E(X)=5D(X),则p=　　　　　.
7.(2026河南南阳高二期末)有款小游戏,规则如下:一小球从数轴上的原点O出发,通过掷骰子决定向左或者向右移动.掷出骰子,若是奇数点向上,则向左移动一个单位长度;若是偶数点向上,则向右移动一个单位长度,则第一次掷完骰子小球位于-1且第五次掷完骰子小球位于1的概率为　　　　　.
8.(2026福建泉州高二期中)甲同学参加综合素质测试,该测试共有6个项目.已知甲同学每个项目合格的概率均为p(09.(人教B版教材习题)已知某类种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,求E(X),D(X).
10.(2026河北衡水模拟)某游戏公司推出抽卡活动,每次抽到稀有卡的概率为,抽到普通卡的概率为.若每位玩家连续抽卡5次,且每次抽卡结果互不影响.
(1)求某位玩家恰好抽到2张稀有卡的概率;
(2)设X为某位玩家抽到的稀有卡张数,求X的数学期望和方差.
B级关键能力提升练
11.(2026山东潍坊一模)投壶源于射礼,是中国古代宴饮时的一种投掷游戏及礼仪,参与者需在一定距离外将箭矢投入壶口或壶耳.在某投壶游戏中,选手甲投中壶口、壶耳的概率分别为,依落点计分如表格所示.若甲连续投掷3次,每次投掷互不影响,则甲的总得分不少于5分的概率为(　　)
投掷结果 壶口 壶耳 其他
计分 2 1 0
A. B. C. D.
12.(2026辽宁沈阳高二期中)将一张正方形纸片连续进行6次折叠操作,每次操作中,沿中线折叠(记为“直线操作”)的概率为p(0A. B. C. D.
13.甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响,每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.
(1)求甲射击4次,至少有1次未击中目标的概率.
(2)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率.
(3)假设每人连续2次未击中目标,则终止其射击.问:乙恰好射击5次后,被终止射击的概率是多少
C级学科素养创新练
14.(2026福建福州高二期中)切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计规律时发现的,其内容是:对于任一随机变量X,若其数学期望E(X)和方差D(X)均存在,则对任意正实数ε,有P(|X-E(X)|<ε)≥1-.在数字通信中,信号是由数字“0”和“1”组成的序列,现连续发射信号n次,每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量X,为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间(0.4,0.6)内,估计信号发射次数n的值至少为　　　　　.
题号 1 2 3 4 11 12
答案
参考答案
1.A　设A=“出现正误差”,则P(A)=用X表示事件A发生的次数,则X~B(5,).
恰好出现2次正误差等价于X=2,于是P(X=2)=()2×()3=
2.A　该地在该季节连续三天内,至少有两天出现大潮包括两天或三天出现大潮,
有两天出现大潮的概率为()2,
有三天出现大潮的概率为()3=,
所以至少有两天出现大潮的概率为
3.ABD　根据题意易得X~B(200,0.9),故A正确;
E(X)=200×0.9=180,D(X)=200×0.9×(1-0.9)=18,D(2X)=4×18=72,故B正确,C错误;
P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(1-0.9)200=1-0.1200,故D正确.故选ABD.
4.AB　根据随机变量X~B(5,p),可得P(X=0)=(1-p)5=,计算得p=,故A正确;
根据二项分布的期望和方差公式,可得E(X)=5,D(X)=5(1-)=,故B正确,C错误;
由二项分布可知P(X=2)=()2×(1-)3=,故D错误.故选AB.
5　每位申请人申请房源为一次试验,这是4次独立重复试验,设申请A片区房源记为事件D,则P(D)=,所以恰有2人申请A片区的概率为()2×()2=
6　因为X~B(n,p),所以E(X)=np,D(X)=np(1-p).
又3E(X)=5D(X),所以3np=5np(1-p),由p∈(0,1),得3=5-5p,解得p=
7　掷出骰子,奇数点向上的概率为,偶数点向上的概率也为;第一次掷完骰子小球位于-1,即第一次向左移动,且第五次掷完骰子小球位于1,则后续4次移动中小球向右移动3次,向左移动1次,故其概率为()3
8　依题意,合格项目的个数X~B(6,p),则E(X)=6p,D(X)=6p(1-p),由每个项目合格得3分,不合格扣2分,得甲的总得分Y=3X-2(6-X)=5X-12,因此E(Y)=5E(X)-12=30p-12,D(Y)=25D(X)=150p(1-p),
则E(Y)+D(Y)=-150p2+180p-12=-150(p-)2+42,又0所以当p=时,E(Y)+D(Y)取得最大值42.
9.解 根据题意,每粒种子发芽的概率为0.9,则种子不发芽的概率为0.1,不发芽种子数ξ服从二项分布B(1 000,0.1),即ξ~B(1 000,0.1),所以E(ξ)=1 000×0.1=100,D(ξ)=1 000×0.1×(1-0.1)=90.而对于没有发芽的种子,每粒需要再补种2粒,补种的种子数记为X,则X=2ξ,所以E(X)=2E(ξ)=200,D(X)=4D(ξ)=4×90=360.
10.解 (1)由题意可知,玩家每次抽卡抽到稀有卡的概率p=,且每次抽卡相互独立,设该玩家抽卡5次抽到的稀有卡的张数为X,则X~B(5,),则玩家恰好抽到2张稀有卡的概率为P(X=2)=()2×()3=
(2)由(1)知,随机变量X~B(5,),所以X的数学期望E(X)=5,X的方差D(X)=5
11.D　由题意可得甲的总得分不少于5分包含三次均投入壶口和三次中有两次投入壶口,一次投入壶耳两种情况.三次均投入壶口的概率P1=()3=,三次中有两次投入壶口,一次投入壶耳的概率P2=()2,
所以甲的总得分不少于5分的概率为故选D.
12.C　由题意知X~B(6,1-p),若P(X=3)=P(X=4),则(1-p)3p3=(1-p)4p2,即20(1-p)3p3=15(1-p)4p2,解得p=
设Y为6次操作中“直线操作”的次数,则Y~B(6,),期望为6故选C.
13.解(1)记“甲射击4次,至少有1次未击中目标”为事件A1,则事件A1的对立事件为“甲射击4次,全部击中目标”.由题意知,射击4次相当于做4次独立重复试验.
故P()=)4=
所以P(A1)=1-P()=1-
所以甲射击4次,至少有1次未击中目标的概率为
(2)记“甲射击4次,恰好有2次击中目标”为事件A2,“乙射击4次,恰好有3次击中目标”为事件B2,
则P(A2)=()2×(1-)2=,
P(B2)=()3×(1-)1=
由于甲、乙射击相互独立,
故P(A2B2)=P(A2)P(B2)=
所以两人各射击4次,甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为
(3)记“乙恰好射击5次后,被终止射击”为事件A3,“乙第i次射击未击中”为事件Di(i=1,2,3,4,5),
则A3=D5D4D1∪D2),且P(Di)=
由于各事件相互独立,故P(A3)=P(D5)P(D4)P()·P(D1∪D2)=(1-)=
所以乙恰好射击5次后,被终止射击的概率为
14.1250　连续发射信号n次,每次发射信号“0”和“1”是等可能的,那么X~B(n,),
E(X)=n,D(X)=(1-)n=n.
由0.4<<0.6,得-0.1n即|X-n|<0.1n.
由切比雪夫不等式可得P(|X-n|<0.1n)≥1-,可知为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间(0.4,0.6)内,则1-0.98,解得n≥1 250.

展开更多......

收起↑