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章末检测（二）　函数
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.函数f（x）＝（x－1）0＋＋的定义域为（　　）
A.（1，2） B.（2，＋∞）
C.（1，2）∪（2，＋∞） D.（－∞，－2）∪（1，2）
2.已知等腰三角形的周长为40 cm，底边长y（cm）是腰长x（cm）的函数，则函数的定义域为（　　）
A.（10，20）　 B.（0，10） C.（5，10） 　 D.[5，10）
3.已知幂函数f（x）＝kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），则k＋α＝（　　）
A. B.1 C. D.2
4.已知函数f（x）＝若f（a）＝10，则a的值是（　　）
A.－3或5 B.3或－3
C.－3 D.3或－3或5
5.若函数f（x）＝ax4＋（a－2b）x＋a－1是定义在（－a，0）∪（0，2a－2）上的偶函数，则f＝（　　）
A.1 B. C. D.3
6.已知函数f（x）＝则不等式f（x）＞f（1）的解集是（　　）
A.（－3，1）∪（3，＋∞） B.（－∞，－1）∪（2，3）
C.（－1，1）∪（3，＋∞） D.（－∞，－3）∪（1，3）
7.偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增，若f（－2）＝1，则f（x－2）≤1的x的取值范围是（　　）
A.[0，2] B.[－2，2] C.[0，4] D.[－4，4]
8.定义在（0，＋∞）上的函数f（x）满足＜0，且f（2）＝4，则不等式f（x）－＞0的解集为（　　）
A.（4，＋∞） B.（0，4）
C.（0，2） D.（2，＋∞）
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知函数f（x）＝若f（f（a））＝－，则实数a的值可能为（　　）
A. B.－ C.－1 D.
10.已知定义在R上的函数y＝f（x）满足条件f（x＋2）＝－f（x），且函数y＝f（x－1）为奇函数，则（　　）
A.f（x＋4）＝f（x）
B.函数y＝f（x）的图象关于点（－1，0）对称
C.函数y＝f（x）为R上的奇函数
D.函数y＝f（x）为R上的偶函数
11.若定义在R上的函数f（x）满足对任意的x1，x2∈R，都有f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2），且当x＞0时，f（x）＜0，则下列结论正确的是（　　）
A.f（0）＝0 B.f（x）是偶函数
C.f（x）是减函数 D.x＜0时，f（x）＞0
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.已知幂函数f（x）＝（m＋1）x2m－1，则f（2）＝　　.
13.已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝－x2，则f（－1）＝　 　.
14.写出一个满足：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy的函数解析式为　 　.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）对于任意x∈R，函数f（x）表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的较大者，求f（x）的最小值.
16.（本小题满分13分）已知函数f（x）＝x－.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）证明：函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增；
（3）求函数f（x）＝x－，x∈[－4，－1]的最大值和最小值.
17.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝是定义在区间（－2，2）上的奇函数，且f（1）＝.
（1）用定义证明函数f（x）在区间（－2，2）上单调递增；
（2）解不等式f（m2＋1）＋f（2m－2）＞0.
18.（本小题满分17分）某保健厂研制了一种足浴气血养生的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心x（0＜x＜18）厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与x2成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与1 350－x2成反比，比例系数为k，且当x＝10时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06.
（1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式；
（2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值.
19.（本小题满分17分）已知f（x）是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数x，y满足f（xy）＝f（x）＋f（y）.
（1）求f（1），f（－1）的值；
（2）证明：f（x）为偶函数；
（3）若f（x）在（0，＋∞）上单调递增，求不等式f（3－x）≤f（2）＋f（3）的解集.
章末检测（二）　函数
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.函数f（x）＝（x－1）0＋＋的定义域为（　　）
A.（1，2） B.（2，＋∞）
C.（1，2）∪（2，＋∞） D.（－∞，－2）∪（1，2）
解析：C　由题意得解得x＞1，且x≠2，所以函数的定义域为（1，2）∪（2，＋∞），故选C.
