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2026-2027学年上海市复旦大学附属复兴中学高二（上）质量检测数学试卷（10月份）
一、单项选择题：本大题共3小题，共14分。
1.下列命题为真命题的是（　　）
A. 若直线l与平面α上的两条直线垂直，则直线l与平面α垂直
B. 若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行
C. 若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面垂直
D. 若直线l上的不同两点到平面α的距离相等，则直线l与平面α平行
2.三棱锥S-ABC中，SA⊥BC，SC⊥AB，则S在底面ABC的投影一定在三角形ABC的（　　）
A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心
3.在三棱锥A-BCD中，AB=BC=CD=DA=，BD=，二面角A-BD-C是钝角．若三棱锥A-BCD的体积为2．则三棱锥A-BCD的外接球的表面积是（　　）
A. 12π B. π C. 13π D. π
二、多项选择题：本大题共1小题，共4分。
4.下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（　　）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知球的体积为36π，球的表面积是 ．
6.过平面外一点与这个平面平行的直线有 条．
7.将一段长12cm的铁丝折成两两互相垂直的三段，使三段长分别为3cm、4cm、5cm，则原铁丝的两个端点之间的距离为 cm．
8.设A={x|x为长方体}，B={x|x为直平行六面体}，C={x|x为正四棱柱}，D={x|x为正六面体}，则集合A，B，C，D之间的包含关系为 ．
9.若圆锥高为3，且母线与底面所成角为，则该圆锥的侧面积为 ．
10.若正四面体ABCD的棱长为，则异面直线AB与CD之间的距离为 .
11.如图，，AD=1，BC=2，AB=3，那么直角梯形ABCD绕直线AB旋转一周形成的几何体的体积为 .
12.如图，圆锥形容器的高为h，圆锥内水面的高为h1，且=，若将圆锥倒置，水面高为h2，则等于______．

13.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是平面ACC1A1上一动点，且满足，则满足条件的所有点P所围成的平面区域的面积是 .
14.两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入棱长为2的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，且八面体的各顶点均在正方体的表面上，将满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”.则此正子体的表面积S的取值范围是 .
15.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1则下列四个命题：
①点P在直线BC1上运动，三棱锥A-D1PC的体积不变；
②点P在直线BC1上运动，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；
③点P在直线BC1上运动，二面角P-AD1-C的大小不变；
④点P是平面ABCD上到点D和C1距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的一条直线.
其中的真命题是 .（请在横线上填上正确命题的序号）
16.如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 .
四、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，∠PAD=∠ABC=90°，AB∥CD，DC=CB=AB=2，PA=2．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求异面直线AB与PD所成角的余弦值；
18.(本小题14分)
如图，点P在圆柱OO1的底面圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的侧面积为，OA=2，∠AOP=120°．
（1）求三棱锥A1-APB的表面积；
（2）求二面角A-PO-A1的大小．
19.(本小题14分)
如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD与平面CBD所成二面角为直角，AE⊥平面ABD，且．
（1）求证：直线EC与平面ABD平行；
（2）求点C到平面BED的距离．
20.(本小题18分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，，PA=AD=2，AB=BC=1．
（1）证明：AB⊥PD；
（2）线段CP上是否存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD，若存在，求出线段AM的长，若不存在，说明理由；
（3）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．
21.(本小题18分)
如图，在四面体ABCD中，△ABC是边长为2的等边三角形，△DBC为直角三角形，其中D为直角顶点，∠DCB=60°．E、F、G、H分别是线段AB、AC、CD、DB上的动点，且四边形EFGH为平行四边形．
