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第七章随机变量及其分布习题课-离散型随机变量的均值与方差的综合应用
A级必备知识基础练
1.已知随机变量ξi满足P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1-pi,i=1,2.若0A.E(ξ1)B.E(ξ1)D(ξ2)
C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)
2.已知随机变量X~B(2,),若随机变量Y满足X+Y=1,则E(Y)=(　　)
A.- B.- C. D.
3.甲、乙两台自动车床生产同种标准的零件,X表示甲车床生产1 000件产品中的次品数,Y表示乙车床生产1 000件产品中的次品数,经过一段时间的考察,X,Y的分布列分别为
X 0 1 2 3
P 0.7 0.1 0.1 0.1
Y 0 1 2
P 0.5 0.3 0.2
据此判定(　　)
A.甲生产的零件质量比乙生产的零件质量好
B.乙生产的零件质量比甲生产的零件质量好
C.甲生产的零件质量与乙生产的零件质量一样
D.无法判定
4.(多选题)(2026河北沧州模拟)设随机变量X的分布列为P(X=k)=C·(k=1,2,C为常数),则(　　)
A.C= B.P(X=2)=
C.E(X)=1 D.D(X)=
5.学校要从10名候选人中选2名同学组成学生会,其中某班有4名候选人,假设每名候选人都有相同的机会被选到,若X表示选到该班的候选人的人数,则E(X)=(　　)
A. B. C. D.
6.(多选题)(2026河北沧州模拟)已知随机变量X~B(n,),D(X)=,则下列说法正确的有(　　)
A.P(X=0)=
B.E(X)=
C.P(X=2)=3P(X=3)
D.D(3X-2)=6
7.(2026天津滨海新区高二期中)已知每门大炮击中目标的概率都是0.5.现有10门大炮同时对某一目标各射击一次,若每次击中目标记2分,记10门大炮总得分的期望值为A,则A的值为　　　　　.
8.一个盒子中有黑、白颜色的小球各3个,红色小球1个,每次从中取出一个,取出后不放回,当取出第二种颜色时即停止.设停止取球时,取球的次数为ξ,则P(ξ=2)=　　　,E(ξ)=　　　.
9.为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳,各株沙柳的成活与否是相互独立的,成活率为p,设X为成活沙柳的株数,均值E(X)为3,标准差.
(1)求n和p的值,并写出X的分布列;
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率.
B级关键能力提升练
10.将字母a,a,b,b,c,c放入3×2的表格中,每个格子各放一个字母,若共有k行字母相同,则得k分,则所得分数ξ的均值为(　　)
A. B. C. D.
11.(多选题)(2026湖北恩施模拟)设X为样本的一个随机变量,则关于数学期望的表述正确的有(　　)
A.样本估计总体时,总体的均值一定为E(X)
B.E(X)反映了X取值的平均水平
C.E2(X)≤E(X2)
D.若X服从0—1分布,则E(X)=P(X=1)
12.(多选题)一个不透明的口袋中有8个质地、大小均相同的球,其中红球4个,白球1个,黑球3个,则下列选项正确的有(　　)
A.从该口袋中任取3个球,设取出的红球个数为ξ,则数学期望E(ξ)=
B.每次从该口袋中任取一个球,记录下颜色后放回口袋,先后取了3次,设取出的黑球次数为η,则D(η)=
C.从该口袋中任取3个球,设取出的球的颜色有X种,则数学期望E(X)=
D.每次从该口袋中任取一个球,不放回,拿出红球即停,设拿出的黑球的个数为Y,则数学期望E(Y)=
13.举重比赛的规则是:挑战某一个重量,每位选手可以试举三次,若三次均未成功,则挑战失败;若有一次举起该重量,则无需再举,视为挑战成功.已知甲选手每次能举起该重量的概率是,且每次试举相互独立,互不影响,设试举的次数为随机变量X,则X的数学期望E(X)=　　　　;已知甲选手挑战成功,则甲是第二次举起该重量的概率是　　　　.
14.某工厂有甲、乙两个车间加工同一种零件,已知加工该零件需要两道工序,每道工序的加工结果相互独立,且只有每道加工工序都合格,该产品才能出厂进行销售.已知甲车间每道加工工序合格的概率均为0.9;乙车间第一、二道加工工序合格的概率分别为0.95,0.8.
(1)对6个来自甲车间,4个来自乙车间的零件进行质检,若从这10个零件中随机抽取1个,求该零件可以出厂销售的概率.
(2)甲车间加工的每个零件,销售后可以盈利100元,若不能销售则亏损30元;乙车间加工的每个零件,销售后可以盈利100元,若不能销售则亏损20元.由于市场对这种零件需求旺盛,该工厂计划扩建其中一个车间以增加产量,若以每个零件获利的数学期望为决策依据,请判断该工厂应扩建哪个车间.
