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2026-2027学年重庆市第一中学校八年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中，最小的实数是（　　）
A. -1 B. 0 C. D. -3
2.下列调查中，适宜采用全面调查（普查）的是（　　）
A. 调查全市中学生的睡眠情况 B. 调查一批芯片散热片的耐高温性能
C. 调查八年级某班秋季运动会报名情况 D. 调查一批新能源汽车电池的续航情况
3.下列几组数据中，能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A. 4，6，9 B. 5，12，13
C. 1，2，3 D. ，，
4.若关于x、y的方程（k-3）x|k|-2+2y=6是二元一次方程，则k的值为（　　）
A. -3 B. 3 C. +2 D. 0
5.已知点M（3t-2，5），N（7，5），且线段MN=3，则t的值为（　　）
A. 2 B. 4 C. 2或4 D. 2或8
6.估计的值应在（　　）
A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间
7.某实践小组成员们用甲、乙两个恒温电热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度更快，一段时间内，水温y（℃）与加热时间x（s）之间近似满足一次函数关系.根据记录的数据，画函数图象如图.下列说法错误的是（　　）
A. 甲、乙两个水壶加热前水的温度都是20℃
B. 乙壶的升温速度为
C. 在0≤x≤160的范围内，当甲、乙两个水壶水温相差6℃时，x的值为44或144
D. 甲壶加热100s时，水温为70℃
8.如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点出发，第1次运动到点P1（1，1），第2次运动到点P2（2，0），第3次运动到点P3（2，-1），第4次运动到点P4（3，-1），第5次运动到点P5（3，0）.….按这样的运动规律.点P2025的坐标是（　　）
A. （406，1） B. （1216，-1） C. （1215，0） D. （1216，1）
9.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的中点，点E，F分别为线段CD，AD上的点，且满足∠EAB=45°，∠BAD+∠FEC=180°，若AC=14，，则EF的长为（　　）
A. 2 B. C. D. 3
10.已知整式M：，其中n为自然数，a0，a1，…，an为整数，且a0 a1…an=2n，a0≤a1≤a2≤…≤an.下列说法：
①当n=1时，若一次函数y=M的图象与y轴交于负半轴，则满足条件的整式M有且只有1个；
②n=2时，满足条件的整式M有6个；
③当n≤3，an≤2n时，满足条件的整式M共有20个.
其中正确的个数是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.64的算术平方根是 ．
12.有五张正面分别标有数字-2，0，，2，8的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同.现将五张卡片背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，则点（-1，a）在第二象限的概率是 .
13.在函数中，自变量x的取值范围是 .
14.已知一次函数y=-k2x+b的图象过点（1，y1），（-3，y2），（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系为 （用＜符号连接）
15.已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y=1，则m= .
16.如图，直线l1：y=kx+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，直线l2：y=x+b与x轴交于点A，与y轴交于点C，点P是直线l2上一动点，则BP+OP的最小值为 .
17.如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（4，6），D为OC边上一点.将△BCD沿BD翻折得到△BED，点C的对应点E在四边形OABD内部，连接OE.若OE∥BD，则点E的坐标为 .
18.一个四位自然数，若千位上的数字与十位上的数字之和与百位上的数字与个位上的数字之和的积等于121，则称这个数为“对称数”.例如，对于四位数8536，∵（8+3）×（5+6）=121，∴8536是“对称数”，则最小的“对称数”为 ；一个“对称数”，记，Q（M）=5a2+b2+11-d,若Q（M）-F（M）+432=0，则满足条件的M的值为 .
三、计算题：本大题共5小题，共46分。
19.计算、解方程组：
(1)
(2)
20.先化简，再求值：[（a-b）2+（2a-b）（5a+2b）-（a+b）（a-b）]÷2a,其中.
21.为引导学生树立节约粮食意识，喜迎10月16日世界粮食日，重庆某中学拟在初二年级开展粮食安全科普线上知识竞赛．活动之前，学生处随机对初二同学进行了调查，在以下四个选项中选择一项你最希望开展的活动形式：A手抄报比赛；B演讲比赛；C文艺汇演；D知识竞答，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1) 参与此次调查的初二学生人数为 ，扇形统计图中选项C对应的圆心角度数是
(2) 请在图中补全条形统计图
(3) 该中学初二年级共有1600名学生，估计该年级最希望开展的活动形式是D的学生人数是多少？
22.如图是某景区的平面示意图，景点C位于景点A的正南方向7km处，景点B位于景点A的南偏西60°方向，且与景点A的距离AB=4km.
(1) 求BC的长度（结果保留根号）
(2) 该景区的智能巡检机器人使用远距离无线数传电台与基站通信，在景区对应的环境下，每个基站的有效通信半径是6km.智能巡检机器人从景点A出发，沿道路A→C→B→A的方向匀速行驶一周进行巡检，巡检过程中能与设置在景点B的基站有效通信的时间共为5小时，求该智能巡检机器人的行驶速度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，）
23.列方程（组）解下列问题：
某乡镇农产品展销店售卖A款土蜂蜜与B款菌菇干货．已知卖出1罐A款土蜂蜜和1袋B款菌菇的总销售额为65元；卖出5罐A款土蜂蜜和2袋B款菌菇的总销售额为250元
(1) 求每罐A款土蜂蜜、每袋B款菌菇的售价分别为多少元？
(2) 该展销店在8月份共销售A款土蜂蜜2000罐，B款菌菇3000袋．由于B款菌菇采摘成本上涨，从9月1日起，每袋B款菌菇的售价增加2a%，A款蜂蜜的售价保持不变．统计9月的销量和销售额发现：A款蜂蜜的销量在8月的基础上降低a%，B款菌菇的销量在8月的基础上增加，这两款产品的总销售额在8月的基础上增加20%，求a的值
四、解答题：本题共3小题，共32分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
24.(本小题10分)
综合与实践
某数学学习小组在学习了勾股定理后发现，很多问题可以结合方程进行求解，该学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究．
【问题提出】
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，BD是△ABC的角平分线．他们猜想CD与BC之间存在以下数量关系：BC=2CD．
【动手操作】用尺规完成基本作图：过点D作AB的垂线，交AB于点E．
【问题解决】
任务：
(1) 请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法和结论）
(2) 请帮助该学习小组通过列方程计算的方法，完成以上猜想的证明
25.(本小题10分)
如图1，直线l1：y=kx+b与x轴交于点A（-3，0），与y轴交于点B（0，1），直线l2：y=-2x+6分别与x轴、y轴交于点D、E，并与直线l1相交于点C
(1) 求直线l1的表达式
(2) 如图2，将直线l1向下平移，使得平移后的直线经过点D，并与y轴交于点F，求四边形BCDF的面积
(3) 若点P为直线l2上一动点，且使得△EOP为等腰三角形，请直接写出点P的横坐标
26.(本小题12分)
已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，点D为平面内一点．
(1) 如图1，点D在AC的延长线上，且AD=AB，连接BD．过点D作DE⊥AB于点E，DE交BC边于点F，连接AF．若∠ABC=40°，求∠AFE的度数
(2) 如图2，点D在AB的下方，连接AD，BD．点M为BC边上方一点，且满足BM=BD，∠MBD=2∠ABC，连接MC并延长到点N，连接AN．若∠BAC=∠BAD+∠CAN，求证：AN=AD
(3) 如图3，AC=BC=6，点D为∠ABC的角平分线与AC边的交点，点P、点Q分别为线段AC、线段BC上的动点，且满足AP=CQ．当取得最小值时，请直接写出△BDQ的面积
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】8
12.【答案】
13.【答案】x≥-2且x≠1
14.【答案】y3＜y1＜y2
15.【答案】4
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】2299
9427