（1）求证：BC∥平面EFGH，AD∥平面EFGH；
（2）设二面角A-BC-D的平面角为θ，求θ在区间[0，]变化的过程中，线段DA在平面BCD上的投影所扫过的平面区域的面积；
（3）设λ=（λ∈（0，1）），且平面ABC⊥平面BCD，则当λ为何值时，多面体ADEFGH的体积恰好为？
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】AD
5.【答案】36π
6.【答案】无数
7.【答案】
8.【答案】D C A B
9.【答案】20π
10.【答案】1
11.【答案】7π
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】[4，8]
15.【答案】①③④
16.【答案】36
17.【答案】（1）证明：∵PA⊥CD，PA⊥AD，CD∩AD=D，
∴PA⊥平面ABCD，
（2）∵AB∥CD，
∴∠PCD为异面直线AB与PD所成的角或其补角，
∵PA⊥平面ABCD，
∴在Rt△PAD中，，，
∴，
∴，
∴异面直线AB与PD所成角的余弦值为：．
18.【答案】解：（1）由题意知：OA=2，圆柱的侧面积为：S侧=2，
∴AA1=2，∠AOP=120°，OA=OP，
∴∠PAB=∠APO=30°，
又AB为圆O直径，△PAB为直角三角形，
∴∠PBA=60°，AB=4，
∴BP=2，AP=2，
又：BP⊥AP，AA1与圆O所在的平面垂直，AA1⊥平面PAB，
∴AA1⊥BP，
又AP∩AA1=A，∴BP⊥平面AA1P，
∴BP⊥A1P，
又：AA1⊥AP，∴=2，
∴S=S+S+S+S△PAB
= BP
=
=6+6+2．．
（2）如图所示：
延长PO交圆O于点D，过A作AC⊥PD于点C，
由（1）可知：AA1与圆O所在的平面垂直，PD在圆O所在的平面内，∴AA1⊥PD，
∴AA1∩AC=A，∴PD⊥平面A1AC，∴A1C⊥PD，
又PD为平面APO与平面A1PO的交线，
∴∠ACA1为二面角A-PO-A1的平面角，
AA1⊥AC，△A1AC为直角三角形，AC=APsin∠APO=2，
∴tan，
∴∠ACA1=arctan2，
即：二面角A-PO-A1的大小为：arctan2．
19.【答案】解：（1）证明：取BD的中点F，连接CF、AF，如图，
又在△BCD中，BC=CD，BC⊥CD，则CF⊥BD，
又平面ABD与平面CBD所成二面角为直角，
∴平面ABD⊥平面CBD，又平面ABD∩平面CBD=BD，CF 平面CBD，
∴CF⊥平面ABD，又，AE⊥平面ABD，且，
∴AE∥CF，又AE=CF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
∴EC∥AF，又AF 平面ABD，EC 平面ABD，
∴EC∥平面ABD；
（2）由（1）可得AF⊥平面CBD，EC∥AF，EC=AF=，
∴EC⊥平面CBD，又，
∴等腰△BED底边BD上的高，
∴，
又S△BCD=2，设点C到平面BED的距离为d,
∵VC-BED=VE-BCD，
∴，
∴，∴d=1，
∴点C到平面BED的距离为1．
20.【答案】解：（1）证明：∵在四棱锥P-ABCD中，
∵PA⊥面ABCD，AB 面ABCD，AD 面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥AD，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，，
又AD 面ADP，AP 面ADP，
∴AB⊥面ADP，又PD 面ADP，
∴AB⊥PD；
（2）由题意及（1）得，存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD，
在四棱锥P-ABCD中，PA=AD=2，AB=BC=1，
建系如图所示，根据题意可得：
A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
∴，，，
设M（x1，y1，z1），∴，
又点M在线段CP上，∴，
∴，
∴M（t,t,-2t+2），，
若AM⊥面PCD，
则，
解得，
∴，
∴；
（3）由题意及（1）（2）可得：，，，
设，
∴，
∴，
设1+2λ=μ，则，
又λ∈[0，1]，∴μ∈[1，3]，
∴cos2==，
∴当时，，此时取得最大为，
又y=cosx在上单调递减，
∴当最大时，直线CQ与DP所成的角取得最小，
又，∴，
故所求线段BQ长为．
21.【答案】解：（1）∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥GH．而GH 面BCD，EF 面BCD，
∴EF∥面BCD．而EF 面ABC，面ABC∩面BCD=BC，
∴EF∥BC．而EF 面EFGH，BC 面EFGH，
∴BC∥平面EFGH．同理，AD∥平面EFGH：
（2）∵AB=AC，
∴A在平面BCD上的投影满足AB=AC，即A′在线段BC的中垂线上．
如图所示，将Rt△BCD补成边长为2的正△BCM，
当二面角A-BC-D为0°角时，即点A在平面BCD上，
此时A’为M，
当二面角A-BC-D为90角时，此时A为BC中点N，
故DA′在平面BCD上的投影所扫过的平面区域为△DMN，
而S△DMN=，
故线段DA在平面BCD上的投影所扫过的平面区域的面积为．
（3）取BC中点O，因为OA⊥BC，
所以OA⊥平面BCD，OA=，
，
而多面体ADEFGH的体积恰好为，即多面体ADEFGH的体积恰为四面体ABCD体积的一半．
连接AH、AG．
∴，整理得
，
即，
解得：λ=（舍去）．

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