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7.5正态分布
(参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7;P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5;P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3)
A级必备知识基础练
1.(2026江苏连云港高二期中)如果随机变量X~N(2,σ2),且P(2≤X≤4)=0.4,则P(X≤0)=(　　)
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.6
2.某厂生产的零件外径X~N(10,0.04),今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件,测得其外径分别为9.9 cm,9.3 cm,则可认为(　　)
A.上午生产情况正常,下午生产情况异常
B.上午生产情况异常,下午生产情况正常
C.上午、下午生产情况均正常
D.上午、下午生产情况均异常
3.为了解全市高三学生身体素质状况,对某校高三学生进行了体能抽样测试,得到学生的体育成绩X~N(70,100),其中60分及以上为及格,90分及以上为优秀,则下列说法正确的是(　　)
A.该校学生体育成绩的方差为10
B.该校学生体育成绩的期望为85
C.该校学生体育成绩的及格率小于85%
D.该校学生体育成绩的优秀率大于3%
4.(2026湖南邵阳高二期中)已知随机变量ξ服从正态分布N(3,25),若P(ξ>c)=P(ξA.4 B.3 C.2 D.1
5.(多选题)(2026江西南昌高二检测)模型构建常需要进行正态检验.记随机变量X服从标准正态分布N(0,1),给定区间(m,n),若P(m附:若随机变量Y服从正态分布N(μ,σ2),则P(|Y-μ|≤σ)≈0.682 7,P(|Y-μ|≤2σ)≈0.954 5,P(|Y-μ|≤3σ)≈0.997 3.
A.P(X<0)=P(X>0)
B.P(X<4)+P(X<-4)=1
C.区间(985,2 026)具有较好构建度
D.区间(2,3)具有较好构建度
6.已知X~N(4,σ2),且P(2≤X≤6)≈0.682 7,则σ=　　　　　,P(|X-2|≤4)≈　　　　　.
7.某班有50名学生,一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100,σ2),已知P(90≤ξ≤100)=0.3,估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为　　　　.
8.已知某地外来务工人员年均收入X服从正态分布,其正态曲线如图所示.
(1)写出此地外来务工人员年均收入的正态密度函数解析式;
(2)估计此地外来务工人员年均收入在8 000~8 500元的人数所占的百分比.
9.(2026浙江宁波高二月考)某市高二年级期末统考的数学成绩X近似服从正态分布X~N(100,144).
(1)估计数学成绩超过112分的人数占总人数的比例;
(2)若该市有10 000名高二年级考生,估计全市数学成绩在区间(88,124]内的学生人数.
B级关键能力提升练
10.若随机变量X的正态密度函数为f(x)=,X在(-2,-1)和(1,2)内取值的概率分别为p1,p2,则p1,p2的关系为(　　)
A.p1>p2 B.p1C.p1=p2 D.不确定
11.在某市高三质量检测考试中,学生的数学成绩X服从正态分布N(98,100).已知参加本次考试的全市学生有9 455人,如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分,那么他的数学成绩大约排在全市第(　　)
A.1 500名 B.1 700名
C.4 500名 D.8 000名
12.(2026上海徐汇模拟)已知甲、乙两班的学生在某次数学测验中的成绩近似服从正态分布,甲班学生成绩X~N(μ1,),乙班学生成绩Y~N(μ2,),其正态密度曲线如图所示,则
(　　)
A.μ1<μ2且σ1<σ2
B.μ1>μ2且σ1>σ2
C.P(X≤70)=P(Y≥75)
D.P(X≥75)>P(Y≥75)
13.(多选题)(2026河北沧州高二期中)已知X~N(μ,σ2),其正态密度曲线是正态密度函数f(x)=,x∈R的图象.则下列说法正确的有(　　)
A.对任意x∈R,f(μ+x)=f(μ-x)成立
B.如果随机变量X~N(μ,σ2),且F(x)=P(XC.如果随机变量X~N(108,100),那么X的期望是108,标准差是100
D.随机变量X~N(μ,σ2),P(X<1)=,P(X>2)=p,则P(014.(多选题)坐位体前屈是一种体育锻炼项目,也是大中小学体质健康测试项目,通常使用电动测试仪进行测试,为鼓励和推动学生积极参加体育锻炼,增强学生体质,我国于2002年开始在全国试行《学生体质健康标准》,坐位体前屈属于该标准规定的测试内容之一.已知某地区进行体育达标测试,统计得到高三女生坐位体前屈的成绩ξ(单位:cm)服从正态分布N(20,σ2),且P(ξ≥22)=0.1,现从该地区高三女生中随机抽取3人,记ξ在区间(18,22)内的人数为X,则下列说法正确的有(　　)
A.P(18<ξ<22)=0.8 B.E(3X+1)=8.2
C.D(2X)=0.96 D.P(X≥1)=0.488
15.(2026江苏镇江模拟)已知随机变量X~N(1,σ2),P(X≥7)=0.2,写出一个满足P(X0.2的负整数a的值为　　　　　.