2.已知等腰三角形的周长为40 cm，底边长y（cm）是腰长x（cm）的函数，则函数的定义域为（　　）
A.（10，20）　 B.（0，10） C.（5，10） 　 D.[5，10）
解析：A　由题设有y＝40－2x，由得10＜x＜20，故选A.
3.已知幂函数f（x）＝kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），则k＋α＝（　　）
A. B.1 C. D.2
解析：A　∵幂函数f（x）＝kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），∴k＝1，（）α＝，∴α＝－，∴k＋α＝1－＝.
4.已知函数f（x）＝若f（a）＝10，则a的值是（　　）
A.－3或5 B.3或－3
C.－3 D.3或－3或5
解析：A　若a≤0，则f（a）＝a2＋1＝10，解得a＝－3（a＝3舍去）；若a＞0，则f（a）＝2a＝10，解得a＝5.综上可得，a＝5或a＝－3，故选A.
5.若函数f（x）＝ax4＋（a－2b）x＋a－1是定义在（－a，0）∪（0，2a－2）上的偶函数，则f＝（　　）
A.1 B. C. D.3
解析：D　∵f（x）＝ax4＋（a－2b）x＋a－1是定义在（－a，0）∪（0，2a－2）上的偶函数，∴f（－x）＝f（x），即a（－x）4－（a－2b）x＋a－1＝ax4＋（a－2b）x＋a－1，∴a－2b＝0，又定义域关于原点对称，∴2a－2＝a，∴a＝2，b＝1，∴f（x）＝2x4＋1，∴f＝f（1）＝3.
6.已知函数f（x）＝则不等式f（x）＞f（1）的解集是（　　）
A.（－3，1）∪（3，＋∞） B.（－∞，－1）∪（2，3）
C.（－1，1）∪（3，＋∞） D.（－∞，－3）∪（1，3）
解析：A　f（1）＝1－4＋6＝3，当x≥0时，x2－4x＋6＞3，所以0≤x＜1或x＞3；当x＜0时，x＋6＞3，所以－3＜x＜0，所以不等式f（x）＞f（1）的解集是（－3，1）∪（3，＋∞）.故选A.
7.偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增，若f（－2）＝1，则f（x－2）≤1的x的取值范围是（　　）
A.[0，2] B.[－2，2] C.[0，4] D.[－4，4]
解析：C　因为偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增，所以函数f（x）在（－∞，0）上单调递减.由题意，不等式f（x－2）≤1可化为f（x－2）≤f（－2），又函数的图象关于y轴对称，所以｜x－2｜≤｜－2｜，即｜x－2｜≤2，解得0≤x≤4，所以x的取值范围是[0，4].故选C.
8.定义在（0，＋∞）上的函数f（x）满足＜0，且f（2）＝4，则不等式f（x）－＞0的解集为（　　）
A.（4，＋∞） B.（0，4）
C.（0，2） D.（2，＋∞）
解析：C　由题意，设g（x）＝xf（x），因为＜0，即＜0，所以函数g（x）是减函数，不等式f（x）－＞0，即＞0，因为x∈（0，＋∞），所以不等式等价于xf（x）－8＞0，即xf（x）＞8，又f（2）＝4，则g（2）＝2·f（2）＝8，所以不等式xf（x）＞8，即g（x）＞g（2）的解集为（0，2）.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知函数f（x）＝若f（f（a））＝－，则实数a的值可能为（　　）
A. B.－ C.－1 D.
解析：ACD　根据题意，函数f（x）＝当a≥0时，f（a）＝－3a＋5，其中当0≤a≤时，f（a）≥0，此时f（f（a））＝－3（－3a＋5）＋5＝－，解可得a＝，符合题意；当a＞时，f（a）＜0，此时f（f（a））＝（－3a＋5）＋＝－，解可得a＝或，符合题意；当a＜0时，f（a）＝a＋，必有f（a）＜0，此时f（f（a））＝（a＋）＋＝－，变形可得a＋＝－2或－，若a＋＝－2，解可得a＝－1，若a＋＝－，无解；综合可得：a＝－1或或或，故选A、C、D.