15.(2026广东佛山模拟)现有8张大小、质地完全相同的卡片,其中4张是红色,4张是蓝色.从中随机摸出3张卡片放入一个不透明的袋子中,记袋子中红色卡片的张数为X0,然后进行如下操作:从袋子中随机摸出一张卡片(每张卡片被摸到的概率相等),观察其颜色后,将该卡片放在袋外,再从袋外取一张另一种颜色的卡片放入袋中(即若摸出红色卡片,则放回蓝色卡片;若摸出蓝色卡片,则放回红色卡片),袋子中始终保持3张卡片.记经过n次这样的操作后,袋子中红色卡片的张数为Xn.
(1)求P(X0=2);
(2)当X1=2时,求随机变量X2的分布列和数学期望;
(3)求随机变量X1的数学期望.
C级学科素养创新练
16.一个袋子中装有形状、大小完全相同的4个小球,其中2个黑球,2个白球.第一步:从袋子里随机取出2个球,将取出的白球涂黑后放回袋中,取出的黑球直接放回袋中;第二步:再从袋子里随机取出2个球,记第二步取出的2个球中白球的个数为X,则E(X)=(　　)
A. B. C. D.
17.(2026福建泉州高二期中)一个袋子中有20个大小相同的小球,其中黑球10个,白球10个.
(1)从中有放回地抽取4个小球作为样本,用X表示样本中白球的个数,求X的分布列和数学期望;
(2)从中不放回地抽取10个小球作为样本,用Y表示样本中白球的个数,则样本中出现几个白球的可能性最大 (要求写出推导过程)
题号 1 2 3 4 5 6 10 11 12 16
答案
参考答案
1.A　由题意可知ξi(i=1,2)服从两点分布,
∴E(ξ1)=p1,E(ξ2)=p2,D(ξ1)=p1(1-p1),D(ξ2)=p2(1-p2),又0∴E(ξ1)故由题意可知,D(ξ1)2.C　由随机变量X~B(2,),得E(X)=,由X+Y=1,得Y=1-X,所以E(Y)=E(1-X)=1-E(X)=故选C.
3.A　E(X)=0×0.7+1×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6,E(Y)=0×0.5+1×0.3+2×0.2=0.7.
显然E(X)4.ABD　由题可知,P(X=1)=C=2C,P(X=2)=C=2C,
所以2C+2C=1,得C=,即P(X=k)=,k=1,2,
所以P(X=1)=P(X=2)=,E(X)=1+2,E(X2)=1+4,
则D(X)=-()2=故选ABD.
5.D　X的可能取值有0,1,2,且P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,
X的分布列如下:
X 0 1 2
P
E(X)=0+1+2
6.AC　已知X~B(n,),则D(X)=(1-)n=,故n=4,即X~B(4,).
对于A,P(X=0)=()0×()4=1×1,故A正确;
对于B,E(X)=4,故B错误;
对于C,P(X=2)=()2×()2=6,P(X=3)=()3×()1=4,则3P(X=3)==P(X=2),故C正确;
对于D,D(3X-2)=32D(X)=9=8≠6,故D错误.
故选AC.
7.10　设10门大炮击中目标的次数为X,则根据题意可得X~B(10,),则E(X)=10=5,因为每次击中目标记2分,所以10门大炮总得分的期望值A=5×2=10.
8　依题意,若第一次取出的是红色小球,则第二次取出的小球一定是另一种颜色,即取两次球即停止,此时ξ=2.
若第一次取出的是黑色或白色小球,当取出第二种颜色时即停止,取球次数可能为2,3,4.
故ξ的所有可能取值为2,3,4.
P(ξ=2)=2=,
P(ξ=3)=2=,
P(ξ=4)=2=,
所以E(ξ)=2+3+4
9.解由题意知,X~B(n,p),P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,…,n.
(1)由E(X)=np=3,D(X)=np(1-p)=,得n=6,p=
X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5 6
P
(2)记“需要补种沙柳”为事件A,则P(A)=P(X≤3)=
所以需要补种沙柳的概率为
10.B　字母a,a,b,b,c,c放入3×2的表格中的不同结果有=90种,随机变量ξ的可能取值为0,1,3,
可得P(ξ=1)=,P(ξ=3)=,
则P(ξ=0)=1-P(ξ=1)-P(ξ=3)=1-,
所以随机变量ξ的均值为E(ξ)=0+1+3故选B.
