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第4章 一元一次方程（单元提升卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：100分）
选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
1．下列式子中，一元一次方程的个数为（ ）
；；；；．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列说法中错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．若方程和方程的解相同，则a的值是（ ）
A．7 B．5 C．3 D．0
4．若是关于的一元一次方程的解，则的值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
5．学校组织12名校工检修智能教室的桌椅，每人每小时平均能检修3张智能课桌或6把座椅，1张智能课桌配套4把座椅，若安排x名校工检修智能课桌，其余校工检修座椅，且智能课桌和座椅刚好配套，则可以列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．洛书是中国古代流传下来的神秘图案，又称脉络图、龟书，被认为是表述天地空间变化脉络的图案，在今天看来它就是一个三阶幻方．如图1，是由九个数字组成的三阶幻方，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和都为15．如图2，是一个未完成的三阶幻方，要使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．现定义运算“*”，对于任意有理数，，满足
如：，．若，则有理数的值为（ ）
A．4或10 B．4或 C．10 D．4
8．已知两个多项式，，设，，下列说法：
①若，则；
②若的值与的值无关，则；
③若关于的方程的解为正整数，则符合条件的整数有个．
其中正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9．若与互为相反数，则a的值为______________．
10．将方程变形为用含x的式子表示y，那么______．
11．如图是2026年7月的日历表，任意选取“十”字形状中的五个数，若移动“十”字形状后所得五个数之和为120，那么该“十”字形状中正中间的数为__________．
12．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为______．
13．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”．若关于的方程与方程是“和谐方程”，则______．
14．已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，总是它的解，则的值为______．
15．已知关于x的方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的和为________．
16．嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，现在将分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点上的个数字之和都相等，则的值为____________．
三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分，27题11分。
17．解方程：．
18．如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为，容器内水的高度为．把一根半径为，长度超过容器的高的玻璃棒垂直插入水中．问：容器内的水将升高多少厘米（假设水不会溢出）？
19．在解方程时，两位同学提出了如下两种解法．
嘉嘉的解法： 淇淇的解法：
利用分数的性质， 得， …… 利用等式的性质， 得， ……
(1)对于嘉嘉的解法，他是将的分子、分母同时扩大为原来的________倍；对于淇淇的解法，他是将等式两边同时乘以________，或同时除以________；
(2)从以上两种解法中任选一种，写出正确的解答过程．
20．按要求解答问题：
(1)已知关于的方程与的解互为倒数，求的值；
(2)在（1）的条件下，若多项式与的和为15，求的值．
21．某商场A，B两种玩偶在市场热销，商场现购进A，B两种玩偶一共100个，其中每个A玩偶进价12元，每个B玩偶进价15元，总共花费1380元．
(1)求购进A，B两种玩偶各多少个？
(2)A、B两种玩偶标价分别为20元/个、25元/个，销售过程中，A种玩偶全部按标价售完，B种玩偶售出一部分后，进行促销，剩余的打八折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是720元，求B种玩偶打折前卖出多少个？
22．如图，这是一个计算程序示意图，规定从“输入一个值”到“判断结果是否大于等于”为一次运算．例如：开始输入的值为．运行第一次：．因为，所以需要运行第二次：．因为，则输出结果．
(1)当时，________；当时，________；
(2)当输入为时，求输出结果的值；
(3)若经过两次运行后输出结果，请直接写出此时输入的的值．