10.已知定义在R上的函数y＝f（x）满足条件f（x＋2）＝－f（x），且函数y＝f（x－1）为奇函数，则（　　）
A.f（x＋4）＝f（x）
B.函数y＝f（x）的图象关于点（－1，0）对称
C.函数y＝f（x）为R上的奇函数
D.函数y＝f（x）为R上的偶函数
解析：ABD　函数y＝f（x）满足f（x＋2）＝－f（x），可得f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），所以A是正确的；y＝f（x－1）是奇函数，则f（x－1）的图象关于原点对称，又由函数f（x）的图象是由y＝f（x－1）的图象向左平移1个单位长度得到的，故函数f（x）的图象关于点（－1，0）对称，所以B是正确的；因为函数y＝f（x－1）为奇函数，所以f（－1－x）＝－f（－1＋x），即f（－1－x）＋f（－1＋x）＝0，可变形得f（－2－x）＋f（x）＝0，则由f（－2－x）＝－f（x）＝f（x＋2）对于任意的x∈R都成立，令t＝2＋x，则f（－t）＝f（t），即函数f（x）是偶函数，所以D正确，C错误.故选A、B、D.
11.若定义在R上的函数f（x）满足对任意的x1，x2∈R，都有f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2），且当x＞0时，f（x）＜0，则下列结论正确的是（　　）
A.f（0）＝0 B.f（x）是偶函数
C.f（x）是减函数 D.x＜0时，f（x）＞0
解析：ACD　A项，令x1＝x2＝0，由题意有f（0＋0）＝f（0）＋f（0），所以f（0）＝0，故选项A正确；B项，令x1＝x，x2＝－x，由题意有f（x）＋f（－x）＝f（x－x）＝f（0）＝0，所以f（x）是奇函数，故选项B错误；C项，任取x1，x2∈R且x1＞x2，则x1－x2＞0，由题意有f（x1）＋f（－x2）＝f（x1－x2）＜0，又f（x）是奇函数，所以f（x1）－f（x2）＝f（x1）＋f（－x2）＝f（x1－x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）是减函数，故选项C正确；D项，因为f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＜0，所以x＜0时，－x＞0，f（－x）＜0，所以f（x）＝－f（－x）＞0，故选项D正确.故选A、C、D.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.已知幂函数f（x）＝（m＋1）x2m－1，则f（2）＝　　.
解析：因为f（x）＝（m＋1）x2m－1是幂函数，所以m＋1＝1，即m＝0，所以f（x）＝x－1，所以f（2）＝2－1＝.
13.已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝－x2，则f（－1）＝　－1　.
解析：由f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝－x2，则f（－1）＝－f（1）＝－（2－12）＝－1.
14.写出一个满足：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy的函数解析式为　f（x）＝x2　.
解析：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy中，令x＝y＝0，解得f（0）＝0，令y＝－x得f（x－x）＝f（x）＋f（－x）－2x2，故f（x）＋f（－x）＝2x2，不妨设f（x）＝x2，满足要求.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）对于任意x∈R，函数f（x）表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的较大者，求f（x）的最小值.
解：“函数f（x）表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的较大者”是指对某个区间而言，函数f（x）表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中最大的一个.
如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A（0，3），B（1，2），C（5，8）.
从图象观察可得函数f（x）的表达式：
f（x）＝
f（x）的图象是图中的实线部分，
图象的最低点是点B（1，2），所以f（x）的最小值是2.
16.（本小题满分13分）已知函数f（x）＝x－.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）证明：函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增；
（3）求函数f（x）＝x－，x∈[－4，－1]的最大值和最小值.
解：（1）函数f（x）＝x－的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），定义域关于原点对称，
因为f（－x）＝－x－＝－（x－）＝－f（x），
所以函数f（x）是奇函数.
