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2026-2027学年上海市曹杨第二中学附属学校九年级（上）阶段练习数学模拟试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数是二次函数的是（　　）
A. y=x+1 B. y=3（x-1）2-3x C. y=（x+3）2-x2 D.
2.二次函数y=ax2+h的图象的顶点在y轴正半轴上，开口向下，则a、h的符号为（　　）
A. a＞0，h＞0 B. a＜0，h＞0 C. a＜0，h＜0 D. a＞0，h＜0
3.如果抛物线y=ax2+bx+c经过点（-2，-3）和（5，-3），（0，7）那么抛物线的对称轴为直线（　　）
A. x=3 B. x=-3 C. D.
4.2026年，中国航天工程将继续发展月球探测任务.如图是登月探测器的机械臂，它伸缩自如，灵活性强，其原理主要是运用了（　　）
A. 三角形的稳定性
B. 四边形的不稳定性
C. 三角形任意两边之和大于第三边
D. 两点之间线段最短
5.如图，抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，若ax2+bx+c≥3，则x的取值范围是（　　）
A. x≥0
B. x≤0
C. -2≤x≤0
D. x≤-2或x≥0
6.如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点的时间为（　　）
A.
B. 8
C.
D. 9
二、填空题：本题共11小题，每小题4分，共44分。
7.若二次函数的图象有最高点，则m= .
8.把二次函数y=2x2+4x-1配方成顶点式为 ．
9.二次函数y=x2-kx-1与x轴有 个交点.
10.将二次函数y=x2-2x+1的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数图象的顶点坐标是 .
11.把二次函数上下平移，使其顶点恰好落在直线y=-x上，则平移后的二次函数表达式是： .
12.二次项系数之和为1，且顶点关于x轴对称的两个二次函数称作互为“关联函数”，那么函数y=-x2-2x+1的“关联函数”的解析式是 .
13.用一根长为30m的栅栏围成一个矩形的养鸡场，设其中一条边长为x m,围成区域的面积为Sm2.求S关于x的函数表达式是 ，自变量x的取值范围 .
14.已知三个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3的大小关系是 .（请用“＞”连接）
15.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且BA=3，AC=4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 ．
16.如图，四边形ABCD是正方形，按如下步骤操作：①分别以点A，D为圆心，以AD长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP，DP；②连接BP，CP，则∠BPC= .
17.如图，是二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；④a-2b+c＞0．其中正确的命题是 ．（只要求填写正确命题的序号）
三、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题10分)
已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象上的部分点的横、纵坐标x、y的对应值如表：
x … -4 -2 -1 0 …
y … 1 -3 m 1 …
根据以上信息，回答下列问题：
(1) 二次函数图象的顶点坐标为 ，m=
(2) 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=m的解为
(3) 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个实数根更接近于 ．
（A）x=-3.5；
（B）x=-2.5；
（C）x=-1；
（D）x=2
19.(本小题11分)
已知二次函数y=a（x+1）（x-3）（a≠0）的图象是一条开口向下的抛物线．抛物线与x轴交于A、B两点，与直线x=1交于点C，且△ABC是等腰直角三角形
(1) 求此二次函数的表达式及点A、B、C的坐标
(2) 抛物线与y轴交于点D，若对称轴上存在一点M，联结MA、MD，使得MA+MD的值最小，求点M的坐标
20.(本小题11分)
已知二次函数y=kx2-2x+1（k为常数）的图象与x轴有两个交点
(1) 求k的取值范围
(2) 若此二次函数图象与x轴的两个交点之间的距离为1，求k的值
21.(本小题12分)
如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心，，长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP.
（1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；
（2）若将题设中“ ABCD”这一条件改为“矩形ABCD”，其余条件不变，则四边形BPCO是怎样的四边形？请给出证明；
（3）若将题设中“ ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形BPCO是怎样的四边形？请直接写出结果，不需要证明；
（4）若将题设中“ ABCD”这一条件改为“正方形ABCD”，其余条件不变，则四边形BPCO是怎样的四边形？请直接写出结果，不需要证明.
22.(本小题12分)
如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，将矩形沿对角线AC折叠，折叠后点B落在点E处，CE交AD于点F，连接DE
(1) 求证：AC∥DE
(2) 当AB与BC满足什么数量关系时，四边形AODE是菱形？请说明理由
23.(本小题12分)
综合实践：怎样才能命中篮筐
【活动背景】：学校组织班级间篮球比赛，九年级同学向阳发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片，并测量相应的数据进行研究．
【模型建立】：如图所示，以向阳的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系：篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．
信息整理 素材1 篮球（ P）出手时离地面的高度为c米，篮筐中心离地面的高度AB=3米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离OB=m米，篮球距地面的最大高度CD=h米，此时离篮球出手位置的水平距离OD=a米．
素材2 当篮球（ P）恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（n米）满足2.95≤n≤3.10时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，向阳在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变．
【解决问题】：在初次投篮时，小组测得相关数据为：c=2.2米，m=6米，h=4米，a=3米
(1) 向阳初次投篮时 命中篮筐（填写：“能”或“不能”）
(2) 该班数学兴趣小组同学对向阳的初次投篮数据进行研究后，让向阳同学在原来位置向前走了t米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求t的值（保留根号）
(3) 在比赛过程中，向阳在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，向阳此次能否命中篮筐？请说明理由．如果不能命中，在不改变向阳离篮筐中心的水平距离、投篮方向及出手速度的前提下，该如何调整向阳的投篮策略才能命中呢？
24.(本小题14分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+4x+c（c>0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，顶点为P，直线PC与x轴交于点D.
（1）用含c的代数式表示点P及点D的坐标；
（2）将该抛物线进行上下、左右两次平移，所得的新抛物线的顶点P'落在线段PC的延长线上，新抛物线与y轴交于点E，且P'E⊥PP'.
①求该抛物线两次平移的方向和距离；
②点A在新抛物线上的对应点A'，如果DA'被y轴平分，求原抛物线的表达式.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】-3
8.【答案】y=2（x+1）2-3
9.【答案】2
10.【答案】（-1，-3）
11.【答案】y=-（x+3）2+3
12.【答案】y=2x2+4x
13.【答案】S=-x2+15x
0＜x＜15

