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7.4.2超几何分布
A级必备知识基础练
1.已知在10件产品中有2件次品,现从这10件产品中任取3件,用X表示取得次品的件数,则P(X=1)=(　　)
A. B. C. D.
2.一袋中装有大小、质地均相同的5个白球,3个黄球和2个黑球,从中任取3个球,则至少含有一个黑球的概率是(　　)
A. B. C. D.
3.若100件产品中包含10件次品,有放回地随机抽取6件,下列说法正确的是(　　)
A.其中的次品数X服从超几何分布
B.其中的正品数Y服从二项分布
C.其中的次品数X的期望是1
D.其中的正品数Y的期望是5
4.在10件工艺品中,有3件二等品,7件一等品,现从中抽取5件,则抽到的二等品的件数X的数学期望为(　　)
A.2 B.4 C. D.
5.(2026陕西咸阳高二检测)一批笔记本电脑共有10台,其中A品牌3台,B品牌7台.如果从中随机挑选2台,设这2台电脑中A品牌的台数为X,则D(X)=(　　)
A. B. C. D.
6.(多选题)(2026黑龙江绥化开学考试)一个口袋中有大小相同的2个白球和4个黑球,从中随机取出3个球,记取出的黑球个数为X,则下列结论正确的有(　　)
A.X的可能取值为0,1,2,3
B.P(X≥2)=
C.E(X)=2
D.E(2X-1)=4
7.一口袋中有大小、质地完全相同的黑球、白球共7个(白球不少于2个且不多于5个),从中任取2个球,已知取到白球个数的数学期望为,则口袋中白球的个数为　　　.
8.(2026上海高二期末)如图,我国古代珠算算具算盘每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠,用梁隔开,梁上面2颗叫上珠,下面5颗叫下珠,若从某一档的7颗算珠中任取3颗,记上珠的个数为X,则P(X≥1)=　　　　　.
9.(2026山西运城一模)一场体育赛事招募赛会志愿者,赛会志愿者须参加通用培训和专业培训,两项培训考核都合格才能通过培训考核,考核通过后才能参加赛事志愿服务.已知赛会志愿者参加通用培训后,考核合格的概率为,参加专业培训后,考核合格的概率为.
(1)若志愿者A,B都参加了培训,求志愿者A,B中至少有1人通过培训考核的概率;
(2)现从12名通过培训考核的志愿者(包含3名女志愿者)中随机抽取4名志愿者参加某体育赛事的志愿服务,记X为被抽取到的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望.
B级关键能力提升练
10.一个不透明的袋子中装有3个黑球,n个白球(n∈N*),这些球除颜色外大小、质地完全相同,从中任意取出3个球,已知取出2个黑球、1个白球的概率为.设X为取出白球的个数,则E(X)=(　　)
A. B. C.1 D.2
11.(多选题)(2026湖南长沙高二检测)袋中有8个大小相同的球,其中3个黑球、5个白球.现从中任取4个球,记这4个球中黑球的个数为X,则(　　)
A.随机变量X服从二项分布
B.P(X≤1)=
C.E(4X-1)=3
D.记这4个球中白球的个数为Y,则D(X)=D(Y)
12.(2026江苏南京月考)3名男生和3名女生中随机选择两人,设选到男生的人数为X,则D(3X+2)=　　　　　.
13.(2026江苏南通高二期中)为了估计某自然保护区中一种珍稀鸟类的种群数量,生态学家采用了标记重捕法.具体操作如下:假设该鸟类的种群数量为N,首先,从保护区中随机捕捉20只该种鸟类,对它们进行标记后放回保护区.经过足够长的时间,使得标记鸟与未标记鸟在种群中充分混合.然后,再次从保护区中随机捕捉50只该种鸟类,记其中被标记的鸟的数量为X.
(1)若N=100,求被捕捉的50只中至少1只被标记的概率p(用组合数表示)和E(X);
(2)求使得P(X=9)最大的N的值.
C级学科素养创新练
14.为普及航天知识,某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏,规则如下:不透明的口袋中有4个白球,2个红球,这些球除颜色外完全相同.参与者每一轮从口袋中一次性取出4个球,将其中的白球个数记为该轮得分X,记录完得分后,将摸出的球全部放回袋中.当参与者完成第n轮游戏,且其前n轮的累计得分恰好为3n时,游戏过关,可领取纪念品,同时游戏结束,否则继续参与游戏.若第3轮后仍未过关,则游戏也结束,参与者不能获得纪念品,每位参与者只能参加一次游戏.
(1)求随机变量X的分布列;
(2)若甲参加该项游戏,求甲能够领到纪念品的概率.
