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2026-2027学年山东省济南稼轩学校八年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2的算术平方根是（　　）
A. 2 B. C. D.
2.信息小组通过编程设计6个机器人的队形，某一时刻各机器人的位置如图所示.在图中建立平面直角坐标系，若机器人A，B的坐标分别为（1，1），（-2，-3），则机器人C的坐标为（　　）
A. （-4，3）
B. （4，-3）
C. （3，-4）
D. （3，4）
3.下列运算正确的是（　　）
A. B. C. D.
4.△ABC的三条边长分别为a、b、c,三个内角分别为∠A、∠B、∠C，则满足下列条件的△ABC是直角三角形的是（　　）
A. ∠A：∠B：∠C=3：4：5 B. a=1.5，b=2，c=3
C. D. a=32，b=42，c=52
5.已知（-1，y1），（1.8，y2），（-，y3 ） 是直线 y=-3x+m （m 为常数）上的三个点，则 y1，y2，y3 的大小关系是（　　）
A. y3＞y1＞y2 B. y1＞y3＞y2 C. y1＞y2＞y3 D. y3＞y2＞y1
6.《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数.两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘.问客及盘各几何？”题目大意为：现有若干名客人.若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子.问客人和盘子各有多少？设客人有x人，盘子有y个，根据题意，下列方程组正确的是（　　）
A. B. C. D.
7.实数a、b、c满足a+b+c=0且c＜b＜a，则函数y=ax+c的图象可能是（　　）
A. B. C. D.
8.如图，一次函数y=kx+b（k,b为常数，k≠0）与y=x-2图象的交点坐标是（m,2），则关于x,y的方程组的解是（　　）
A.
B.
C.
D.
9.如图，已知点A的横坐标为-3，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接AO，现将△ABO沿AO折叠，点B落在第一象限的B′处，AB′边所在直线交y轴于点C，交x轴于点D，若C的坐标为（0，5），则点A的坐标为（　　）
A. （-3，6）
B. （-3，7）
C. （-3，8）
D. （-3，9）
10.如图，在平面直角坐标系中，有若干个点，按图中“→”所示方向依次排列，即点O（0，0）→A1（-1，1）→A2（0，1）→A3（1，1）→A4（2，2），….按照此规律排列下去，点A500的坐标为（　　）
A. （-6，22） B. （6，22） C. （6，23） D. （-6，23）
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.若整数a满足，则a的值是 .
12.若点P（5m-3，2m-4）在x轴上，则m的值为 .
13.已知方程组，则x2-y2= .
14.我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理.如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，A，B，E三点在一条直线上，现将其裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形CHIE，若正方形ABCD和正方形BEFG的面积之和为220，阴影部分的面积为130，则AE的长为 .
15.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+3与两坐标轴分别交于A、B两点，直线y=3x-6与两坐标轴交于C、E两点，且两直线相交于点D.点P（m,n）是线段CD上一点（不含端点），连接BP并延长至Q，使PQ=BP，连接DQ.若直线y=mx+2n-21与△BDQ的边有两个交点，则m的取值范围是 .
三、计算题：本大题共3小题，共30分。
16.计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
17.学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元
(1) 求A，B两种奖品的单价
(2) 学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于10个，请用学过的函数知识说明怎样购买最省钱？按此方案购买奖品共需多少钱？
18.2026年3月，宁波国际马拉松赛事圆满落幕.某补给车队从赛道起点出发，前往位于赛道半程的补给站运送物资.在补给车队出发10min后，志愿者小宁发现遗漏了一批物资，立即开车补送物资.小宁追上车队放下物资后按原速度返回，补给车队则保持原速前往补给站.补给车队和小宁离起点的路程y（km）和补给车队出发后的时间x（min）的函数关系如图所示.请根据图象回答下列问题：
（1）补给车队的速度为______km/min,b的值为______；
（2）求线段BC所在直线的函数表达式；
（3）补给车队出发多少时间后，与小宁的距离为7km.
四、解答题：本题共6小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
解方程组：
（1）.
（2）.
20.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（-5，1），B（-4，4），C（-1，-1）
(1) 在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1
(2) △ABC的面积为
(3) 直线l过点（2，0）且平行于y轴，请直接写出点C关于直线l的对称点C2的坐标
(4) 点P在x轴上，若S△BOP=S△ABC，则点P的坐标为
21.(本小题10分)
如图，公园有一块三角形空地ABC，过点A修垂直于BC的小路AD，过点D修垂直于AC的小路DE（小路宽度忽略不计）.经测量，AB=13米，BD=5米，CD=9米.
（1）求小路AD的长；
（2）求小路DE的长.
22.(本小题10分)
阅读与思考
【阅读材料】在解二元一次方程组时，我们常常会采用一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解.
例如：解方程组
解：方程②变形得：4x+10y+y=5，即2（2x+5y）+y=5③.
把方程①代入③得：2×3+y=5，解得：y=-1.
把y=-1代入方程①得：2x+5×（-1）=3，解得：x=4.
所以方程组的解为.
【问题解决】
（1）请用“整体代入消元”的方法解方程组；
（2）已知x、y满足方程组，则xy=______.
23.(本小题10分)
在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法.
【已有知识】由于，由此得到在数轴上表示对应的点的方法，如图1.结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段.
【运用知识】（1）如图2，点O、点A在数轴上，且OA=2，AB=1，AB⊥OA于A，以点O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴于点P，则点P表示的数是______.（直接写出答案）
（2）请在图3的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）内.
①画出顶点在格点的△ABC，其中，，；
②求出△ABC的面积.
【拓展探究】（3）如图4，结合直角坐标系，我们发现：要求出坐标系中A、B两点的距离，显然是转化为求Rt△ABC的斜边长.下面以求DE为例来说明如何解决：
从坐标系中发现：D（-1，-4），E（6，-2），所以DF=|6-（-1）|=7，EF=|-2-（-4）|=2，所以由勾股定理可得，.
①在图5中，设A（x1，y1），B（x2，y2），AC∥y轴，BC∥x轴，AC⊥BC于点C，则AC=______，BC=______，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式，；（直接写出答案）
②图4中，平面直角坐标系中有两点M（-3，4），N（-6，1），P为x轴上任一点，则PM+PN的最小值为______；（直接写出答案）
③应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值为：______.（直接写出答案）
24.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，对于点A（a,b）和点B（x,y），给出如下定义：若，则称A的雅值点为B，例如：点（1，2）的雅值点为（-2，4）
(1) 点（-3，-1）的雅值点坐标是 ；若点A的雅值点为（3，5），则点A的坐标是
(2) 如图1，直线l是一次函数y=-x+3的图象．已知点C和点D在y轴上，点D的雅值点E在直线l上，若△CDE为以DE为腰的等腰三角形时，求满足条件的点C的坐标
(3) 点M坐标为（1，2），点N是点M的雅值点，在x轴上是否存在点P，使得∠NMP=45°，若存在请直接写出P点坐标，若不存在请说明理由
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】4
12.【答案】2
13.【答案】5
14.【答案】20
15.【答案】3＜m＜4
16.【答案】【小题1】原式=
【小题2】
=
=
=
【小题3】原式=
【小题4】原式=

