资源简介

7.2离散型随机变量及其分布列
A级必备知识基础练
1.一个袋子中有除颜色外其他都相同的红、黄、绿、白四种小球各若干个,一次倒出3个小球,下列变量是离散型随机变量的是(　　)
A.小球滚出的最大距离
B.倒出小球所需的时间
C.倒出的3个小球的质量之和
D.倒出的3个小球的颜色的种数
2.(2026河北承德高二期末)已知随机变量X服从0—1分布,且P(X=1)=2P(X=0)-1,则P(X=0)=(　　)
A. B. C. D.
3.(2026北京海淀高二期中)已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
则P(X≤1)=(　　)
A. B. C. D.
4.已知随机变量X服从两点分布,且P(X=1)=0.6.设Y=3X-2,那么P(Y=-2)=(　　)
A.0.6 B.0.3 C.0.2 D.0.4
5.(2026山东烟台高二期中)设离散型随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4,5,且满足P(X≤k)=k2P(X=k)(k=1,2,3,4,5),则P(X=1)的值为(　　)
A. B. C. D.
6.(多选题)(2026河北保定高二期中)设离散型随机变量X的分布列如下表所示,其中X 1 2 3
P p 2p-1 m
A.m=2-3p B.0C.P(X≤2)< D.m>
7.(2026福建莆田高二期中)袋中装有大小相同的6个黑球,5个白球,从袋中每次任意取出1个球且不放回,直到取出的球是白球,记所需要的取球次数为随机变量X,则X的可能取值为　　　　　　　.
8.一批产品分为一、二、三级,其中一级品数量是二级品的两倍,三级品数量为二级品的一半,从这批产品中随机抽取一个检验,其级别为随机变量X,则P(≤X≤)=　　　　　.
9.设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
(1)求η=|X-1|的分布列;
(2)求P(1<2X+1<9).
10.盒中有四张卡片,分别标有数字1,2,3,4,现从盒中任取两张卡片,记取到偶数的个数为X.
(1)求P(X=1);
(2)求X的分布列.
B级关键能力提升练
11.(2026山东济南高二期中)离散型随机变量X的分布列如下表,则t=(　　)
X 0 1
P t2-t t-5
A.-3 B.2
C.-3或2 D.-2或3
12.(多选题)已知随机变量X的分布列为P(X=n)=(n=0,1,2),其中a是常数,则
(　　)
A.P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1
B.a=
C.P(0≤X<2)=
D.P(X=2)=
13.(2026广东惠州模拟)已知随机变量X的分布列为
X -1 0 1 2 3
P 0.3 a 0.3 0.2 0.1
设函数f(x)=P(XA.{0.2,0.3,0.4} B.{0.3,0.5,0.7}
C.{0.3,0.4,0.7} D.{0.4,0.7,0.9}
14.若随机变量X的分布列如表所示:
X 0 1 2 3
P a b
则a2+b2的最小值为　　　　　.
15.袋中有4个红球、3个黑球,从袋中任取4个球,取到1个红球得1分,取到1个黑球得3分,记得分为随机变量ξ,则P(ξ≤6)=　　　　.
16.某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试,测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道,规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试,至少答对2道题者视为合格,若甲能答对其中的5道题,求:
(1)甲测试合格的概率;
(2)甲答对的试题数X的分布列.
17.甲、乙、丙三名乒乓球选手进行单打对抗比赛,每两人比赛一场,共赛三场,每场比赛胜者得3分,负者得0分.在每一场比赛中,甲胜乙的概率为,丙胜甲的概率为,乙胜丙的概率为p,且各场比赛结果互不影响.甲获得第一名且乙获得第三名的概率为.
(1)求p的值;
(2)设在该次对抗比赛中,丙的得分为X,求X的分布列.
C级学科素养创新练
18.在排球比赛中发球不过网或球落在对方界外均为发球失误,获得发球权的一方在本队发球未失误后,需要连续发球,发球失误后,发球权转移至对方,由对方发球.若甲队发球失误的概率为,乙队发球失误的概率为,并规定该场比赛甲队先开始发球.
(1)记在第2,3,4次发球中甲队获得发球权的次数为X,求X的分布列;
(2)若乙队在第n次获得发球权的概率大于,求n的最小值.
(参考数据:lg 2≈0.30,lg 11≈1.04)
参考答案
1.D　对于A,小球滚出的最大距离不是离散型随机变量,因为滚出的最大距离不能一一列出;对于B,倒出小球所需的时间不是离散型随机变量,因为所需的时间不能一一列出;对于C,3个小球的质量之和是一个定值,不是随机变量;对于D,倒出的3个小球的颜色的种数可以一一列出,是离散型随机变量.
