资源简介

7.1.2全概率公式
A级必备知识基础练
1.(2026山东济宁高二期中)小李打算周末去游玩,去M地与N地的概率分别为,在M地去徒步爬山的概率为,在N地去徒步爬山的概率为,则小李去徒步爬山的概率为
(　　)
A. B. C. D.
2.小孟一家打算从A,B,C三个城市选一个城市去旅游,这三个城市都有游乐园,去A,B,C三个城市的概率分别为0.5,0.3,0.2,到了A城市小孟一家去游乐园的概率为0.6,到了B城市小孟一家去游乐园的概率为0.4,到了C城市小孟一家去游乐园的概率为0.3,则小孟一家去游乐园的概率为(　　)
A.0.48 B.0.49 C.0.52 D.0.21
3.(2026湖南岳阳高二检测)甲盒中有3个红球和2个白球,乙盒中有2个红球和3个白球(两盒中的球除颜色外没有其他区别).先从甲盒中随机取出一球放入乙盒,再从乙盒中随机取出两球,则取出的两球都是白球的概率为(　　)
A. B. C. D.
4.某平台为维护消费者权益,开设维权通道,消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉.平台将对投诉情况进行核实,为消费者提供咨询帮助.据统计,在进行维权的消费者中,选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为,且对应维权成功的概率分别为,选择其他方式维权且成功的概率为,则在维权成功的条件下,选择邮件投诉的概率为(　　)
A. B. C. D.
5.(多选题)甲罐中有5个红球、2个白球、3个黑球,乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球,先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以事件A1,A2,A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球;再从乙罐中随机取出一个球,以事件B表示由乙罐取出的球是红球,则下列结论正确的是(　　)
A.P(B|A1)= B.P(A3B)=
C.P(B)= D.P(A1|B)=
6.(2026吉林延边高二期中)设A,B是一个随机试验中的两个事件,且P(B)=0.4,P(B|A)=0.8,P(B|)=0.2,则P(A)=　　　　　.
7.(2026北京海淀高二期中)某款人形机器人在排练时,若对机器人下达的动作指令表述清晰,则机器人成功完成指令的概率为0.9;若对机器人下达的动作指令表述模糊,则机器人成功完成指令的概率为0.5.假设下达的动作指令表述模糊的概率为0.25,则该机器人成功完成指令的概率为　　　　　.
8.某测试由8道四选一的单选题组成.学生小胡有把握答对其中4道题,且在剩下的4道题中,他对2道有思路,其余2道则完全不会.若小胡答对每道有思路的题的概率为,答对每道不会的题的概率为,则当他从这8道题中任抽1题作答时,能答对的概率为　　　　.
9.甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球,甲箱中有5个白球和3个黑球,乙箱中有4个白球和3个黑球.
(1)若从甲箱中任取2个小球,求这2个小球同色的概率;
(2)若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中,然后再从乙箱中任取1个小球,求从乙箱中取出的球是白球的概率.
10.(2026河北保定高二期中)某花艺工作室承接中式花艺和现代花艺这两类花艺设计,根据以往的设计作品数据,中式花艺作品占60%,现代花艺作品占40%.设计师设计的中式花艺作品达到设计标准的概率为90%,且达标作品中,仍有10%的作品因细节瑕疵不被客户采纳;未达标作品中,有20%的作品因意境独特仍被客户采纳.设计师设计的现代花艺作品达到设计标准的概率为80%,且达标作品中,仍有5%的作品因搭配疏漏不被客户采纳;未达标作品中,有15%的作品因创意新颖仍被客户采纳.现从设计师以往所有的花艺作品中随机抽取一单花艺作品.
(1)求这单花艺作品达到设计标准的概率;
(2)若这单花艺作品未被客户采纳,求该单花艺作品是中式花艺作品的概率;(结果用分数表示)
(3)求这单花艺作品达到标准且被客户采纳的概率.
B级关键能力提升练
11.(多选题)某景区在春节期间推出A,B两种游玩套餐,已知某游客第一次选择A,B两种游玩套餐的概率分别为,若该游客第一次选择A套餐,则第二次选择A套餐的概率为;若该游客第一次选择B套餐,则第二次选择A套餐的概率为,则下列说法正确的是
(　　)
A.该游客第一次选择B套餐,第二次也选择B套餐的概率为
B.该游客第一次选择B套餐的概率比第二次选择A套餐的概率小
C.若该游客第二次选择A套餐,则他第一次选择A套餐的概率为
D.若该游客第二次选择B套餐,则他第一次选择A套餐的概率为
12.一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病,在患有此种疾病的人群中通过化验有95%的人呈阳性反应,而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应,某地区此种病患者占人口总数的0.5%,则:
(1)某人化验结果为阳性的概率为　　　　　(用百分数表示);
(2)若此人化验结果为阳性,则此人确实患有此病的概率为　　　　　.
