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2026-2027学年上海交通大学附属中学高一（上）月考数学试卷（10月份）
一、单项选择题：本大题共4小题，共20分。
1.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（　　）
A. 假设三内角都不大于60度 B. 假设三内角都大于60度
C. 假设三内角至多有一个大于60度 D. 假设三内角至多有两个大于60度
2.小明同学用一架两臂不等长的天平称20克药剂，他先将10克的砝码放在天平左盘中，取出一些药剂放在天平右盘中使天平平衡；再将10克的砝码放在天平右盘中，再取出一些药剂放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的药剂装入烧杯.你认为小明装入烧杯中药剂的剂量（　　）
A. 小于20克 B. 等于20克 C. 大于20克 D. 不能判断
3.集合M={233，114514，-5，-1，0，π}有6个元素，设M的所有非空子集为Mi（i=1，2…63），每一个Mi中所有元素的乘积记为mi（i=1，2，…，63），则m1+m2+m3+…+m63=（　　）
A. 0 B. 1 C. -1 D. 2
4.若存在a,b∈R，当x∈[1，5]时，|x2+ax+b|≤m成立，则实数m的最小值是（　　）
A. B. 1 C. 2 D. 4
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.已知集合A={1，x-2，2x+3}有三个元素，则实数x的取值范围是 .
6.已知集合M满足{1，2} M {1，2，4，5，6，7}，则符合条件的集合M的个数有 .
7.已知集合A={-1，0，1，2}，集合B=（-1，1]，则A∩B= .
8.若x∈R，|x+1|+|x-6|的最小值是 .
9.若a＞b,c＞d,则下列不等式关系中一定成立的是 .
①a-b＞d-c
②a+d＞b+c
③a-c＞b-c
④a-c＜a-d
10.若关于x的二次方程x2+px+p=0的两个实根分别为x1，x2，且满足，则p的值为 .
11.已知全集U={x∈N|x≤9}，A∩B={3}，，，则= .
12.若命题甲：x∈[2，5]和命题乙：x∈{x|x＜1或x＞4}中至少有一个是真命题，则实数x的取值范围是 .
13.已知3＜xy2＜7，，则代数式的取值范围为 .
14.已知x＞-1，y＞-2，且，则2x+y的取值范围为 .
15.已知m∈R，集合A={x|m≤x≤5（m-1），x∈N}中恰含有4个整数，则m的取值范围是 .
16.已知a＞0，b＞0，c＞9，且a+b=3，则的最小值为 .
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
求解下列关于x的不等式，并写出不等式的解集：
①
②ax2+（a-2）x-2＞0
18.(本小题13分)
已知集合A={x||2x-5|＜|x-1|}，B={x|0＜2x-a＜4}.
①当a=2时，求∩B，A∪；
②若x∈是x∈B的必要非充分条件，求实数a的取值范围.
19.(本小题15分)
如图，OA，OB是两条长度足够长的互相垂直的笔直小路，矩形OCPD的顶点C，D分别在OA，OB上，且该矩形区域内种满了荷花.为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点P修一条小路EF，其中点E在小路OA上，点F在小路OB上，并在△OEF区域内种满荷花.已知50m≤OF≤75m,OD=25m,OC=40m,记△OEF的面积为Sm2.
（1）设EC=x m,试用x表示OF，并求x的取值范围.
（2）当EC的长度为多少时，S取得最小值？最小值是多少？
20.(本小题15分)
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c,一次函数g（x）=x+4.
①若a=1时，f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求：关于x的不等式cx2+bx+a＞0的解集；
②若f（x）＜0的解集为（-2，-1），对于任意x1∈[1，4]，总存在x2∈[-4，2]，使得f（x1）-x1-2a≥g（x2）成立，求：实数a的取值范围；
③若对任意x∈R，不等式f（x）≥2ax+b恒成立，求的最大值.
21.(本小题15分)
设M是由有限个正整数构成的集合，记|M|为集合M中的元素个数，若存在非空集合A1，A2， ，Am，B1，B2 Bm使M=A1∪A2∪ ∪Am=B1∪B2∪ ∪Bm，且满足如下两个条件，则称A1，A2 Am，B1，B2 Bm为集合M的m维伴随拆分：①对 i≠j（i,j=1，2…m），Ai∩Aj= ，Bi∩Bj= ②对 i,j=1，2，…，m,若Ai∩Bj= ，均有|Ai∪Bj|≥m（附注：允许{A1，A2 Am}={B1，B2 Bm}）.
