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第七章综合训练
(参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7;P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5;P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3)
一、选择题(本题共8小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
1.下表是离散型随机变量ξ的概率分布,则a=(　　)
ξ 1 2 3 4
P
A.4 B.3 C.2 D.1
2.若X服从两点分布,P(X=1)-P(X=0)=0.32,则P(X=0)为(　　)
A.0.32 B.0.34
C.0.66 D.0.68
3.已知随机变量X~N(2,σ2),且P(X≤4)=0.8,则P(0≤X≤2)=(　　)
A.0.2 B.0.3 C.0.5 D.0.8
4.产品的质量是企业的根本,产品检测是生产中不可或缺的重要工作,某工厂为了保证产品质量,利用两种不同方法进行检测,两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品,已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品,员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品,员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品,设员工甲抽取到的3件产品中次品数量为X,员工乙抽取到的3件产品中次品数量为Y,则下列判断不正确的是(　　)
A.随机变量X服从二项分布
B.随机变量Y服从超几何分布
C.E(X)=E(Y)
D.P(X=k)5.一批零件共有10个,其中有4个不合格,随机抽取3个零件进行检测,恰好有1件不合格的概率是
(　　)
A. B. C. D.
6.小李在花盆中种下2粒花卉种子,若每粒种子发芽的概率均为0.8,则这两粒种子至少有1粒发芽的概率为(　　)
A.0.16 B.0.32 C.0.64 D.0.96
7.如图是一块高尔顿板示意图,在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉,小木钉之间留着适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃,将小球从顶端放入,小球在下落过程中,每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下,最后落入底部的格子中,格子从左到右分别编号为1,2,3,4,5,用X表示小球落入格子的号码,则下列说法不正确的是(　　)
A.P(X=2)=
B.P(X=k)≤P(X=3)(k=1,2,3,4,5)
C.E(X)=2
D.D(X)=1
8.泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布,由法国数学家泊松首次提出,泊松分布的概率分布列为P(X=k)=e-λ(k=0,1,2,…),其中e为自然对数的底数,λ是泊松分布的均值.已知某线路每个公交车站台的乘客候车相互独立,且每个站台候车人数X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布,若该线路某站台的候车人数为2和3的概率相等,则该线路公交车两个站台各有1位乘客候车的概率为(　　)
A. B.
C. D.
二、选择题(本题共3小题,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求)
9.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X≤4)=0.8,则(　　)
A.P(X>4)=0.2
B.P(X≥0)=0.6
C.P(0≤X≤2)=0.3
D.P(0≤X≤4)=0.4
10.已知随机变量X的分布列为
X -1 0 1
P p1 p2 p2
下列结论正确的有(　　)
A.若p1=2p2,则p1=
B.若p1=p2,则P(|X|=1)=
C.若E(X)=,则p2=
D.-p2的最小值为-(p1p2≠0)
11.某科技企业通过一家代工厂为其加工某种零部件,加工后的零部件先由智能检测系统进行检测,智能检测系统能检测出不合格零部件,但会把5%的合格零部件判定为不合格,所以智能检测系统检测出的不合格零部件需要进行人工第二次检测,人工检测可以准确检测出合格与不合格的零部件,通过统计需要人工进行第二次检测的零部件中,零部件的合格率为,则(　　)
A.该零部件的合格率为
B.从该代工厂加工的零部件中任取100个,则取到的合格品个数的均值为96
C.从该代工厂加工的零部件中先后两次各取一个,若至少有1个为合格品,则第1次取到合格品的概率约为
D.从需要进行人工第二次检测的零部件中任取10件,取到5件和6件合格品的概率最大
三、填空题(本题共3小题)
12.(2025全国1)一个箱子里有5个球,分别以1~5标号,若有放回取三次,记至少取出一次的球的个数X,则E(X)=　　　　　.
13.已知甲盒产品中有4个正品和2个次品,乙盒产品中有3个正品和2个次品,若从甲盒中任取2个产品,则这2个产品中有一个为正品的条件下,另一个为次品的概率为　　　　　;若先从甲盒中任取2个产品,放入乙盒,再从乙盒任取一个产品,则取出的这个产品是正品的概率为　　　　　.
14.一支足球队每场比赛获胜(得3分)的概率为a,与对手踢平(得1分)的概率为b,负于对手(得0分)的概率为c,其中a,b,c∈(0,1).已知该足球队进行一场比赛得分的均值是1,则的最小值为　　　.
四、解答题(本题共5小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.有三个同样的箱子,甲箱中有2个红球、6个白球,乙箱中有6个红球、4个白球,丙箱中有3个红球、5个白球.
(1)随机从甲、乙、丙三个箱子中各取一球,求三球都为红球的概率;
(2)从甲、乙、丙中随机取一箱,再从该箱中任取一球,求该球为红球的概率.
16.李华参加一次招聘考试,已知共有8道题目,他只能答对其中5道.若随机抽取3道让李华回答,规定至少要答对其中2道才能通过考试.
(1)记X为李华答对的题目数,求X的分布列及数学期望E(X);
(2)求李华能通过考试的概率.