13.某种电子玩具按下按钮后,会出现红球或绿球.已知按钮第一次按下后,出现红球与绿球的概率都是,从按钮第二次按下起,若前一次出现红球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为,若前一次出现绿球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为,记第n(n∈N,n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为Pn.
(1)P2的值为　　　　　;
(2)若n∈N,n≥2,用Pn-1表示Pn的表达式为　　　　　　　　　　.
14.某足球队为评估球员的场上作用,对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置,根据过往多场比赛,其出场率与出场时球队的胜率如下表所示.
场上位置 边锋 前卫 中场
出场率 0.3 0.5 0.2
球队胜率 0.8 0.6 0.7
(1)当甲出场比赛时,求球队输球的概率.
(2)当甲出场比赛时,在球队获胜的条件下,求球员甲担当边锋的概率.
(3)如果某场比赛该足球队获胜,那么球员甲最有可能在场上的哪个位置 请说明理由.
C级学科素养创新练
15.(2026河南南阳高二期中)细胞A有活跃和休眠两种状态.该细胞每秒的状态转移规律如下:若细胞A这一秒为活跃状态,下一秒仍保持活跃状态的概率为,转为休眠状态的概率为;若细胞A这一秒为休眠状态,下一秒转为活跃状态的概率为,保持休眠状态的概率为.已知细胞A第1秒为活跃状态,则第3秒为休眠状态的概率为　　　　　,第n(n∈N*)秒为活跃状态的概率为　　　　　　　　.
16.把若干个红球和白球(除颜色外没有其他差异)放进甲、乙、丙三个空盒子中,且其中的红球占比依次为.现随机选取一个盒子,每个盒子被选取的概率均为,然后从选取的盒子中随机摸出一个球.
(1)求摸出的球是红球的概率;
(2)若摸出的球是红球,记该红球为“R”.
①求“R”是从乙盒摸出的概率;
②将“R”放回原盒,再从该盒中随机摸出一个球,求此球为红球的概率.
参考答案
1.A　设事件A为“小李去M地游玩”,事件B为“小李去N地游玩”,事件C为“小李去徒步爬山”.由题意得P(A)=,P(B)=,P(C|A)=,P(C|B)=根据全概率公式可得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=
2.A　由全概率公式可得,小孟一家去游乐园的概率为P=0.5×0.6+0.3×0.4+0.2×0.3=0.48.故选A.
3.C　设事件A1表示“从甲盒中取出的是红球”,事件A2表示“从甲盒中取出的是白球”,事件B表示“从乙盒中取出的两球都是白球”.
由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2),
由题意可知P(A1)=,P(A2)=,
当A1发生时,乙盒中有3个红球,3个白球,则从乙盒取两球均为白球的概率为P(B|A1)=
当A2发生时,乙盒中有2个红球,4个白球,则从乙盒取两球均为白球的概率为P(B|A2)=
代入全概率公式计算可得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=
故取出的两球都是白球的概率为
4.B　设选择邮件投诉为事件A,维权成功为事件B,
则P(B)=,P(AB)=,故在维权成功的条件下,选择邮件投诉的概率为P(A|B)=故选B.
5.ABD　由题可得,P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,则P(B|A1)=,A选项正确;P(A3B)=,B选项正确;P(B)=,C选项错误;P(A1|B)=,D选项正确.故选ABD.
6　设P(A)=p,则P()=1-p.
由P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|),得0.4=0.8p+0.2(1-p),解得p=
7.0.8　设事件A表示“机器人成功完成指令”,事件B表示“下达的动作指令表述清晰”,则表示“下达的动作指令表述模糊”.
已知P()=0.25,P(B)=1-P()=1-0.25=0.75,P(A|B)=0.9,P(A|)=0.5,则P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|)=0.75×0.9+0.25×0.5=0.675+0.125=0.8.即该机器人成功完成指令的概率为0.8.
8　设小胡从这8题中任选1题,且答对为事件A,选到能完整做对的4道题为事件B,选到有思路的2道题为事件C,选到完全不会的题为事件D,
则P(B)=,P(C)=,P(D)=,
P(A|B)=1,P(A|C)=,P(A|D)=
由全概率公式可得P(A)=P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C)+P(D)P(A|D)=1+
9.解(1)从甲箱中任取2个小球,有=28种取法,若这2个小球同色,有=13种取法,所以这2个小球同色的概率为P=
(2)设事件A为“从乙箱中任取1个小球,取出的这个小球是白球”,事件B1为“从甲箱中取出的2个小球都是白球”,事件B2为“从甲箱中取出的2个小球为1个白球、1个黑球”,事件B3为“从甲箱中取出的2个小球都是黑球”,则事件B1,B2,B3彼此互斥.