11.BCD　对于A,用样本估计总体时,样本的均值为随机变量,总体的均值是固定的,故错误;
对于B,期望的含义是反映了随机变量取值的平均水平,故正确;
对于C,D(X)=E(X2)-E2(X)≥0 E(X2)≥E2(X),故正确;
对于D,0—1分布的期望为E(X)=0×(1-p)+1×p=p,故正确.故选BCD.
12.ACD　对于A,ξ的可能取值为0,1,2,3,P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,则E(ξ)=0+1+2+3,故A正确;
对于B,η的可能取值为0,1,2,3,取球一次取到黑球的概率为,则η~B(3,),E(η)=,D(η)=3(1-)=,故B错误;
对于C,X的可能取值为1,2,3,P(X=1)=,P(X=3)=,P(X=2)=1-P(X=1)-P(X=3)=,则E(X)=1+2+3,故C正确;
对于D,Y的可能取值为0,1,2,3,P(Y=0)=,P(Y=1)=,P(Y=2)=,
所以P(Y=3)=1-P(Y=0)-P(Y=1)-P(Y=2)=1-,
则E(Y)=0+1+2+3,故D正确.故选ACD.
13　依题意随机变量X的可能取值为1,2,3,则P(X=1)=,P(X=2)=(1-),
P(X=3)=
所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
所以随机变量X的数学期望为E(X)=1+2+3
记“第i次举起该重量”分别为事件Ai,i=1,2,3,“甲选手挑战成功”为事件B,
则P(B)=1-P()=1-,
P(A2B)=P(A2)=P()P(A2)=(1-),所以P(A2|B)=,所以甲选手挑战成功,则甲是第二次举起该重量的概率为
14.解 (1)用事件A表示“抽取的零件来自甲车间”,用事件B表示“抽取的零件来自乙车间”,用事件C表示“抽取的零件可以出厂销售”,
则P(A)=0.6,P(B)=0.4,
P(C|A)=0.9×0.9=0.81,P(C|B)=0.95×0.8=0.76.
P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=0.6×0.81+0.4×0.76=0.79.
(2)甲车间加工的每个零件可以出厂销售的概率为0.81,
甲车间加工的每个零件获利的期望为0.81×100-(1-0.81)×30=75.3.
乙车间加工的每个零件可以出厂销售的概率为0.76,
乙车间加工的每个零件获利的期望为0.76×100-(1-0.76)×20=71.2.
因为75.3>71.2,所以应扩建甲车间.
15.解 (1)依题意,P(X0=2)=
(2)当X1=2时,若摸出红色卡片,则X2的值为1,若摸出蓝色卡片,则X2的值为3,
所以P(X2=1)=,P(X2=3)=,
所以X2的分布列为
X2 1 3
P
数学期望为E(X2)=1+3
(3)X0的可能取值为0,1,2,3.
P(X0=0)=,
P(X0=1)=,
P(X0=2)=,
P(X0=3)=
X1的可能取值为0,1,2,3.
P(X1=0)=P(X0=1),
P(X1=1)=P(X0=0)×1+P(X0=2),
P(X1=2)=P(X0=1)+P(X0=3)×1=,
P(X1=3)=P(X0=2),
所以随机变量X1的数学期望为E(X1)=0+1+2+3
16.D　①记第一步取出2个白球为事件A,即第二步袋子里有4个黑球,
则P(A)=,P(X=0|A)=1,P(X=1|A)=P(X=2|A)=0.
②记第一步取出的2个球为1黑1白为事件B,即第二步袋子里有3个黑球1个白球,
则P(B)=,P(X=0|B)=,P(X=1|B)=,P(X=2|B)=0.
③记第一步取出2个黑球为事件C,即第二步袋子里有2个黑球2个白球,则P(C)=,P(X=0|C)=,P(X=1|C)=,P(X=2|C)=
故由全概率公式得,P(X=0)=P(A)P(X=0|A)+P(B)P(X=0|B)+P(C)P(X=0|C)=1+,同理P(X=1)=,P(X=2)=
故E(X)=0+1+2故选D.
17.解 (1)有放回地抽取4个小球,每次抽取均是在20个小球中抽取,有20种不同的方法,抽到白球的抽法有10种,所以每次抽到白球的概率为,所以X~B(4,),
所以P(X=0)=（）0×(1-)4=,P(X=1)=()1×(1-)3=,
P(X=2)=（）2×（1-）2=,P(X=3)=()3×(1-)=,
P(X=4)=（）4×（1-)0=,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以E(X)=4=2.
(2)由题意可得Y服从超几何分布,则P(Y=k)=,k=0,1,2,…,10,所以,令1,所以100-20k+k2≥k2+2k+1,所以k≤4.5,
所以当k≤4时,P(Y=k+1)>P(Y=k),当k≥5时,P(Y=k)>P(Y=k+1),所以样本中出现5个白球的可能性最大.

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