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2026-2027学年上海市华东师范大学第二附属中学高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。
1.空间中有两个不同的平面α，β和两条不同的直线m,n,则下列说法中正确的是（　　）
A. 若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n B. 若α⊥β，m⊥α，m⊥n,则n⊥β
C. 若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n D. 若α∥β，m∥α，m∥n,则n∥β
2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，则（　　）
A. .相等的角在直观图中仍然相等 B. 相等的线段在直观图中仍然相等
C. .菱形的直观图是菱形 D. .三角形的直观图是三角形
3.如图，正方体中，、、、分别为棱、、、的中点，联结，．空间任意两点、，若线段上不存在点在线段、上，则称两点可视，则下列选项中与点可视的为 　　
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
4.正方体的剖分是指若干多面体内部两两无交集（即无公共内点），且并集（即拼接在一起）恰好等于原正方体，试判断下列两个命题的真假（　　）
①可将一个正方体剖分成5个四面体（不要求全等）；
②可将一个正方体剖分成3个全等的四棱锥.
A. ①真②真 B. ①真②假 C. ①假②真 D. ①假②假
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.两条异面直线所成的角的取值范围是______．
6.直线a、b确定一个平面，则a、b的位置关系为 ．
7.如图为正六棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′．其6个侧面的12条面对角线所在直线中，与直线A′B异面的共有 条．
8.在半径为30m的圆形广场上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，其轴截面的顶角为120°.若要光源恰好照亮整个广场，则光源的高度应为 .
9.已知某圆台上底面和下底面的半径分别为1和2，高为，则该圆台的母线长为 .
10.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为棱BB1的中点，则平面AEC1截正方体ABCD-A1B1C1D1的截面面积为 .
11.已知m、n为空间中两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，若m α，α∩β=n,则m∥n是m∥β的 条件.（填：“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一个）
12.如图所示，ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是四边上的点，并且AC∥面EFGH，BD∥面EFGH，AC=2，BD=4，当EFGH是菱形时，的值是 ．
13.在正四棱锥P-ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成角的大小等于 .（结果用反三角函数值表示）
14.已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，AB为上底面圆的一条直径，C是下底面圆周上的一个动点，则ABC的面积的取值范围为 .
15.如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练，已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小AB=6cm,AC=10cm,∠BCM=，则tanθ的最大值是 .（仰角θ为直线AP与平面ABC所成的角）
16.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的一个顶点A在平面α内，其余顶点在α的同侧.若顶点B，D，A1到平面的距离分别为1，2，4，那么其余四个顶点到α的距离构成的集合是 .
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2，AD=3，CD=4.
（1）证明：直线A1B∥平面DCC1D1；
（2）若该四棱柱的高为4，求异面直线A1B与AD1所成角的大小.
18.(本小题14分)
如图，已知四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别为AB，PC的中点，∠PDA=45°，AB=2，AD=1.
（1）求直线PC与平面ABCD所成角大小；
（2）求证：MN⊥平面PCD.
19.(本小题14分)
如图，P为圆锥顶点，O为底面中心，A，B，C均在底面圆周上，且△ABC为等边三角形.
（1）求证：平面POA⊥平面PBC；
（2）若圆锥底面半径为2，高为，求点A到平面PBC的距离.
20.(本小题18分)
如图1，正△ABC的边长为2a,CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边上的点，且满足=k,现将△ABC沿CD翻折，使平面ADC⊥平面BDC，如图2.
（1）试判断翻折后直线AB与EF的位置关系，无需说明理由；
（2）求二面角B-AC-D的大小；
（3）若异面直线AB与DE所成角的余弦值为，求k的值.
21.(本小题18分)
如图四面体ABCD中，AB=AC=AD=1，∠BAC=∠BDC=，M是BC中点.
