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7.2　三角函数概念
7.2.1　任意角的三角函数
基础过关练
题组一　三角函数的概念及其应用
1.(2026江苏淮安淮阴中学期中)已知角θ的顶点为坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,终边过点P(4,-3),则cos θ-sin θ=(　　)
A.　　　　B.-　　　　C.　　　　D.-
2.(教材习题改编)已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边经过点P(1,y),且sin α=-,则tan α=(　　)
A.-2　 　B.-　 　C.　 　D.2
3.(2026北京大学附属中学阶段练习)已知角α的顶点与坐标原点重合,始边落在x轴的正半轴上,终边上有一点(tan α,3),则sin α=(　　)
A.　　　　B.-　　　　
C.　　　　D.-
4.(2026江苏南通天星湖中学检测)在平面直角坐标系xOy中,角θ的终边经过点P(3a,-4a),其中a≠0,则cos θ=　　　　.
题组二　三角函数值的符号
5.(多选题)下列三角函数值为负数的是(　　)
A.tan　　　　B.tan 505°
C.sin 7.6π　　　　D.sin 186°
6.(2026江苏苏州吴江高级中学月考)“点P(sin θ,tan θ)在第二象限内”是“角θ为第三象限角”的(　　)
A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　D.既不充分也不必要条件
7.(2026江苏连云港东海高级中学学分认定考试)若sin θcos θ<0,且sin θ-cos θ>0,则θ是(　　)
A.第一象限角　　　　
B.第二象限角
C.第三象限角　　　　
D.第四象限角
8.(易错题)若|cos θ|=cos θ,|tan θ|=-tan θ,则的终边位于(　　)
A.第一、三象限
B.第二、四象限
C.第一、三象限或在x轴正半轴上
D.第二、四象限或在x轴上
题组三　三角函数线的简单应用
9.若-<α<-,则sin α,cos α,tan α的大小关系是(　　)
A.sin αB.tan αC.cos αD.sin α10.(2026江西南昌第二中学月考)已知a=sin,b=tan,c=log162,则(　　)
A.aC.c11.使sin x≤cos x成立的x的一个取值范围是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.[0,π]
12.函数y=lg(2sin x-1)+的定义域为　　　　.
能力提升练
题组一　三角函数的概念及其应用
1.(2025广东茂名期末)已知角α的终边在直线y=-3x上,则10sin α+=(　　)
A.-6　　　　B.6　　　　
C.0　　　　D.-3
2.(教材深研拓展)(多选题)一般地,对任意角α,在平面直角坐标系中,设角α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x,y),它与原点的距离是r.我们规定:比值,,分别叫作角α的余切、余割、正割,分别记作cot α,csc α,sec α.cot α,csc α,sec α分别叫作余切函数、余割函数、正割函数.下列叙述正确的有(　　)
A.cot=1
B.sin α·sec α=1
C.sec α中α的范围是αα≠kπ+,k∈Z
D.设角α的终边经过点P(2,4),则csc α+sec α=
3.(2026北京大学附属中学阶段练习)在平面直角坐标系xOy中,角α,β均以Ox为始边,它们的终边关于直线y=x对称且sin α+cos α=-,若角β的终边与单位圆交于点P(m,n),且n<0,则实数m=(　　)
A.　　　　B.-　　　　C.　　　　D.-
4.(多选题)如图,
角α,β(0<α<β<π)的始边与x轴的正半轴重合,终边分别与单位圆交于点A,B,M为线段AB的中点,N为的中点,则下列说法中正确的是(　　)
A.∠AOB=β-α
B.点N的坐标为
C.|OM|=cos
D.(cos α+cos β)=coscos
5.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,动点P,Q从点A(1,0)出发在单位圆上运动,点P按逆时针方向每秒转弧度,点Q按顺时针方向每秒转弧度,则P,Q两点在第1 804次相遇时,点P的坐标是　　　　.