16.某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标X~N(800,σ2),且P(X<801)=0.6,现从该生产线上随机抽取10片瓷砖,记Y表示800≤X<801的瓷砖片数,则E(Y)=　　　　　.
17.(2026山东济宁高二月考)某校高三学生数学模考成绩X服从正态分布N(μ,σ2).现随机抽取100名学生的成绩,计算得样本平均分为105分,样本方差为100.
(1)根据样本数据,估计该正态分布的参数μ和σ,并用X~N(μ,σ2)的形式写出分布记法;
(2)若该校高三共有800名学生,估计成绩在区间(95,125]内的学生人数;(结果取整数)
(3)学校欲制定奖励线k(k为整数),使得成绩高于k的学生获得奖励,且获奖人数约为总人数的16%,试根据3σ原则确定k的值.(结果取整数)
C级学科素养创新练
18.某工厂生产一批机器零件,现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测,得到一组数据,如下表:
性能指标X 66 77 80 88 96
产品件数 10 20 48 19 3
(1)求该项性能指标的样本平均数的值,若这批零件的该项指标X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数的值,σ2=36,试求P(74≤X≤92)的值.
(2)若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件,且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍,甲机床生产的零件的次品率为0.02,乙机床生产的零件的次品率为0.01,现从这批零件中随机抽取一件.
①求这件零件是次品的概率;
②若检测出这件零件是次品,求这件零件是甲机床生产的概率.
参考答案
1.A　由X~N(2,σ2),则P(X≤0)=P(X≥4)=0.5-P(2≤X≤4)=0.5-0.4=0.1.故选A.
2.A　因测量值X为随机变量,又X~N(10,0.04),所以μ=10,σ=0.2,记I=[μ-3σ,μ+3σ]=[9.4,10.6],则9.9∈I,9.3 I.故选A.
3.C　因为X~N(70,100),所以该校学生体育成绩的期望为70,方差为100,故A,B均不正确;
因为60分及以上为及格,所以P(X≥60)=1-0.841 35<0.85,故C正确;
因为90分及以上为优秀,所以P(X≥90)=0.022 75<0.03,故D不正确.
故选C.
4.A　因为随机变量ξ服从正态分布N(3,25),且P(ξ>c)=P(ξ5.ABC　对于A,根据标准正态分布的图象性质可知,P(X<0)=P(X>0)=,故A正确;
对于B,由正态曲线的对称性可得P(X<-4)=P(X>4),故P(X<4)+P(X<-4)=P(X<4)+P(X>4)=1,故B正确;
对于C,P(9853)3)≈1-0.997 3<0.01,故C正确;
对于D,P(20.01,故D错误.故选ABC.
6.2　0.84　∵X~N(4,σ2),∴μ=4.
∵P(2≤X≤6)≈0.682 7,=2.
∴P(|X-2|≤4)=P(-2≤X≤6)=P(-2≤X≤2)+P(2≤X≤6)=[P(-2≤X≤10)-P(2≤X≤6)]+P(2≤X≤6)=P(-2≤X≤10)+P(2≤X≤6)0.997 3+0.682 7=0.84.
7.10　由题意知,P(ξ>110)==0.2,
故估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50=10.
8.解设此地外来务工人员年均收入X~N(μ,σ2),
结合题图可知,μ=8 000,σ=500.
(1)此地外来务工人员年均收入的正态密度函数解析式为
f(x)=,x∈R.
(2)∵P(7 500≤X≤8 500)=P(8 000-500≤X≤8 000+500)≈0.682 7,
∴P(8 000≤X≤8 500)=P(7 500≤X≤8 500)≈0.341 35=34.135%.
故此地外来务工人员年均收入在8 000~8 500元的人数所占的百分比约为34.135%.