19.【答案】【小题1】原式=
=
=
【小题2】，
①×2+②得：7x=21，
解得x=3，
把x=3代入②得：3-4y=-5，
解得y=2，
故原方程组的解为：

20.【答案】解：原式=[a2-2ab+b2+10a2+4ab-5ab-2b2-a2+b2]÷2a
=（10a2-3ab）÷2a
=，
由，且，|b-2|≥0，
得，b-2=0，
解得，b=2，
将，b=2代入得：原式=．
21.【答案】【小题1】
200
54°
【小题2】
B选项的人数为200-60-30-20=90（人）；
补全条形统计图：
【小题3】
（人）；
答：估计该年级最希望开展的活动形式是D的学生人数是160人

22.【答案】【小题1】如图，过点B作BD⊥AC，垂足为D，
∴∠ABD=90°-60°=30°，
∴，
∴，CD=AC-AD=5km,
∴
【小题2】如图，设BE=BF=6km,
∴，
∴，
∴．
答：该智能巡检机器人的行驶速度为3.4km/h.

23.【答案】【小题1】设每罐A款土蜂蜜售价为x元，每袋B款菌菇售价为y元，则：
，
解得．
答：每罐A款土蜂蜜售价为40元，每袋B款菌菇售价为25元
【小题2】8月总销售额为40×2000+25×3000=155000（元），
9月A款蜂蜜销量为2000（1-a%）罐，B款菌菇销量为袋，B款菌菇售价为25（1+2a%）元/袋，
根据题意可得：40×2000（1-a%）+25×3600（1+2a%）=155000×（1+20%）
解得a=16，
答：a的值为16

24.【答案】【小题1】解：如图，点E即为所求；
【小题2】证明：在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
由勾股定理得：，
根据基本作图可知：DE⊥AB，
∵BD是△ABC的角平分线，∠C=90°，即DC⊥BC，
∴DC=DE，
在Rt△CBD和Rt△EBD中，
，
∴Rt△CBD≌Rt△EBD（HL），
∴BE=BC=3，
∴AE=AB-BE=2，
设DC=DE=x,
∴AD=AC-DC=4-x.
在直角三角形ADE中，由勾股定理，得：AD2=DE2+AE2，
（4-x）2=x2+4，
解得：，
∴，
∴BC=2CD

