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第一课时　函数的单调性
1.下列说法正确的是（　　）
A.若定义在（a，b）上的函数f（x）有无穷多对x1，x2∈（a，b），使得x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2），则f（x）在（a，b）上单调递增
B.若定义在R上的函数f（x）在区间（－∞，0]上单调递增，在区间（0，＋∞）上也单调递增，则函数f（x）在R上是增函数
C.若函数f（x）在[1，＋∞）上单调递增，则函数的单调递增区间是[1，＋∞）
D.若函数f（x）在区间I上单调递增且f（x1）＜f（x2）（x1，x2∈I），则x1＜x2
2.函数y＝的单调递增区间是（　　）
A.（－∞，－3] B.［，＋∞）
C.（－∞，1） D.[－1，＋∞）
3.设函数f（x）是减函数，则（　　）
A.f（a）＞f（2a）
B.f（a2＋1）＜f（a2）
C.f（a2＋a）＜f（a）
D.f（a2）＜f（a）
4.若函数f（x）＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为（　　）
A.
B.
C.
D.∪
5.〔多选〕下列函数中，在区间（0，＋∞）上单调递增的是（　　）
A.y＝2x＋1 B.y＝3x2＋1
C.y＝ D.y＝｜x｜
6.〔多选〕如图是定义在区间[－5，5]上的函数f（x），则下列关于函数f（x）的说法正确的是（　　）
A.函数在区间[－5，－3]上单调递增
B.函数在区间[1，4]上单调递增
C.函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减
D.函数在区间[－5，5]上没有单调性
7.函数y＝x2－2｜x｜＋1的单调递减区间是　 　.
8.如果二次函数f（x）＝x2－（a－1）x＋5在区间（，1）上单调递增，则实数a的取值范围为　 　.
9.已知f（x）是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f（x－2）＜f（1－x），则x的取值范围是　 　.
10.若f（x）＝－x2＋2ax与g（x）＝在区间[1，2]上都单调递减，求a的取值范围.
11.已知函数f（x）是定义在R上的单调函数，A（0，1），B（2，－1）是其图象上的两点，则不等式｜f（x－1）｜＞1的解集为（　　）
A.（－1，1）
B.（－∞，－1）∪（1，＋∞）
C.（1，3）
D.（－∞，1）∪（3，＋∞）
12.〔多选〕已知函数f（x）＝是R上的减函数，则实数k的可能的取值有（　　）
A.4 B.5
C.6 D.7
13.能使“函数f（x）＝x｜x－1｜在区间I上不是单调函数，且在区间I上的函数值的集合为[0，2]”是真命题的一个区间为　 　.
14.已知函数f（x）＝，x∈[1，＋∞），讨论函数f（x）的单调性.
第一课时　函数的单调性
1.下列说法正确的是（　　）
A.若定义在（a，b）上的函数f（x）有无穷多对x1，x2∈（a，b），使得x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2），则f（x）在（a，b）上单调递增
B.若定义在R上的函数f（x）在区间（－∞，0]上单调递增，在区间（0，＋∞）上也单调递增，则函数f（x）在R上是增函数
C.若函数f（x）在[1，＋∞）上单调递增，则函数的单调递增区间是[1，＋∞）
D.若函数f（x）在区间I上单调递增且f（x1）＜f（x2）（x1，x2∈I），则x1＜x2
解析：D　无穷多对x1，x2不等价于对任意x1，x2，A错误；设函数f（x）＝则f（x）在（－∞，0]上单调递增，在（0，＋∞）上也单调递增，但f（0）＞f（1），不符合增函数的定义，B错误；若f（x）＝x，则f（x）在[1，＋∞）上单调递增，但f（x）的单调递增区间是R，C错误；由函数单调性的定义，知D正确.
2.函数y＝的单调递增区间是（　　）
A.（－∞，－3] B.［，＋∞）
C.（－∞，1） D.[－1，＋∞）
解析：B　由2x－3≥0，得x≥.又因为t＝2x－3在（－∞，＋∞）上是增函数，y＝在定义域上是增函数，所以y＝的单调递增区间是［，＋∞）.
3.设函数f（x）是减函数，则（　　）
A.f（a）＞f（2a）
B.f（a2＋1）＜f（a2）
C.f（a2＋a）＜f（a）
D.f（a2）＜f（a）
解析：B　∵a2＋1＞a2，且f（x）是减函数，∴f（a2＋1）＜f（a2）.
4.若函数f（x）＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为（　　）
A.
B.
C.
D.∪
解析：A　因为f（x）是定义在R上的减函数，所以解得≤a＜.