（1）若M={1，2，3，4}.请写出一个集合M的2维伴随拆分；
（2）若M={1，2，3，4}.证明：集合M不存在3维伴随拆分；
（3）若集合M存在14维伴随拆分，求：|M|的最小值.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】{x|x≠-5且x≠-1且x≠3，x∈R}
6.【答案】15
7.【答案】{0，1}
8.【答案】7
9.【答案】①③④
10.【答案】-1
11.【答案】{0，2，4，6，7，8，9}
12.【答案】（-∞，1）∪[2，+∞）
13.【答案】
14.【答案】[-2，+∞）
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】（1）等价于解得，
所以该不等式的解集为．
（2）ax2+（a-2）x-2＞0，因式分解得（ax-2）（x+1）＞0，
当a＜0时，，
当时，即a＜-2，解得，
当时，即a=-2，（x+1）2＜0，无解，
当时，即-2＜a＜0，解得，
当a=0时，原不等式化为-2x-2＞0，解得x＜-1，
当a＞0时，方程（ax-2）（x+1）=0的两根为x1=-1，，且，
即x＜-1或，
综上：
①当a＞0时，解集为，
②当a=0时，解集为（-∞，-1），
③当-2＜a＜0时，解集为，
④当a=-2时，解集为 ，
⑤当a＜-2时，解集为．
18.【答案】（1）|2x-5|＜|x-1| （2x-5）2＜（x-1）2 3x2-18x+24＜0 （x-2）（x-4）＜0，
则A={x|2＜x＜4}，，
由B={x|0＜2x-a＜4}可得，，则，
当a=2时，，
则；
（2）由是x∈B的必要非充分条件可知，B是的真子集，
若B全落在x≥4内，则，
若B全落在x≤2内，则，
综上（-∞，0]∪[8，+∞）．
19.【答案】，（20，40）；
当EC=40m时，S取得最小值，为2000m2
20.【答案】（1）当a=1，f（x）＜0解集为{x|1＜x＜2}，
则f（x）=（x-1）（x-2）=x2-3x+2，
所以b=-3，c=2，
不等式cx2+bx+a＞0即2x2-3x+1＞0，
解得或x＞1，
所以不等式解集为；
（2）因为f（x）＜0的解集为（-2，-1），
所以ax2+bx+c=0的两个根为-2和-1，且a＞0，
由韦达定理可得，，解得，
故f（x）=a（x2+3x+2），
令，x1∈[1，4]，
且g（x2）=x2+4，x2∈[-4，2]，
要使 x1∈[1，4]，总 x2∈[-4，2]，使得f（x1）-x1-2a≥g（x2）成立，
所以只需h（x1）min≥g（x2）min=0，
而h（x1）的对称轴为，
①当，即时，
只需h（1）=4a-1≥0，即，
②当，即时，
只需，即a≤0，不符合条件，
③当，即时，
只需h（4）=28a-4≥0，即，不符合条件，
综上所述，实数a的取值范围为；
（3）若对任意x∈R，不等式f（x）≥2ax+b恒成立，
整理得ax2+（b-2a）x+c-b≥0恒成立，显然a≠0，
所以，则0≤b2≤4a（c-a），
所以，
令，因为0≤b2≤4a（c-a），所以c≥a＞0，即t≥0，
若t=0时，此时，
若t＞0时，，
当且仅当时，即时，上式取得等号，
综上所述，的最大值为．
21.【答案】解：（1）若m=2，则存在非空集合A1，A2，B1，B2，满足M=A1∪A2=B1∪B2，
条件①对A1∩A2= ，B1∩B2= ；
条件②对 i,j=1，2 m,若Ai∩Bj= ，均有|Ai∪Bj|≥m.
取A1={1，2}，A2={3，4}，B1={1，3}，B2={2，4}，可得A1∪A2={1，2，3，4}，B1∪B2={1，2，3，4}，
满足A1∩A2= ，B1∩B2= ，且若Ai∩Bj= ，均有|Ai∪Bj|≥2，
所以A1={1，2}，A2={3，4}，B1={1，3}，B2={2，4}是集合M的其中一个2维伴随拆分；
（2）证明：假设集合M存在3维伴随拆分，
即存在非空集合A1，A2，A3，B1，B2，B3，满足A1∪A2∪A3=B1∪B2∪B3={1，2，3，4}，
且Ai（i=1，2，3）两两交集为空集，Bi（i=1，2，3）两两交集为空集，
因为|M|=4，所以|Ai|，|Bj|只能取1或2，其中i,j=1，2，3，
不妨设A1={a}，A2={b}，A3={c,d}，B1={x}，B2={y}，B3={z,w}，
其中{a,b,c,d}={x,y,z,w}={1，2，3，4}，
若a=x,则A1∩B2= ，此时|A1∪B2|=2＜3，不合题意；
若a=y,则A1∩B1= ，此时|A1∪B1|=2＜3，不合题意；
若a=z或a=w,则A1∩B1= ，此时|A1∪B1|=2＜3，不合题意；
所以假设不成立，所以集合M不存在3维伴随拆分．
（3）不妨设A1，A2， ，A14，B1，B2， ，B14中元素最少的集合为A1，
且若A1∩Bj≠ ，j=1，2，3， ，k,A1∩Bj= ，j=k+1，k+2， ，14，
记|A1|=x,由Bi∩Bj= ，i≠j（i,j=1，2， ，14），可得k≤x,
由条件②知：对 j=k+1， ，14，|A1∪Bj|≥14，可得|Bj|≥14-|A1|=14-x,
于是|M|=（|B1|+|B2|+ +|Bk|）+（|Bk+1|+|Bk+2|+ +|B14|）
≥kx+（14-k）（14-x）=2（x-7）（k-7）+98，
当x≤7时，有k≤7，则2（x-7）（k-7）+98≥98，所以|M|≥98；
当x＞7时，|M|=|A1|+|A2|+ +|A14|≥14|A1|=14x＞98，
综上可得，|M|≥98，当各集合大小均为7时可取等，故|M|最小值为98．
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