23．如图1、某小区的平面图是一个占地长500米、宽400米的矩形，正中央的建筑区是与整个小区长、宽比例相同的矩形，如果要使四周的空地所占面积是小区面积的，南北空地等宽，东西空地等宽．
(1)求该小区四周的空地的宽度；
(2)如图2，该小区在东、西、南三块空地上作如图所示的矩形绿化带，绿化带与建筑区之间为小区道路、小区道路宽度一致．已知东、西两侧绿化带完全相同，其长均为200米，南侧绿化带的长为300米、绿化面积为5500平方米，请算出小区道路的宽度．
24．已知关于的方程是一元一次方程．
(1)的值为________；
(2)若已知方程与关于的方程的解相同，求的值；
(3)若已知方程的解比方程的解小5，求的值．
25．某校七年级组织知识竞赛，共设20道选择题，每道题的基础分值相同，但答错会扣分，每题必答，下表记录了3个参赛学生的得分情况．
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A 20 0 100
B 19 1 94
C 10 10 40
(1)由表中数据可知答对一题得_________分，答错一题得_________分；
(2)甲同学得了70分，他答对了几道题？
(3)乙同学说他得了50分，你认为可能吗？为什么？
26．【方法】有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项．例如：，经过处理器得到．
【应用】若关于的二次多项式经过处理器得到，根据以上方法，解决下列问题：
(1)填空：若，则________；
(2)若，求关于的方程的解；
(3)【延伸】已知，是关于的二次多项式，若是经过处理器得到的整式，满足，且为小于的非负数，化简代数式．
27．【新定义】：、、为数轴上三点，若点到的距离是点到的距离的3倍，我们就称点是【，】的幸运点．
【特例感知】
(1)如图1，点表示的数为，点表示的数为3．表示2的点到点的距离是3，到点的距离是1，那么点是【，】的幸运点．
①【，】的幸运点表示的数是______；
A．；B．0；C．1；D．2
②试说明是【，】的幸运点．
(2)如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为4．
①【，】的幸运点表示的整数为______；
②若数轴上存在一点，点是【，】的幸运点，点所表示的数为______．
【拓展应用】
(3)如图3，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁从点出发，以3个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．直接写出当为何值时，、和三个点中恰好有一个点为其余两点的幸运点？
答案与解析
选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
1．下列式子中，一元一次方程的个数为（ ）
；；；；．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程，逐个判断式子即可得出结果．
【详解】解：根据一元一次方程的定义，逐个判断：
∵是只含一个未知数，未知数次数为1的整式方程，∴是一元一次方程．
∵不是等式，不属于方程，∴不是一元一次方程．
∵中未知数最高次数为2，∴不是一元一次方程．
∵含有两个未知数，∴不是一元一次方程．
对化简得，
∵整理后未知数最高次数为2，
∴不是一元一次方程．
综上，一元一次方程只有1个．
2．下列说法中错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】根据不等式性质逐项判断正误即可．
【详解】解： A．若，不等式两边同时加1，不等号方向不变，可得，A说法正确，不合题意；
B．若，不等式两边同时除以，不等号方向改变，可得，B说法正确，不合题意；
C．若，当时，；当时，，因此不一定成立，C说法错误，符合题意；
D 对任意实数，都有，不等式两边同时乘正数，不等号方向不变，可得，D说法正确，不合题意．
3．若方程和方程的解相同，则a的值是（ ）
A．7 B．5 C．3 D．0
【答案】A
【分析】先解方程得，再根据两个方程的解相同，把代入第二个方程求解即可．
【详解】解：由得，
把代入方程，
得，
解得．
4．若是关于的一元一次方程的解，则的值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【分析】无需分别求出,的值，利用整体代入法计算.．
【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解，
∴，
∴．
5．学校组织12名校工检修智能教室的桌椅，每人每小时平均能检修3张智能课桌或6把座椅，1张智能课桌配套4把座椅，若安排x名校工检修智能课桌，其余校工检修座椅，且智能课桌和座椅刚好配套，则可以列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题为一元一次方程的配套问题，先根据表示出检修课桌和座椅的总数量，再结合配套关系列方程即可．
【详解】∵安排名校工检修智能课桌，总共有12名校工，
∴检修座椅的校工人数为，
∵每人每小时平均检修3张智能课桌，
∴每小时检修的智能课桌总数为张，
∵每人每小时平均检修6把座椅，
∴每小时检修的座椅总数为把，
∵1张智能课桌配套4把座椅，刚好配套时满足座椅总数课桌总数，
∴列方程得．