2.D　因为P(X=1)=2P(X=0)-1,且P(X=1)+P(X=0)=1,解得P(X=0)=故选D.
3.A　由题可得,P(X=1)=1-,故P(X≤1)=
4.D　随机变量X服从两点分布,当Y=-2时,由3X-2=-2,解得X=0,所以P(Y=-2)=P(X=0)=1-P(X=1)=1-0.6=0.4.故选D.
5.D　当k=5时,P(X≤5)=1=52P(X=5),解得P(X=5)=;
当k=4时,P(X≤4)=1-P(X=5)=42P(X=4),解得P(X=4)=;
当k=3时,P(X≤3)=1-P(X=4)-P(X=5)=32P(X=3),解得P(X=3)=;
当k=2时,P(X≤2)=1-P(X=3)-P(X=4)-P(X=5)=22P(X=2),解得P(X=2)=;
所以P(X=1)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)-P(X=5)=
6.AB　由题意知,p+2p-1+m=1,则m=2-3p,故A正确;
P(X=2)=2p-1,P(X≤2)=p+2p-1=3p-1.
因为7.1,2,3,4,5,6,7　因为取到白球时停止,所以最少取球次数为1,即第一次就取到了白球;最多取球次数是7,即把所有的黑球取完之后才取到白球.由题意可知,随机变量X的可能取值为1,2,3,4,5,6,7.
8　设二级品有k个,则一级品有2k个,三级品有个,总数为个.
∴X的分布列为
X 1 2 3
P
∴P(X)=P(X=1)=
9.解(1)由题知,0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,故m=0.3.
η的可能取值为0,1,2,3,
P(η=0)=P(X=1)=0.1,P(η=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3,
P(η=2)=P(X=3)=0.3,P(η=3)=P(X=4)=0.3,
故其分布列为
η 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
(2)由1<2X+1<9,可得010.解(1)X=1表示的随机事件是“取到的两张卡片上的数字是一个偶数、一个奇数”,所以P(X=1)=
(2)依题意,X的可能取值为0,1,2,
则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,所以X的分布列为
X 0 1 2
P
11.B　由分布列的性质可得
即解得t=2.
12.ABC　根据题意,随机变量X的分布列为
P(X=n)=(n=0,1,2),
则P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)==1,
解得a=,
则P(0≤X<2)=P(X=0)+P(X=1)=,P(X=2)=
13.C　由分布列的性质可知,0.3+a+0.3+0.2+0.1=1,所以a=0.1.
因为函数f(x)=P(X当x=0时,f(0)=P(X<0)=P(X=-1)=0.3;
当0当1所以f(x)=
即函数f(x)的值域为{0.3,0.4,0.7}.
14　由分布列的性质,知a+b=又a2+b2(当且仅当a=b=时,等号成立),则a2+b2的最小值为
15　取出的4个球中红球的个数可能为4,3,2,1,相应的黑球的个数为0,1,2,3,其得分ξ=4,6,8,10,则P(ξ≤6)=P(ξ=4)+P(ξ=6)=
16.解(1)设甲测试合格为事件A,则P(A)=
(2)甲答对的试题数X可以为0,1,2,3,
P(X=0)=,P(X=1)=,
P(X=2)=,P(X=3)=,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
17.解 (1)甲获第一名且乙获第三名的概率为,即甲胜乙、甲胜丙且丙胜乙的概率为,由(1-p)=,得p=
(2)由题意知,丙的得分X的取值可以为0,3,6,丙胜甲的概率为,丙胜乙的概率为,
P(X=0)=,P(X=3)=,P(X=6)=,
所以丙的得分X的分布列如下:
X 0 3 6
P
18.解(1)依题意,X的可能取值有0,1,2,3.
则P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(2)设乙队在第n次获得发球权的概率为Pn,
则Pn=Pn-1+(1-Pn-1),n≥3,即Pn=Pn-1+
因为Pn-Pn-1+Pn-1-(Pn-1-),且P2=,故数列从第二项起构成公比为的等比数列,则Pn-=()×()n-2,
即Pn=()n-2.
因为Pn>,可得()n-2<,两边取常用对数,可得(n-2)lg
因为7.85,故n>9.85.
因为n∈N*,故n的最小值为10.

展开更多......

收起↑