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北京市第八十中学2026-2027学年高一贯通班上学期10月阶段评价数学试题（A卷）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合，且，则实数的值为（　　）
A. B. 0 C. 3 D. 或3
2.“”的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
3.如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
4.已知a,b,c∈R，且a＜b,0＜c＜1，则（　　）
A. a-c＜b-1 B. ac＜b C. D.
5.下列函数中，值域为(0，+∞)的是（）
A. B. C. D.
6.不等式ax2＋ax＋1＞0对于任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. （0，4） B. [0，4]
C. [0，4） D. （-∞，0]∪（4，＋∞）
7.已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知非空集合A,B满足以下两个条件:(1)AB={1,2,3,4},AB=;(2)A的元素个数不是A中的元素,B的元素个数不是B中的元素.则有序集合对(A,B)的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
9.已知是定义在上的奇函数，当时，．函数在上的解析式为 ；若函数在区间单调递增，实数的取值范围是 ．
10.一般地，把称为区间的“长度”.已知关于的不等式有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数的取值范围为 .
11.高斯取整函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，．有如下四个结论：
①若，则；
②函数与函数无公共点；
③；
④所有满足的点组成区域的面积为．其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共5小题，共95分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
12.(本小题19分)
已知：，：，是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
13.(本小题19分)
已知关于x的方程ax2+（a-1）x-1=0.
（1）若该方程的解集中只有一个元素，求a的值；
（2）若a=2，且当x＞0时，ax2+（a-1）x-1＞bx-9恒成立，求实数b的取值范围；
（3）若a＜0，解关于x的不等式ax2+（a-1）x-1＞0.
14.(本小题19分)
已知二次函数的一个零点为1，且满足．
(1)求的解析式；
(2)求函数在上的最小值；
(3)设，垂直于轴的直线分别交函数与的图象于两点，若线段的长度恒大于2，求实数的取值范围．
15.(本小题19分)
已知关于x的方程的两根为，，试问：是否存在实数m，使得，不等式都成立？若存在，求实数m的取值范围，若不存在，说明理由.
16.(本小题19分)
已知函数f（x）的定义域是{x|x≠0}，对定义域内的任意x1，x2，都有f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），且当x＞1时，f（x）＞0，f（2）＝1．
（1）证明：f（x）是偶函数；
（2）证明：f（x）在（0，＋∞）上是增函数；
（3）解不等式f（2x2-1）＜2．
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】 ； ； ； ； ； ；
10.【答案】[-1，0)∪(8，9]
11.【答案】①②④
12.【答案】解：由可得：，则，
由可得：，
因为，所以，解得：，
因为是的必要不充分条件，所以 ，
所以且不能同时取等，解得：.
所以实数的取值范围为：

13.【答案】解：（1）关于x的方程ax2+（a-1）x-1=0，
当a=0时，方程即为-x-1=0，解得x=-1，满足题意；
当a≠0时，若该方程的解集中只有一个元素，则Δ=（a-1）2+4a=0，解得a=-1，
综上，实数a的值为0或-1．
（2）当a=2时，不等式为2x2+x-1＞bx-9，即2x2+x+8＞bx,
由x＞0时，不等式转化为恒成立，
因为，
当且仅当时，即x=2时，等号成立，所以b＜9，
即实数b的取值范围为（-∞，9）．
（3）不等式ax2+（a-1）x-1＞0，可化为（x+1）（ax-1）＞0，
因为a＜0，则不等式可为，
当时，即a＜-1时，解得，不等式的解集为；
当时，即a=-1时，不等式为（x+1）2＜0，此时不等式的解集为 ；
当时，即-1＜a＜0时，解得，不等式的解集为，
综上可得：当a＜-1时，不等式的解集为；
当a=-1时，不等式的解集为 ；
当-1＜a＜0时，不等式的解集为．
14.【答案】（1）由题可知，，解得.
所以.
（2）由（1）知，.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
当时，即时，在上单调递减，所以在处取得最小值，最小值为；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值，最小值为；
当时，在上单调递增，所以在处取得最小值，最小值为.
综上所述，当时，的最小值为；当时，的最小值为；当
时，的最小值为.
（3）由题可得，则
则得①或②，
由①得恒成立，故，解得；
由②得，因，故此式不能恒成立.
综上，可得实数的取值范围是.

15.【答案】解： 关于的方程的两根为，，△，
，．
，，不等式都成立，
的在，上的最小值，大于或等于的最大值．
的最大值为，
的在，上的最小值，大于或等于4．
（1）当时，对于一次函数，当时，最小值为，
故有，求得．
（2）当时，对于一次函数，
当时，的最小值为，
故有，求得．
综上可得，存在或，满足题中条件．

16.【答案】（1）证明：令x1＝x2＝1，得f（1）＝2f（1），
∴f（1）＝0．
令x1＝x2＝-1，得f（-1）＝0，
∴f（-x）＝f（-1·x）＝f（-1）＋f（x）＝f（x），
又f（x）的定义域关于原点对称，
∴f（x）是偶函数．
（2）证明：任取x1，x2∈（0，＋∞），且x2＞x1，
则．
∵x2＞x1＞0，∴，
又当x＞1时，f（x）＞0，
∴，即f（x2）-f（x1）＞0，
即f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在（0，＋∞）上是增函数．
（3）解：∵f（2）＝1，∴f（4）＝f（2）＋f（2）＝2．
又f（x）是偶函数，
∴不等式f（2x2-1）＜2可化为f（|2x2-1|）＜f（4）．
又函数f（x）在（0，＋∞）上是增函数，
∴|2x2-1|＜4，且2x2-1≠0，
解得，且，
即原不等式的解集为．

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