6．洛书是中国古代流传下来的神秘图案，又称脉络图、龟书，被认为是表述天地空间变化脉络的图案，在今天看来它就是一个三阶幻方．如图1，是由九个数字组成的三阶幻方，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和都为15．如图2，是一个未完成的三阶幻方，要使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】利用幻方每行、每列、每条对角线之和相等的性质，先通过第三列求出右下角的数，再利用主对角线求出即可．
【详解】解：由题意得，，
解得，
由题意得，，
∴，
解得．
7．现定义运算“*”，对于任意有理数，，满足
如：，．若，则有理数的值为（ ）
A．4或10 B．4或 C．10 D．4
【答案】D
【分析】分两种情况：当时，当时，分别根据题意列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果．
【详解】解：当时，，解得，
当时，，解得，此时不满足，不符合题意；
∴有理数的值为4．
8．已知两个多项式，，设，，下列说法：
①若，则；
②若的值与的值无关，则；
③若关于的方程的解为正整数，则符合条件的整数有个．
其中正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】先根据多项式加减法则化简和，再逐个验证三个说法的正确性，即可求解．
【详解】解：∵，，
故，
，
，
；
，
，
，
；
①若，即，
解得；故①说法正确．
②，
，
；
若的值与的值无关，则含项的系数为，
即，，
解得，，
∴，故②说法正确．
③，
，
，
整理得，
故，
∴；
∵是正整数，是整数，
故的值可以是、、，
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
符合条件的整数的值有个，故③说法正确．
综上，个说法都正确．
填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9．若与互为相反数，则a的值为______________．
【答案】
【分析】根据互为相反数的两数之和为列方程，求解一元一次方程即可得到结果．
【详解】解：∵与互为相反数，
∴，
解得．
10．将方程变形为用含x的式子表示y，那么______．
【答案】
【分析】利用等式的基本性质求解．
【详解】解：，
移项，得，
等式两边同时除以，得．
11．如图是2026年7月的日历表，任意选取“十”字形状中的五个数，若移动“十”字形状后所得五个数之和为120，那么该“十”字形状中正中间的数为__________．
【答案】24
【分析】设中间的数字为，则上面数字为，下面数字为，左边数字为，右边数字为，列出方程运算求解即可．
【详解】解：设中间的数字为，则上面数字为，下面数字为，左边数字为，右边数字为，
即：，
解得：．
12．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为______．
【答案】
【分析】把方程变形为，根据方程的解为，可得即可求解.
【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为，
∴的解为，
∴一元一次方程的解为．
13．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”．若关于的方程与方程是“和谐方程”，则______．
【答案】22
【详解】解：解方程，得，
又方程与方程是“和谐方程”，
∴方程的解为，
把代入，得，
解得．
14．已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，总是它的解，则的值为______．
【答案】
【分析】将代入方程，化简后得到关于k的方程，由“无论k为何值，总是它的解”，可得k的系数和常数项均为零，从而求出a和b，进而可求的值．
【详解】解：∵关于x的方程，无论k为何值，总是它的解，
∴，
，
，
，
∵无论k为何值，总是它的解，
∴，此时，
∴，，
∴．
15．已知关于x的方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的和为________．
【答案】
【分析】先解关于的一元一次方程，用含的式子表示出，再根据方程的解为负整数且为整数，确定所有满足条件的的值，最后计算的值的和即可．
【详解】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，合并同类项，得，
系数化为1，得，
∵方程的解为负整数，且a为整数，
∴是9的负整数约数，即的值为或或，
当时，解得，符合条件；
当时，解得，符合条件；
当时，解得，符合条件；
则所有满足条件的整数a的和为．
16．嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，现在将分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点上的个数字之和都相等，则的值为____________．
【答案】或
【分析】由于八个数的和是，所以需满足两个圈的和是，横、竖的和也是．列等式可得结论．
【详解】解：设小圈上的数为，大圈上的数为，
，且横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，
两个圈的和各为，横、竖的和也各为，
则，
得，
由，
得，
由，
得，
当时，，则，
当时，，则，