参考答案
1.B　由题意可知,10件产品中有2件次品,8件正品,从这10件产品中任取3件,用X表示取得次品的件数,X=1表示要从2件次品中抽取1件,从8件正品中抽取2件,故P(X=1)=故选B.
2.B　根据题意,至少含有一个黑球的概率是故选B.
3.B　若100件产品中包含10件次品,有放回地随机抽取6件,则每一次抽取的结果相互独立,故此题中的“正品数”和“次品数”都分别服从二项分布,故A错误,B正确;
对于C,因为次品数X服从二项分布,即X~B(6,0.1),所以次品数X的期望是6×0.1=0.6,故C错误;
对于D,因为正品数X服从二项分布,即Y~B(6,0.9),则正品数Y的期望是6×0.9=5.4,故D错误.故选B.
4.C　随机变量X可能的取值为0,1,2,3,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,E(X)=0+1+2+3故选C.
5.D　依题意,X的可能取值有0,1,2,则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=
则X的分布列为
X 0 1 2
P
可得E(X)=1+2,D(X)=(0-)2+(1-)2+(2-)2故选D.
6.BC　由题可知X服从超几何分布,且M=4,N=6,n=3,P(X=k)=,k=1,2,3.易知X的可能取值为1,2,3,故A错误;
P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=,故B正确;
由M=4,N=6,n=3,结合超几何分布的均值公式可得E(X)=n=3=2,故C正确;
由离散型随机变量均值的性质可得E(2X-1)=2E(X)-1=3,故D错误.故选BC.
7.3　设口袋中白球个数为M,任取2个球取到白球个数为X,则X~H(7,2,M),所以E(X)=2,M=3.
8　(方法一)由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,则P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=
(方法二)由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,则P(X≥1)=1-P(X=0)=1-
9.解 (1)单个志愿者需要两项培训考核都合格才通过,且两次培训考核独立,因此单个志愿者通过培训考核的概率为P=,则单个志愿者没有通过培训考核的概率为1-因为“至少有1人通过”的对立事件为“两人都没有通过”,因此所求概率P1=1-()2=
(2)由题意,X服从超几何分布,X的所有可能取值为0,1,2,3,概率公式为P(X=k)=(k=0,1,2,3),
分别计算概率得P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,因此X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以数学期望为E(X)=0+1+2+3=1.
10.A　由题可知,解得n=3,
则X的可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,
∴E(X)=0+1+2+3故选A.
11.BD　对于A,从8个球中不放回任取4个,随机变量X服从超几何分布,不是二项分布,故A错误;
对于B,P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1),P(X=0)=,P(X=1)=,因此P(X≤1)=,故B正确;
对于C,超几何分布期望公式E(X)=,其中n=4(抽取个数),M=3(总体黑球数),N=8(总球数),得E(X)=,根据期望性质E(4X-1)=4E(X)-1=4-1=5≠3,故C错误;
对于D,取出4个球,因此Y=4-X,根据方差性质D(aX+b)=a2D(X),得D(Y)=D(4-X)=(-1)2D(X)=D(X),故D正确.故选BD.
12　由题意,X满足超几何分布,且X的可能取值为0,1,2,则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,E(X)=0+1+2=1,D(X)=(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2=,
所以D(3X+2)=32D(X)=9
13.解 (1)因为N=100,所以X服从超几何分布,其中N=100,M=20,n=50.
p=1-P(X=0)=1-,E(X)==10.
(2)当N<61时,P(X=9)=0.
当N≥61时,P(X=9)=
设f(N)=,则
由1,解得N
故当61≤N≤110时,f(N+1)>f(N),当N≥111时,f(N+1)14.解 (1)由题意得,随机变量X可取的值为2,3,4,X服从超几何分布,X的分布列为P(X=k)=,k=2,3,4.
计算的具体结果如下表所示.
X 2 3 4
P
(2)由(1)可知,参与者每轮得2分,3分,4分的概率依次为,记参与者第i轮的得分为Xi,则其前n轮的累计得分为Y=X1+X2+…+Xn,若参与者取球1次后可领取纪念品,即参与者得3分,则P(Y=3)=;
若参与者取球2次后可领取纪念品,即参与者获得的分数之和为6分,有“4+2”,“2+4”两种情形,
则P(Y=6)=2;
若参与者取球3次后可领取纪念品,即参与者获得的分数之和为9分,有“2+3+4”,“4+3+2”两种情形,
则P(Y=9)=2
记“甲能够领取纪念品”为事件A,则P(A)=P(Y=3)+P(Y=6)+P(Y=9)=

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