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7.31离散型随机变量的均值
A级必备知识基础练
1.若随机变量X的分布列为
X -1 0 1
P
则E(X)=(　　)
A.0 B.-1 C.- D.-
2.(2026福建厦门高二模拟)随机变量X的分布列为P(X=0)=a,P(X=1)=b.若E(X)=2a,则a=(　　)
A. B. C. D.
3.已知随机变量X的分布列为
X 1 2 x0 5
P 0.2 0.3 p0 0.1
若E(X)=2.5,则x0的值为(　　)
A.3 B.3.5 C.4 D.4.5
4.今有两台独立工作在两地的雷达,每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,设发现目标的雷达数为X,则E(X)的值为(　　)
A.0.765 B.1.75 C.1.765 D.0.22
5.(2026安徽合肥高二期中)一个袋子中装有大小、形状完全相同的3个黑球和2个白球.现从这5个球中随机摸球,每次摸一球,不放回,摸到黑球就结束摸球.设Y表示摸球次数,则Y的数学期望E(Y)=(　　)
A. B. C. D.
6.(多选题)已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P m
下列结论正确的是(　　)
A.m= B.E(X)=
C.E(X+2)= D.E(2X)=9
7.(多选题)一盒中有8个乒乓球,其中6个未使用过,2个已使用过.现从盒子中任取3个球来用,用完后再装回盒中.记盒中已使用过的球的个数为X,则下列结论正确的是(　　)
A.X的可能取值是3,4,5
B.X最有可能的取值是5
C.X等于3的概率为
D.X的数学期望是
8.(2026云南昭通模拟)设下表为随机变量X的分布列,其中0X 1 2
P p 1-p
9.某超市为了刺激消费、提高销售额,举办了回馈大酬宾抽奖活动,设置了一个抽奖箱,箱中放有7折、7.5折、8折的奖券各2张,每张奖券的形状、大小都相同,每位消费者可以从中任意抽取2张奖券,最终超市将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算.
(1)求一位消费者抽到的2张奖券的折扣相同的概率;
(2)若某位消费者购买了300元(折扣前)的商品,记这位消费者最终结算时的消费金额为X,求X的分布列及数学期望E(X).
10.现有两种投资方案,一年后投资盈亏的情况如下.
方案一:投资股市
投资结果 获利40% 不赔不赚 亏损20%
概率
方案二:购买基金
投资结果 获利20% 不赔不赚 亏损10%
概率 p q
(1)当p=时,求q的值;
(2)若要将10万元钱进行投资,决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种,已知p=,q=,那么选择哪种投资方案,才能使得一年后投资收益的数学期望较大 给出结果并说明理由.
B级关键能力提升练
11.(2026江苏南通高二期中)将一个各面都涂了油漆的正方体切割为27个同样大小的小正方体,经过充分搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的油漆面数为X,则E(X)=(　　)
A.1 B. C.2 D.
12.若某科技小制作课的模型制作规则是每位学生最多制作3次,一旦制作成功,则停止制作,否则可制作3次.设某学生一次制作成功的概率为p(p≠0),制作次数为X,若X的数学期望E(X)>,则p的取值范围是(　　)
A.(0,) B.(,1)
C.(0,) D.(,1)
13.(多选题)设离散型随机变量X的分布列如表.
X 1 2 3 4 5
P m 0.1 0.3 n 0.3
若离散型随机变量Y=-2X+3,且E(X)=3.2,则下列结论正确的是(　　)
A.m=0.3 B.n=0.1
C.E(Y)=-3.4 D.P(X≤3)>P(X>3)
14.(2026广西桂林二模)把1,2,3,4四个数字随机排成一行,从左到右依次读取,从第二个数开始,每当读到的数字比前面所有数字都大时,称该数为一个“新高”.记排列中“新高”的个数为随机变量X,则E(X)=　　　　　.
15.(2026山东青岛高二期中)盒中有10张相同的卡片,其中标记上0号的有4张,标记上k(k=1,2,3)号的有k张.现从盒中取卡片,每次随机取一张且取后不放回,记X表示第一次所取卡片的标号.
(1)求X的分布列;
(2)若ξ=aX+1,E(ξ)=8,求a的值;
(3)记Y表示第二次所取卡片的标号,求P(Y>1).