三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分，27题11分。
17．解方程：．
【答案】
【详解】解：
．
18．如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为，容器内水的高度为．把一根半径为，长度超过容器的高的玻璃棒垂直插入水中．问：容器内的水将升高多少厘米（假设水不会溢出）？
【答案】
【分析】设容器内水将升高，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设容器内水将升高，由题意，得：
解得，
答：容器内水将升高．
19．在解方程时，两位同学提出了如下两种解法．
嘉嘉的解法： 淇淇的解法：
利用分数的性质， 得， …… 利用等式的性质， 得， ……
(1)对于嘉嘉的解法，他是将的分子、分母同时扩大为原来的________倍；对于淇淇的解法，他是将等式两边同时乘以________，或同时除以________；
(2)从以上两种解法中任选一种，写出正确的解答过程．
【答案】(1)
；；
(2)
【分析】（1）根据分数的基本性质和等式的基本性质，分析两人的变形过程即可得到对应结果．
（2）解一元一次方程，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可．
【详解】（1）解： 变形为，是将分子分母同时扩大为原来的倍．
原方程变形为，是将等式两边同时乘或，也可同时除以得到，
因此对应结果为，或，．
（2）解：选择嘉嘉的解法进行计算
原方程变形得：
两边同乘6去分母得：
去括号得：
移项合并同类项得：
系数化为1得：
若选择淇淇的解法，过程如下：
原方程变形得：
两边同乘12去分母得：
去括号得：
移项合并同类项得：．
20．按要求解答问题：
(1)已知关于的方程与的解互为倒数，求的值；
(2)在（1）的条件下，若多项式与的和为15，求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：，
解得．
因为两方程的解互为倒数，
所以方程的解为．
将代入，得
．
（2）解：由题意，得．
．
将代入，得
解得．
21．某商场A，B两种玩偶在市场热销，商场现购进A，B两种玩偶一共100个，其中每个A玩偶进价12元，每个B玩偶进价15元，总共花费1380元．
(1)求购进A，B两种玩偶各多少个？
(2)A、B两种玩偶标价分别为20元/个、25元/个，销售过程中，A种玩偶全部按标价售完，B种玩偶售出一部分后，进行促销，剩余的打八折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是720元，求B种玩偶打折前卖出多少个？
【答案】(1)购进A种玩偶个，B种玩偶个；
(2)B种玩偶打折前卖出个．
【分析】（1）设购进A种玩偶个，则购进B种玩偶个，根据题意列方程即可；
（2）设B种玩偶打折前卖出个，则B种玩偶打折后卖出个，根据题意列方程即可．
【详解】（1）解：设购进A种玩偶个，
，
解得，
，
答：购进A种玩偶个，B种玩偶个．
（2）解：设B种玩偶打折前卖出个，
，
解得，
答：种玩偶打折前卖出个．
22．如图，这是一个计算程序示意图，规定从“输入一个值”到“判断结果是否大于等于”为一次运算．例如：开始输入的值为．运行第一次：．因为，所以需要运行第二次：．因为，则输出结果．
(1)当时，________；当时，________；
(2)当输入为时，求输出结果的值；
(3)若经过两次运行后输出结果，请直接写出此时输入的的值．
【答案】(1)9；1
(2)输出结果y的值为
(3)此时输入的x的值为
【分析】（1）分别将和代入流程图进行计算即可；
（2）将代入流程图进行计算即可；
（3）根据题意可得方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：当时，由流程图可得，
；
当时，
；
（2）解：当时，
，
∴需进行第二次运算，将0代入得，
答：输出结果y的值为；
（3）解：∵经过两次运行后输出结果，
∴第一次运算结果小于1，第二次运算结果等于1，
设输入的x为所求值，则第一次运算结果为，第二次运算结果为，
∴
解得，
答：此时输入的x的值为．
23．如图1、某小区的平面图是一个占地长500米、宽400米的矩形，正中央的建筑区是与整个小区长、宽比例相同的矩形，如果要使四周的空地所占面积是小区面积的，南北空地等宽，东西空地等宽．
(1)求该小区四周的空地的宽度；
(2)如图2，该小区在东、西、南三块空地上作如图所示的矩形绿化带，绿化带与建筑区之间为小区道路、小区道路宽度一致．已知东、西两侧绿化带完全相同，其长均为200米，南侧绿化带的长为300米、绿化面积为5500平方米，请算出小区道路的宽度．
【答案】(1)东西空地宽25米，南北的空地宽米
(2)小区道路的宽度为米
【分析】（1）设正中央的建筑区的长度为米，则宽为米，根据题意列方程，解得，再进行计算即可求出该小区南北空地的宽度；
（2）由（1）可知，南北的空地宽米，东西空地宽米，设小区道路的宽度为，根据题意列方程，求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵某小区的平面图是一个占地长500米、宽400米的矩形，
∴整个小区长宽比例为，
正中央的建筑区是与整个小区长宽比例相同的矩形，
设正中央的建筑区的长为米，宽为米，
由题意得：，
整理得，
解得，或（长度不能取负数，舍去），
则东西空地宽：（米），
南北空地宽：（米）．