题组二　三角函数值的符号
6.(多选题)已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边经过点P(2-t,t),若t>0,则下列各式的符号不能确定的是(　　)
A.cos α　　　　B.sin α
C.sin α-cos α　　　　D.sin α+cos α
7.(多选题)(2026江苏江阴高级中学检测)若角α是第二象限角,则下列说法正确的有(　　)
A.sin>0　　　　B.tan>0
C.sin 2α<0　　　　D.cos 2α<0
8.(2026河北9+1联盟期中)从1,2,3,4,5,6中任取2个不同的数字,分别作为角α,β的弧度数,则满足+=0的不同取法种数为(　　)
A.13　　　　B.14　　　　
C.15　　　　D.16
答案与分层梯度式解析
第7章　三角函数
7.2　三角函数概念
7.2.1　任意角的三角函数
基础过关练
1.C 2.A 3.C 5.BCD 6.C
7.B 8.D 9.D 10.D 11.A
1.C　由三角函数的概念,得cos θ==,sin θ==-,所以cos θ-sin θ=-=.
2.A　由三角函数的概念,得sin α=-=,所以y=-2,所以tan α=-2.
3.C　由三角函数的概念得tan α=,即tan2α=3,所以sin α===.
4.答案　±
解析　由点P(3a,-4a),得|OP|==5|a|,
当a>0时,cos θ===;
当a<0时,cos θ===-.
所以cos θ=±.
5.BCD　对于A,由-是第三象限角得tan>0,因此A不满足题意;对于B,由505°=360°+145°,得505°角是第二象限角,所以tan 505°<0,因此B满足题意;对于C,由7.6π=8π-0.4π,得7.6π是第四象限角,所以sin 7.6π<0,因此C满足题意;对于D,由186°角是第三象限角得sin 186°<0,因此D满足题意.
6.C　因为点P(sin θ,tan θ)在第二象限内,所以sin θ<0,tan θ>0,所以角θ为第三象限角,充分性成立.
当角θ为第三象限角时,sin θ<0,tan θ>0,所以点P(sin θ,tan θ)在第二象限内,故必要性成立.
所以“点P(sin θ,tan θ)在第二象限内”是“角θ为第三象限角”的充要条件.
7.B　由得
所以角θ是第二象限角.
8.D　因为|cos θ|=cos θ,所以cos θ≥0,则θ的终边位于第一、四象限或在x轴的正半轴上.
因为|tan θ|=-tan θ,所以tan θ≤0,则θ的终边位于第二、四象限或在x轴上.
所以θ的终边位于第四象限或在x轴的正半轴上,
所以k·360°+270°<θ≤k·360°+360°,k∈Z,
所以k·180°+135°<≤k·180°+180°,k∈Z.
令k=2n,n∈Z,可得n·360°+135°<≤n·360°+180°,n∈Z,则的终边位于第二象限或在x轴的负半轴上;
令k=2n+1,n∈Z,可得n·360°+315°<≤n·360°+360°,n∈Z,则的终边位于第四象限或在x轴的正半轴上.
综上可得,的终边位于第二、四象限或在x轴上.
易错警示
由三角函数值的符号确定角的范围时,要注意角的终边在坐标轴上的情况,防止遗漏导致解题错误.
9.D　如图,在单位圆中,作内的一个角α及其正弦线、余弦线、正切线.
由图知,|OM|<|MP|<|AT|,又有向线段OM,MP分别与x轴,y轴的正方向相反,有向线段AT与y轴的正方向相同,所以sin α10.D　c=log162=lo2=log22=.
由三角函数线可得当x∈时,tan x>x>sin x,
所以tan>>sin,即a11.A　如图,分别作出,-的正弦线和余弦线.
由图可得,sin=cos,sin=cos,且当-sin x;当0≤x<时,cos x>sin x,故当-≤x≤时,sin x≤cos x.
