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2026-2027学年上海市建平世纪中学高二（上）阶段练习数学试卷（一）
一、单项选择题：本大题共4小题，共12分。
1.下列推断中，错误的是（　　）
A. A∈l,A∈α，B∈l,B∈α l α
B. 不同的平面α、β，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β α∩β=AB
C. 直线l不在平面α内，A∈l A α
D. A、B、C∈α，A、B、C∈β且A、B、C不共线 α与β重合
2.设α是平面，m,n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（　　）
A. 若m⊥α，n∥α，则m⊥n B. 若m∥α，n∥α，则m∥n
C. 若m⊥n,n∥α，则m⊥α D. 若m,n与α所成的角相等，则m∥n
3.若直线l与平面α所成的角为θ，直线l与平面α上的直线m所成的角为μ，则总有（　　）
A. θ＞μ B. θ≥μ C. θ＜μ D. θ≤μ
4.有红、黄、蓝三种颜色的旗各足够多面，每次可以升1面、2面或3面旗，纵向排列在旗杆上表示信号，旗数或顺序不同时表示不同信号，则可以表示不同信号的种数为（　　）
A. 38 B. 39 C. 40 D. 42
二、填空题：本题共12小题，共42分。
5.若点A∈平面α，点B∈平面α，则直线AB 平面α.（填合适的符号）
6.空间中两个角∠ABC和∠A1B1C1，若AB∥A1B1，BC∥B1C1，∠ABC=30°，则∠A1B1C1的大小是 .
7.为调查今年的雾霾治理情况，现从高二（1）班的男生38人和女生18人中选取1名学生作代表，参加学校组织的调查团，则选取代表的方法有 种.
8.如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是 .（填“平行”或“相交”）
9.已知正三角形ABC的边长为，则△ABC的直观图△A′B′C′的面积为 .
10.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为 （注：把你认为正确的结论的序号都填上）．
11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CD的中点，则直线A1E与平面ABCD所成角的正切值为 .
12.下列命题中：①空间中三个点可以确定一个平面；②直线和直线外的一点，可以确定一个平面；③如果三条直线两两相交，那么这三条直线可以确定一个平面；④如果三条直线两两平行，那么这三条直线可以确定一个平面；⑤如果两个平面有无数个公点，那么这两个平面重合.真命题的个数为 个.
13.用0，1，2，3，4，5，6七个数共可以组成 个没有重复数字的三位数．
14.如图所示，点A是平面BCD外一点，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，且EF=，则异面直线AD和BC所成的角为 .
15.从平面α外的一点引两条斜线，且这两条斜线相互垂直，求这两条斜线与α所成角之和的最大值是 .
16.下列各图是正方体与四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，过四个点共面的图形是 .
三、解答题：本题共5小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
（用空间向量方法解答不给分）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，AB、AD的长分别为3、4、5，求下列距离：
（1）点B到平面A1B1C1D1的距离；
（2）直线CC1到平面DAA1D1的距离.
18.(本小题8分)
（用空间向量方法解答不给分）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3，CC1的中点为F.求直线AF与CD所成角的大小.
19.(本小题8分)
（用空间向量方法解答不给分）如图，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，AC=BD.
（1）判断四边形MNPQ的形状，并说明理由；
（2）求证：AC∥平面MNP.
20.(本小题8分)
（用空间向量方法解答不给分）如图，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1.
（1）求证：CD⊥平面PAD；
（2）求直线PC与平面PAD所成角的正弦值.
21.(本小题14分)
（用空间向量方法解答不给分）如图是一个棱长为2的正方体被平面A1BC1截去一部分后，剩余的立体图形A1C1D1-ABCD，E是BC1的中点.
（1）证明：A、C、A1、C1四点共面；
（2）证明：平面A1BC1∥平面AD1C；
（3）过点C，E，D1的平面α与该多面体的表面相交，交线围成一个多边形，求该多边形的面积.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】
6.【答案】30°或150°
7.【答案】56
8.【答案】平行
9.【答案】
10.【答案】③④
11.【答案】
12.【答案】1
13.【答案】180
14.【答案】90°
15.【答案】
16.【答案】①②③
17.【答案】解：（1）因为BB1⊥平面A1B1C1D1，
所以点B到平面A1B1C1D1的距离|BB1|=3；
（2）因为CC1∥DD1，CC1 平面ADD1A1，DD1 平面ADD1A1，
所以CC1∥平面ADD1A1，
所以直线CC1到平面ADD1A1的距离即为点C到平面ADD1A1的距离，
又CD⊥平面ADD1A1，
所以直线CC1到平面ADD1A1的距离为|DC|=4．
18.【答案】解：因为长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3，CC1的中点为F，
所以AB∥CD，
所以直线AF与CD所成的角等于直线AF与AB所成的角，即∠BAF或其补角，
又易知AB⊥BF，AB=2，BC=2，F是CC1中点，CC1=AA1=3，
所以，，
所以，
所以直线AF与CD所成角的大小为．

19.【答案】解：（1）四边形MNPQ为菱形，理由如下：
在△ABC中，MN为中位线，所以MN平行且等于．
同理，在△ACD中，PQ为中位线，所以PQ平行且等于．
所以MN平行且等于PQ，所以四边形MNPQ为平行四边形．
同理MQ平行且等于．因为AC=BD，所以MQ=MN，
所以平行四边形MNPQ为菱形．
（2）证明：由上可知，MN平行且等于，
因为MN 平面MNP，AC 平面MNP，MN∥AC，
所以AC∥平面MNP．
20.【答案】解：（1）证明：因为四边形ABCD是正方形，所以CD⊥AD．
因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD
因为CD⊥AD，PA⊥CD，PA∩AD=A，PA，AD 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD．
（2）由（1）可知，CD⊥平面PAD，
所以PD是PC在平面PAD上的射影．
所以∠CPD即为直线PC与平面PAD所成角的平面角．
因为PA⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，所以PA⊥AD．
在Rt△PAD中，PA=AD=1，所以，
因为CD⊥平面PAD，PD 平面PAD，所以PD⊥CD．
在Rt△PCD中，，所以，
所以．
所以直线PC与平面PAD所成角的正弦值为．
21.【答案】解：（1）证明：因为原几何体是正方体，所以AA1∥CC1，
所以AA1与CC1共面，故A，C，A1，C1四点共面．
（2）证明：因为AA1∥CC1，AA1=CC1，所以四边形AA1C1C为平行四边形，
所以A1C1∥AC，
因为A1C1 平面A1BC1，AC 平面A1BC1，所以AC∥平面A1BC1，
又AB=C1D1，AB∥C1D1，所以四边形ABC1D1为平行四边形，故AD1∥BC1，
因为BC1 平面A1BC1，AD1 平面A1BC1，所以AD1∥平面A1BC1，
因为AC∩AD1=A，AC，AD1 平面AD1C，
所以平面A1BC1∥平面AD1C．
（3）如图，取A1C1的中点F，连接D1F，EF，CE，
因为E是BC1的中点，所以EF∥A1B，
又BC=A1D1，BC∥A1D1，所以四边形A1BCD1是平行四边形，故A1B∥CD1，
所以EF∥CD1，
所以过点C，E，D1的平面α与该多面体的表面相交，交线围成一个多边形为四边形EFD1C，
正方体棱长为2，故，，
又，，D1F与CE不平行，
所以四边形EFD1C为等腰梯形，
EFD1C的高为，
所以等腰梯形EFD1C的面积为．
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