17.【答案】【小题1】设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A奖品的单价是30元，B奖品的单价是15元
【小题2】设购买m个A奖品，购买A，B两种奖品的总费用为w元，则购买（30-m）个B奖品，
根据题意得：w=30m+15（30-m），
即w=15m+450，
∵15＞0，
∴w随m的增大而增大，
又∵m≥10，
∴当m=10时，w取得最小值，最小值=15×10+450=600（元），此时30-m=30-10=20（个）．
答：购买10个A奖品，20个B奖品时最省钱，按此方案购买奖品共需600元

18.【答案】0.7;25 y=0.7x-3.5 补给车队出发10或后，与小宁的距离为7km
19.【答案】；
．
20.【答案】【小题1】
根据轴对称的性质，画出△A1B1C1如下：
【小题2】
7
【小题3】
（5，-1）
【小题4】
或

21.【答案】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴AD===12（米），
答：小路AD的长为12米；
（2）在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC===15（米），
∵DE⊥AC，
∴S△ADC=AD CD=AC DE，
∴DE===7.2（米），
答：小路DE的长为7.2米．
22.【答案】 10
23.【答案】 ①；②2 y1-y2;x1-x2;;
24.【答案】【小题1】
（-6，1）
（6，3）
【小题2】
∵点C和点D在y轴上，点D的雅值点E在直线l：y=-x+3上，
∴设点D的坐标为（0，m），则点D的雅值点E（-3，m+2）．
将点E的坐标代入直线l：，得：
，
解得：，
∴，．
设点C的坐标为（0，n），
∴，，，
当DE=CD时，DE2=CD2，即，
解得：，
∴此时点C的坐标为或；
当DE=CE时，DE2=CE2，即，
解得：或（不合题意，舍去），
∴此时点C的坐标为．
综上所述，点C的坐标为或或
【小题3】
在x轴上存在点P，使得∠NMP=45°，点P的坐标为（-9，0）．理由如下：
∵点M坐标为（1，2），点N是点M的雅值点，
∴N（1-3，2+2），即N（-2，4）．
如图，∠NMP=45°，过点N作MN⊥NF，交PM于点F，过点N作l∥x轴，过点F作FG⊥l于点G，过点M作MH⊥l于点H，
∴∠FGN=∠MHN=∠FNM=90°．
∵∠PMN=45°，
∴∠NFM=90°-45°=45°，
∴∠PMN=∠NFM，
∴FN=NM．
∵∠NFG+∠FNG=∠FNG+∠MNH=90°，
∴∠NFG=∠MNH．
在△FGN和△NHM中，
，
∴△FGN≌△NHM（AAS），
∴GN=MH=|yN-yM|=2，FG=NH=|xM-xN|=3，
∴GH=GN+NH=5．
∵yG=yN=4，xG=xF，xM=xH=1，
∴yF=yG-FG=1，xG=xF=xH-GH=-4，
∴F（-4，1）．
设直线MF的解析式为y=cx+d,将点M，点F的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴直线MF的解析式为，
当y=0时，得：x+=0，
解得：x=-9，
∴点P的坐标为（-9，0）

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