P(B1)=,P(B2)=,P(B3)=,
P(A|B1)=,P(A|B2)=,P(A|B3)=,
所以P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=,
所以取出的这个小球是白球的概率为
10.解 (1)设事件B为“这单花艺作品达到设计标准”,事件A1为“抽取一单花艺作品为中式花艺作品”,事件A2为“抽取一单花艺作品为现代花艺作品”,那么P(B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.6×0.9+0.4×0.8=0.86.
(2)设事件M为“这单花艺作品未被客户采纳”,那么P(M|A1)=0.9×0.1+0.1×0.8=0.17,P(M|A2)=0.8×0.05+0.2×0.85=0.21,
P(M)=P(A1)P(M|A1)+P(A2)P(M|A2)=0.6×0.17+0.4×0.21=0.186,
所以若这单花艺作品未被客户采纳,则该单花艺作品是中式花艺作品的概率为P(A1|M)=
(3)设事件N为“这单花艺作品达到标准且被客户采纳”,那么P(N)=P(A1)P(N|A1)+P(A2)P(N|A2)=0.6×0.9×0.9+0.4×0.8×0.95=0.79.
11.BCD　设该游客第一次选择A套餐为事件M,第二次选择A套餐为事件N,则P(M)=,P()=,且P(N|M)=,P(N|)=,可得P(|M)=1-P(N|M)=,P()=1-P(N|)=
对于选项A,该游客第一次选择B套餐,第二次也选择B套餐为事件,则P()=P()P()=,故A错误;
对于选项B,因为P(N)=P(M)P(N|M)+P()·P(N|)=,即P()对于选项C,因为P(M|N)=,所以若该游客第二次选择A套餐,则他第一次选择A套餐的概率为,故C正确;
对于选项D,因为P()=1-P(N)=,则P(M|)=,所以若该游客第二次选择B套餐,则他第一次选择A套餐的概率为,故D正确.
12.(1)1.47%　(2)　
设A=“呈阳性反应”,B=“患有此种病”,则
(1)P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|)=0.5%×95%+99.5%×1%=1.47%.
(2)P(B|A)=
13.(1)　(2)Pn=-Pn-1+　(1)设A1=第1次出现红球,A2=第1次出现绿球,B=第2次出现红球,则P(A1)=P(A2)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=,
由全概率公式得P2=P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=
(2)设C1=第(n-1)次出现红球,C2=第(n-1)次出现绿球,D=第n次出现红球,则P(C1)=Pn-1,P(C2)=1-Pn-1,P(D|C1)=,P(D|C2)=,
由全概率公式得Pn=P(D)=P(C1)P(D|C1)+P(C2)P(D|C2)=Pn-1+(1-Pn-1)=-Pn-1+(n∈N,n≥2).
14.解 (1)用A1表示“甲出任边锋”,A2表示“甲出任前卫”,A3表示“甲出任中场”,用B表示“球队赢球”.
则甲出场时,球队赢球的概率为
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)=0.3×0.8+0.5×0.6+0.2×0.7=0.68,
所以甲出场比赛时,球队输球的概率为1-P(B)=1-0.68=0.32.
(2)因为P(B)=0.68,
所以P(A1|B)=,
即当甲出场比赛时,在球队获胜的条件下,球员甲担当边锋的概率为
(3)因为P(A2|B)=,P(A3|B)=,
故P(A2|B)>P(A1|B)>P(A3|B).
所以如果某场比赛该足球队获胜,那么球员甲最有可能在前卫.
15　若细胞A第2秒为活跃状态,第3秒为休眠状态,则其概率为;若细胞A第2秒为休眠状态,第3秒为休眠状态,则其概率为,所以细胞A第3秒为休眠状态的概率为
设细胞A第n秒为活跃状态的概率为an,则第n秒为休眠状态的概率为1-an,第(n+1)秒为活跃状态的概率为an+1,得an+1=an+(1-an),得an+1-=-(an-).又a1=1,所以a1-,所以是首项为,公比为-的等比数列,故an-,即an=
16.解(1)设“随机选取一个盒子,选中甲盒子”为事件A,
“随机选取一个盒子,选中乙盒子”为事件B,
“随机选取一个盒子,选中丙盒子”为事件C,
“从选取的盒子中随机摸出一个球,该球为红球”为事件D,
则P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=
(2)①由题可得,P(B|D)=
②设“将‘R’放回原盒,再从该盒中随机摸出一个球,此球为红球”为事件E,
P(A|D)=,
P(C|D)=,
分别记“从选取的盒子中随机摸出一个球,该球为红球,且选取的为甲盒子”为事件H,“从选取的盒子中随机摸出一个球,该球为红球,且选取的为乙盒子”为事件I,“从选取的盒子中随机摸出一个球,该球为红球,且选取的为丙盒子”为事件J,则P(E)=P(H)P(E|H)+P(I)P(E|I)+P(J)P(E|J)=

展开更多......

收起↑