答：东西空地宽25米，南北的空地宽米；
（2）解：由（1）可知，东西空地宽25米，南北的空地宽米，
设小区道路的宽度为米，
由题意得：，
解得：，
答：小区道路的宽度为米．
24．已知关于的方程是一元一次方程．
(1)的值为________；
(2)若已知方程与关于的方程的解相同，求的值；
(3)若已知方程的解比方程的解小5，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）一元一次方程的定义：只有一个未知数，未知数的次数都是1，并且等号两边都是整式的方程，叫做一元一次方程；
（2）由及，求出，由，求出，根据两个方程的解相同，求出．
【详解】（1）解：，
解得；
（2）解：把代入，
得，
所以．
由，解得．
因为已知方程与关于的方程的解相同，
所以．
所以．
解得．
所以的值为．
（3）解：由，解得．
因为已知方程的解比方程的解小5，
所以已知方程的解为．
所以把，代入
中，得，
所以，
解得，
所以的值为．
25．某校七年级组织知识竞赛，共设20道选择题，每道题的基础分值相同，但答错会扣分，每题必答，下表记录了3个参赛学生的得分情况．
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A 20 0 100
B 19 1 94
C 10 10 40
(1)由表中数据可知答对一题得_________分，答错一题得_________分；
(2)甲同学得了70分，他答对了几道题？
(3)乙同学说他得了50分，你认为可能吗？为什么？
【答案】(1)5，；
(2)甲同学答对了道题
(3)不可能；
理由如下：设乙同学答对了道题，则答错了道题，
由题意得：，解得：；
是答对题目个数，
∴是自然数，
∴乙同学的成绩不可能是50分．
【分析】（1）根据表格解题即可；
（2）设甲同学答对了道题，则答错了道题，列方程求解即可；
（3）设乙同学答对了道题，则答错了道题，列方程求解即可．
【详解】（1）解：由表格可知，答对一题得（分），答错一题得（分）；
（2）解：设甲同学答对了道题，则答错了道题，
由题意得：，
解得；
答：甲同学答对了道题；
（3）略
26．【方法】有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项．例如：，经过处理器得到．
【应用】若关于的二次多项式经过处理器得到，根据以上方法，解决下列问题：
(1)填空：若，则________；
(2)若，求关于的方程的解；
(3)【延伸】已知，是关于的二次多项式，若是经过处理器得到的整式，满足，且为小于的非负数，化简代数式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据多项式的二次项系数是3，一次项系数为，常数项为5，结合定义计算即可；
（2）先化简A，再根据定义得到B，具体得到方程，解方程即可；
（3）根据定义，化简建立等式求解即可．
【详解】（1）解：根据多项式的二次项系数是3，一次项系数为，常数项为5，
得；
（2）解：的二次项系数是4，一次项系数为，常数项为15，
得；
，
，
解得；
（3）解：，是关于的二次多项式，
且二次项系数是，一次项系数为，常数项为7，
故，
得；
又是经过处理器得到的整式，满足，
，
，
解得；
又为小于的非负数，
，
．
27．【新定义】：、、为数轴上三点，若点到的距离是点到的距离的3倍，我们就称点是【，】的幸运点．
【特例感知】
(1)如图1，点表示的数为，点表示的数为3．表示2的点到点的距离是3，到点的距离是1，那么点是【，】的幸运点．
①【，】的幸运点表示的数是______；
A．；B．0；C．1；D．2
②试说明是【，】的幸运点．
(2)如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为4．
①【，】的幸运点表示的整数为______；
②若数轴上存在一点，点是【，】的幸运点，点所表示的数为______．
【拓展应用】
(3)如图3，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁从点出发，以3个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．直接写出当为何值时，、和三个点中恰好有一个点为其余两点的幸运点？
【答案】(1)①B；
②证明：由数轴可知，，，
，
是【，】的幸运点；
(2)①7；②6或2；
(3)5或15或或．
【分析】（1）①由题意可知，点0到的距离是到点距离的3倍；②由数轴可知，，，可得；
（2）设【，】的幸运点为，表示的数为，由题意可得，求解即可；设点Q表示的数为q，由题意可得，求解即可；
（3）由题意可得，，，分四种情况讨论：①当是【，】的幸运点时，②当是【，】的幸运点时，③当是【，】的幸运点时，，④当是【，】的幸运点时，．
【详解】（1）①解：由题意可知，点0到的距离是到点距离的3倍，
即，；
②略；
（2）①解：设【，】的幸运点为，表示的数为，
，
，
或，
或，
幸运点表示的数为整数，
∴符合条件的整数为；
②解：设点表示的数为，
点是【，】的幸运点，
，
或，
或2；
（3）解：由题意可得，，，，
①当是【，】的幸运点时，，
，
；
②当是【，】的幸运点时，，
，
；
③当是【，】的幸运点时，，
，
；
④当是【，】的幸运点时，，
，
；
为5或15或或时，、、中恰好有一个点为其余两点的幸运点．
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