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第二课时　函数的最大（小）值
1.下列函数在[1，4]上最大值为3的是（　　）
A.y＝＋2 B.y＝3x－2
C.y＝x2 D.y＝1－x
2.函数y＝x－在[1，2]上的最大值为（　　）
A.0 B.
C.2 D.3
3.已知函数f（x）＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f（x）的最小值为－2，则f（x）的最大值为（　　）
A.1 B.0
C.－1 D.2
4.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x（其中销售量单位：辆）.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为（　　）
A.90万元 B.60万元
C.120万元 D.120.25万元
5.〔多选〕下列关于函数f（x）＝x＋｜x－1｜的四种说法正确的是（　　）
A.有最小值，最小值为1 B.没有最小值
C.有最大值，最大值为10 D.没有最大值
6.〔多选〕已知函数f（x）＝有最小值，则实数a的值可能为（　　）
A.2 B.4
C.6 D.8
7.已知函数y＝ax＋1在区间[1，3]上的最大值为4，则a＝　　.
8.函数f（x）＝在[a，b]上的最大值为1，最小值为，则a＋b＝　　.
9.〔一题多解〕函数f（x）＝2x＋的最小值为　　.
10.某商场销售一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x（不低于进价，单位：元）与日销售量y（单位：件）之间有如下关系：
x 45 50
y 27 12
（1）确定x与y的一个一次函数关系式y＝f（x）（注明函数定义域）；
（2）若日销售利润为P元，根据（1）中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
11.用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值.设f（x）＝min{x＋2，10－x}（x≥0），则f（x）的最大值为（　　）
A.4 B.5
C.6 D.10
12.〔多选〕已知函数f（x）＝（≤x＜2），则该函数（　　）
A.最大值为
B.最大值为
C.没有最小值
D.在区间（1，2）上单调递增
13.已知函数f（x）＝x2－2tx＋1在[2，5]上单调，且f（x）的最大值为8，则实数t的值为　　.
14.已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3.
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；
（3）若x∈[t，t＋2]，试求f（x）的最小值.
第二课时　函数的最大（小）值
1.下列函数在[1，4]上最大值为3的是（　　）
A.y＝＋2 B.y＝3x－2
C.y＝x2 D.y＝1－x
解析：A　B、C在[1，4]上均单调递增，A、D在[1，4]上均单调递减，代入端点值，即可求得最值.故选A.
2.函数y＝x－在[1，2]上的最大值为（　　）
A.0 B.
C.2 D.3
解析：B　函数y＝x在[1，2]上单调递增，函数y＝－在[1，2]上单调递增，所以函数y＝x－在[1，2]上单调递增.当x＝2时，ymax＝2－＝.
3.已知函数f（x）＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f（x）的最小值为－2，则f（x）的最大值为（　　）
A.1 B.0
C.－1 D.2
解析：A　∵f（x）＝－x2＋4x＋a在[0，1]上单调递增，∴其最小值为f（0）＝a＝－2，∴其最大值为f（1）＝3＋a＝1.
4.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x（其中销售量单位：辆）.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为（　　）
A.90万元 B.60万元
C.120万元 D.120.25万元
解析：C　设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售（15－x）辆，公司获利为L＝－x2＋21x＋2（15－x）＝－x2＋19x＋30＝－（x－）2＋30＋，x∈N.∴当x＝9或10时，L最大为120万元.
5.〔多选〕下列关于函数f（x）＝x＋｜x－1｜的四种说法正确的是（　　）
A.有最小值，最小值为1 B.没有最小值
C.有最大值，最大值为10 D.没有最大值
解析：AD　f（x）＝x＋｜x－1｜＝作出函数的图象如图所示，
由图象可知，f（x）的最小值为1，没有最大值.
6.〔多选〕已知函数f（x）＝有最小值，则实数a的值可能为（　　）
A.2 B.4
C.6 D.8
解析：BCD　由题意知，当x＞0时，函数f（x）＝x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号；当x＜0时，f（x）＝x2＋a＞a，因此要使f（x）有最小值，则必须有a≥4，故选B、C、D.
7.已知函数y＝ax＋1在区间[1，3]上的最大值为4，则a＝　1　.
解析：若a＜0，则函数y＝ax＋1在区间[1，3]上单调递减，并且在区间的左端点处取得最大值，即a＋1＝4，解得a＝3，不满足a＜0，舍去；若a＞0，则函数y＝ax＋1在区间[1，3]上单调递增，并且在区间的右端点处取得最大值，即3a＋1＝4，解得a＝1.综上，a＝1.
8.函数f（x）＝在[a，b]上的最大值为1，最小值为，则a＋b＝　6　.
解析：函数f（x）＝在（－∞，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递减，∴＝1，＝，解得a＝2，b＝4，∴a＋b＝6.