5.〔多选〕下列函数中，在区间（0，＋∞）上单调递增的是（　　）
A.y＝2x＋1 B.y＝3x2＋1
C.y＝ D.y＝｜x｜
解析：ABD　借助函数图象可知，y＝2x＋1，y＝3x2＋1，y＝｜x｜在（0，＋∞）上都单调递增，y＝在（0，＋∞）上单调递减.
6.〔多选〕如图是定义在区间[－5，5]上的函数f（x），则下列关于函数f（x）的说法正确的是（　　）
A.函数在区间[－5，－3]上单调递增
B.函数在区间[1，4]上单调递增
C.函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减
D.函数在区间[－5，5]上没有单调性
解析：ABD　由图可知，函数在区间[－5，－3]，[1，4]上单调递增，故A、B正确；f（x）在区间[－3，1]，[4，5]上单调递减，单调区间不可以用“∪”连接，故C错误；函数在区间[－5，5]上没有单调性，故D正确.故选A、B、D.
7.函数y＝x2－2｜x｜＋1的单调递减区间是　（－∞，－1]和[0，1]　.
解析：y＝x2－2｜x｜＋1＝作出其图象如图所示，由图象可知，函数的单调递减区间为（－∞，－1]和[0，1].
8.如果二次函数f（x）＝x2－（a－1）x＋5在区间（，1）上单调递增，则实数a的取值范围为　（－∞，2]　.
解析：因为二次函数f（x）＝x2－（a－1）x＋5的图象的对称轴为直线x＝，又函数f（x）在区间（，1）上单调递增，所以≤，解得a≤2.
9.已知f（x）是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f（x－2）＜f（1－x），则x的取值范围是　［1，）　.
解析：由题意，得解得1≤x＜，
故满足条件的x的取值范围是［1，）.
10.若f（x）＝－x2＋2ax与g（x）＝在区间[1，2]上都单调递减，求a的取值范围.
解：f（x）＝－x2＋2ax＝－（x－a）2＋a2，
∵f（x）在区间[1，2]上单调递减，∴a≤1.
∵g（x）＝在区间[1，2]上单调递减，
∴a＞0，∴0＜a≤1.故a的取值范围为（0，1].
11.已知函数f（x）是定义在R上的单调函数，A（0，1），B（2，－1）是其图象上的两点，则不等式｜f（x－1）｜＞1的解集为（　　）
A.（－1，1）
B.（－∞，－1）∪（1，＋∞）
C.（1，3）
D.（－∞，1）∪（3，＋∞）
解析：D　据题意可知f（0）＝1，f（2）＝－1.又f（x）是R上的单调函数，∴f（x）在R上单调递减.由｜f（x－1）｜＞1得，f（x－1）＜f（2）或f（x－1）＞f（0）.∴x－1＞2或x－1＜0，解得x＞3或x＜1.∴原不等式的解集为（－∞，1）∪（3，＋∞）.故选D.
12.〔多选〕已知函数f（x）＝是R上的减函数，则实数k的可能的取值有（　　）
A.4 B.5
C.6 D.7
解析：ABC　因为函数f（x）是R上的减函数，所以解得2≤k≤6.故A、B、C正确，D错误.
13.能使“函数f（x）＝x｜x－1｜在区间I上不是单调函数，且在区间I上的函数值的集合为[0，2]”是真命题的一个区间为　[0，2]（答案不唯一）　.
解析：由f（x）＝x｜x－1｜＝2可以解得x＝2，作出函数y＝f（x）＝的图象，可知y＝f（x）在（－∞，］和[1，＋∞）上单调递增，在［，1］上单调递减，所以I＝[a，2]，0≤a＜1.
14.已知函数f（x）＝，x∈[1，＋∞），讨论函数f（x）的单调性.
解：f（x）＝＝x＋＋2.
令x2＞x1≥1，则f（x2）－f（x1）＝x2＋＋2－x1－－2＝（x2－x1）（1－）.
当a≤0时，1－＞0，所以f（x2）－f（x1）＞0，所以f（x）在[1，＋∞）上单调递增；
当0＜a≤1时，1－＞0，所以f（x2）－f（x1）＞0，所以f（x）在[1，＋∞）上单调递增；
当a＞1时，若1≤x1＜x2＜，则1－＜0，所以f（x2）－f（x1）＜0，若≤x1＜x2，则1－＞0，所以f（x2）－f（x1）＞0；
所以f（x）在[1，）上单调递减，在[，＋∞）上单调递增.
综上所述，当a≤1时，f（x）在[1，＋∞）上单调递增，当a＞1时，f（x）在[1，）上单调递减，在[，＋∞）上单调递增.
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