25.【答案】【小题1】直线l1：y=kx+b与x轴交于点A（-3，0），与y轴交于点B（0，1），将点A，点B的坐标分别代入，得：
，
解得：，
∴直线l1的表达式为
【小题2】∵y=-2x+6分别与x轴、y轴交于点D、E，
∴当y=0时，得：-2x+6=0，
解得：x=3；
当x=0时，得：y=6，
∴D（3，0），E（0，6），
联立得：，
解得：，
∴，
设平移后直线的解析式为，
把D（3，0）代入，得：1+m=0，
解得：m=-1，
∴平移后直线的解析式为，
∴当x=0时，得：y=-1，
∴F（0，-1），
连接OC，
SBCDF=S△ODF+S△ODC+S△OBC
=
=
【小题3】点P的横坐标为或或．理由如下：
由（2）知：E（0，6），
∴OE=6，
设P（t,-2t+6），
∵O（0，0），
∴OP2=t2+（-2t+6）2=5t2-24t+36，PE2=t2+（-2t）2=5t2，
当△EOP为等腰三角形时，分3种情况：
①OP=OE，则5t2-24t+36=36，即5t2-24t=0，
当t=0时，P，E两点重合，不符合题意，
∴t≠0，
∴5t-24=0，
解得：；
②当OP=PE时，5t2-24t+36=5t2，
解得：；
③当PE=OE时，5t2=36，
解得：；
综上所述，点P的横坐标为或或

26.【答案】【小题1】解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=40°，
∴∠CAB=90°-40°=50°，∠DCB=90°．
∵AD=AB，
∴，
∴∠CBD=∠ABD-∠ABC=25°．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°．
在△BCD和△DEB中，
，
∴△BCD≌△DEB（AAS），
∴∠CBD=∠EDB=25°，
∴FB=FD．
在△ADF和△ABF中，
，
∴△ADF≌△ABF（SSS），
∴，
∴∠AFE=90°-∠BAF=65°
【小题2】证明：如图2，将△ABD绕点B顺时针旋转，使BD与BM重合，得到△A′BM，连接A′C，
∴△ABD≌△A′BM（SSS），
∴∠ABD=∠A′BM，AB=A′B，AD=A′M．
∵∠MBD=2∠ABC，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBM=∠A′BM+∠CBM=∠A′BC．
在△ABC和△A′BC中，
，
∴△ABC≌△A′BC（SAS），
∴∠ACB=∠A′CB=90°，AC=A′C，∠BAC=∠BA′C，
∴∠ACB+∠A′CB=180°，
∴点A、点C、点A′在同一条直线上，
∴∠ACN=∠A′CM．
∵∠BAC=∠BAD+∠CAN，
∴∠BA′C=∠BAD+∠CAN=∠BA′M+∠CAN．
∵∠BA′C=∠BA′M+∠CA′M，
∴∠CAN=∠CA′M．
在△ACN和△A′CM中，
，
∴△ACN≌△A′CM（ASA），
∴AN=A′M，
∴AN=AD
【小题3】解：△BDQ的面积为．理由如下：
如图3，取点M为AB的中点，连接CM、PQ、PM、QM，设∠QCF=30°，过点Q作QF⊥CE，垂足为F，
∵∠ACB=90°，AC=BC=6，
∴AM=CM，∠A=∠MCQ=45°，∠CMA=90°，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得：，
∴．
在△AMP和△CMQ中，
，
∴△MAP≌△MCQ（SAS），
∴MP=MQ，∠AMP=∠CMQ，
∴∠PMQ=∠PMC+∠CMQ=∠PMC+∠AMP=90°，
∴△PMQ是等腰直角三角形，
在直角三角形MPQ中，由勾股定理得：，即．
∵∠QCF=30°，
∴，
∴，
∴当点M、Q、F在同一条直线上时，取最小值，此时MF⊥CE，
当点M、Q、F在同一条直线上时，设FQ=x,则CQ=AP=2x,
∴BQ=CP=6-2x,
在直角三角形CFQ中，由勾股定理得：，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当x≠0时，，
∴（3x-6）2=18-3x2，
整理得：2x2-6x+3=0，
∵b2-4ac=36-24=12，
∴或，
∵∠CMF=90°-∠FCM=15°＜45°，
∴，即2x≤3，
∴，
∴，
如图4，过点D作DN⊥AB，垂足为N，
∵BD平分∠ABC，
∴CD=DN，
设CD=DN=t,则AN=t,
在直角三角形ADN中，由勾股定理得：．
∵AD+DC=AC=6，
∴，
∴，
∴，
∴当取得最小值时，

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