12.答案　(k∈Z)
解析　要使原函数有意义,必须有即
在[0,2π]内,当sin x=时,x=或x=;当cos x=时,x=或x=.
作出图形,如图,
由图得
故2kπ+≤x<2kπ+(k∈Z).
所以原函数的定义域为2kπ+,2kπ+(k∈Z).
能力提升练
1.C 2.ACD 3.C 4.ACD 6.AC
7.BC 8.B
1.C　由题知cos α≠0.
设角α的终边上一点为(a,-3a)(a≠0),则r==|a|.
当a>0时,r=a,sin α==-,cos α==,
所以10sin α+=-3+3=0;
当a<0时,r=-a,sin α==,cos α==-,
所以10sin α+=3-3=0.
综上,10sin α+=0.
2.ACD　cot==1,故A正确;sin α·sec α=sin α·=1不一定成立,故B不正确;y=sec x=,则cos x≠0,即x≠kπ+,k∈Z,故C正确;
∵角α的终边经过点P(2,4),
∴r==2,
∴csc α==,sec α==,
∴csc α+sec α=,故D正确.
3.C　因为角α的终边与角β的终边关于直线y=x对称,
所以角α的终边与单位圆交于点(n,m),记为P',
所以sin α+cos α=m+n=-①.
因为点P(m,n)在单位圆上,所以m2+n2=1②.
联立①②,得或(舍去).所以m=.
4.ACD　因为0<α<β<π,所以∠AOB=β-α,故A正确.
因为N为的中点,所以∠BON=∠AON=∠AOB=,∠xON=α+=,所以点N的坐标为,故B错误.
由题知OM⊥AB,所以|OM|=|OA|cos=cos,故C正确.
易得xM=|OM|cos∠xOM=cos·cos,A(cos α,sin α),B(cos β,sin β),则M,
所以(cos α+cos β)=coscos,故D正确.
5.答案　
解析　由题可知,点P,Q在第1 804次相遇的时间t=1 804×2π÷=3 608(秒),故点P转过的角度为×3 608=300π+,
故对应坐标为,即P.
6.AC　由三角函数的概念知sin α=,cos α=.
(2-t的符号不确定,需要分类讨论)
当00,cos α>0,
当t=2时,2-t=0,cos α=0,
当t>2时,2-t<0,cos α<0,
故cos α的符号不能确定;
因为t>0,所以sin α>0,故sin α的符号能确定;
sin α-cos α=-=,
(2t-2的符号不确定,需要分类讨论)
当0当t=1时,2t-2=0,sin α-cos α=0,
当t>1时,2t-2>0,sin α-cos α>0,
故sin α-cos α的符号不能确定;
sin α+cos α=+=>0,
故sin α+cos α的符号能确定.
解后反思
正弦值的符号取决于纵坐标y的符号,余弦值的符号取决于横坐标x的符号.
7.BC　因为角α是第二象限角,
所以2kπ+<α<2kπ+π,k∈Z,
所以kπ+<所以当k为偶数时,是第一象限角;当k为奇数时,是第三象限角;
2α的终边位于第三象限或第四象限或y轴的负半轴,
所以tan>0,sin 2α<0,故B,C正确.
当是第三象限角时,sin<0,故A错误.
当2α是第四象限角时,cos 2α>0,故D错误.
8.B　易知1是第一象限角,2,3是第二象限角,4是第三象限角,5,6是第四象限角.
对于函数f(x)=,当x是第一、二象限角时, f(x)=1;当x是第三、四象限角时, f(x)=-1.
对于函数g(x)=,当x是第一、四象限角时,g(x)=1;当x是第二、三象限角时,g(x)=-1.
要使+=0,则需f(α)=1且g(β)=-1或f(α)=-1且g(β)=1.
所以当α=1时,β=2,3,4;当α=2时,β=3,4;当α=3时,β=2,4;当α=4时,β=1,5,6;当α=5时,β=1,6;当α=6时,β=1,5,共14种不同取法.

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