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2026-2027学年上海市松江一中高一（上）阶段测试数学试卷（1）
一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。
1.过点P（-1，-3）作圆O：x2+y2=1的切线l,则l的方程为（　　）
A. x=-1或4x-3y-5=0 B. y=-1或4x-3y+5=0
C. x=-1或4x-3y+5=0 D. 4x-3y-5=0
2.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设，，若、、组成空间向量的一个基，则可以是（　　）
A.
B.
C.
D.
3.如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别为DD1、BC的中点，有下列四个结论：
①EF⊥B1C；
②直线AE与平面B1CD所成角的正切值为3；
③EF∥平面A1BD1；
④平面AEF截正方体ABCD-A1B1C1D1的截面周长为.
其中，正确结论个数为（　　）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4.设n为正整数，空间中n个单位向量构成集合，若存在实数t,满足对任意，，，都有，则当n取得最大值时，t的值为（　　）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.若直线x-2y+1=0与直线x+ay+2=0垂直，则实数a= .
6.底面半径为1的圆柱的表面积为4π，则该圆柱的体积为 .（结果保留π）
7.已知k∈R，直线l：y=kx-1经过点（1，-2），则直线l的倾斜角为 .
8.关于x、y的方程x2+y2+2x-4y+m=0表示圆，则实数m的取值范围是 .
9.点M（1，4）到直线l：y=2x+3的距离为 .
10.长方体ABCD-A1B1C1D1的8个项点在同一个球面上，且AB=2，AD=，AA1=1，则球的表面积为
11.设m∈R，直线l：（m+1）x+my+3-m=0经过平面直角坐标系的第二、第三与第四象限，则m的取值范围是 .
12.已知圆C1半径为1，且与圆外切于点，则C1的圆心坐标为 .
13.如图，有一底面半径为1、高为1的圆柱.光源点A沿着上底面圆周作匀速运动，射出的光线始终经过圆柱轴截面的中心.当光源点A沿着上底面圆周运动半周时，其射出的光线在圆柱内部“扫过”的面积为 .
14.已知⊙C：x2+y2-2x-2y-2=0，直线l：x+2y+2=0，M为直线l上的动点，过点M作⊙C的切线MA，MB，切点为A，B，当四边形MACB的面积取最小值时，直线AB的方程为 ．
15.已知三棱柱ABC-A1B1C1的体积为36，空间一点P满足，则三棱锥C-A1AP的体积为 .
16.四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD为矩形，AD=2AB=2PA=4，F是棱BC的中点，点E是棱AB上的动点，则当△PEF的周长最小时，三棱锥P-AEF外接球的表面积为 .
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知向量=（1，-1，2），=（-2，1，-1），=（2，-2，1），计算下列各式的值.
（1）；
（2）cos＜，＞.
18.(本小题14分)
如图，圆锥SO中，AB、CD为底面圆的两条直径，AB交CD于O，且AB⊥CD，SO=OB=2，P为BS的中点.
（1）求圆锥SO的侧面积以及侧面展开图的圆心角；
（2）求异面直线SA与PD所成角的正切值.
19.(本小题14分)
已知直线l：（a-1）y=（2a-3）x+1.
（1）求证：直线l过定点；
（2）若P（2，1）到直线l的距离最大，求a的值；
（3）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程.
20.(本小题18分)
在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，满足DE∥BC，且CD=2.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，存在动点M使，如图所示.
（1）求证：平面A1CB⊥平面BCDE；
（2）当时，求平面CMB与平面MBE夹角的余弦值；
（3）设直线BM与平面A1BE所成角为θ，当sinθ取得最大值时，求三棱锥VM-BCE的体积.
21.(本小题18分)
已知圆C过，，且圆心C在x轴上.
（1）求圆C的周长；
（2）若直线l过点D（2，10），且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；
（3）过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线OM，ON分别与直线x=8相交于P，Q，记△OMN的面积为S1，△OPQ的面积为S2，求的最大值.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】
6.【答案】π
7.【答案】135°
8.【答案】（-∞，5）
9.【答案】
10.【答案】8π
11.【答案】（0，3）
12.【答案】（4，-3）
13.【答案】π
14.【答案】x+2y+1=0
15.【答案】6
16.【答案】14π
17.【答案】解：（1）因为向量=（1，-1，2），=（2，-2，1），
所以=（3，-3，3），
所以=3×1+（-3）×（-1）+2×3=12；
（2）因为向量=（1，-1，2），=（2，-2，1），
所以=1×2+（-1）×（-2）+2×1=6，||==，||==3，
所以cos＜，＞===．
18.【答案】（1）因为底面半径r=2，母线，所以，
设侧面展开图的圆心角为α，则；
（2）如图，
因为CD⊥AB，CD⊥SO，AB∩SO=O，AB，SO 平面SOB，
所以CD⊥平面SOB，
又因为OP 平面SOB，所以OD⊥PO，
因为P为BS的中点，O为AB的中点，
所以PO∥SA，所以∠DPO为异面直线SA与PD所成角，
在Rt△DOP中，OD=2，，
所以，
所以异面直线SA与PD所成角的正切值为．
19.【答案】解：（1）证明：由直线l：（a-1）y=（2a-3）x+1整理可得：
ay-2ax-y+3x-1=0，即a（y-2x）+（-y+3x-1）=0，
则由，即，
故直线l过定点Q（1，2）；
（2）当动直线l满足定点Q（1，2）与直线外点P（2，1）的连线垂直于l时，P（2，1）到直线l的距离最大，
因为，则kl=1；
因为l：（a-1）y=（2a-3）x+1，
故，
解得a=2；
（3）由l：（a-1）y=（2a-3）x+1可得：
当x=0时，；当y=0时，；
因为直线与坐标轴交于正半轴，
故，解得；
此时三角形面积为，
要使面积取最小值，只需取y=2a2-5a+3的最小值即可；
由可知，
当时，y=2a2-5a+3取最小值，此时面积取最小值，
此时直线方程为，即2x+y-4=0．
20.【答案】证明：∵∠C=90°，则AC⊥BC，且DE∥BC，可得AC⊥DE，
将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，始终有DE⊥A1D，DE⊥CD，
∵A1D∩CD=D，A1D，CD 平面A1CD，∴DE⊥平面A1CD，
由A1C 平面A1CD，可得DE⊥A1C，
且A1C⊥CD，CD∩DE=D，CD，DE 平面BCDE，
∴A1C⊥平面BCDE，又A1C 平面A1CB，∴平面A1CB⊥平面BCDE
21.【答案】解：（1）由圆心C在x轴上，设圆的方程为，
又圆C过，得，
解得，，所以圆的方程为，
其周长为；
（2）因为直线与圆C截得的弦长为，
所以圆心C到直线的距离为，

①若直线的斜率不存在时，直线与圆C交点为，
直线与圆C截得的弦长为，故直线符合题意；
②若直线斜率存在时，设，整理得，
所以圆心C到直线的距离为，解得，
则直线，即直线，
综上所述，直线的方程为或；
（3）因为原点在圆上，直线过圆心，且与轴所在直线不重合，
，，设直线的斜率为，则直线的方程为，

由，得，
解得或，
则点的坐标为，
又直线的斜率为，则直线的方程为，
由，得，
解得或，
则点的坐标为，
由题可知：，，
故，
又因为，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为.

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