9.〔一题多解〕函数f（x）＝2x＋的最小值为　－2　.
解析：法一（单调性的运算性质）　因为函数y＝2x是R上的增函数，函数y＝是[－1，＋∞）上的增函数，所以函数f（x）＝2x＋是[－1，＋∞）上的增函数，所以当x＝－1时，函数f（x）取得最小值－2.
法二（换元法）　令t＝≥0，则x＝t2－1，问题转化为求g（t）＝2t2＋t－2在[0，＋∞）上的最小值，又g（t）在[0，＋∞）上单调递增，所以当t＝0时，g（t）取得最小值－2，所以f（x）＝2x＋的最小值为－2.
10.某商场销售一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x（不低于进价，单位：元）与日销售量y（单位：件）之间有如下关系：
x 45 50
y 27 12
（1）确定x与y的一个一次函数关系式y＝f（x）（注明函数定义域）；
（2）若日销售利润为P元，根据（1）中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
解：（1）因为f（x）是一次函数，设f（x）＝ax＋b（a≠0），
由表格得方程组解得
所以y＝f（x）＝－3x＋162.
又y≥0，所以30≤x≤54，
故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30，54].
（2）由题意得，P＝（x－30）y＝（x－30）（162－3x）
＝－3x2＋252x－4 860
＝－3（x－42）2＋432，x∈[30，54].
当x＝42时，最大的日销售利润P＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润.
11.用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值.设f（x）＝min{x＋2，10－x}（x≥0），则f（x）的最大值为（　　）
A.4 B.5
C.6 D.10
解析：C　在同一个平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象.根据min{x＋2，10－x}（x≥0）的含义可知，f（x）的图象应为图中的实线部分.解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点为（4，6）.所以f（x）＝所以f（x）的最大值为6.
12.〔多选〕已知函数f（x）＝（≤x＜2），则该函数（　　）
A.最大值为
B.最大值为
C.没有最小值
D.在区间（1，2）上单调递增
解析：AD　f（x）＝＝1＋x＋≥1＋2＝3，当且仅当x＝1时等号成立， x1，x2∈［，2）且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝（x1－x2）＋＝（x1－x2）·（1－），x1－x2＜0，当≤x1＜x2＜1时，有1－＜0，故f（x1）＞f（x2），即函数f（x）在［，1）上单调递减且值域为（3，］；当1＜x1＜x2＜2时，有1－＞0，故f（x1）＜f（x2），即函数f（x）在（1，2）上单调递增且值域为（3，）.所以函数f（x）的最大值为.故选A、D.
13.已知函数f（x）＝x2－2tx＋1在[2，5]上单调，且f（x）的最大值为8，则实数t的值为　　.
解析：f（x）＝x2－2tx＋1＝（x－t）2＋1－t2，函数f（x）的图象开口向上，对称轴为直线x＝t.因为f（x）在[2，5]上单调，所以t≤2或t≥5.当t≤2时，f（x）在[2，5]上单调递增，故当x＝5时，f（x）取得最大值，为f（5）＝25－10t＋1＝8，得t＝，满足t≤2.当t≥5时，f（x）在[2，5]上单调递减，故当x＝2时，f（x）取得最大值，为f（2）＝4－4t＋1＝8，解得t＝－，与t≥5矛盾，故舍去.
14.已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3.
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；
（3）若x∈[t，t＋2]，试求f（x）的最小值.
解：（1）因为f（x）是二次函数，且f（0）＝f（2），
所以f（x）图象的对称轴为直线x＝1.
又f（x）的最小值为1，所以可设f（x）＝k（x－1）2＋1（k＞0）.
因为f（0）＝3，所以k（0－1）2＋1＝3，解得k＝2，
所以f（x）＝2（x－1）2＋1＝2x2－4x＋3.
（2）由（1）知，函数f（x）的图象的对称轴为直线x＝1，
所以要使f（x）在区间[2a，a＋1]上不单调，则2a＜1＜a＋1，解得0＜a＜，
故实数a的取值范围是（0，）.
（3）由（1）知，函数f（x）的图象开口向上，且对称轴为直线x＝1.
若t≥1，则f（x）在[t，t＋2]上单调递增，f（x）min＝f（t）＝2t2－4t＋3；
若t＋2≤1，即t≤－1，则f（x）在[t，t＋2]上单调递减，
f（x）min＝f（t＋2）＝2t2＋4t＋3；
若t＜1＜t＋2，即－1＜t＜1，则f（x）min＝f（1）＝1.
综上，当t≥1时，f（x）min＝2t2－4t＋3；当－1＜t＜1时，f（x）min＝1；当t≤－1时，f（x）min＝2t2＋4t＋3.
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