（2）证明：任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝（x1－）－（x2－）＝（x1－x2）－（－）＝（x1－x2）（1＋），
因为0＜x1＜x2，所以x1－x2＜0，且1＋＞0，
所以f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增.
（3）由（1）（2）知函数f（x）＝x－在（0，＋∞）上单调递增，且函数f（x）是奇函数，
所以f（x）在（－∞，0）上也单调递增.
所以当x∈[－4，－1]时，f（x）min＝f（－4）＝－3，f（x）max＝f（－1）＝3，
所以函数f（x）的最大值为3，最小值为－3.
17.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝是定义在区间（－2，2）上的奇函数，且f（1）＝.
（1）用定义证明函数f（x）在区间（－2，2）上单调递增；
（2）解不等式f（m2＋1）＋f（2m－2）＞0.
解：（1）证明：因为f（x）为定义在区间（－2，2）上的奇函数，
所以f（0）＝＝0，所以b＝0.
又f（1）＝＝，所以a＝1.
当a＝1，b＝0时，f（x）＝，f（－x）＝＝－f（x），所以f（x）为奇函数，符合题意，
所以f（x）＝.
对任意的－2＜x1＜x2＜2，
f（x1）－f（x2）＝－
＝.
因为－2＜x1＜x2＜2，
所以x1－x2＜0，x1x2＜4，所以4－x1x2＞0.
又＋4＞0，＋4＞0，所以f（x1）－f（x2）＜0.
所以函数f（x）在区间（－2，2）上单调递增.
（2）因为f（x）的定义域为（－2，2），
所以解得0＜m＜1.
因为f（m2＋1）＋f（2m－2）＞0，且f（x）为定义在区间（－2，2）上的奇函数，
所以f（m2＋1）＞－f（2m－2）＝f（2－2m）.
又f（x）在区间（－2，2）上单调递增，
所以m2＋1＞2－2m，所以m＞－1或m＜－－1.
综上，实数m的取值范围是（－1，1）.
18.（本小题满分17分）某保健厂研制了一种足浴气血养生的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心x（0＜x＜18）厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与x2成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与1 350－x2成反比，比例系数为k，且当x＝10时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06.
（1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式；
（2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值.
解：（1）由题意y＝＋，0＜x＜18，
因为x＝10时，y＝0.06，所以＋＝0.06，解得k＝50，
所以y＝＋，0＜x＜18.
（2）因为0＜x＜18，所以1 350－x2＞0，
所以y＝＋＝[x2＋（1 350－x2）]（＋）＝［2＋50＋＋］≥［52＋2］＝（52＋20）＝，当且仅当＝，即x＝15时取“＝”.
所以当x＝15时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小，最小值为.
19.（本小题满分17分）已知f（x）是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数x，y满足f（xy）＝f（x）＋f（y）.
（1）求f（1），f（－1）的值；
（2）证明：f（x）为偶函数；
（3）若f（x）在（0，＋∞）上单调递增，求不等式f（3－x）≤f（2）＋f（3）的解集.
解：（1）在f（xy）＝f（x）＋f（y）中，
令x＝y＝1，得f（1）＝f（1）＋f（1），得f（1）＝0；
再令x＝y＝－1，得f（1）＝f（－1）＋f（－1），
得f（－1）＝0.
（2）证明：在f（xy）＝f（x）＋f（y）中，
令y＝－1，得f（－x）＝f（x）＋f（－1），
即f（－x）＝f（x），所以f（x）为偶函数.
（3）f（2）＋f（3）＝f（6），不等式f（3－x）≤f（2）＋f（3），即f（3－x）≤f（6）.
当3－x＞0，即x＜3时，根据函数的单调性和不等
式f（3－x）≤f（6），得3－x≤6，解得－3≤x＜3；
当3－x＜0，即x＞3时，f（3－x）＝f（x－3）≤f（6），
由函数单调性，得x－3≤6，解得3＜x≤9.
综上，不等式f（3－x）≤f（2）＋f（3）的解集为[－3，3）∪（3，9].
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