17.甲、乙二人进行一次象棋比赛,每局胜者得1分,负者得0分(无平局),约定一方得4分时就获得本次比赛的胜利并且比赛结束.设在每局比赛中,甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立,已知前3局中,甲得1分,乙得2分.
(1)求甲获得这次比赛胜利的概率;
(2)设从第4局开始到比赛结束所进行的局数为X,求X的分布列及均值.
18.高尔顿钉板是英国统计学家高尔顿设计的一种概率模型,其结构如下,在一块竖直木板上钉有若干排等间距的钉子,每排钉子的数量比上一排多一枚,且相邻的两排钉子的位置相互错开,木板底部有若干个等宽的凹槽,用于收集下落的小球,小球从木板顶端的入口处自由下落,在下落过程中,小球每次遇到钉子时,向左或向右下落的概率均为0.5,且每次下落是相互独立的.现有一个高尔顿钉板,其设置m排钉子,第m排钉子下方有m+1个凹槽.从左至右依次记为凹槽0,凹槽1,…,凹槽m,当m=11时,钉板如图所示.进行n次独立重复试验,每次试验投放一个小球.设小球从入口下落最终落入凹槽k(k=0,1,2,…,m)的个数为Xk.
(1)若m=8,
①当n=1时,求P(k=3);
②当n=1 600时,求X3的数学期望与方差.
(2)当n足够大时,可以认为小球最终落入的凹槽k服从正态分布N(μ,σ2),其中μ为k的数学期望,σ2为k的方差,若m=36,n=10 000,试估计落在凹槽15到凹槽21(含15和21)内的小球总数.
19.品酒师需要定期接受品酒鉴别能力测试,测试方法如下:拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝,要求按品质优劣为它们排序,经过一段时间,等他记忆淡忘之后,再让他品尝这n瓶酒,并重新按品质优劣为它们排序,这称为一轮测试.设在第一次排序时被排为1,2,3,…,n的n种酒,在第二次排序时的序号为a1,a2,a3,…,an,并令X=|i-ai|,称X是两次排序的偏离度.评委根据一轮测试中的两次排序的偏离度的高低为其评分.
(1)当n=3时,若a1,a2,a3等可能地为1,2,3的各种排列,求X的分布列.
(2)当n=4时,
①若a1,a2,a3,a4等可能地为1,2,3,4的各种排列,计算X≤2的概率;
②假设某品酒师在连续三轮测试中,都有X≤2(各轮测试相互独立),你认为该品酒师的鉴别能力如何,请说明理由.
参考答案
1.C　由题意可得=1,解得a=2.故选C.
2.B　依题意可得P(X=1)+P(X=0)=1,P(X=1)-P(X=0)=0.32,所以P(X=0)==0.34.故选B.
3.B　由X~N(2,σ2),可知其对称轴为直线x=2,P(X≤2)=0.5.
又P(X≤4)=0.8,由对称性可知P(0≤X≤2)=P(2≤X≤4)=P(X≤4)-P(X≤2)=0.8-0.5=0.3.故选B.
4.D　对于A,员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品,则随机变量X服从二项分布,故A正确;
对于B,员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品,则随机变量Y服从超几何分布,故B正确;
对于C,设该批产品有M件,则E(X)=3,
E(Y)=,故C正确;
对于D,E(X)=kP(X=k),E(Y)=kP(Y=k),若P(X=k)5.B　从10个零件中随机抽取3个,总的抽取方法数为,要求恰好1件不合格,即从4个不合格零件中抽1个,从6个合格零件中抽2个,符合条件的方法数为,故恰好1件不合格的概率为故选B.
6.D　这两粒种子至少有1粒发芽的概率为1-(1-0.8)2=0.96.故选D.
7.C　设Y=X-1,依题意,Y~B(4,).
对于A,P(X=2)=P(Y=1)=(4=,故A正确;
对于B,P(X=k)=P(Y=k-1)=)4(k=1,2,3,4,5),则P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,P(X=5)=,
所以P(X=k)≤P(X=3)(k=1,2,3,4,5),故B正确;
对于C,E(X)=E(Y)+1=4+1=3,故C错误;
对于D,D(X)=D(Y)=4×()2=1,故D正确.故选C.
8.D　由题可知P(X=2)=P(X=3),即,解得λ=3,故P(X=k)=e-3(k=0,1,2,…),P(X=1)=e-3=,故该线路两个站台各有1位乘客候车的概率P=()2=
9.AC　∵P(X≤4)=0.8,∴P(X>4)=0.2.
∵X~N(2,σ2),∴P(X<0)=P(X>4)=0.2.
∴P(0≤X≤4)=P(X≤4)-P(X<0)=0.6,P(X≥0)=1-P(X<0)=0.8,
∴P(0≤X≤2)=P(0≤X≤4)=0.3.