（1）证明：AM⊥DM；
（2）求直线AD与平面ABC所成角的最大值；
（3）求二面角B-AD-C的正弦值的最小值.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】（0°，90°]
6.【答案】相交或平行
7.【答案】5
8.【答案】
9.【答案】3
10.【答案】
11.【答案】充要
12.【答案】
13.【答案】arctan2
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】{3，5，6，7}
17.【答案】（1）证明：根据题意可知AB∥DC，AA1∥DD1，
注意到AB，AA1 平面DCC1D1，DC，DD1 平面DCC1D1，
则AB，AA1∥平面DCC1D1，又AB，AA1 平面A1ABB1，
AB∩AA1=A，则平面A1ABB1∥平面DCC1D1，
又直线A1B 平面A1ABB1，所以直线A1B∥平面DCC1D1．
（2）解：以A为原点，分别以AB、AD、AA1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，由题知高AA1=4，
则A（0，0，0），A1（0，0，4），B（2，0，0），D1（0，3，4），所以，．
所以，
，．
设异面直线A1B与AD1所成角为，
则．
异面直线所成角为．

18.【答案】解：（1）连接AC，因为PA⊥平面ABCD，所以AC是PC在平面ABCD上的投影，
所以∠PCA即为直线PC与平面ABCD所成角，
因为PA⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，AC 平面ABCD，
所以PA⊥AD，PA⊥AC，
又因为，所以△PAD为等腰直角三角形，从而PA=AD=1，
因为四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD，则，
在直角三角形PCA中，，
所以直线PC与平面ABCD所成角大小为．
（2）证明：如图，取PD的中点E，连接AE、EN，
∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，DC=AB，
∵E、N分别为PD、PC的中点，∴EN∥DC，
又∵M为AB中点，∴∴EN∥AM，EN=AM，
则四边形AMNE是平行四边形，∴AE∥MN；
∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵四边形ABCD为矩形，∴CD⊥AD，
∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，
又∵AE 平面PAD，∴CD⊥AE；
∵E为PD中点，△PAD为等腰直角三角形，∴AE⊥PD；
由，且CD，PD 平面PCD，可证AE⊥平面PCD，
又∵AE∥MN，∴MN⊥平面PCD．
19.【答案】解：（1）证明：连结AO交BC于点M，
因为P为圆锥顶点，O为底面中心，
所以PO⊥平面⊙O，
又因为BC 平面⊙O，
所以PO⊥BC，
因为△ABC为等边三角形，O为中心，
所以AO⊥BC，
因为AO∩PO=O，
所以BC⊥平面POA，
又因为BC 平面PBC，
所以平面POA⊥平面PBC．
（2）作AH⊥PM，又BC⊥AH，BC∩PM=M，
则AH⊥平面PBC，
又MO=1，，PM=AM=3，
得，
所以点A到平面PBC的距离为．
20.【答案】解：（1）AB∥EF，理由如下：
在△ABC中，，故翻折后，直线AB与EF的位置关系为AB∥EF；
（2）过D点作DG⊥AC于点G，连接BG，
因为平面ADC⊥平面BDC，平面ADC∩平面BDC=DC，BD 平面BDC，BD⊥CD，所以BD⊥平面ADC，
又AC 平面ADC，所以BD⊥AC，
又DG∩BD=D，DG，BD 平面BGD，所以AC⊥平面BGD，
又BG 平面BGD，所以BG⊥AC，
所以∠BGD是二面角B-AC-D的平面角，
在△ADC中，AD=a,，AC=2a,
所以，
在Rt△BDG中，，
所以，即二面角B-AC-D的大小为；
（3）因为AB∥EF，所以∠DEF（或其补角）是异面直线AB与DE所成的角，
因为，所以，
又，CE=k CA=2ak,
所以DF=，
所以，
即，解得．
21.【答案】解：（1）证明：因为AB=AC，BC中点为M，
则AM⊥BC，且，，
因为△BCD是直角三角形，所以，
所以有DM2+AM2=AD2，
所以三角形AMD是直角三角形，即AM⊥DM；
（2）由（1）知AM⊥DM，又AM⊥BC，DM∩BC=M，DM、BC 面BCD，
所以AM⊥面BCD，又AM 平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCD，
在面BCD内过D向BC作垂线，垂足记为H，
平面ABC⊥平面BCD，面ABC∩面BCD=BC，
又因为DH⊥BC，DH 面BCD，所以DH⊥面ABC，
所以∠HAD是直线AD与面ABC 所成角，
所以在直角三角形AHD中，，
在直角三角形DBC中，由等面积法可得，且DB2+DC2=2，
所以根据基本不等式2≥2DB DC，可得DB DC≤1，当且仅当DB=DC时取等，
因此，故，
所以∠HAD最大值为；
（3）在面ABD内过点B作AD的垂线，垂足记为G，
在面ACD内过点C作AD的垂线，垂足记为P，
在面ACD内过点G作CP的平行线，交于AC点I，
所以∠BGI即为二面角B-AD-C的平面角，
设∠CAD=α，∠BAD=β，则BG=sinβ，AG=cosβ，
CP=sinα，AP=cosα，，，
在直角三角形BDC中，，
得到cosα+cosβ=1，，
，，
在三角形BGI中，由余弦定理，
可得，
由cosα+cosβ=1及基本不等式，
可得，
所以sin，等号成立当且仅当，
所以二面角B-AD-C的正弦值的最小值为．
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