9.解 (1)由高二年级期末统考的数学成绩X近似服从正态分布N(100,144),可得μ=100,σ=12,则112=μ+σ,
所以数学成绩超过112分的人数占总人数的比例P(X>112)==0.158 65.
(2)P(88≤X≤124)=P(μ-σ≤X≤μ+2σ)
=P(μ-σ≤X≤μ+σ)+
≈0.682 7+
=0.818 6,10 000×0.818 6=8 186,
所以估计成绩在区间(88,124]内的学生人数为8 186.
10.C　由题意知μ=0,σ=1,所以正态曲线关于直线x=0对称,所以p1=p2.
11.A　因为学生的数学成绩X服从正态分布N(98,100),所以P(X>108)=[1-P(88≤X≤108)]=[1-P(μ-σ≤X≤μ+σ)](1-0.682 7)=0.158 65.所以0.158 65×9 455≈1 500.
12.C　正态密度曲线关于直线x=μ对称,且σ越大曲线越矮胖,σ越小曲线越瘦高.
从图中可知,X的密度曲线的对称轴为直线x=70,Y的密度曲线的对称轴为直线x=75,因此μ1=70<μ2=75;X的密度曲线更矮胖,因此σ1>σ2,故A,B错误;
由正态曲线的对称性,知P(X≤μ1)=P(X≤70)=0.5,P(Y≥μ2)=P(Y≥75)=0.5,故C正确;
P(Y≥75)=0.5,而μ1=70<75,所以P(X≥75)<0.5,因此P(X≥75)13.ABD　对于A,由f(x)=知,f(x)的图象关于直线x=μ对称,即f(μ+x)=f(μ-x),故A正确;
对于B,若X~N(μ,σ2),则当x增大时,密度曲线与x轴围成的区域面积增大,即P(X对于C,若X~N(108,100),则X的期望为108,方差为100,标准差为10,故C错误;
对于D,∵P(X<1)=,∴P(X>1)=,f(x)的图象关于直线x=1对称,
∴P(01)-P(X>2))=2(-p)=1-2p,故D正确.故选ABD.
14.AB　对于A,由ξ~N(20,σ2),得P(ξ≤18)=P(ξ≥22)=0.1,则P(18<ξ<22)=1-0.1-0.1=0.8,故A正确;
对于B,由A知,ξ在区间(18,22)内的概率为0.8,则X~B(3,0.8),E(X)=2.4,因此E(3X+1)=3E(X)+1=8.2,故B正确;
对于C,由B知,D(X)=3×0.2×0.8=0.48,因此D(2X)=4D(X)=1.92,故C错误;
对于D,P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.23=0.992,故D错误.故选AB.
15.-4(答案不唯一)　∵X~N(1,σ2),∴μ=1,
∵P(X≥7)=0.2,∴P(X≤-5)=0.2,
∴P(X0.2的负整数a的值可以为-4,-3,-2,-1.
16.1　由题意,X~N(800,σ2),所以正态曲线关于直线X=800对称,所以P(X<800)=0.5.
因为P(X<801)=P(X<800)+P(800≤X<801)=0.6,
所以P(800≤X<801)=0.6-0.5=0.1.
由题意,Y~B(10,0.1),所以E(Y)=10×0.1=1.
17.解 (1)由题意,样本平均分为105分,样本方差为100,因此μ的估计值为105,σ的估计值为10,分布记为X~N(105,100).
(2)μ-σ=105-10=95,μ+2σ=105+2×10=125,
所以成绩在区间(95,125]内的学生的概率P=0.818 6,故估计成绩在区间(95,125]内的学生的人数为800×0.818 6≈655.
(3)由题意,获奖人数占总人数的16%,即P(X>k)=0.16,因此P(X≤k)=1-0.16=0.84,
根据参考数据P(X≤μ+σ)≈0.841 35≈0.84,满足要求,
而μ+σ=105+10=115,因此k=115.
18.解 (1)=66×0.1+77×0.2+80×0.48+88×0.19+96×0.03=80,因为X~N(80,σ2),σ2=36,所以σ=6,
则P(74≤X≤92)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)+P(μ-σ≤X≤μ+σ)=0.818 6.
(2)设“抽取的零件是甲机床生产”记为事件A1;
“抽取的零件是乙机床生产”记为事件A2;
“抽取的零件是次品”记为事件B,则P(A1)=,P(A2)=,P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.01.
①P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.02+0.01=
②P(A1|B)=

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