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4.2　简单幂函数的图象和性质
1.下列函数为幂函数的是（　　）
A.y＝2x4 B.y＝2x3－1
C.y＝ D.y＝x2
2.若f（x）＝，则函数f（4x－3）的定义域为（　　）
A.R B.（－∞，）
C.［，＋∞） D.（，＋∞）
3.函数f（x）＝xa＋b，不论a为何值，f（x）的图象均过点（m，0），则实数b的值为（　　）
A.－1 B.1
C.2 D.3
4.如图所示，曲线C1和C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是（　　）
A.n＜m＜0 B.m＜n＜0
C.n＞m＞0 D.m＞n＞0
5.〔多选〕某同学在研究幂函数时，发现有的具有以下三个性质：①奇函数；②值域是{y｜y∈R，且y≠0}；③在区间（－∞，0）上单调递减.则以下幂函数符合这三个性质的有（　　）
A.f（x）＝x2 B.f（x）＝x
C.f（x）＝ D.f（x）＝
6.〔多选〕已知幂函数f（x）＝（m－2），则（　　）
A.m＝1
B.f（x）的定义域为R
C.f（－x）＝－f（x）
D.将函数f（x）的图象向左平移1个单位长度得到函数g（x）＝（x－1）3的图象
7.幂函数y＝的定义域为　 　；其是　 　函数（填“奇”或“偶”）.
8.若x3＜，则x的取值范围是　 　.
9.若幂函数y＝（m2－2m－2）x－4m－2在（0，＋∞）上单调递减，则实数m的值是　 　.
10.比较下列各组数的大小：
（1）（－2）－3，（－2.5）－3；
（2）（，（，（；
（3）4.，3.，（－1.9.
11.已知f（x）＝（m2＋m－5）xm为幂函数，则（　　）
A.f（x）在（－∞，0）上单调递增
B.f（x）在（－∞，0）上单调递减
C.f（x）在（0，＋∞）上单调递增
D.f（x）在（0，＋∞）上单调递减
12.〔多选〕下列不等式在a＜b＜0的条件下成立的是（　　）
A.a－1＞b－1 B.＜
C.b2＜a2 D.＞
13.已知幂函数y＝xa与y＝xb的部分图象如图所示，直线x＝m2，x＝m（0＜m＜1）与y＝xa，y＝xb的图象分别交于A，B，C，D四点，且AB＝CD，则ma＋mb＝　 　.
14.已知幂函数f（x）＝（m∈N＋）.
（1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
（2）若函数f（x）的图象经过点（2，），试确定m的值，并求满足f（2－a）＞f（a－1）的实数a的取值范围.
4.2　简单幂函数的图象和性质
1.下列函数为幂函数的是（　　）
A.y＝2x4 B.y＝2x3－1
C.y＝ D.y＝x2
解析：D　结合幂函数的特征可知D正确.故选D.
2.若f（x）＝，则函数f（4x－3）的定义域为（　　）
A.R B.（－∞，）
C.［，＋∞） D.（，＋∞）
解析：D　易知f（x）＝的定义域为（0，＋∞），则4x－3∈（0，＋∞），即x∈（，＋∞），故选D.
3.函数f（x）＝xa＋b，不论a为何值，f（x）的图象均过点（m，0），则实数b的值为（　　）
A.－1 B.1
C.2 D.3
解析：A　∵幂函数y＝xa过定点（1，1），∴f（x）＝xa＋b过定点（1，1＋b），结合已知条件可知1＋b＝0，则b＝－1.
4.如图所示，曲线C1和C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是（　　）
A.n＜m＜0 B.m＜n＜0
C.n＞m＞0 D.m＞n＞0
解析：A　由题中图象可知，两函数在第一象限内单调递减，故m＜0，n＜0.由幂函数图象的特点知n＜m，故n＜m＜0.
5.〔多选〕某同学在研究幂函数时，发现有的具有以下三个性质：①奇函数；②值域是{y｜y∈R，且y≠0}；③在区间（－∞，0）上单调递减.则以下幂函数符合这三个性质的有（　　）
A.f（x）＝x2 B.f（x）＝x
C.f（x）＝ D.f（x）＝
解析：CD　A.f（x）＝x2为偶函数，排除；B.f（x）＝x，值域为R，排除；C.f（x）＝为奇函数，值域为{y｜y∈R，且y≠0}，在区间（－∞，0）上单调递减，满足；D.f（x）＝为奇函数，值域为{y｜y∈R，且y≠0}，在区间（－∞，0）上单调递减，满足.故选C、D.