14.【答案】a2＞a3＞a1
15.【答案】
16.【答案】150°
17.【答案】①③
18.【答案】【小题1】
（-2，-3）
-2
【小题2】
x1=-3，x2=-1
【小题3】
A

19.【答案】【小题1】在y=a（x+1）（x-3）中，令y=0，则a（x+1）（x-3）=0，
∵a≠0，
∴x+1=0或x-3=0，
∴x1=-1，x2=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴点C的纵坐标为2，
∴C（1，2）；
把C（1，2）代入y=a（x+1）（x-3）得2=a（1+1）（1-3），
∴a=-，
∴二次函数的表达式为y=-（x+1）（x-3）
【小题2】由（1）知二次函数的表达式为y=-（x+1）（x-3），
令x=0，则y=，
∴点D（0，），
∵抛物线的对称轴为直线x==1，
∴设M（1，m），
如图，∵点A，B关于对称轴对称，
∴连接BD交对称轴于M，则此时MA+MD的值最小，
设直线BD的解析式为y=kx+b,
∴，
解得，
∴直线BD的解析式为y=-x+，
把M（1，m）代入y=-x+得m=-=1，
∴M（1，1）

20.【答案】【小题1】∵二次函数y=kx2-2x+1（k为常数）的图象与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，且k≠0，
∴（-2）2-4k＞0，且k≠0，
解得：k＜1且k≠0
【小题2】设二次函数图象与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2（x1＜x2），
∴x1，x2为kx2-2x+1=0（k≠0）的两个根，
∴，，
∵二次函数图象与x轴的两个交点之间的距离为1，
∴x2-x1=1，
∴，
∴，
∴，
∴，即或，
∴或

