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7.1.2　弧度制
基础过关练
题组一　弧度制
1.(多选题)(2025陕西西安铁一中学月考)下列角度与弧度的互化正确的是(　　)
A.=1 530°　　　　B.-=-105°
C.10°=　　　　D.-855°=-
2.(2026江苏扬州第一中学月考)若一场考试需要2小时,则在该场考试中,钟表的时针转过的弧度数为　　　　.
3.图1是某小区的公园,它有一圆形跑道,跑道上有4个出口A,B,C,D(视为点),且将圆形四等分(如图2).小明从A点出发,在圆形跑道上按逆时针方向做匀速圆周运动,假设他每分钟转过的圆心角为θ弧度(0<θ<π),3分钟时第一次到达劣弧上(不包括点C,D),15分钟时回到出发点A,则θ的值为　　　　.
　　
题组二　用弧度制表示终边相同的角
4.(2026江苏扬州邗江第一中学月考)下列与的终边相同的角的集合中正确的是(　　)
A.{α|α=2kπ+60°,k∈Z}
B.
C.{α|α=k·360°-300°,k∈Z}
D.
5.(2026浙江嘉兴第四高级中学测试)与-420°角终边相同的最小正角是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
6.P314疑难1用弧度制分别表示每个图中顶点在原点、始边为x轴正半轴、终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
　　
题组三　扇形的弧长公式和面积公式
7.(2025江苏南京六校调研)若扇形的面积为1 cm2,圆心角为2 rad,则该扇形的弧长为(　　)
A.1 cm　　　　B. cm　　　　C.2 cm　　　　D.2 cm
8.(2025江苏无锡天一中学期末)已知某扇形的周长为5 cm,面积为 cm2,则该扇形圆心角的弧度数是(　　)
A.　　　　B.3　　　　C.或3　　　　D.
9.(易错题)(2026江苏徐州中学检测)某圆形广场中央有一处圆形喷泉,喷泉外沿到广场边缘之间铺设了一圈扇形草坪,已知喷泉的半径为4 m,广场的半径为6 m,若其中某块草坪所对应的圆心角为120°,则这块扇形草坪的面积为(　　)
A. m2　　　　B. m2　　　　C.12π m2　　　　D. m2
10.(2025江苏无锡锡山高级中学期末)某学校的数学社团用数学软件制作“蚊香”图.画法如下:作一个边长为1的等边△ABC,然后以B为圆心,AB为半径逆时针画圆弧,交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧),再以C为圆心,CD为半径逆时针画圆弧,交线段AC的延长线于点E(第二段圆弧),再以A为圆心,AE为半径逆时针画圆弧,……,以此类推,当得到的“蚊香”恰好有5段圆弧时,“蚊香”的长度为(　　)
A.8π　　　　B.10π　　　　C.18π　　　　D.20π
11.(2026江苏无锡第一中学质量检测)把一张半径为2的圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开,图中的虚线表示折痕,则劣弧BC的长是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
12.(2025江苏常州前黄高级中学月考)某玉佩的形状是扇形的一部分(如图),经测量知AB=CD=4,BC=3,AD=7,则该玉佩的面积为(　　)
A.π-　　　　B.π-　　　　
C.π　　　　D.π
13.(2025广东深圳外国语学校月考)若圆心角为的扇形的弦长为4,则该扇形的弧长为　　　　.
14.(2025江苏南京检测)某机器上有相互啮合的两个齿轮,大轮有50个齿,小轮有15个齿,大轮每分钟转3圈,若小轮的半径为2 cm,则小轮圆周上一点每秒转过的弧长是　　　　cm.
15.(2025江苏南通通州高级中学阶段测试)莱洛三角形以机械学家莱洛的名字命名,这种三角形应用非常广泛,不仅用于建筑和商品的外包装设计,还用于工业生产中.莱洛三角形的画法是:先画正三角形,然后分别以三个顶点为圆心,边长的长度为半径画圆弧,得到的图形为莱洛三角形.如图,若莱洛三角形的面积是,则弓形AC的周长为　　　　.
16.(2025安徽六安期末)如图,的长度是l,的长度是l',几何图形ABCD的面积为S,扇形BOC的面积为S',已知=2,∠BOC=α.
(1)求;
(2)若几何图形ABCD的周长为4,则当α为多少时,S最大
答案与分层梯度式解析
第7章　三角函数
7.1　角与弧度
7.1.2　弧度制
基础过关练
1.BCD 4.C 5.B 7.C 8.C
9.D 10.B 11.D 12.A
1.BCD　=×180°=15 330°,故A错误;
-=-×180°=-105°,故B正确;
10°=10×=,故C正确;
-855°=-855×=-,故D正确.