16.(苏教版教材例题)在一个人数很多的地区普查某种疾病,由以往经验知道,该地区居民得此病的概率为0.1%.现有1 000人去验血,给出下面两种化验方法.
方法1:对1 000人逐一进行化验.
方法2:将1 000人分为100组,每组10人.对于每个组,先将10人的血各取出部分,并混合在一起进行一次化验,如果结果呈阴性,那么可断定这10人均无此疾病;如果结果呈阳性,那么再逐一化验.
试问:哪种方法较好
C级学科素养创新练
17.某校甲、乙两班参加学校举办的篮球比赛(比赛双方均为三名运动员),已知甲班三名运动员A,B,C一次罚球命中的概率分别是0.6,0.6,0.5,乙班三名运动员a,b,c一次罚球命中的概率分别是0.7,0.5,0.4,且每位运动员罚球是否命中相互独立.
(1)求甲班三名运动员A,B,C每人罚球一次,至少有一人命中的概率;
(2)为了评估甲、乙班两支球队哪个更优秀,现6名运动员各罚球一次,命中得2分,不命中得0分,设甲班得X分,乙班得Y分,求E(X),E(Y),判断哪班球队更优秀.
题号 1 2 3 4 5 6 7 11 12 13
答案
参考答案
1.C　E(X)=-1+0+1=-=-故选C.
2.A　因为随机变量X的分布列为P(X=0)=a,P(X=1)=b,所以E(X)=0×a+1×b=2a,即b=2a.
又因为a+b=1,所以a+2a=1,解得a=
3.A　由题可得,p0=1-0.1-0.3-0.2=0.4.
又E(X)=2.5,则1×0.2+2×0.3+0.4x0+5×0.1=2.5,解得x0=3.
4.B　当X=0时,P(X=0)=(1-0.9)×(1-0.85)=0.015;
当X=1时,P(X=1)=0.9×(1-0.85)+0.1×0.85=0.22;
当X=2时,P(X=2)=0.9×0.85=0.765.
所以E(X)=0×0.015+1×0.22+2×0.765=1.75.
5.A　因为摸到黑球就结束摸球,所以Y的可能取值为1,2,3,所以P(Y=1)=,P(Y=2)=,
P(Y=3)=1=,所以E(Y)=1+2+3
6.ABC　由+m+=1,得m=,故A正确;
E(X)=1+2+3,故B正确;
由B可得,E(X+2)=E(X)+2=,E(2X)=2E(X)=,故C正确,D错误.故选ABC.
7.ACD　由题知,任取3个球可能是1个未使用过,2个使用过或2个未使用过,1个使用过或3个未使用过,故X的可能取值是3,4,5,则P(X=3)=,P(X=4)=,P(X=5)=,所以X最有可能的取值是4,则E(X)=3+4+5故选ACD.
8　因为X的取值为1,2,因此X2的取值为12=1,22=4,对应概率分别为p,1-p,
因此E(X2)=12p+22(1-p)=4-3p.
因为E(X2)=4-3p=2,解得p=
则E(X)=1+2×(1-)=,
故E(2X+1)=2E(X)+1=
9.解 (1)每位消费者从7折、7.5折、8折的奖券各2张中任意抽取2张奖券,有=15种方法.
又“抽到的2张奖券的折扣相同”的情况有3种,故其概率为
(2)依题意,消费金额X的可能的值为210,225,240.
P(X=210)=,
P(X=225)=,
P(X=240)=
则X的分布列为
X 210 225 240
P
故E(X)=210+225+240=217.
10.解 (1)“购买基金”后,投资结果有“获利”“不赔不赚”和“亏损”三种,且三种投资结果相互独立,则p++q=1,且p=,所以+q=1,解得q=
(2)假设选择“投资股票”方案进行投资,且记X为投资股票的获利金额(单位:万元),随机变量X的分布列为
X 4 0 -2
P
则E(X)=4+0+(-2)
假设选择“购买基金”方案进行投资,且记Y为购买基金的获利金额(单位:万元),随机变量Y的分布列为
Y 2 0 -1
P
则E(Y)=2+0+(-1)
因为E(X)>E(Y),故选择“投资股市”,才能使得一年后的投资收益的数学期望较大.