6.〔多选〕已知幂函数f（x）＝（m－2），则（　　）
A.m＝1
B.f（x）的定义域为R
C.f（－x）＝－f（x）
D.将函数f（x）的图象向左平移1个单位长度得到函数g（x）＝（x－1）3的图象
解析：BC　由幂函数的定义可知m－2＝1，所以m＝3，所以f（x）＝x3，A错误；由f（x）＝x3可知其定义域为R，B正确；f（x）＝x3为奇函数，所以f（－x）＝－f（x），C正确；将f（x）＝x3的图象向左平移1个单位长度得到函数y＝（x＋1）3的图象，D错误.
7.幂函数y＝的定义域为　（－∞，＋∞）　；其是　偶　函数（填“奇”或“偶”）.
解析：因为y＝＝，所以函数的定义域为（－∞，＋∞），且为偶函数.
8.若x3＜，则x的取值范围是　（0，1）　.
解析：在同一平面直角坐标系内画出函数y＝x3和y＝的图象，如图所示.由图知，若x3＜，则0＜x＜1.
9.若幂函数y＝（m2－2m－2）x－4m－2在（0，＋∞）上单调递减，则实数m的值是　3　.
解析：由题意可知m2－2m－2＝1，得m＝3或m＝－1.当m＝3时，－4m－2＝－14，幂函数y＝x－14在（0，＋∞）上单调递减，满足题意；当m＝－1时，－4m－2＝2，幂函数y＝x2在（0，＋∞）上单调递增，不满足题意，所以m＝－1舍去.故m＝3.
10.比较下列各组数的大小：
（1）（－2）－3，（－2.5）－3；
（2）（，（，（；
（3）4.，3.，（－1.9.
解：（1）因为幂函数y＝x－3在（－∞，0）上单调递减，且－2＞－2.5，
所以（－2）－3＜（－2.5）－3.
（2）因为幂函数y＝在[0，＋∞）上单调递增，（＝（，（＝（，且＜＜，
所以（＜（＜（.
（3）因为幂函数y＝在（0，＋∞）上单调递增，
所以4.＞1.＞（，
又（1.9＝（－1.9，
所以4.＞（－1.9＞3..
11.已知f（x）＝（m2＋m－5）xm为幂函数，则（　　）
A.f（x）在（－∞，0）上单调递增
B.f（x）在（－∞，0）上单调递减
C.f（x）在（0，＋∞）上单调递增
D.f（x）在（0，＋∞）上单调递减
解析：B　因为f（x）＝（m2＋m－5）xm是幂函数，所以m2＋m－5＝1，解得m＝2或m＝－3，所以f（x）＝x2或f（x）＝x－3，对于f（x）＝x2，函数在（0，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减；对于f（x）＝x－3，函数在（0，＋∞）上单调递减，且为奇函数，故在（－∞，0）上单调递减.只有B选项“f（x）在（－∞，0）上单调递减”符合这两个函数的性质.故选B.
12.〔多选〕下列不等式在a＜b＜0的条件下成立的是（　　）
A.a－1＞b－1 B.＜
C.b2＜a2 D.＞
解析：ABC　分别构造函数y＝x－1，y＝，y＝x2，y＝，其中函数y＝x－1，y＝x2在（－∞，0）上单调递减，而y＝，y＝在（－∞，0）上单调递增，故D不成立，其余都成立.故选A、B、C.
13.已知幂函数y＝xa与y＝xb的部分图象如图所示，直线x＝m2，x＝m（0＜m＜1）与y＝xa，y＝xb的图象分别交于A，B，C，D四点，且AB＝CD，则ma＋mb＝　1　.
解析：由题意知AB＝（m2）a－（m2）b，CD＝ma－mb.根据题图可知b＞1＞a＞0，当0＜m＜1时，（m2）a＞（m2）b，ma＞mb.因为AB＝CD，所以m2a－m2b＝（ma＋mb）（ma－mb）＝ma－mb.因为ma－mb＞0，所以ma＋mb＝1.
14.已知幂函数f（x）＝（m∈N＋）.
（1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
（2）若函数f（x）的图象经过点（2，），试确定m的值，并求满足f（2－a）＞f（a－1）的实数a的取值范围.
解：（1）∵m∈N＋，∴m2＋m＝m（m＋1）为偶数.
令m2＋m＝2k，k∈N＋，则f（x）＝，
∴f（x）的定义域为[0，＋∞），且f（x）在[0，＋∞）上是增函数.
（2）由题意可得＝＝，∴m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2（舍去），
∴f（x）＝，
由（1）知f（x）在[0，＋∞）上是增函数，
∴f（2－a）＞f（a－1）等价于2－a＞a－1≥0，解得1≤a＜，故实数a的取值范围为［1，）.
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