21.【答案】四边形BPCO为平行四边形，理由见解析；
四边形BPCO为菱形，证明见解析；
四边形BPCO为矩形；
四边形BPCO为正方形．
22.【答案】【小题1】证明：∵矩形ABCD沿AC折叠，
∴∠ACB=∠ACE，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠CAD，
∴∠ACE=∠CAD，
∴AF=CF，
∵AD=BC，BC=CE，
∴AD=CE，
∴AD-AF=CE-CF，
即 EF=DF，
∴∠FED=∠FDE，
∵∠AFC=∠EFD，
∴∠CAD=∠ADE，
∴AC∥DE
【小题2】解：如图中，当BC=AB时，四边形AODE是菱形．
理由如下：在Rt△ABC中，BC=AB，
∴∠ACB=30°，
∴∠CAD=∠ACB=30°，∠BAO=60°，
∵矩形ABCD沿AC折叠，
∴∠BAO=∠CAE=60°，
在矩形ABCD中，OA=DO，
∴∠CAD=∠ADO=30°，
∴∠EAD=∠CAE-∠CAD=30°，
∴∠EAD=∠ADO，
∴AE∥OD，
由（1）可知 AC∥DE，
∴四边形AODE是平行四边形，
又∵OA=DO，
∴四边形AODE是菱形

23.【答案】【小题1】
不能
【小题2】
向阳在原来位置向前走t米之后投篮．
投篮方向、出手速度不变，抛物线形状不变，即保持不变，
抛物线整体向右水平平移t米．
平移后的抛物线解析式：，
空心球代表抛物线恰好经过篮筐A（6，3），
把x=6，y=3代入：，
，
（3-t）2=5，
，
解得：，t2=3+，
现实投篮空心球一般是下落阶段入筐，顶点横坐标t+3＜6，即t＜3，
舍去．
∴
【小题3】
向阳距离篮筐中心水平距离为5米；
投篮方向和出手速度不变，不变，
顶点距离出手点水平距离依旧等于3米．
设调整后的出手高度是c,以现在出手点为坐标原点，篮筐位置x=5，
抛物线顶点（3，h′），
抛物线：，
出手点x=0时，y=c,代入：，
，
，
抛物线改写：，
篮筐处x=5，代入x=5：
=
=c+1，
保持初次出手高度c=2.2时：y=2.2+1=3.20，
命中篮筐的条件：2.95≤y≤3.10．
因为3.20＞3.10，超出允许的高度范围，不能命中篮筐．
在不改变人和篮筐的水平距离、投篮方向与出手速度的前提下，只能调整出手高度．
令2.95≤c+1≤3.10，
不等式三边同时减去1，得到：1.95≤c≤2.10，
故调整策略：保持现有起跳位置不变，投篮方向与出手速度不变，调整篮球的出手高度，让出手高度控制在1.95米到2.10米（包含1.95米和2.10米）之间，就可以命中篮筐

24.【答案】解：（1）y=-x2+4x+c=-（x-2）2+4+c,
∴顶点P的坐标为（2，4+c），
当x=0时，y=c,
∴点C的坐标为（0，c），
设直线PC的解析式为y=kx+c,
∴2k+c=4+c,解得k=2，
∴直线PC的解析式为y=2x+c,
当y=0时，0=2x+c,
解得，
∴点D的坐标为（-，0）；
（2）①该抛物线向右平移m个单位，向上平移n个单位，则顶点P'的坐标为（2+m,4+c+n），
∵y=-x2+4x+c=-（x-2）2+4+c,
∴新抛物线的解析式为y'=-（x-2-m）2+4+c+n,
当x=0时，y'=-m2-4m+c+n,
∴点E的坐标为（0，-m2-4m+c+n），
设直线P'P的解析式为y=k1x+b1，
∴，
解得，
∴直线P'P的解析式为，
顶点P'落在线段PC的延长线上，
∴直线P'P与直线PC重合，
∴，
∴n=2m，
∵P'E⊥P'P，
∴△CP'E是直角三角形，且∠CP'E=90°，
∴CP' 2+EP' 2=CE2，
∴CP'2=（2+m）2+（4+c+n-c）2=（2+m）2+（4+2m）2，
EP' 2=（2+m）2+（4+c+n+m2+4m-c-n）2=（2+m）2+（m2+4m+4）2，
CE2=（c+m2+4m-c-n）2=（m2+4m-2m）2=（m2+2m）2，
即（2+m）2+（4+2m）2+（2+m）2+（m2+4m+4）2=（m2+2m）2，
解得，
∴n=-5，
∴该抛物线向左平移个单位，向下平移5个单位；
②当y=0时，0=-（x-2）2+4+c,
解得，
∵点A在点B的右侧，
∴点A的坐标为，
∴点A'的坐标为，
又∵，且DA'被y轴平分，
∴，
∴，
解得c=5，
∴原抛物线的表达式为y=-x2+4x+5．
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