11.C　由题可得,X的所有可能取值为0,1,2,3,涂3面油漆的小正方体有8个,涂2面油漆的小正方体有12个,涂1面油漆的小正方体有6个,涂0面油漆的小正方体有1个,
则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,
所以E(X)=0+1+2+3=2.
12.C　由题意,X的可能取值为1,2,3,
则P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2,
则E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+3>,
解得p>或p<
又p∈(0,1],所以p∈(0,).故选C.
13.BCD　由题意知m+0.1+0.3+n+0.3=1,所以m+n=0.3.
因为E(X)=3.2,所以1×m+2×0.1+3×0.3+4×n+5×0.3=3.2,即m+4n=0.6.
综上,解得m=0.2,n=0.1,故A不正确,B正确;
因为Y=-2X+3,所以E(Y)=-2E(X)+3=-2×3.2+3=-3.4,故C正确;
P(X≤3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.2+0.1+0.3=0.6,P(X>3)=P(X=4)+P(X=5)=0.1+0.3=0.4,所以P(X≤3)>P(X>3),故D正确.故选BCD.
14　X的取值为0,1,2,3.
则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,
故E(X)=0+1+2+3
15.解 (1)X的可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(2)由(1)可知,E(X)=0+1+2+3
因为ξ=aX+1,由期望的性质可得E(ξ)=aE(X)+1,
即a+1=8,解得a=5.
(3)记事件A=“第二次所取卡片的标号Y大于1”,
由(1)可知,P(X≤1)=,所以P(Y>1|X≤1)=;
P(X>1)=,所以P(Y>1|X>1)=,
所以P(A)=P(X≤1)P(Y>1|X≤1)+P(X>1)·P(Y>1|X>1)=
16.解 第1种方法的化验次数为1 000.
第2种方法:如果某组的混合血液化验结果呈阴性,就可以断定这10人均无此疾病,那么对这10人只化验1次;
如果结果呈阳性,那么必须对这10人再逐一化验,这时共需进行11次化验.因为对所有人来说,化验结果呈阳性的概率均为0.001,而且这些人的化验结果是相互独立的,所以每个人的化验次数X的概率分布如下表所示.
X 1 11
P (1-0.001)10 1-(1-0.001)10
因为每个人化验次数X的均值为
E(X)=1×(1-0.001)10+11×[1-(1-0.001)10],所以1 000人的化验次数的均值为1 000×{1×(1-0.001)10+11×[1-(1-0.001)10]}=1 100-1 000×0.99910≈110.
因此,方法2远好于方法1.
17.解 (1)由题意知,甲班这3人都不命中的概率为P()=0.4×0.4×0.5=0.08,所以这3人至少1人命中的概率为1-P()=1-0.08=0.92.
(2)由题意知,X的所有可能取值为0,2,4,6,Y的所有可能取值为0,2,4,6,
则P(X=0)=P()=0.08,
P(X=2)=P(A)+P()+P(C)=0.6×0.4×0.5+0.4×0.6×0.5+0.4×0.4×0.5=0.32,
P(X=4)=P(AB)+P(AC)+P(BC)=0.6×0.6×0.5+0.6×0.4×0.5+0.4×0.6×0.5=0.42,
P(X=6)=P(ABC)=0.6×0.6×0.5=0.18;
P(Y=0)=P()=0.3×0.5×0.6=0.09,
P(Y=2)=P(a)+P()+P(c)=0.7×0.5×0.6+0.3×0.5×0.6+0.3×0.5×0.4=0.36,
P(Y=4)=P(ab)+P(ac)+P(bc)=0.7×0.5×0.6+0.7×0.5×0.4+0.3×0.5×0.4=0.41,
P(Y=6)=P(abc)=0.7×0.5×0.4=0.14.
则X的分布列为
X 0 2 4 6
P 0.08 0.32 0.42 0.18
Y的分布列为
Y 0 2 4 6
P 0.09 0.36 0.41 0.14
所以E(X)=0×0.08+2×0.32+4×0.42+6×0.18=3.4,E(Y)=0×0.09+2×0.36+4×0.41+6×0.14=3.2.
因为E(X)>E(Y),所以甲班球队更优秀.

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