2.答案　-
解析　易知钟表的时针顺时针旋转,所以在该场考试中,钟表的时针转过的弧度数为-=-.
3.答案　
解析　每分钟转过的圆心角为θ弧度,则15分钟时转过的圆心角为15θ弧度,由题意得15θ=2kπ,k∈Z,所以θ=,k∈Z,又小明3分钟时第一次到达劣弧上(不包括点C,D),所以π<3θ<,即π<<,k∈Z,所以k=3,所以θ=.
4.C　角度制和弧度制不能混用(易错点),故A,B错误.
对于C,易知=420°,令k·360°-300°=420°,得k=2∈Z,满足题意.
对于D,当k=0时,α=,与题意不符.
5.B　因为-420°=-360°-60°=-2π-=-4π+,所以与-420°角终边相同的最小正角是.
6.解析　题图1中,所求角的集合为α-+2kπ≤α≤+2kπ,k∈Z;
题图2中,所求角的集合为α-+2kπ≤α≤+2kπ,k∈Z;
题图3中,终边落在x轴上方阴影部分的角与终边落在x轴下方阴影部分的角为对顶角,所以所求角的集合为α+nπ≤α≤+nπ,n∈Z.
7.C　设扇形的半径为r cm,则1=×2r2,所以r=1,所以扇形的弧长为1×2=2(cm).
8.C　设该扇形的半径为r cm,弧长为l cm,
则解得或
所以该扇形圆心角的弧度数α==3或α==.
9.D　易得120°=.
设扇形草坪所对应的圆心角为θ,广场的半径为r1 m,喷泉的半径为r2 m,包含喷泉和草坪的大扇形的面积为S1 m2,只包含喷泉的小扇形的面积为S2 m2,则θ=,r1=6,r2=4,所以扇形草坪的面积为S1-S2=·π(-)=(m2).
易错警示
运用弧度制下扇形的弧长公式与面积公式比用角度制下扇形的弧长公式与面积公式要简单得多,若角以“度”为单位,通常先将其化为弧度,再计算.
10.B　由题意知,每段圆弧的圆心角均为,第一段圆弧长度为×1=,第二段圆弧长度为×2=,第三段圆弧长度为×3=2π,第四段圆弧长度为×4=,第五段圆弧长度为×5=,所以“蚊香”的长度为++2π++=10π.
11.D　过点O作OH⊥AB于H,连接OA,OB.
可得OH=OB(由折叠性质可得线段的关系),AB∥CD,所以∠OBH=,所以∠BOD=,所以∠BOC=,所以劣弧BC的长是×2=.
12.A　如图所示,延长AB,DC交于点O,过点O作OF⊥AD于F,交BC于E,则点E,F分别为BC,AD的中点,且OB=OC,
因为BC∥AD,所以=,即==,解得OB=3,所以△OBC是边长为3的等边三角形,所以∠BOC=,
所以玉佩的面积S=S扇形-S△OBC=·∠BOC·OA2-·BC·OE=××72-×3×=-.
13.答案　
解析　设扇形所在圆的圆心为O.
如图,∠AOB=,AB=4,
取弦AB的中点C,连接OC,则OC⊥AC,易知∠AOC=,AC=2,
设OC=x,则OA=2x,x>0,
所以在Rt△ACO中,4x2=x2+12,
所以x=2,
所以OA=4,即扇形的半径为4,
所以该扇形的弧长l=×4=.
14.答案　
解析　由大轮有50个齿,小轮有15个齿,大轮每分钟转3圈,得小轮每分钟转=10(圈),因此小轮圆周上一点每秒转过的弧度数的绝对值为=,所以小轮圆周上一点每秒转过的弧长是×2=(cm).
15.答案　3+π
解析　设AB=BC=AC=R,则分别以点A,B,C为圆心,圆弧BC,AC,AB所对的每个扇形面积均为·R2=R2,等边△ABC的面积为R2·=R2,
所以莱洛三角形的面积是3×+R2=R2=,则R=3,所以l =×3=π,
所以弓形AC的周长为π+3.
16.解析　(1)由弧长公式,得l=|α|·OA,l'=|α|·OB,则==,
又=2,所以=2,l=2l',即OA=2OB,所以===3.
(2)由(1)知,AB=CD=OB,l=2l',
则几何图形ABCD的周长为AB+l+l'+CD=2OB+3l'=4,S=l×OA-l'×OB=×2l'×2OB-l'×OB=l'×OB=×3l'×2OB≤=×=1,当且仅当即α=时,等号成立,此时S最大.

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