10.BC　对于A,由题意得p1+2p2=1,若p1=2p2,则p1=,故A错误;
对于B,若p1=p2,则p1=p2=,P(|X|=1)=P(X=1)+P(X=-1)=,故B正确;
对于C,若E(X)=,则-p1+p2=,又p1+2p2=1,所以p2=,故C正确;
对于D,由p1+2p2=1,得011.BCD　设零部件的合格率为x,由题意可得,解得x=0.96=,故A错误;
从该代工厂加工的零部件中任取100个,记取到的合格品个数为X,则X~B(100,0.96),E(X)=100×0.96=96,故B正确;
从该代工厂加工的零部件中先后两次各取一个,至少有1个为合格品的概率约为1-,所以所求概率约为,故C正确;
从需要进行人工第二次检测的零部件中任取10件,记取到Y件合格品,
则Y~B(10,),,60-6k-(5k+5)=55-11k,所以当k≤4时,>1,当k=5时,=1,当k≥6时,<1,所以P(Y=5)和P(Y=6)最大,故D正确.故选BCD.
12　由题意X=1,2,3,P(X=1)=;
P(X=2)=()2;
P(X=3)=()3=
故E(X)=1+2+3=
13　设事件A为“从甲中取出的2件产品中有一个为正品”,事件B为“从甲中取出的2个产品中有一个为次品”,则P(A)=,P(AB)=,所以P(B|A)=
设事件C为“从乙中取出的这个产品是正品”,事件D1为“从甲中取出两个正品”,
事件D2为“从甲中取出一个正品、一个次品”,事件D3为“从甲中取出两个次品”,
则P(D1)=,P(D2)=,P(D3)=,P(C|D1)=,P(C|D2)=,P(C|D3)=,由全概率公式得P(C)=P(D1)P(C|D1)+P(D2)P(C|D2)+P(D3)P(C|D3)=
14　设得分为ξ,则ξ的分布列为
ξ 0 1 3
P c b a
由均值为3a+b=1,且a,b∈(0,1),
则=()(3a+b)=+2,当且仅当a=b=时,等号成立.
15.解 (1)根据题意,记事件A1:从甲箱中取一球为红球,事件A2:从乙箱中取一球为红球,事件A3:从丙箱中取一球为红球,记事件B:取得的三球都为红球,且事件A1,A2,A3相互独立,所以P(B)=P(A1)P(A2)P(A3)=,所以三球都为红球的概率为
(2)记事件C:该球为红球,事件D1:取甲箱,事件D2:取乙箱,事件D3:取丙箱.
因为P(C|D1)=,P(C|D2)=,P(C|D3)=,
所以P(C)=P(D1)P(C|D1)+P(D2)P(C|D2)+P(D3)P(C|D3)=,
所以该球为红球的概率为
16.解 (1)由已知可得X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)=,P(X=1)=,
P(X=2)=,P(X=3)=
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以X的数学期望为E(X)=0+1+2+3
(2)因为至少答对其中2道才能通过考试,
所以通过考试包括答对2道题和答对3道题两种情况,
这两种情况是互斥的,
由(1)知,P(X=2)=,P(X=3)=,
所以P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=
所以李华能通过考试的概率为
17.解(1)设“甲获得这次比赛胜利”为事件A,
则P(A)=,
故甲获得这次比赛胜利的概率为
(2)依题意,X的取值可能为2,3,4,
则P(X=2)=,
P(X=3)=,
P(X=4)=1=
故X的分布列为
X 2 3 4
P
E(X)=2+3+4
18.解 (1)①P(k=3)=()8=
②由①知小球落入3号槽的概率为,由题意知X3~B(1 600,),所以E(X3)=1 600=350,D(X3)=1 600
(2)由题意得k~B(36,),μ=E(k)=36=18,σ2=D(k)=36=9,
由题可知小球最终落入的凹槽k服从正态分布N(18,9),
P(15≤k≤21)=P(18-3≤k≤18+3)≈0.682 7,
所以估计落在凹槽15到凹槽21(含15和21)内的小球总数为6 827.
19.解 (1)a1,a2,a3的排序共有=6种,且每种排序等可能,此时X的可能取值为0,2,4.
当X=0时,a1,a2,a3的排序为1,2,3,P(X=0)=;
当X=2时,a1,a2,a3的排序为1,3,2或2,1,3,P(X=2)=;
当X=4时,a1,a2,a3的排序为3,2,1或2,3,1或3,1,2,P(X=4)=
所以X的分布列为
X 0 2 4
P
(2)①a1,a2,a3,a4的排序共有=24种,且每种排序等可能.当X≤2时,X的可能取值为0,2.
当X=0时,a1,a2,a3,a4的排序与第一次排序无变化,
此时仅有1种排序:1,2,3,4,则P(X=0)=;
当X=2时,a1,a2,a3,a4的排序与第一次排序相比仅有相邻两个位置变化,此时有3种排序:2,1,3,4或1,3,2,4或1,2,4,3,则P(X=2)=
所以P(X≤2)=P(X=0)+P(X=2)=
②因为各轮测试相互独立,所以“连续三轮测试中,都有X≤2”的概率为()3=,这表明仅凭随机猜测得到三轮测试都有X≤2的结果的可能性很小,所以我们认为该品酒师有良好的鉴别能力,不是靠随机猜测.

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